CÁC TẬP HỢP SỐ 170 HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ HỮU TỈ Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Tìm hiểu nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ không âm Q +. NHIỆM VỤ 2: Trình bày xây dựng tập số hữu tỉ Q, khái niệm số hữu tỉ dương, số hữu tỉ âm. HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU CÁC PHÉP TOÁN VÀ QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa các phép toán cộng, trừ, nhân và chia các số hữu tỉ. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa các quan hệ: <, ≤, >, ≥ trong tập Q. HOẠT ĐỘNG 3. TÌM HIỂU ĐỊNH NGHĨA SỐ NGUYÊN VÀ SỐ THẬP PHÂN TRONG Q NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Phát biểu định nghĩa số nguyên, tập số nguyên. NHIỆM VỤ 2: Phát biểu định nghĩa số thập phân trong Q. ĐÁNH GIÁ 1. Tìm tổng, hiệu, tích, thương của α và β, biết rằng: CÁC TẬP HỢP SỐ 171 a) α = 5 6 và β = 3 8 ; b) α = 4 7 và β = − 5 3 ; c) α = − 5 8 và β = 3 7 ; d) α = − 9 5 và β = − 7 10 . 2. Chứng minh rằng: a) Tổng của hai số hữu tỉ dương là một số hữu tỉ dương; b) Tổng của hai số hữu tỉ âm là một số hữu tỉ âm; c) Tích của hai số hữu tỉ cùng dấu là một số hữu tỉ dương; d) Tích của hai số hữu tỉ trái dấu là một số hữu tỉ âm. 3. Chứng minh rằng: a) Tích của hai số nguyên bằng 1 khi và chỉ khi hai số đó đều bằng 1 hoặc –1. b) Tích của hai số nguyên bằng –1 khi và chỉ khi một trong hai số đó bằng 1 và số thứ hai bằng –1. 4. Viết các số thập phân sau dưới dạng thu gọn: a) α = − 3 4 b) β = − 15 4 c) γ = − 127 40 . 5. Viết các số thập phân sau dưới dạng số hữu tỉ: a) α = –4,08, b) β = –6,09 c) γ = –13,15. CÁC TẬP HỢP SỐ 172 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.8. TẬP SỐ THỰC THÔNG TIN CƠ BẢN 3.8.1. Sự cần thiết phải xây dựng tập số thực Cho đến nay, chúng ta đã mở rộng các tập hợp số theo sơ đồ sau N Q + Q Nếu dừng lại ở tập số hữu tỉ Q thì: +) Nhiều phép khai căn không thực hiện được. Ta sẽ chứng minh không tồn tại số hữu tỉ là 2 . Thật vậy, giả sử 2 = p q , trong đó (p, q) = 1. Suy ra p 2 = 2q 2 . Vậy p là số chẵn. Giả sử p = 2k với k ∈ N. Thay vào ta được q 2 = 2k 2 . Suy ra q là số chẵn. Điều này vô lí vì (p, q) = 1. Ta có điều phải chứng minh. Tương tự 4 2 , 5 , 6 , đều không thể là số hữu tỉ. +) Nhiều phương trình không tìm được nghiệm hữu tỉ, chẳng hạn: x 2 – 3 = 0 hoặc x 4 – 4 = 0 v.v +) Số đo của nhiều phép đo đại lượng không biểu diễn được, chẳng hạn, số đo của đường chéo một hình vuông có cạnh bằng 1 đơn vị độ dài; số đo của đường chéo hình chữ nhật có chiều dài là 2 đơn vị độ dài, chiều rộng là 1 đơn vị độ dài đều không phải là số hữu tỉ. – Vì những lí do trên đây, ta phải mở rộng tập s ố hữu tỉ Q thêm những số mới để đáp ứng yêu cầu phát triển của toán học và các ngành khoa học khác. 3.8.2. Xây dựng tập số thực Có nhiều cách xây dựng tập số thực, dưới đây ta trình bày cách xây dựng tương đối đơn giản: mở rộng tập số thập phân để được tập số thực. Trong các tiểu chủ đề trước, chúng ta đã xét hai loại số thập phân: số thập phân (có hữu hạn chữ số ở phần thập phân) và số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ngoài hai loại số thập phân nói trên, ta còn gặp một loại “số thập phân” thứ ba: đó là những số thập phân có vô số chữ số ở phần thập phân, các chữ số ở phần thập phân không lặp đi lặp lại theo bất kì một quy luật nào. Mỗi số thập phân như thế ta gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn ta gọi là một số vô tỉ. Tập tất cả các số vô tỉ ta kí hiệu là I. Tập tất cả các số hữu tỉ và các số vô tỉ tạo thành tập các số thực, kí hiệu là R. Như vậy: R = Q ∪ I Ví dụ 8.1: +) 0,712; –4,008; 13,9 là các số thập phân CÁC TẬP HỢP SỐ 173 +) 3,9545454. . . = 3,9(54) hoặc –2,(18) là các số thập phân vô hạn tuần hoàn +) 0,4142135. . . . . . hoặc –2,6457513. . . . . . . . là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn (hay còn gọi là các số vô tỉ) +) Mỗi số 0,72; –4,008; 13,9; 3,9(54); –2,(18); 0,4142135…; –2,6457513… là một số thực. 3.8.3. Các phép toán trong tập số thực Theo định nghĩa trên đây, mỗi số thực x có dạng x = a,x 1 x 2 x 3 x n trong đó a là một số nguyên, x k ∈ {0, 1, 2, , 9}. Giả sử x và y là hai số thực, trong đó: x = a,x 1 x 2 x 3 x n và y = b,y 1 y 2 y 3 y n Ta gọi a) Tổng gần đúng cấp k của x và y là số: s = a,x 1 x 2 x 3 . . . . . . . . . x k + b,y 1 y 2 y 3 . . . . . . . . . y k b) Hiệu gần đúng cấp k của x và y là số: u = a,x 1 x 2 x 3 . . . . . . . . x k – b,y 1 y 2 y 3 . . . . . . . . . . y k c) Tích gần đúng cấp k của x và y là số: p = a,x 1 x 2 x 3 . . . . . . . . x k x b,y 1 y 2 y 3 . . . . . . . . . . y k lấy gần đúng đến k chữ số thập phân d) Thương gần đúng cấp k của x và y là số: d = a,x 1 x 2 x 3 . . . . . . . . x k : b,y 1 y 2 y 3 . . . . . . . . . . y k lấy gần đúng đến k chữ số thập phân. Ví dụ 8.2: Cho x = 2,47 và y = 11,3. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp hai của x và y. Ta có: x + y = 2,47 + 11,30 = 13,77 x – y = 2,47 – 11,30 = –8,83 xy = 2,47 × 11,30 = 27,911 ≈ 27,91 x : y = 2,47 : 11,30 = 0,218584 ≈ 0,22. Ví dụ 8.3: CÁC TẬP HỢP SỐ 174 Cho x = 0,9545454. . . . . . . . và y = –7,2 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y. Ta có x + y ≈ 0,954 – 7,200 = – 6,246 x – y ≈ 0,954 + 7,200 = 8,154 xy ≈ 0,954 × (–7,200) = – 6,8688 ≈ – 6,869 x : y ≈ 0,954 : (–7,200) = – 0,1325 ≈ – 0,133 Ví dụ 8.4: Cho x = – 2 và y = 1,603 Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 1 của x và y. Ta có – 2 = –1,4142135. . . . . . . . . x + y ≈ –1,4 + 1,6 = 0,2 x – y ≈ –1,4 – 1,6 = –3 xy ≈ –1,4 x 1,6 = –2,24 ≈ –2,2 x : y ≈ –1,4 : 1,6 = – 0,875 ≈ – 0, 9 Ví dụ 8.5: Cho x = – 3 và y = – 5 . Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 3 của x và y. Ta có – 3 = –1,7320508. . . . . . . . . và – 5 = –2,2360679. . . . . . . . . . . . x + y ≈ –1,732 – 2,236 = –3,968 x – y ≈ –1,732 + 2,236 = 0,504 xy ≈ (–1,732) × (–2,236) = 3,872752 ≈ 3,873 x: y ≈ (–1,732) : (–2,236) = 0,7745974 ≈ 0,775 CÁC TẬP HỢP SỐ 175 HOẠT ĐỘNG 1. XÂY DỰNG TẬP SỐ THỰC R NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Nêu các nguyên nhân phải mở rộng tập số hữu tỉ Q. NHIỆM VỤ 2: Xây dựng tập số thực R trên cơ sở mở rộng tập số thập phân Q 10 . HOẠT ĐỘNG 2. TÌM HIỂU BỐN PHÉP TOÁN CỘNG, TRỪ, NHÂN VÀ CHIA TRONG TẬP SỐ THỰC R NHIỆM VỤ NHIỆM VỤ 1: Định nghĩa bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong tập số thực R. NHIỆM VỤ 2: Cho bốn ví dụ về thực hành bốn phép tính trong R. ĐÁNH GIÁ 1. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 1 của hai số thực x và y, biết rằng: a, x = –5,008 và y = 0,15 b, x = –4,(027) và y = –2,6(3) c, x = 2 và y = – 3 d, x = 5 và y = – 3 2. Tìm tổng, hiệu, tích và thương gần đúng cấp 2 của x và y trong bài 1 3. Đúng ghi Đ, sai ghi S vào ô trống: (i) Tổng của hai số vô tỉ là một số vô tỉ (ii) Tổng của hai số vô tỉ cùng dấu là một số vô tỉ (iii) Tích của hai số vô tỉ là một số vô tỉ (iv) Tích của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ (v) Tích của một số hữu tỉ khác 0 với một số vô tỉ là một số vô tỉ CÁC TẬP HỢP SỐ 176 THÔNG TIN PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 3 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. 1. a) S b) S c) Đ d) Đ 2. a) r = { } 36 9 ; ; ; 51012 b) r = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩⎭ 71421 ; ; ; 4812 c) r = ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ 000 ; ; ; 123 d) r = { 123 ; ; ; 123 } TIỂU CHỦ ĐỀ 3.2. HOẠT ĐỘNG 1. 1. r + s có phân số đại diện là 29 41 rs có phân số đại diện là 1 9 . 2. a) Gợi ý: nhóm các phân số có cùng mẫu số với nhau trước khi cộng. Các câu b, c cũng tương tự. 3. a) ⎛⎞ ⎡ ⎤ =++ ⎜⎟ ⎢⎥ ⎝⎠ ⎣ ⎦ 13 1 1 1 CC . 35 35 7 5 Các câu b, c cũng tương tự. HOẠT ĐỘNG 2. 1. a) r – s có phân số đại diện là 24 41 b) s – r không thực hiện được c) r : s có phân số đại diện là 9 1 . 2. Tương tự bài 2, hoạt động 1. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.3 CÁC TẬP HỢP SỐ 177 1. Điền dấu a) = b) > c) = d) < e) = f) > 2. Đ 4. > 11 . rs TIỂU CHỦ ĐỀ 3.4. 1. a) S b) Đ c) S d) S e) Đ f) Đ g) S h) S. 2. 40 5 3. 1 2 hoặc 2 1 4. 4 1 hoặc 1 . 4 Tương tự, các bài 5, 6, 7 xem ví dụ mẫu. 8. >>> 99 61 11 7 . 100 62 12 8 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. 4. a) Đ; Đ; Đ; S; S. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. 3. a) S b) Đ c) S d) Đ e) Đ f) Đ. 4. 12,03; 12, 30; 20,13; 20,31; 21,03; 21,30; 23,01; 23,10; 30,12; 30,21; 31,02; 31,20; 32,01; 32,10; 102,3; 103,2; 120,3; 123,0; 201,3; 203,1; 210,3; 230,1; 301,2; 302,1; 310,2; 320,1. 5. Tương tự bài 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 178 8. 63,79 9. Tương tự bài 8. 12. a) Dư 0,001 Câu b tương tự. 15. 48g nước. 16. 18,75g muối. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.8. 1 và 2. Xem ví dụ mẫu. 3. (i) S (ii) S (iii) S (iv) S (v) Đ. CÁC TẬP HỢP SỐ 179 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài. Số học và lôgíc toán. NXB Giáo dục, 1996. 2. Trần Diên Hiển – Nguyễn Tiến Tài – Nguyễn Văn Ngọc. Giáo trình Lí thuyết số. NXB ĐHSP, 2003. 3. Trần Diên Hiển – Nguyễn Văn Ngọc. Giáo trình Toán cao cấp 1. NXB ĐHSP, 2003. 4. Trần Diên Hiển – Nguyễn Xuân Liêm. Cơ sở lí thuyết tập hợp và lôgíc toán. (Sắp xuất bản). 5. Đỗ Đình Hoan và tập thể tác giả. Toán 1, 2, 3, 4, 5. NXB Giáo dục, 2003. . 21,30; 23,01; 23 ,10; 30,12; 30,21; 31,02; 31,20; 32,01; 32 ,10; 102 ,3; 103 ,2; 120,3; 123,0; 201,3; 203,1; 210, 3; 230,1; 301,2; 302,1; 310, 2; 320,1. 5. Tương tự bài 4. CÁC TẬP HỢP SỐ 178. 61 11 7 . 100 62 12 8 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.5. 4. a) Đ; Đ; Đ; S; S. TIỂU CHỦ ĐỀ 3.6. 3. a) S b) Đ c) S d) Đ e) Đ f) Đ. 4. 12,03; 12, 30; 20,13; 20,31; 21,03; 21,30; 23,01; 23 ,10; 30,12;. PHẢN HỒI CHO CHỦ ĐỀ 3 TIỂU CHỦ ĐỀ 3.1. 1. a) S b) S c) Đ d) Đ 2. a) r = { } 36 9 ; ; ; 5101 2 b) r = ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩⎭ 71421 ; ; ; 4812 c) r = ⎧⎫ ⎨⎬ ⎩⎭ 000 ; ; ; 123 d) r = { 123 ; ;