Bai Tap Giai Tich-Tap2- Kaczkor Nowak-DoanChi-dich.pdf

Tài liệu Bài tập giải tích tập 2.

Môc lôc

i

Lời nói đầu

Bạn đang có trong tay tập I của một trong những sách bài tập giải tích (theochúng tôi) hay nhất thế giới

Trước đây, hầu hết những người làm toán của Việt Nam thường sử dụng hai cuốnsách nổi tiếng sau (bằng tiếng Nga và đ∙ được dịch ra tiếng Việt):

1 ”Bài tập giải tích toán học” của Demidovich (B P Demidoviq; 1969,Sbornik Zadaq i Upraẳneniá i po Matematiqeskomu Analizu, Izdatel~stvo

"Nauka", Moskva)

và

2 ”Giải tích toán học, các ví dụ và bài tập” của Ljaszko, Bojachuk, Gai,Golovach (I I LÂxko, A K BoÂquk, º G Ga á³, G P Golobaq; 1975, Matem- atiqeski á ³ Analiz v Primerah i Zadaqah, Tom 1, 2, Izdatel~stvo Vixa Xkola).

để giảng dạy hoặc học giải tích

Cần chú ý rằng, cuốn thứ nhất chỉ có bài tập và đáp số Cuốn thứ hai cho lờigiải chi tiết đối với phần lớn bài tập của cuốn thứ nhất và một số bài toán khác.Lần này chúng tôi chọn cuốn sách (bằng tiếng Ba Lan và đ∙ được dịch ra tiếngAnh):

3 ”Bài tập giải tích Tập I: Số thực, Dãy số và Chuỗi số”(W J Kaczkor, M

T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´s´c Pierwsza, Liczby wiste, Ciagi i Szeregi Liczbowe, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie -Sklodowskiej, Lublin, 1996),

Rzeczy-iii

4 ”Bài tập giải tích Tập II: Liên tục và Vi phân ” (W J Kaczkor, M.

T Nowak, Zadania z Analizy Matematycznej, Cze´s´c Druga, Funkcje JednejZmiennej–Rachunek R´ozniczowy, Wydawnictwo Universytetu Marii Curie -Sklodowskiej, Lublin, 1998)

để biên dịch nhằm cung cấp thêm một tài liệu tốt giúp bạn đọc học và dạy giải tích.Khi biên dịch, chúng tôi đ∙ tham khảo bản tiếng Anh:

3* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis I, Real Numbers, Sequences and Series, AMS, 2000

4* W J Kaczkor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II, Continuity and Differentiation, AMS, 2001

Sách này có các ưu điểm sau:

² Các bài tập được xắp xếp từ dễ cho tới khó và có nhiều bài tập hay

² Lời giải khá đầy đủ và chi tiết

² Kết hợp được những ý tưởng hay giữa toán học sơ cấp và toán học hiện đại.Nhiều bài tập đựơc lấy từ các tạp chí nổi tiếng như, American Mathemati- cal Monthly (tiếng Anh), Mathematics Today (tiếng Nga), Delta (tiếng Balan) Vì thế, sách này có thể dùng làm tài liệu cho các học sinhphổ thông ở các lớp chuyên cũng như cho các sinh viên đại học ngành toán.Các kiến thức cơ bản để giải các bài tập trong sách này có thể tìm trong

5 Nguyễn Duy Tiến, Bài Giảng Giải Tích, Tập I, NXB Đại Học Quốc Gia HàNội, 2000

6 W Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw -Hil BookCompany, New York, 1964

Tuy vậy, trước mỗi chương chúng tôi trình bày tóm tắt lý thuyết để giúp bạn đọcnhớ lại các kiến thức cơ bản cần thiết khi giải bài tập trong chương tương ứng

Lời nói đầu v

Tập I và II của sách chỉ bàn đến hàm số một biến số (trừ phần không gianmetric trong tập II) Kaczkor, Nowak chắc sẽ còn viết Bài Tập Giải Tích cho hàmnhiều biến và phép tính tích phân

Chúng tôi đang biên dịch tập II, sắp tới sẽ xuất bản

Chúng tôi rất biết ơn :

- Giáo sư Phạm Xuân Yêm (Pháp) đ∙ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh tập Icủa sách này,

- Giáo sư Nguyễn Hữu Việt Hưng (Việt Nam) đ∙ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếngAnh tập II của sách này,

- Giáo sư Spencer Shaw (Mỹ) đ∙ gửi cho chúng tôi bản gốc tiếng Anh cuốn sáchnổi tiếng của W Rudin (nói trên), xuất bản lần thứ ba, 1976,

- TS Dương Tất Thắng đ∙ cổ vũ và tạo điều kiện để chúng tôi biên dịch cuốnsách này

Chúng tôi chân thành cám ơn tập thể sinh viên Toán - Lý K5 Hệ Đào Tạo CửNhân Khoa Học Tài Năng, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, đ∙ đọc kỹ bản thảo và sửanhiều lỗi chế bản của bản đánh máy đầu tiên

Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách này sẽ được đông đảo bạn đọc đón nhận vàgóp nhiều ý kiến quí báu về phần biên dịch và trình bày Rất mong nhận được sự chỉgiáo của quý vị bạn đọc, những ý kiến góp ý xin gửi về: Chi đoàn cán bộ, Khoa Toán Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia

Hà Nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội.

Xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, Xuân 2002.Nhóm biên dịch

Đoàn Chi

Các ký hiệu và khái niệm

² (a; b) - khoảng mở có hai đầu mút là a và b

² [a; b] - đoạn (khoảng đóng) có hai đầu mút là a và b

² Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn trên thì ta ký hiệu sup A là cận trên đúngcủa nó, nếu nó không bị chặn trên thì ta quy ước rằng sup A = +1.

² Nếu A ẵ R khác rỗng và bị chặn dưới thì ta ký hiệu inf A là cận dưới đúngcủa nó, nếu nó không bị chặn dưới thì ta quy ước rằng inf A =Ă1

² D∙y fang các số thực được gọi là đơn điệu tăng (tương ứng đơn điệu giảm)nếu an+1 á an (tương ứng nếu an+1 ∙ an) với mọi n 2 N Lớp các d∙y đơn

điệu chứa các d∙y tăng và giảm

² Số thực c được gọi là điểm giới hạn của d∙y fang nếu tồn tại một d∙y con

fan kg của fang hội tụ về c

² Cho S là tập các điểm tụ của d∙y fang Cận dưới đúng và cận trên đúng củad∙y , ký hiệu lần lượt là lim

P = an 0an 0 +1 :::  an 0 +n P0 được gọi là giá trị của tích vô hạn

² Trong phần lớn các sách toán ở nước ta từ trước đến nay, các hàm tang vàcôtang cũng như các hàm ngược của chúng được ký hiệu là tg x, cotg x,arctg x, arccotg x theo cách ký hiệu của các sách có nguồn gốc từ Pháp vàNga, tuy nhiên trong các sách toán của Mỹ và phần lớn các nước châu Âu,chúng được ký hiệu tương tự là tan x, cot x, arctan x, arccot x Trong cuốnsách này chúng tôi sẽ sử dụng những ký hiệu này để bạn đọc làm quen vớinhững ký hiệu đ∙ được chuẩn hoá trên thế giới

Bµi tËp

1

Chương 1

Giới hạn và tính liên tục

1.1 Giới hạn của hàm số

Chúng ta dùng các định nghĩa sau

Định nghĩa 1 Hàmf gọi là tăng (tương ứng, tăng thực sự, giảm, giảm thực

sự) trên tập khác rỗng A2 R nếu x1 < x2; x1; x2 2 A kéo theo f (x1) ∙ f(x2)(tương ứngf (x1) < f (x2),f (x1)á f(x2),f (x1) > f (x2)) Hàm tăng hay giảm

(tương ứng, tăng thực sự hay giảm thực sự) gọi là hàm đơn điệu (tương ứng,

∙bx

x !1x(p

x2+ 1Ăp3 x3+ 1); (f) lim

x !0

cos(ẳ2cos x)sin(sin x) :

1.1.2. Giả sửf : (Ăa; a) n f0g ! R Chứng minh rằng

(a) lim

x !0f (x) = l nếu và chỉ nếu lim

x !0f (sin x) = l,3

P ( jxj), ở đây P (x) là đa thức với hệ số dương.

1.1.8. Chỉ ra bằng ví dụ rằng điều kiện

lim

x !0(f (x) + f (2x)) = 0(Ô)

không suy ra f có giới hạn tại 0 Chứng minh rằng nếu tồn tại hàm ' saocho bất đẳng thứcf (x)á '(x) được thoả m∙n trong một lân cận khuyết của

x !0f (x) = 0

x !1(ex¡ 1)1x;(e) lim

x !0(sin x)ln x1 :

sin x ; (d) limx !0(1 + x2)cotg x:

x !0 +g(x) ln x = °; thì lim

x !0 +f (x)g(x) = e° Trường hợp ° =1hoặc° =Ă1, ta giả sử e1 =1 và eĂ1= 0

1.1.22. Biết rằng lim

x !0f (x) = 1 và lim

x !0g(x) = 1 Chứng minh rằng nếulim

1.1.33. Cho f : R ! R sao cho víi mäi a 2 R, d∙y ©

x !ag(f (x))6= B.

1.1.40. Giả sử f : R ! R là hàm tăng vàx7! f(x) Ă x có chu kì 1 Kí hiệu

fn là phép lặp thứ ncủa f; tức là,f1 = f và fn = f ± fnĂ1 vớiná 2 Chứngminh rằng nếu lim

1.1.41. Giả sử f : R ! R là hàm tăng và x 7! f(x) Ă x có chu kì 1 Ngoài

ra, giả sửf (0) > 0 và p là số nguyên dương cố định Kí hiệu fn là phép lặpthứncủaf Chứng minh rằng nếu mp là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho

n !1

f n (x)

n tồn tại và nhận cùng giá trị với mọi x2 R, ở đâyfn kíhiệu phép lặp thứn của f

1.2 Các tính chất của hàm liên tục

1.2.1. Tìm tất cả các điểm liên tục của hàm f xác định bởi

f (x) =

(

0 nếu x vô tỷ,sinjxj nếu x hữu tỷ

1.2.2. Xácđịnh tập các điểm liên tục của hàmf được cho bởi

p; q nguyên tố cùng nhau,(Hàm định nghĩa ở (a) được gọi là hàm Riemann.)

1.2.4. Chứng minh rằng nếuf 2 C([a; b]), thì jfj 2 C([a; b]) Chỉ ra bằng ví

dụ rằng điều ngược lại không đúng

1.2.5. Xác định tất cả các an và bn sao cho hàm xác định bởi

f (x) =

(

an+ sin ẳx nếux 2 [2n; 2n + 1]; n 2 Z,

bn+ cos ẳx nếux 2 (2n Ă 1; 2n); n 2 Z,liên tục trên R

1.2.6. Cho f (x) = [x2] sin ẳx với x2 R Nghiên cứu tính liên tục của f

1.2.7. Biết

f (x) = [x] + (xĂ [x])[x] với xá 12:Chứng minh rằng f liên tục và tăng thực sự trên [1;1)

1.2.8. Nghiên cứu tính liên tục của các hàm sau đây và vẽ đồ thị của chúng

1.2.9. Chứng minh rằng nếu f : R ! R liên tục và tuần hoàn thì nó có giátrị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

1.2.10. Cho P (x) = x2n+ a2n Ă1x2n Ă1+Â + a1x + a0, chứng minh rằng tồn tại

xÔ 2 R sao cho P (xÔ) = inffP (x) : x 2 Rg Cũng chứng minh rằng giá trịtuyệt đối của mọi đa thức P có giá trị nhỏ nhất; tức là, tồn tại xÔ 2 R saocho jP (xÔ)j = inffjP (x)j : x 2 Rg

(a) Cho f; g 2 C([a; b]) và với x 2 [a; b], đặt h(x) = minff(x); g(x)g vàH(x) = maxff(x); g(x)g Chứng minh rằngh; H 2 C([a; b])

(b) Cho f1; f2; f3 2 C([a; b])và với x2 [a; b], đặtf (x) là một trong ba giá trị

f1(x); f2(x)và f3(x)mà nằm giữa hai giá trị còn lại Chứng minh rằng

f 2 C([a; b])

1.2.14. Chứng minh rằng nếuf 2 C([a; b]), thì các hàm được xác định bởi

m(x) = infff(³) : ³ 2 [a; x]g và M (x) = supff(³) : ³ 2 [a; x]g

cũng liên tục trên [a; b]

1.2.15. Gọif là hàm bị chặn trên[a; b] Chứng minh rằng các hàm được xác

định bởi

m(x) = infff(³) : ³ 2 [a; x)g và M (x) = supff(³) : ³ 2 [a; x)g

cũng liên tục trên (a; b)

1.2.16. Với các giả thiết của bài toán trước, kiểm tra các hàm

mÔ(x) = infff(³) : ³ 2 [a; x]g và MÔ(x) = supff(³) : ³ 2 [a; x]g

có liên tục trái trên (a; b) hay không ?

1.2.17. Giả sửf liên tục trên[a;1)và lim

(b) Cho vÝ dô hµm tuµn hoµn kh¸c hµm h»ng mµ kh«ng cã chu k× c¬ b¶n.

(c) Chøng minh r»ng nÕuf : R ! R lµ hµm tuÇn hoµn kh«ng cã chu k× c¬b¶n, th× tËp tÊt c¶ c¸c chu k× cña f trï mËt trong R

1.2.24.

1.2.28. Cho f; g : R ! R lµ c¸c hµm tuÇn hoµn Gi¶ sö f liªn tôc vµ kh«ng

cã chu k× nµo cña g th«ng ­íc víi chu k× c¬ b¶n cña f Chøng minh r»ng

¶

f (k

n) = 0:

1.2.32. Giả sử f : (0;1) ! R là hàm liên tục sao cho f (x) ∙ f(nx) với mọi

số dương x và mọi số tự nhiên n Chứng minh rằng lim

x !1f (x) tồn tại (hữuhạn hoặc vô hạn)

1.2.33. Hàm f xác định trên khoảng I ẵ R được gọi là lồi trên I nếu

1.3 Tính chất giá trị trung gian

Ta nhắc lại định nghĩa sau:

Định nghĩa 3 Hàm thực f có tính chất giá trị trung gian trên khoảng Ichứa [a; b] nếu f (a) < v < f (b) hoặc f (b) < v < f (a); tức là, nếu v nằm giữa

f (a) và f (b), thì tồn tại c nằm giữa a và b sao cho f (c) = v

1.3.1. Cho các ví dụ các hàm có tính chất giá trị trung gian trên khoảng Inhưng không liên tục trên khoảng này

1.3.2. Chứng minh rằng hàm tăng thực sự f : [a; b]! R có tính chất giá trịtrung gian thì liên tục trên[a; b]

1.3.3. Cho f : [0; 1] ! [0; 1] liên tục Chứng minh rằng f có điểm cố định

trong [0; 1]; tức là, tồn tại x0 2 [0; 1] sao chof (x0) = x0

1.3.4. Giả sử f; g : [a; b] ! R liên tục sao cho f (a) < g(a) và f (b) > g(b).Chứng minh rằng tồn tạix0 2 (a; b) sao cho f (x0) = g(x0)

1.3.10. Gi¶ sö f 2 C([0; 2]) vµ f (0) = f (2) Chøng minh r»ng tån t¹i x1 vµ

x2 trong [0; 2] sao cho

x2 ¡ x1 = 1 vµ f (x2) = f (x1):

Gi¶i thÝch ý nghÜa h×nh häc kÕt qu¶ trªn

1.3.11. Cho f 2 C([0; 2]) Chøng minh r»ng tån t¹i x1 vµ x2 trong [0; 2] saocho

x2¡ x1 = 1 vµ f (x2)¡ f(x1) = 1

2(f (2)¡ f(0)):

1.3.12. Với n 2 N, gọi f 2 C([0; n]) sao cho f (0) = f (n) Chứng minh rằngtồn tạix1 và x2 trong [0; n]thoả m∙n

Chỉ ra ví dụ rằng giả thiết về tính liên tục của f và g trong bài toán trênkhông thể bỏ qua

1.3.16. Chứng minh rằng đơn ánh liên tụcf : R ! R thì hoặc tăng thực sự,hoặc giảm thực sự

1.3.17. Giả sử f : R ! R là dơn ánh liên tục Chứng minh rằng nếu tồn tại

n sao cho phép lặp thứ n của f là ánh xạ đồng nhất, tức là, fn(x) = x vớimọix2 R, thì

(a) f (x) = x; x2 R, nếu f tăng thực sự,

(b) f2(x) = x; x2 R, nếu f giảm thực sự

1.3.18. Giả sử f : R ! R thoả m∙n điều kiện f (f (x)) = f2(x) = Ăx; x 2

R.Chứng minh rằngf không thể liên tục

1.3.19. Tìm tất cả các hàm f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và tồntạin2 N sao chofn(x) =Ăx; x 2 R, ở đây fn kí hiệu phép lặp thứ ncủa f

1.3.20. Chứng minh rằng nếu f : R ! R có tính chất giá trị trung gian và

fĂ1(fqg) đóng với mọi q hữu tỷ, thì f liên tục

1.3.21. Giả sử f : (a;1) ! R liên tục và bị chặn Chứng minh rằng, với Tcho trước, tồn tại d∙y fxng sao cho

   < tn = 1, sao cho f đơn điệu trên mỗi khoảng con đó.) Chứng minh rằng

f nhận một trong các giá trị của nó một số lẻ lần

1.3.24. Hàm liên tục f : [0; 1]! R nhận mỗi giá trị của nó hữu hạn lần và

f (0) 6= f(1) Chứng minh rằng f nhận một trong các giá trị của nó một số

lẻ lần

1.3.25. Giả sử f : K ! K liên tụctrên tập con compact K ẵ R Ngoài ra,giả sử x0 2 K là số sao cho mọi điểm giới hạn của d∙y lặpffn(x0)g là điểm

cố định của f Chứng minh rằng ffn(x0)g hội tụ

1.3.26. Hàmf : R ! Rliên tục, tăng sao choF xác định bởi F (x) = f (x)Ă xtuần hoàn với chu kì 1 Chứng minh rằng nếu đ(f ) = lim

g liên tục trên [0; 1] sao cho f + g giảm Chứng minh rằng phương trình

f (x) = 0 có nghiệm trong khoảng mở(0; 1)

1.3.28. Chứng minh rằng mọi song ánh f : R ! [0; 1) có vô hạn điểm gián

đoạn

1.3.29. Nhắc lại rằng mỗi x 2 (0; 1) có thể được biểu diễn bởi số nhị phân(binary fraction):a1a2a3: : :, ở đây ai 2 f0; 1g; i = 1; 2; : : : Trong trường hợp

xcó hai khai triển nhị phân khác nhau, ta chọn khai triển có vô hạn chữ số

1 Tiếp đó, gọi hàm f : (0; 1)! [0; 1] được xác định bởi

f (x) = lim

n !1

1n

Cho f là hàm thực xác định trên tập khác rỗng Aẵ R

Định nghĩa 6 Nếux0 là điểm giới hạn củaA, thì giới hạn dưới (tương ứng

giới hạn trên) của f (x) khi x ! x0 được định nghĩa là inf (tương ứng sup)của tập tất cả cácy 2 R sao cho tồn tại d∙y fxng các điểm trong A khácx0,hội tụ tới x0 và y = lim

n !1f (xn) Giới hạn dưới và giới hạn trên của f (x) khi

x! x0 được kí hiệu tương ứng bởi lim

x !x

f (x) và lim

x !x 0

f (x)

Định nghĩa 7 Một hàm giá trị thực gọi là nửa liên tục dưới (tương ứng

trên) tại x0 2 A; x0 là điểm giới hạn củaA, nếu lim

x !x 0

f (x)á f(x0) (tương ứnglim

(i) tồn tại ± > 0 sao chof (x) > y0Ă " với mọix2 A và 0 <jx Ă x0j < ±;(ii) với mọi ± > 0, tồn tại x0 2 A sao cho0 <jx0 Ă x0j < ± và f (x) < y0+ ":

Thiết lập bài toán tương tự cho giới hạn trên của f tại x0:

1.4.4. Cho f : A! R và x0 là điểm tới hạn củaA Chứng minh rằng

1.4.5. Gi¶ söf : A! Rvµx0 lµ ®iÓm giíi h¹n cñaA Chøng minh r»ng nÕu

1.4.10. Chứng minh rằng nếu lim

x !x 0

f (x)tồn tại, thì (trừ trường hợp các dạngbất định +1 Ă 1và Ă1 + 1):

x !af (x), thì với mọi á2 [l; L], tồn tại d∙y fxng gồm các điểm trong (a; b) hội

tụ tới a sao cho lim

là nửa liên tục

1.4.13. Xác định tất cả các điểm tại đóf xác định bởi

1.4.15. Tìm tất cả các điểm tại đó hàm xác định bởi

1.4.16. Cho f; g : A ! R nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) tại x0 2 A.Chứng minh rằng

(a) nếu a > 0 thì af nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0 2 A Nếu

a > 0 thì af nửa liên tục trên (tương ứng, dưới) tại x0

(b) f + g nửa liên tục dưới (tương ứng, trên) tại x0

1.4.17. Giả sử rằng fn : A ! R; n 2 N, nửa liên tục dưới (tương ứng, trên)tại x0 2 A Chứng minh rằng sup

1.4.19. Vớif : A! Rvà x là điểm giới hạn của A, định nghĩa dao độ của f

tạix bởi

of(x) = lim

± !0 +supfjf(z) Ă f(u)j : z; u 2 A; jz Ă xj < ±; ju Ă xj < ±gChứng minh rằngof(x) = f1(x)Ă f2(x), ở đây

f1(x) = maxff(x); limz

!xf (z)gvà f2(x) = minff(x); lim

z !x

f (z)g:

1.4.20. Gọif1; f2, và of như trong bài toán trước Chứng minh rằng f1 vàof

là nửa liên tục trên, và f2 là nửa liên tục dưới

1.4.21. Chứng minh rằng để f : A ! R là nửa liên tục dưới (tương ứng,trên) tại x0 2 A, điều kiện cần và đủ là với mọi a < f (x0) (tương ứng,

a > f (x0)), tồn tại ± > 0 sao cho f (x) > a (tương ứng, f (x) < a) bất cứ khinào jx Ă x0j < ±; x 2 A

1.4.22. Chứng minh rằng để f : A ! R là nửa liên tục dưới (tương ứng,trên) tạix0 2 A, điều kiện cần và đủ là với mọia2 R, tậpfx 2 A : f(x) > ag(tương ứng, fx 2 A : f(x) < ag) là mở trong A

1.4.23. Chứng minh rằngf : R ! R là nửa liên tục dưới nếu và chỉ nếu tậpf(x; y) 2 R2 : y á f(x)g là đóng trong R2

Lập công thức và chứng minh điều kiện cần và đủ cho tính nửa liên tụctrên của f trên R

1.4.24. Chứng minh định lí Baire sau đây Mọi hàm nửa liên tục dưới (tương

ứng, trên) f : A ! R là giới hạn của d∙y tăng (tương ứng, giảm) các hàmliên tục trên A

1.4.25. Chứng minh rằng nếu f : A ! R nửa liên tục trên, g : A ! R nửaliên tục dưới và f (x)∙ g(x)khắp nơi trên A, thì tồn tại hàm liên tục h trên

A sao cho

f (x)∙ h(x) ∙ g(x); x2 A:

1.5 Tính liên tục đều

Định nghĩa 8 Hàm thựcf xác định trên tậpA 2 Rđược gọi là liên tục đều

trên A nếu, với " cho trước, tồn tại ± > 0sao cho với mọi x và y trong A mà

jx Ă yj < ±, ta có jf(x) Ă f(y)j < "

1.5.1. Kiểm tra các hàm sau đây có liên tục đều trên (0; 1) hay không :

x;(c) f (x) = x sin 1

x!b Ăf (x) tồn tại như các giới hạn hữu hạn

1.5.4. Giả sửf vàg liên tục dều trên(a; b) ([a;1)) Từ đó có suy ra tính liêntục đều trên (a; b) ([a;1))của các hàm

(b) Giả sửA vàB là các tập đóng trong Rvà gọif : A[ B ! R là liên tục

đều trên A và B Hỏi f có nhất thiết liên tục đều trên A[ B ?

1.5.6. Chứng minh rằng mọi hàm liên tục và tuần hoàn trênR thì liên tục

là hữu hạn, thì f cũng liên tục đều trên R

(b) Chứng minh rằng nếuf : [a; +1) ! Rliên tục và lim

x !1f (x)là hữu hạn,thì f cũng liên tục đều trên[a;1)

1.5.8. Kiểm tra tính liên tục đều của

x !1f (x) có tồn tại không ?

1.5.10. Chứng minh rằng mọi hàm bị chặn, đơn điệu và liên tục trên khoảng

I ẵ Rlà liên tục đều trên I

1.5.11. Giả sửf liên tục đều và không bị chặn trên[0;1) Phải chăng hoặclim

x !1f (x) = +1 , hoặc lim

x !1f (x) =Ă1 ?

1.5.12. Hàmf : [0;1) ! Rliên tục đều và với mọi xá 0, d∙yff(x + n)g hội

tụ tới không Chứng minh rằng lim

x !1f (x) = 0

1.5.13. Giả sử f : [1;1) ! R liên tục đều Chứng minh rằng tồn tại sốdương M sao cho jf(x)jx ∙ M với xá 1

1.5.14. Gọi f : [0;1) ! R liên tục đều Chứng minh rằng tồn tại số dương

M với tính chất sau đây :

sup

u>0fjf(x + u) Ă f(u)jg ∙ M(x + 1) với mọixá 0:

1.5.15. Cho f : A ! R; A ẵ R;liên tục đều Chứng minh rằng nếu fxng làd∙y Cauchy các phần tử trongA, thì ff(xn)g cũng là d∙y Cauchy

1.5.16. Giả sử A ẵ R bị chặn Chứng minh rằng nếu f : A ! R biến d∙yCauchy các phần tử củaAthành d∙y Cauchy, thìf liên tục đều trênA Tính

bị chặn củâA có phải là giả thiết cốt yếu không ?

1.5.17. Chứng minh rằng f liên tục đều trên A 2 Rnếu và chỉ nếu với mọid∙yfxng và fyngcác phần tử của A,

(a) Với mọi hàm liên tục đềug : R ! R; f  g liên tục đều trênR

(b) Hàm x7! jxjf(x) liên tục đều trênR

1.5.22. Chứng minh điều kiện cần và đủ sau đây đểf là hàm liên tục đềutrên khoảng I Với " > 0 cho trước, tồn tại N > 0 sao cho với mọi x1; x2 2I; x1 6= x2, ¯¯

và một trong các điều kiện

(a) f liên tục tạix0 2 R,

(b) f bị chặ trên khoảng(a; b) nào đó,

(c) f đơn điệu trênR,

thì f (x) = ax

1.6.3. Xác định tất cả các hàm liên tục f : R ! R sao chof (1) > 0và

f (x + y) = f (x)f (y):

1.6.4. Chứng minh rằng các nghiệm duy nhất mà không đồng nhất bằngkhông và liên tục trên (0;1) của phương trình hàm

ả

= f (x) + f (y)

1Ă x

ả

; x6= 1:

1.6.15. Gọif : [0; 1]! [0; 1]là hàm liên tục, đơn điệu giảm sao chof (f (x)) =

x với x2 [0; 1] Hỏif (x) = 1Ă x có phải là hàm duy nhất như vậy không ?

ả

= 1 + x với x6= 0; 1:

1.6.20. D∙y fxng hội tụ theo nghĩa Cesàro nếu

1.6.21. Chof : [0; 1]! [0; 1]là đơn ánh sao chof (2xĂf(x)) = x vớix2 [0; 1].Chứng minh rằngf (x) = x; x2 [0; 1]

1.6.22. Với m khác không, chứng minh rằng nếu hàm liên tục f : R ! Rthoả m∙n phương trình

f

à2xĂ f (x)m

1.6.28. T×m tÊt c¶ c¸c hµm f : R n f0g ! Rsao cho

f (x) =¡f

µ1x

¶+ f

µ1

1.7 Hàm liên tục trong không gian metric

Trong mục này, Xvà Y lần lượt kí hiệu là các không gian metric(X; d1)

và(Y; d2) Để đơn giản, ta nói rằngX là không gian metric thay cho (X; d1)

là không gian metric RvàRn luôn giả sử được trang bị metric Euclide, nếukhông phát biểu ngược lại

1.7.1. Gọi (X; d1) và (Y; d2) là các không gian metric và f : X! Y Chứngminh rằng các điều kiện sau đây tương đương

(a) Hàm f liên tục

(b) Với mỗi tập đóng Fẵ Y, tập fĂ1(F) đóng trong X:

(c) Với mỗi tập mởGẵ Y, tập fĂ1(G) mở trongX:

(d) Với mỗi tập conA của X,f (Aẵ f(A)):

(e) Với mỗi tập con B của Y, fĂ1(B)ẵ fĂ1(B):

1.7.2. Gọi(X; d1) và(Y; d2)là các không gian metric vàf : X! Y liên tục.Chứng minh rằng nghịch ảnh fĂ1(B) của tập Borel B trong (Y; d2) là tậpBorel trong(X; d1):

1.7.3. Cho ví dụ hàm liên tụcf : X! Y sao cho ảnhf (F)(tương ứng,f (G))không đóng (tương ứng, mở) trongY vớiFđóng (tương ứng,Gmở) trongX

1.7.4. Gọi(X; d1) và(Y; d2)là các không gian metric vàf : X! Y liên tục.Chứng minh rằng ảnh của tập compact Ftrong X là tập compact trongY

1.7.5. Cho f xác định trên hợp các tập đóng F1; F2; : : : ; Fm Chứng minhrằng nếu giới hạn của f trên mỗi Fi; i = 1; 2; : : : ; m, là liên tục, thì f liêntục trênF1[ F2[ : : : [ Fm Chỉ ra ví dụ rằng phát biểu trên không đúngtrong trường hợp vô hạnFi

1.7.6. Chof xác định trên hợp các tập mở Gt; t2 T Chứng minh rằng nếuvới mỗit2 T, giới hạn fjGt là liên tục, thì f liên tục trên S

t 2T

Gt