SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM VIỆC VỚI PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHO HỌC SINH... A- Mở đầu I- Lý do chọn đề tài Phương trình mũ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán họ
Trang 1SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG LÀM VIỆC VỚI PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHO
HỌC SINH
Trang 2A- Mở đầu
I- Lý do chọn đề tài
Phương trình mũ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán học ở phổ thông Rất nhiều đề thi , đặc biệt là đề thi Đại học , cao đẳng khai thác vấn đề này Trong khi đó do thời gian có hạn nên SGK mới chỉ dừng lại ở các dạng bài tập cơ bản , mặc dù SGK cũng có sự phân loại song số lượng bài tập để học sinh
tự rèn luyện rất ít và chưa phong phú Vì vậy, để giúp học sinh đỡ lúng túng khi gặp những bài toán về phương trình mũ , tôi đưa ra một số bài tập đã được phân loại cùng với phương pháp giải các loại bài tập này
II- Nhiệm vụ của đề tài
Thông qua hệ thống bài tập đã được phân loại cùng với phương pháp giải các dạng bài tập đó , thì nhiệm vụ của đề tài này chỉ mong rằng sẽ góp phần giúp học sinh hình thành, củng cố và rèn luyện kỹ năng làm việc với phương trình mũ Đó là các kỹ năng sau:
1- Giải các phương trình mũ bằng các phương pháp :
- Biến đổi hai vế về những lũy thừa có cùng cơ số
- Lôgarit hóa
- Đặt ẩn phụ
- Phương pháp đánh giá hai vế
- Phương pháp sử dụng chiều biến thiên (đạo hàm ) đồ thị
2 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình :
- Có nghiệm , không có nghiệm
- Có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước
3 - Giải và biện luận phương trình mũ
III- Phương pháp tiến hành
- Trong các tiết học chính khóa cần yêu cầu học sinh nắm chắc :
+ Khái niệm lũy thừa với số mũ thực, và các tính chất của lũy thừa + Hệ số mũ – tính chất
+ Hàm số Lôgarit – tính chất + Kỹ năng dùng đạo hàm để xét biến thiên của hàm số
+ Kỹ năng vẽ đồ thị
+ Hiểu được thực chất nghiệm của phương trình ¦(x) = g (x) là hoành
độ giao điểm của hai đồ thị y = ¦(x) và y = g (x)
Trang 3- Trên cơ sở đó giáo viên đưa ra các dạng bài tập cho học sinh tự tìm tòi phương pháp giải Þ Kết luận về cách giải của từng dạng
IV- Đối tượng áp dụng :
Học sinh lớp 11+12
B- Nội dung
Khi giải một phương trình mũ ta thường vận dụng các phương pháp biến đổi để đưa phương trình mũ đã cho về một trong hai dạng đơn giản nhất là :
1) ax = ab ( 0 < a ¹ 1)
Û x = b
2) ax = c
Û x = log a c ( 0 < a ¹ 1 , c > 0 )
Một số phương pháp thường dùng để giải phương trình mũ là :
I - Biến đổi hai vế của phương trình về những lũy thừa có cùng cơ số :
a = 1
¦(x) & g(x) có nghĩa
a¦(x) = ag(x) Û
0 < a ¹ 1
a) Ví dụ : Giải các phương trình sau:
1) 21 = 1
Học sinh cần để ý thấy rằng 1 = a0 với a ¹ 0 Vậy phương trình trên viết được dưới dạng :
21 = 210 Txđ : " x ÎR
Û x2
- 7x + 12 = 0
x = 4
Û
x 2 -7x+12
x 2 -7x+12
{ {
Trang 4x = 3
Þ Đối với những phương trình có dạng a¦(x) = 1 ( 0 < a ¹ 1) ta có phương trình tương đương với phương trình trên là : ¦(x) = 0
2) 32 = 0,25 128
Nhận thấy : 32 = 2 5 ; 0,25 = = 2– 2 ; 128 = 2 7
Vì thế 2) Û 2 = 2 –2
2
Û 2 = 2
Û =
Đến đây ta có thể giải được phương trình để tìm nghiệm
3) ( Ö10 + 3 ) = ( Ö10 - 3 )
Ta thấy : ( Ö10 + 3 ) ( Ö10 - 3 ) = 1 Þ Ö10 - 3 = ( Ö10 + 3 )-1
Þ 3) Û ( Ö10 + 3 ) = ( Ö10 + 3 )
Û = -
Từ phương trình này ta có thể dễ dàng giải ra để tìm được x
Þ Nhận xét : Đối với phương trình mũ có 2 cơ số a, b mà a.b = 1 Þ b = a – 1
x + 5
x - 7
x+17
x - 3
5(x + 5)
x - 7
7( x+17)
x - 3
5(x + 5)
x - 7 7( x+17) x - 3 - 2
5(x + 5)
x - 7 7( x +17 ) – 2( x –3 )
x - 3
x - 3
x - 1 x + 1 x + 3
x - 3
x - 1
x + 1
x + 3
x - 3
x - 1
x + 1
x + 3
x 2 -7x+12
1 4
Trang 54) ( a )3 – x = 1 Sử dụng tính chất (am )n = am.n
Û a = 1
a = 1 a = 1
x Î R x Î R
Û Û
0 < a ¹ 1 0 < a ¹ 1 (x2 + x – 2) (3 – x) = 0 x = - 2 Ú x = 1 Ú x = 3 5) (x + 1) = 1
x + 1 = 1 x = 0 x – 3 ³ 0 x ³ 3
Û Û Û x = 3 0 £ x + 1 ¹ 1 - 1< x ¹ 0 x – 3 = 0 x = 3 6) 8.3 x + 3 2 x = 24 + 6 x Û 8 ( 3 x – 3 ) + 2 x (3 – 3 x ) = 0 Û ( 3 x – 3 ) (8 - 2 x ) = 0 Û 3 x = 3 Û x = 1 2 x = 8 x = 3 Đối với phương trình này không thể đưa về cùng cơ số ngay thì ta có thể đưa về cùng một vế rồi đặt thừa số chung b) Bài tập tương tự tự giải :
Ö 2 - x
1) 0,25 4 2x – 3 = 8
2) (Ö 6 + 2Ö 5 - Ö 6 - 2Ö 5 ) 2x
+ 2 2 ( x+ 1) = 320
3) ( x2 - 2x + 2 ) = 1
(x 2 -7x+12)(3 – x)
{
{
{ {
Ö x- 3
{
{
{ {
Ö 4 – x 2
Trang 64) x2 2 x + 8 = 2 x2 + 2 x+ 2
5) 2 - x - 2 = ( ) x + 1 + x - 1
II- Logarit hóa hai vế
Phương pháp này thường dùng đối với phương trình có dạng :
a ¦(x) = b g(x)
Û loga a ¦(x) = loga b g(x) với a ¹ b
0 £ a , b ¹ 1
Cơ số thường chọn cho phép logarit hóa khi lũy thừa chứa cơ số đó có số
mũ phức tạp hơn
a) Ví dụ : 5 x = 3 Rõ ràng đây là phương trình không thể đưa về cùng một cơ số được Vậy ta logarit hóa 2 vế với cơ số 3 ta được :
log3 5 x = log3 3 Txđ R
Û x log3 5 = x2
Û x ( x – log3 5 ) = 0
Û x = 0
x = log35
2) 2 3 x = 1,5
Cách 1 : 2 3 x = 3 2 –1
Û
Û x2
– 2x + 1 = log23 1 – x
Û ( x – 1)2
+ (x – 1) log2 3 1 – x = 0
1
2
{
x2
x2
x2
x 2 - 2x
x 2 - 2x
x 2 - 2x + 1
Trang 7Û x - 1 = 0 Û x = 1
x – 1 + log2 3 = 0 x = 1 – log2 3
Cách 2 : Để ý thấy vế trái là tích 2 lũy thừa , vậy logarit hóa 2 vế ta có :
log2 2 3 x = log2
Û x2
– 2x + x.log2 3 = log2 3 – 1
Û x2
+ (log2 3 – 2 ).x + 1 - log2 3 = 0
Û x = 1 ( vì có a + b + c = 0 )
x = 1- log2 3
3) 2 3x 3 x – 2 3 = 192
Û 2 3x
3 x ( 1- ) = 2 6 3
Û 2 3x
3 = 2 6 3
Û 2 = 3
Û 3x – 6 = (2 – x ) log2 3
Þ Tìm được x
4) x = 10 ĐK : x > 0
x ¹ 1
Û lg x = 1 Þ Luôn đúng với " 0 < x ¹ 1
b) Bài tập tương tự tự giải :
1) 5 x + 5 + 5 = 3 x + 3 + 3
2) 8 = 36 3
3) 5 x 8 = 500
2
2
3
x -1
1
lg x
{
1
lg x
x
x - 1
x
Trang 84) x lg2 2 – lg x = 1
III- Phương pháp đặt ẩn phụ:
Trong phương pháp này luôn chú ý đến điều kiện của ẩn phụ
a) Nếu trong phương trình có chứa : ax , a2x , a3x thì ta đặt ax = t
Þ a2x
= t2 , a3x = t3
Þ Giải phương trình tìm t Þ tìm được x
Ví dụ : Giải các phương trình sau:
1) 2 16 x – 15 4 x – 8 = 0
Û 2 4 2x
– 15 4 x – 8 = 0 Đặt : 4 x
= t > 0
Þ 1) có dạng : 2 t2
– 15 t - 8 = 0
Þ Từ đây ta có tìm được t Þ tìm được x
2) ( 5Ö 3 ) x
+ ( 10Ö 3 ) x -10
- 84 = 0
Û ( 10Ö 3 ) 2x
+ - 84 = 0 Đặt ( 10Ö 3 )x = t > 0 Þ 2) có dạng : 3.t2
+ t – 252 = 0
Þ Tìm được t Þ tìm được x
3) 4 - 5 2 = 6
Û 2 2 - 5 2 - 12 = 0
Û Đặt 2 = t > 0 Þ 3) có dạng : 2.t2
–5.t – 12 = 0
Þ Tìm được t Þ tìm được x
* Bài tập tương tự tự giải :
( 10Ö 3 )x
3
x+Ö x 2 - 2
7 2x
100 x
x+Ö x 2 - 2
Trang 91) = 6 ( 0,7 ) x + 7
2) 9 - 7 3 = 2
3) 2 - 9 2 + 2 = 0 (Nhân 2 vế với 2 – 2x )
4) 8 x – 3 4 x – 3 2 + 8 = 0
b) Nếu phương trình có dạng : a ax + b bx + g.cx
= 0 Trong đó : a.c = b2
thì chia 2 vế cho ax hoặc cx rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ : Giải phương trình :
6 9 x – 13 6 x + 6 4 x = 0 (*) Giải : Ta thấy : 9.4 = 36 = 62 nên
(*) Û 6 ( )x
– 13 ( )x + 6 = 0
Û 6 ( )2x
– 13 ( )x + 6 = 0 Đặt ( )x
= t > 0 (*) Û 6.t2 - 13.t + 6 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x
* Bài tập tương tự tự giải :
1) 3.16 x + 2 81x = 5.36 x
2) 125 x + 50 x = 2
3) 3 + 4 15 = 3 5
c) Nếu phương trình có dạng : a ax + b bx
+ c = 0 Trong đó : ax
bx = 1 thì :
Cách 1 : Đặt ax = t > 0 Þ bx
=
Cách 2 : Đặt ax = U > 0
bx = V > 0
khi đó phương trình đã cho tương đương với hệ : U > 0 , V > 0
Öx 2 – 2x -
-1
x + 1
9
3
3 2
3x + 1
1 t
{
Trang 10U.V = 1
a.U + b V + c = 0
Ví dụ : Giải phương trình sau:
1) ( 5 +Ö 24 ) x + ( 5 - Ö 24 ) x
= 10 Nhận thấy : ( 5 +Ö 24 ) x ( 5 - Ö 24 ) x
= 1
Cách 1 : Đặt ( 5 +Ö 24 ) x
= t > 0
Þ 1) có dạng : t + = 10
Û t2 – 10 t + 1 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x
Cách 2 : Đặt ( 5 +Ö 24 ) x
= U > 0
( 5 - Ö 24 ) x
= V > 0
Þ 1) Û U.V = 1
U + V = 10
Þ Giải hệ tìm được U , V Þ tìm được x
2) ( 7 +4Ö 3 ) x – 3.( 2 - Ö 3 ) x
+ 2 = 0
Ta thấy : 7 +4Ö 3 = ( 2 + Ö 3 ) 2
Þ 2) Û ( 2 + Ö 3 ) 2 x - 3 ( 2 - Ö 3 ) x
+ 2 = 0
Có : ( 2 + Ö 3 ) ( 2 - Ö 3 ) = 1 nên ta đặt ( 2 + Ö 3 ) x
= t > 0
Þ 2) có dạng : t2
- + 2 = 0
Û t3 + 2.t - 3 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x
3) 2 + 4 2 = 6
Thấy : 2 2 = 2
Đặt : 2 = t Î [ 1 ; 2 ] vì " x Î R Þ 0 £ Cos2 x £ 1
Þ 20 £ 2 £ 21 Û 1 £ t £ 2
Þ 2 =
1 t
{
3 t
Cos 2 x
Cos 2 x
t
2 t
Trang 11Þ 3) có dạng : + 4.t = 6
Û 4.t2 - 6.t + 2 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x
Có thể đặt : 2 = U Î [ 1 ; 2 ] U.V =
2
Û
2 = V Î [ 1 ; 2 ] U + 4.V = 6
Từ hệ trên có thể tìm U Î [ 1 ; 2 ]
V Î [ 1 ; 2 ]
* Bài tập tương tự tự giải :
1) ( 2 + Ö 3 ) x + ( 2 - Ö 3 ) x
- 4 = 0
2) ( 7 +3Ö 5 ) x + 7.( 7 - 3Ö 5 ) x
= 2 x+ 3
3) ( 5 - Ö 21 ) x + 7.( 5 + Ö 21 ) x
= 2 x+ 3
d) Nếu trong phương trình có chứa : a x ; ; a2x ; ; a3x ;
thì đặt : a x + = t ³ 2 ( BĐT Côsi)
hoặc : a x - = t
Ví dụ : Giải phương trình :
1) 4 x + 4 - x + 2 x + 2 - x = 10
Û 22x + + 2 x + = 10
Đặt : 2 x + = t ³ 2 ( BĐT Côsi)
Þ 1) có dạng : t2
- 2 + t = 10
Sin 2 x
Cos 2 x
1
ax 1
a2x 1
a3x
1
ax
1
ax
1
22x 1 2x
1
2x
Þ Tìm được
x
Trang 12Û t2 + t - 12 = 0 Þ Tìm được t Þ tìm được x
2) 23x - 6.2x - + = 1
Û 23x - - 6 (2 x - ) = 1
Đặt : 2x
- = t (Lập phương trình 2 vế )
Þ 23x
- 3 2x.2 + 3 - = t3
Þ 23x
- = t3 + 6.( 2 x - = t3 + 6.t
Þ 2) có dạng : t3
+ 6.t - 6.t = 1 Þ t = 1 Þ tìm được x
* Bài tập tương tự tự giải :
8 23x + 8 + 24 2x + 24 = 125
IV- Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số
Đối với phương pháp này ta thường làm như sau:
Cho phương trình : ¦(x) = g(x) Nhận xét thấy x0 là nghiệm của phương trình Sau đó chứng minh x > x0
và
x < x0 không thỏa mãn phương trình Từ đó Þ x0 là nghiệm duy nhất của phương trình Hoặc có thể dựa vào 2 mệnh đề sau:
· Mệnh đề 1 : Nếu trên Txđ D của phương trình ta có :
¦(x) luôn đẳng biến trên D g(x) luôn nghịch biến trên D
$ x0 Î D : ¦(x) = g(x)
Þ x0 là nghiệm duy nhất của phương trình ¦(x) = g(x)
1
23( x – 1)
12
2x
8
2
2x
4
2x
8
23x
8
1
23x
1
2x
Trang 13· Mệnh đề 2 : Cho phương trình ¦(x) = C ( Const) có Txđ D Nếu :
¦(x) luôn đơn điệu trên D $ x0 Î D : ¦(x) = C
Þ x0 là nghiệm duy nhất của phương trình ¦(x) = C
- Ví dụ : Giải phương trình sau :
1) 4x + 3 x = 5 x
Û ( )x +( )x = 1
Cách 1 : - Có x = 2 là 1 nghiệm của phương trình
+ Với x < 2 Þ ( )x
> ( )2
( )x > ( )2
Þ Vế trái > 1 Þ Với x < 2 không thỏa mãn phương trình
+ Với x > 2 Þ ( )x
< ( )2
( )x < ( )2
Þ Vế trái < 1 Þ Với x > 2 không thỏa mãn phương trình
Þ Kết luận : x = 2 là nghiệm ! của phương trình
Cách 2 : - Txđ : D = R
- Có x = 2 là 1 nghiệm của phương trình
- ¦(x) =( )x
+ ( )x luôn nghịch biến trên R
Vì có : ¦ ‘
(x) = ( )x .ln + ( )x.ln < 0 " x Î R
Þ x = 2 là nghiệm ! của phương trình
2) x2 – (3 – 2x ) x + 2( 1- 2x ) = 0
Có : D = ( 2 x
+ 1 )2
x = 1- 2 x (*)
{
4
5
3
5
4
3
5
3
5
3
5
3
5
4
4
4
3
Trang 14(*) Û 2 x
= - x + 1 Thấy : x = 0 thoả mãn (*)
- Có : ¦(x) = 2 x
đồng biến trên R
- Có : g(x) = - x + 1 nghịch biến trên R
Þ x = 0 là nghiệm ! của phương trình (*)
Vậy phương trình 2 ) có 2 nghiệm là x = 2
x = 0
* Bài tập tương tự tự giải :
1) 9 x + 2 ( x – 2 ).3 x + 2x – 5 = 0
2) 3 5 2x + 1 - 7 2 4 x + 1 = 19
3) 2 x-1 - 2 = ( x – 1 )2 đặt : x – 1 = U ; x2 – x = V
V- Phương pháp đánh giá hai vế
+ Đối với phương pháp này ta đựa vào nhận xét :
VP ³ a VP = a
VT £ a VT = a
+ Dựa vào tính chất bị chặn của hàm lượng giác Sin x & Cos x
+ Dựa vào BĐT Côsi
- Ví dụ : Giải phương trình sau:
1) 2 x – 1 – 2 = x 2 - 2.x + 1
Có : x 2 - 2.x + 1 = ( x – 1 ) 2 ³ 0
2 x – 1 – 2 £ 0 vì x – 1 £ x 2
- x nên 2 x – 1 £ 2
Û x 2 - 2.x + 1 ³ 0 Vậy 1) Û ( x – 1 ) 2
= 0
Û x = 1
2 x – 1 – 2 = 0
x 2 -x
} Þ VP = VT Û {
x 2 -x
x 2 -x
x2+ x 6
Trang 152) 2 x + 2 –x = 2 Cos2
Có : 0 £ Cos2 £ 1 Þ VP £ 2
VT = 2 x + ³ 2 (BĐT Côsi)
2 x + = 2 2 x = 2 - x
Þ 2 ) Û Û
Cos2 = 1 = k.Õ (k Î Z )
x = 0
Û Û x = 0
= k.Õ
3) 4S in x – 2 1+Sin x Cos(xy) + 2 y = 0
2 Sin x - Cos(xy) + ( 2 y – Cos2(xy) ) = 0
Vì 2 Sin x - Cos(xy) ³ 0
2 y – Cos2(xy) ³ 0 do 2 y ³ 20
= 1 Cos2 xy £ 1
Þ 3 ) Û 2 Sin x - Cos(xy) = 0
2 y – Cos2(xy) = 0
2 Sin x - Cos(xy) = 0 (1)
Û 2 y = 1 (2)
Cos2(xy) = 1 (3)
Từ (2) Þ y = 0 thỏa mãn (3) và lúc đó (1) trở thành : 2 Sin x
= Cos xy =
1
Û Sin x = 0 Û x = k.Õ (k Î Z )
Þ Vậy phương trình có nghiệm là : x = k.Õ
y = 0
x2+ x 6
1
2 x
1
2 x
x2+ x
6
x2+ x 6
Với " x ,y