Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm Bi 1 IM I. THC CA IM I.1 H thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc a) Cỏch xõy dng Trong khụng gian cho hai mt phng P 1 v P 2 vuụng gúc nhau, d hỡnh dung t P 1 nm ngang, P 2 thng ng. Ta nhn c h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc (hỡnh 1.1) x A x (III) Cao<0, xa <0 (II) Cao>0, xa <0 (I) Cao>0, xa >0 A X A 2 A 1 A 1 A 2 A X P 1 (IV) Cao<0, xa >0 P 2 Hỡnh 1.1 Hỡnh 1.2 Xột mt im A bt k trong khụng gian. _ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn P 1 v P 2 ta nhn c cỏc hỡnh chiu A 1 , A 2 _ Quay mp P 1 quanh trc x mt gúc 90 0 theo chiu mi tờn qui c nh (hỡnh 1.1) n trựng P 2 . Vỡ mp (A A 1 A 2 ) P 1 v P 2 nờn s vuụng gúc vi trc x ti im A X . Do ú sau khi quay n v trớ mi ba im A 1 , A X , A 2 thng hng v vuụng gúc trc x (hỡnh1.2) b) Cỏc nh ngha _ P 1 Mt phng hỡnh chiu bng _ P 2 Mt phng hỡnh chiu ng _ x = P 1 P 2 Trc hỡnh chiu _ A 1 Hỡnh chiu bng ca im A _ A 2 Hỡnh chiu ng ca im A _ A 1 A 2 ( x) ng giúng _ A 1 A x xa ca im A, qui c dng nu A 1 nm phớa di trc x _ A 2 A x cao ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa trờn trc x _ (A 1 , A 2 ) Cp im hỡnh chiu ny gi l thc ca im A.Tht vy t A 1 , A 2 ta cú th dng li c im A theo th t ngc li vi cỏch dng thc ca nú H thng P 1 v P 2 chia khụng gian ra lm 4 gúc phn t: _ Gúc phn t 1 - L phn khụng gian nm trờn P 1 v trc P 2 _ Gúc phn t 2 - L phn khụng gian nm trờn P 1 v sau P 2 _ Gúc phn t 3 - L phn khụng gian nm di P 1 v sau P 2 _ Gúc phn t 4 - L phn khụng gian nm di P 1 v trc P 2 + Mt phng phõn giỏc 1. L mt phng phõn giỏc ca P 1 v P 2 i qua gúc phn t th 1 v gúc phn t th 3. Nhng im thuc mt phng phõn giỏc1 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng i xng nhau qua trc hỡnh chiu x GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 4 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm + Mt phng phõn giỏc 2. L mt phng phõn giỏc ca P 1 v P 2 i qua gúc phn t th 2 v gúc phn t th 4. Nhng im thuc mt phng phõn giỏc 2 cú thc l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng trựng nhau (Hỡnh 1.3) l hỡnh khụng gian biu din mt phng phõn giỏc 1, mt phng phõn giỏc 2 v cỏc gúc phn t ca h thng hai mt phng hỡnh chiu vuụng gúc P 1 v P 2 Phõn giỏc 2 Phõn giỏc 1 P 2 P 2 A A 2 P 1 x A 1 x P 1 Hỡnh 1.3 Hỡnh 1.4 Nu ta t trc hỡnh chiu x vuụng gúc vi mt phng ca t giy thỡ h thng hai mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 v hai mt phng phõn giỏc 1, 2 c biu din nh (hỡnh 1.4) Túm li thc ca mt im trong khụng gian l mt cp im hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng cú th phõn bit hoc trựng nhau I.2 H thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc a) Cỏch xõy dng Thờm vo mt phng P 3 vuụng gúc vi P 1 v P 2 , thng P 3 t phớa bờn phi ngi quan sỏt, ta nhn c h thng ba mt phng hỡnh chiu vuụng gúc nh (hỡnh 1.5) Hỡnh 1.5 Hỡnh 1.6 x A P 2 y z 0 A z A 1 P 1 x z y y A y A 1 45 A y A 2 A 3 A y A z A 2 A x A 3 P 3 0 A x Gi y = P 1 P 3 ; z = P 2 P 3 Xột mt im A bt k trong khụng gian. _ Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn cỏc mt phng P 1 , P 2 , P 3 ta nhn c cỏc hỡnh chiu A 1 , A 2 , A 3 . _ Quay cỏc mp P 1 , P 3 ln lt quanh cỏc trc x, trc z mt gúc 90 0 theo chiu mi tờn qui c nh (hỡnh 1.5). Trc y c tỏch ra lm hai phn, mt phn trc y theo mp P 1 n trựng vi trc GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 5 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm z, mt phn trc y theo mp P 3 n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din nh (hỡnh1.6) b) Cỏc nh ngha _ P 3 Mt phng hỡnh chiu cnh _ A 2 A z xa cnh ca im A, qui c dng nu A 2 nm phớa bờn trỏi trc z _ A 3 Hỡnh chiu cnh ca im A ắ Chỳ ý _ A 2 A z = 0 A y = 0 A y = A x A 1 _ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba ca im ú Vớ d Cho thc ca im B (B 1 , B 2 ) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B. Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b B Z x y B 2 B y B Y B 3 B 2 B 1 x B 1 y Hỡnh chiu cnh B 3 ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B y' = 0B y II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P 1 , P 2 , P 3 lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x, y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8) Vi im A (x A , y A , z A ) bt k trong khụng gian, ta cú: _ Honh x A = 0A x : xa cnh ca im A _ Tung y A = A x A 1 : xa ca im A _ Cao z A = A 1 A : cao ca im A Nh vy Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú. P 3 0 z y x A 1 A A x y A z A x A P 2 Hỡnh 1.8 P 1 Vớ d Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B (4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng. -2 +4 y - z + B Z B Y y + z - -5 Hỡnh 1.9 +2 +3 x - x + x + y + z - A Y A X A z y - z + +4 A 1 A 2 B 2 B 1 B X thc ca cỏc im A, B c biu din nh (hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y, z . x - Trong ú: OA x = +2; OA Y = +3; OA Z = +4 OB x = +4; OB Y = -2; OB Z = -5 III. MT VI V D GII SN GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 6 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ ióứm Vớ d 1 Hóy v thc ca cỏc im sau: _ im A thuc mt phng P 1 _ im B thuc mt phng P 2 _ im C thuc mt phng Phõn giỏc 1 _ im D thuc mt phng Phõn giỏc 2 _ im E thuc trc hỡnh chiu x Gii _ im A thuc mt phng P 1 nờn cú A 1 A; A 2 x _ im B thuc mt phng P 2 nờn cú B 2 B; B 1 x _ im C thuc mt phng phõn giỏc 1 nờn cú C 1 v C 2 i xng nhau qua trc x _ im D thuc mt phng phõn giỏc 2 nờn cú D 1 D 2 _ im E thuc trc hỡnh chiu x nờn cú E 1 E 2 x ; (Hỡnh 1.10) Hỡnh 1.10 Hỡnh 1.11 F 2 A 1 o y y z x H Y F Y H 3 H 2 H 1 G 2 G 3 G Y G 1 F Y F Y G Y F 3 F 1 E 1 E 2 D 1 D 2 C 1 C 2 B 1 B 2 x Vớ d 2 Cho thc ca cỏc im F, G, H (hỡnh 1.11). Hóy v hỡnh chiu cnh ca chỳng v cho bit chỳng thuc gúc phn t th my? Gii Hỡnh chiu cnh ca cỏc im F, G, H c v theo chiốu mi tờn bt u i t hỡnh chiu bng F 1 , G 1 , H 1 tip theo l mi tờn i qua hỡnh chiu ng F 2 , G 2 , H 2 . Ta s xỏc nh c cỏc hỡnh chiu cnh F 3 , G 3 , H 3 ; (Hỡnh 1.11) _ im F cú cao dng, xa õm nờn im F thuc gúc phn t th 2 _ im G cú cao õm, xa õm nờn im G thuc gúc phn t th 3 _ im H cú cao õm, xa dng nờn im H thuc gúc phn t th 4 ================ GVC.ThS Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt- HBK 7 . 1. 10 Hỡnh 1. 11 F 2 A 1 o y y z x H Y F Y H 3 H 2 H 1 G 2 G 3 G Y G 1 F Y F Y G Y F 3 F 1 E 1 E 2 D 1 D 2 C 1 C 2 B 1 B 2 x Vớ d 2 Cho thc ca cỏc im F, G, H (hỡnh 1. 11) Hỡnh 1. 8 P 1 Vớ d Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B (4, -2 , -5 ). Hóy v thc ca chỳng. -2 +4 y - z + B Z B Y y + z - -5 Hỡnh 1. 9 +2 +3 x - x + x + y + z - A Y A X A z y - . (hỡnh 1. 1) x A x (III) Cao<0, xa <0 (II) Cao>0, xa <0 (I) Cao>0, xa >0 A X A 2 A 1 A 1 A 2 A X P 1 (IV) Cao<0, xa >0 P 2 Hỡnh 1. 1 Hỡnh 1. 2