CƠ HỌC ỨNG DỤNG - PHẦN 2 ĐỘNG HỌC - CHƯƠNG 7 pps

Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ - Chuy ển động của cơ hệ thường bị rằng buộc bởi những điều kiện hình học và động học nhất định tập hợp các điều kiện đó gọi là liên kết.. Các

Chương 7: ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ

1.CÁC KHÁI NIỆM

1.1 Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ

- Chuy ển động của cơ hệ thường bị rằng buộc bởi những điều kiện hình học và động học nhất định tập hợp các điều kiện đó gọi là liên kết.

Tập hợp những di chuyển vô cùng

bé bảo toàn liên kết của hệ gọi là

di chuyển khả dĩ của hệ.

 Ví dụ: Số di chuyển khả dĩ của

điểm M.

2



2 2

1

k





Di chuyển khả dĩ độc lập

Số bậc tự do của cơ hệ bằng số di chuyển khả dĩ độc lập.

1.2 Toạ độ suy rộng của cơ hệ

- T ập hợp các thông số đủ để xác định vị trí của cơ hệ trong một hệ quy chiếu xác định gọi là các toạ độ suy rộng của

cơ hệ ký hiệu: q 1 , q 2 , q 3 , …q m

- To ạ độ đề các của các chất điểm có thể biểu diễn qua toạ

độ suy rộng

- N ếu các toạ độ suy rộng là độc lập  toạ độ suy rộng đủ (q 1 , q 2 , …q n ).

- N ếu không ta có toạ độ suy rộng dư (q n+1 , q n+2 , q m ), m>n

- S ố toạ độ suy rộng dư bằng số phương trình liên kết.

 Ví dụ:

- Kh ảo sát hai thanh liên kết bản lề loại 5 với nhau và với giá như hình vẽ:

- V ị trí của của chúng có thể xác định như sau:

2

  r i k1  r1 k2  r2





 {, }

- Số toạ độ suy rộng đủ.

 {x A , y A , x B , y B }

m-n = 2

Phương trình liên kết:

Trong trường hợp các phương

trình liên kết không chứa các

vận tốc suy rộng  liên kết hình học

Nếu không chứa thời gian 

liên kết dừng.

Trong phạm vi giáo trình ta chỉ khảo sát các cơ hệ chịu liên kết hình học và dừng

1.3 Các đặc trưng hình học khối của vật rắn

1.3.1 Khối tâm của vật rắn

2 2

2

AB y

y x

x

OA y

x

A B

A B

A A













- V ị trí khối tâm của vật rắn được xác định như sau:

- Chi ếu phương trình này lên các trục toạ độ  toạ độ (x c , y c ,

z c ) của khối tâm

1.3.2 Mô men quán tính của vật rắn

- Mô men quán tính c ủa vật rắn đối với trục z ký hiệu I z , là

một đại lượng vô hướng xác định theo công thức:

- Trong trường hợp vật thể hình trụ, tròn hoặc vành khăn:

















v N

k

k N

k k N

M m

r

m

lim

lim

1











v

N

k

k k N

1

2

2

2

mR

1.4 Các lực tác dụng lên cơ hệ

- L ực tác dụng lên các chất điểm của cơ hệ thay đổi theo thời gian, không những phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của chất điểm chịu lực mà còn phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của tất

cả các chất điểm thuộc cơ hệ.

- G ọi là lực tác dụng lên chất điểm M k

Lực tác dụng lên cơ hệ gồm:

- Ngo ại lực: Lực từ bên ngoài tác dụng lên chất điểm M k của

cơ hệ ký hiệu

- Nội lực: Lực do các chất điểm thuộc cơ hệ tác dụng lẫn nhau ký hiệu

- L ực liên kết: Ký hiệu , là lực liên kết tác dụng lên chất điểm thuộc cơ hệ.

- L ực hoạt động là lực không phụ thuộc vào loại lực liên kết 1.5 Lực suy rộng

1.5.1 Biểu thức công của lực trong di chuyển khả dĩ

k

F 

k

k F t r r r v v v

F        

, , ,

, , , ,



ck

F 

ik

F 

k

R 



 A k  Fk  rk  F kx  x k  F ky  y k  F kz  z k

 



  Ak   F k r k  Fkx xk  Fky yk  Fkz zk

- Gi ả sử số toạ độ suy rộng đủ của cơ hệ là:q 1 , q 2 , q 3 , …q n Vì

x k là hàm số của q i nên:

- Thay vào bi ểu thức của ta có:

1.5.2 Lực suy rộng

- Đại lượng:

- Th ứ nguyên của lực suy rộng phụ thuộc vào thứ nguyên của toạ độ suy rộng (lực hoặc mômen)

1.6 Liên kết lý tưởng

Là liên kết mà tổng công của các lực liên kết trong mọi di

chuyển khả dĩ đều bằng 0, thực tế nếu bỏ qua ma sát và tính đàn hồi các liên kết sau đây:

- Các vật rắn tự do là cơ hệ chịu liên kết lý tưởng;

i n

k

q

x

 

 





1

i n

k

q

y

 

 





1

i n

k

q

z

 

 





1

  Ak





















































n

i

i i n

i

i n

k kz

i

k ky

i

k kx

q

z F

q

y F

q

x F

A

1







i

k n

k

k n

k kz

i

k ky

i

k kx

i

q

r F

q

z F

q

y F

q

x F

Q















































1 1

- Hai v ật rắn luôn tựa vào nhau (bỏ qua ma sát);

- Dây m ềm không dãn vắt qua ròng rọc (ma sát trục, trượt);

- Hai v ật lăn không trượt với nhau

- Dễ dàng thấy:

2 NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ

2.1 Nguyên lý di chuyển khả dĩ

- Đối với các cơ hệ chịu liên kết hình học, dừng, và lý tưởng điều kiện cần và đủ để cơ hệ cân bằng tại vị trí đang xét là tổng công nguyên tố của các lực hoạt động trong mọi di chuyển khả dĩ của cơ hệ từ vị trí đang xét đều triệt tiêu

- là lực hoạt động (hợp lực) tác dụng lên chất điểm M k

- là di chuyển khả dĩ của điểm M k

2.2 Điều kiện cân bằng của cơ hệ trong toạ độ suy rộng đủ

Từ nguyên lý di chuyển khả dĩ ta có:

0







 

i

k k

R i

q

r R

Q





0





 Ak  F k r k





k

F 

k

r 



- Do các to ạ độ suy rộng đủ độc lập với nhau nên các q i cũng độc lập đối với nhau

Vậy: Q i = 0 (i = 1, 2, 3 …n)

Định lý: Điều kiện cần và đủ để cơ hệ chịu liên kết hình học, dừng và lý tưởng cân bằng tại một vị trí là các lực suy rộng của các lực hoạt động ứng với các toạ độ suy rộng đủ phải đồng thời triệt tiêu

- N ếu đặt: thì nguyên lý di chuyển khả dĩ có thể viết

dưới dạng:

- Phương trình này gọi là phương trình công suất DCKD.

2.3 Ví dụ

0

1











n

i

i i

k k

dt

r



 



*

0

*



 F k v k

3 NGUYÊN LÝ ĐA LĂM BE

3.1 Nguyên lý Đa lăm be đối với chất điểm

- Các l ực thực sự đặt vào chất điểm cùng lực quán tính của chất điểm tạo thành một hệ lực cân bằng.

- Theo đinh luật cơ bản của ĐLH (Niu tơn 2):

- Bi ến đổi ta có:

3.2 Nguyên lý Đa lăm be đối với cơ hệ

- Kh ảo sát chất điểm thứ k thuộc cơ hệ:

- L ấy tổng hai vế từ 1 đến n (hệ lực phẳng) ta có:

a m

F  



      0

 m a F Fqt

F    

 k e k i qt k

F k











0

1

1

















qt M

F m

R F

o n

k

e k o

qt n

k

e k







3.3 Thu gọn hệ lực quán tính

3.3.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

- H ợp lực quán tính đặt tại khối tâm C của vật

3.3.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định

- Thu gọn hệ lực quán tính về O ta được

3.3.3 Vật rắn chuyển động song phẳng

- Thu g ọn hệ lực quán tính về khối tâm C ta được.

3.4 Ví dụ

c n

k

k k







 

1

c n

k

k k

qt m a M a







 

1

       z

n

k

k k o

n

k

n kqt o

n

k

kqt o

qt











c Cqt M a



 M Cqt   ICz c

4.ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN

4.1 Phương trình vi phân chuyển động của vật rắn

4.1.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến

- Theo nguyên lý Đa lăm be:

4.1.2 Vật rắn chuyển động quay quanh trục cố định

- Trong đó là các lực ngoài kể cả phản lực liên kết

4.1.3 Chuyển động song phẳng của tấm phẳng

- Trong h ệ toạ độ đề các:

- Trong đó: x C và y C là toạ độ khối tâm C

0

1









qt N

k

k R









N

k

k c

dt

r

d M

1 2







1









qt o N

k

k

o F M

 







N

k

k o

I

1







k

F 







N

k

kx

x

M

1







N k

k o

Cz m F

I

1















N

k

ky

y

M

1











N

k

kx

x

M

1







N

k

ky

y

M

1





4.2 Phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ – Phương trình Lagrange loại 2

- Kh ảo sát cơ hệ chịu liên kết hình học và lý tưởng có vị trí xác định nhờ n toạ độ suy rộng đủ: q 1 , q 2 , q 3 …q n

- Theo nguyên lý Đa lăm be:

- Do liên k ết lý tưởng nên các lực liên kết triệt tiêu nhau nên điều kiện cân bằng sẽ là:

Trong đó: i = 1, 2…n

-T ừ biểu thức động năng T của cơ hệ theo các toạ độ suy rộng và vận tốc suy rộng có thể chứng minh:

Là lực suy rộng của các lực hoạt động

0

, ,

,

1 F FN R R RN F qt F qt FN qt 

F         

0



 i qt

F

i Q Q



























i i

qt i

q

T q

T dt

d Q



 q q qn q q qn 

T

T  1, 2, , 1, 2 , 

F

i

Q

- Thay vào phương trình điều kiện cân bằng

- Đây là phương trình Lagrange II mô tả chuyển động của cơ hệ.

- N ếu các lực hoạt động gồm các lực có thế với hàm thế

năng  và các lực hoạt động khác không thế có lực suy

rộng Q* i thì phương trình Lagrange loại II có thể viết như sau:

i = 1, 2,…n

5 VÍ DỤ

F i i

i

Q q

T q

T dt

d



























*

i i

i i

Q q

q

T q

T dt

d



































