Tìm hiểu về tri thức vector

Tìm hiểu về tri thức vector

LÍ DO

• Là phương pháp giải toán hiệu quả ,và không phụ thuộc vào hình vẽ (Nó khắc phục được hạn chế của phương pháp tổng hợp).Cung cấp công cụ mới để chứng

minh định lí ,tính chất hình học đơn giản hơn (ví dụ như định lí

Thales,Pythagore,hàm số sin;hệ thức lượng trong tam giác,trong hình tròn ,tính chất của phép dời hình vị tự , đồng dạng…

*Là phương pháp có thể sử dụng phương tiện đại

số nhưng vẫn ở lại trong phạm vi hình học(Còn phương pháp giải tích chỉ đòi hỏi biến đổi đại số

* Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lí , kĩ thuật ,do đó việc đưa vectơ vào giảng dạy tạo điều kiện thực hiện nhiệm vụ liên môn ỏ trường phổ thông.

VÌ vậy học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn, và

và đánh giá được cách trình bày của cac cuốn

sách thí điểm hiện nay.Hay những cuốn sách tham khảo khác

* Vậy để giải quyết vấn đề đó , trước tiên ta phải làm gì?

* Việc đầu tiên chúng ta cần thực hiện đó là:

A PHÂN TÍCH KHOA HỌC LUẬN

_Phân tích khoa học luận

a) Phân tích lịch sử hình thành và phát triển tri thức

Véc tơ là một khái niệm nền tảng của tốn học và

cĩ nhiều ứng dụng trong vật lí Ý tưởng đầu tiên về vectơ trong việc sử dụng hình bình hành để biểu diễn hợp của hai lực ,một cách làm đã khá phổ biến ở thế kỉ 16-17 Tuy nhiên , khơng phải khái niệm vectơ tốn học và phép cộng vectơ đã được biết ở thời kì này

Việc nghiên cứu lịch sử đã chỉ ra rằng khái niệm vectơ được nảy sinh từ 2 xu hướng nghiên cứu :

Xây dựng các hệ thống tính tốn trong nội tại hình học

Liên quan đến việc mở rộng tập hợp số thực

A CÁC HỆ THỐNG TÍNH TOÁN TÍNH

TỐN ĐẦU TIÊN TRONG NỘI TẠI HÌNH HỌC

1 Leibniz và hình học vị trí

Ý tưởng đầu tiên về sáng tạo ra một hệ thống tính tốn trong nội tại hình học thuộc về Leibniz (1646 -

1716),xuất phát từ nhận xét rằng phương pháp giải tích của Descartes và fermar, mặc dù cung cấp công

cụ khá mạnh cho việc giải các bài toán hình học

nhưng lại tạo ra tấm màn che lấp đi rực giác hình học Leibniz muốn tìm cách đại số hóa hình học

nhưng không thoát khỏi phạm vi hình học với ý định

đó Leibniz đã xây dựng hình học vị trí Lí thuyết này được hình thành trên hệ tương đẳng : hai cặp điểm

được gọi là tương đảng nếu các khoảng cách giữa hai diểm của từng cặp bằng nhau , hai bộ ba điểm được gọi là tương đẳng nếu hai tam giác giữa chúng chồng khít lên nhau

Với khái niệm tương đẳng ông đã giải được một vài bài toán khá cơ bản , nhưng chỉ dừng ở lại đó

Hình học vi trí không đáp ứng được những mong muốn của Leibniz

Bởi vì với khái niệm tương đẳng ,khi xem xét quuan

hệ giữa hai điểm ,Leibniz chỉ giữ lại độ dài Hơn nữa ,trong hình học vị trí , Leibniz không định nghĩa phép toán trên các đối tượng hình học

2.Tính toán tâm tỉ cự của Mobius

August Ferdinan Mobius (1790-1866) không trực

tiếp xây dựng nên lý thuyết vectơ Tuy nhiên ông lại chiếm vị trí quan trọng trong lịch sử hình thành lý

thuyết này mà ông công bố 1827 là một mô hình toán học giống với hệ thống vectơ ngày nay trên khá nhiều phương diện

Một trong những tư tưởng cốt lõi và mới mẻ của

Mobius liên quan đến sự định hướng các hình trong

không gian Xuất phát điểm , ông xem xét quan hệ giữa các đoạn thẳng cộng tuyến Tư tưởng của ông là

sự thay đổi về chiều ứng với sự thay đổi về dấu ,có nghĩa là AB = - BA Sau đó ông đưa vào phép cộng các đoạn thẳng cộng tuyến Rồi mở rộng quy tắc dấu

và quy tắc cộng

Mười năm sau (1843) , Mobius khái quát hóa

phép cộng và trừ các đoạn thẳng (định hướng ) cộng tuyến ,nhưng đồng phẳng Năm 1862 ông xây dựng phép nhân hình học hai đoạn thẳng Tích hình học

của Mobius bằng tích vectơ ngày nay về phương diện

số , nhưng không đồng nhất Rồi ông xây dựng tích chiếu của hai đoạn thẳng định hướng (tương đương với tích vô hướng ngày nay)

Phát minh của Mobius là một giai đoạn quan

trọng đối với sự phát sinh tính toán vectơ

3.Tính toán tương đẳng của Bellavitis

Năm 1833 nhà toán học người Ý Bellavitis công

bố các tính toán các tương đẳng của mình Theo định

nghĩa của Bellavitis ,hai đoạn thẳng được gọi là

tương đương nếu chung song song, cùng hướng và có

đọ dài bằng nhau

Trong lí thuyết của mình ,Bellavitis định nghĩa

phép cộng của hai hay nhiều đọan thẳng bằng cách sử dụng quan hệ tương đẳng

Bellavitis còn định nghĩa tích của một đoạn với

một số

Ta thấy mô hình của Bellavitis có chứa nhiều yếu tố

của lí thuyết vectơ hiện đại

Ngoài ra,Bellavitis đã thành công trong việc xây

dựng một cấu trúc đại số trên các đối tượng hình học

mà không cần bất cứ một trung gian đại số nào

Bellavitis thử mở rộng lý thuyết của mình ra trong

không gian nhưng không thành công Khó khăn mà ông gặp phải là định nghĩa tích của hai đoạn thẳng Vì khái niệm độ nghiêng không xác định trong khi ở

trong không gian

B.BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CÁC SỐ PHỨC

Ngay từ thế kĩ 15 việc mở rộng các tính toán đại

sô đã đòi hỏi phải đưa vào khái niệm căn bậc hai của

số âm Một số người tìm cách giải quyết vấn đề này

với sự giúp đỡ của hình học Chính trong quá trình tìm cách biểu diễn hình học các số phức mà họ đã đi đến tính toán vectơ

Việc biểu diễn hình học của các đại lượng ảo

được soạn thảo độc lập với nhau bởi 5 nhà toán học

là : Caspar Wessel,Argand,Mourey,Warren,buee

Kết luận

Lịch sử hình thành lý thuyết vectơ chỉ cho ta thấy những khó khăn ,trở ngại mà các nhà toán học phải vược qua luôn liên quan đến việc định hướng các đối tượng hình học và việc xây dựng các phép toán nhân trên các đường định hướng

PHÂN TÍCH “CUỘC SỐNG “ CỦA TRI THỨC TRONG CHƯƠNG TRÌNH SÁCH GIÁO KHOAA._TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO?

Sácg giáo khoa

HÌNH HỌC LỚP 10_ Sách chỉnh lí hợp nhất năm

2000(tái bản lần hai)

Tác giả : VĂN NHƯ CƯƠNG (chủ biên)

PHAN VĂN VIỆN

B TRI THỨC NÀY TỒN TẠI NHƯ THẾ NÀO?

B.1 Trong toán học vectơ được hiểu như thế nào?

.Người ta có thể định nghĩa khái niệm vectơ hình học qua hệ tiên đề của không gian vectơ,qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng hoặc qua lớp

tương đương các cặp điểm sắp thứ tự

B.1.1 Định nghĩa qua hệ tiên đề của không gian vectơ

* Giả sử V là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó được kí hiệu là

R là trường số thực mà các phần tử của nó được ký hiệu là

Trên V xác định hai phép toán :

, , ,

x y a b r r r r

,

α β

- Phép cộng vectơ: là ánh xạ đặt tương ứng hai phần tử bất kì của V với một phần tử của

Phép cộng vectơ có tính chất giao hoán :

α r r + = α r + α r ∀ ∀ ∈ ∀ ∈ r r α

( α β + ) x r = α x r + β x x V r ( ∀ ∈ ∀ r , α β , ∈ R )

B.1.2 Định nghĩa qua lớp tương đương các đoạn thẳng định hướng

Một đoạn thẳng trên đó đã xác định mút nào là điểm đầu ,điểm nào là điểm cuối ,gọi là một đoạn

thẳng định hướng Đoạn thẳng định hướng có điểm đầu A,điểm cuối B được kí hiệu là AB

Những đường thẳng song song với nhau xác định

một phương Phương của đoạn thẳng định hướng

là phương của đoạn thẳng chứa nó Như vậy ,hai đoạn thẳng định hướng được gọi là cùng phương nếu chúng thuộc hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau

Mỗi phương có hai hướng ngược nhau Hướng

của đoạn thẳng định hướng là hướng tính từ điểm đầu đến điểm cuối ,theo một trong hai hướng của đưởng thẳng chứa nó

Hai đoạn thẳng định hướng AB,CD gọi là cùng hướng nếu chúng:

- nằm trên hai đường thẳng song song với nhau và cùng thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AC nối hai điểm đầu của chúng ;

- Hoặc cùng thuộc một đường thẳng và một trong hai tia AB ,CD chứa tia còn lại

Hai đoạn thẳng định hướng gọi là tương đương nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng Quan hệ tương đương này có tính chất phản xạ ,đói xứng ,bắc cầu,do đó nó chia tập hợp các đoạn thẳng định hướng thành các lớp tương đương Mỗi lớp tương đương

được gọi là một vectơ và kí hiệu hay vectỏ chỉ

là một và theo kí hiệu của sự bằng nhau trong lí thuyết tập hợp ta có thể viêt là uuurAB = CDuuur

B.1.3 Định nghĩa qua lớp tương tương các cặp điểm sắp thứ tự

Xét các cặp điểm sắp thứ tự (A,B) trên mặt

phẳng , trong đó A gọi là điểm đầu , B gọi là điểm

cuối Hai cặp điểm (A,B) và (C,D) được gọi là tương đương ,kí hiệu (A,B) ~ (C,D) ,nếu hai đoạn thẳng AD

và BC có cùng trung điểm Suy ra tập hợp các cặp

điểm trên mặt phẳng được phân thành các lớp tương đương : hai cặp điểm thuộc cùng một lớp khi và chỉ khi chúng tương đương

Mỗi lớp tương đương gọi là một vectơ lớp tương chứa cặp điểm sắp thứ tự (A,B) được kí hiệu là

.Cặp điểm (A,B) được gọi là một đại diện cho vectơ

Như vậy ,vectơ là lớp tất cả các cặp điểm sắp thứ

tự tương đương) với(A,B)

Nếu (A,B) ~ (C,D) thì vectơ hay chỉ là một và

ta có thể viết :

AB = CD

uuur uuur

B.2.Dịnh nghĩa vectơ trong sách phổ thông ?

* Sách giáo khoa hiên hành

ĐỊNH NGHĨA :Vectơ là một đoạn thẳng đã định

hướng ,nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào của đoạn

thẳng đó là điểm đầu và điểm cuối

Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí

hiệu là Như vậy nếu hai điểm A và B phân biệt thì

ta có haivectơ khác nhau là và

A

B C

xu hướng này,khái niệm vectơ được xây dựng qua khái niệm phép tịnh tiến hoạc khái niệm vectơ buộc

(vì vậy khi dạy khái niệm vectơ cần

khắc sâu cho học sinh thấy điểm khác nhau này) _ hình minh họa 2

+ Sách giáo khoa cũng có đưa một cách ngầm ẩn vào sách giáo khoa khái niệm vectơ tự do _minh họa 3 (Vectơ được định nghĩa là đoạn thẳng có định hướng vậy khái niệm vectơ tự do liên kết với nó như thế

nào ? _ta không quan tâm đến điểm gốc của nó Nó vẫn là một đoạn thẳng có hướng )

Mục đich là gì :Bởi vì nếu trình bày qua vectơ buộc

không thì người ta không thể xây dựng các phép toán vectơ : tổng,hiệu hai vectơ,tích một vectơ với một số không xác định

Có thể nói rằng:sách giáo khoa trình bày khái

niệm vectơ thành 2 giai đoạn:

_Giới thiệu vectơ buộc

_Giới thiệu vectơ tự do (ngầm ẩn)

Sau đó mới nói đến phương ,hướng,độ dài của

vectơ

.phép cộng,phép trừ ,phép nhân ,và các tính chất của vectơ

Và cứ sau một phần như vậy là có ví dụ và bài tập

củng cố

Và không nói đến nguồn gốc hay xuất sứ xủa vectơ và nghiên cứu vectơ đẻ làm gì?!

Hay ứng dụng của nó vào mục đích gì,nó có tầm quan trọng như thế nào?

Tức là sách giáo khoa vẫn không thoát khỏi lối trình bày truyền thống:đó là tách rời khỏi lịch sử phát triển của đối tượng

CÒN sách giáo khoa hiện hành thì sao?

Nghĩa là:nó có quan tâm đến quá trình nhận thức của học sinh không?

Sau nữa nó có tạo điều kiện cho việc thực hiện nhiệm vu “liên môn” ở phổ thông hay không ?

Cách trình bày của sách giáo khoa thí điểm:

Đưa hình ảnh của các vật sau,và có biểu thị chỉ hướng chuyển động của vật:

MỤC ĐÍCH : Thật ra khái niệm vectơ thực sự không

phải xa lạ lắm đối với học sinh ,nó khá gần gũi với chúng ta mà chẳng qua là vì ta không để ý mà thôi.Khi dạy bài nay giáo viên có thể chỉ cho hoc sinh thay,để các em dễ hình dung hơn về khái niệm vectơ

Vectơ là một khái niệm toán học có nguồn gốc từ vật

lí ,thường được dùng để biểu diễn các đại lượng có hướng như lực ,vận tốc ,… nội dung chủ yếu của

chương trình là trình bày khái niệm vectơ và các phép toán trên vectơ

A.VECTƠ

1 Định nghĩa vectơ

Cho đoạn thẳng AB Nếu ta chọn điểm A làm

điểm đầu ,điểm B làm điểm cuối thì đoạn thẳng AB đã

được định hướng (hướng từ A đến B ) Khi đó ta nói

AB là đoạn thẳng định hướng

ĐỊNH NGHĨA: Vectơ là một đoạn thẳng định

hướng

Vectơ có điểm đầu A ,điểm cuối B được kí hiệu là

và đọc là “vectơ AB” Để vẽ vectơ ta vẽ đoạn

thẳng AB và đánh dấu “>” ở đầu mút B.Vectơ còn được kí hiệu : Khi còn xét điểm đầu và điểm cuối của nó

Cho hai điểm A,B có bao nhiêu vectơ nhận A,B làm điểm đầu hoạc điểm cuối?

Cũng trình bày khái niệm vectơ qua 2 giai đoạn như sách hiện hành

Thêm nữa sách cũng nhấn mạnh cách đựng một vectơ học sinh cần xác định nhưng gì

Sau một chương sách có giới thiệu sơ lược về xuất xứ nguồn gốc của vectơ

TÀI LiỆU THAM KHẢO:

Phương pháp dạy học hình học ở phổ thông

Tác giả : LÊ THỊ HOÀI CHÂU

ar

r

r r ra,b,x,y

uuur

AB

Giới thiệu tình huống (Tình huống được thiết kế bởi Rmah nay h’Min)

Xây dựng một tình huống để dạy bài vectơ

Mục đích yêu cầu :

Về kién thức :

- Học sinh phải nắm được khái niệm vectơ (Đặc biệt là hai đặc trưng định hướng của vectơ )

_ Vectơ bằng nhau, vectơ đối nhau , vectơ

không

- Điều kiện cùng phương của hai vectơ

Về kĩ năng :

Học sinh phải biết dựng một một vectơ bằng

vectơ cho trước

Nội dung:

Sau khi dạy bài 1(chương1 vectơ) để củng cố định nghĩa cho hoc sinh ,thêm đó phát hiện một số sai lầm mà các em mắc phải ,để từ đó có hướng khắc phục và luyện tập cho học sinh phù hợp

Muốn vậy ,giáo viên cần lưu y đưa ra những ví dụ khắc sâu cho học sinh rằng ;

- Chỉ căn cứ vào độ dài thì không đủ khẳng định

sự bằng nhau của hai vectơ

- chỉ có thể xét quan hệ cùng hướng khi đã kiểm tra điều kiện cùng phương

Cũng cần đặt học sinh vào tình huống không quen thuộc buộc học sinh phải bộc lộ quan điểm sai lầm về hai đặc trưng của hai vectơ Những bài tập trắc

nghiệm có thể yêu cầu học sinh giải thích

LUYỆN TẬP :

Bài 1:

Trong các hình được đánh đấu sau,hình nào biểu diễn vectơ :

@ Hãy đánh dấu x vào ô lựa chọn:

1 Hình (7) , (6) biểu diễn vectơ

2 Hình (6) biểu diễn vectơ

4

3 Tất cả các hình đều biểu diễn vectơ

4 Hình (1) , (2) , (8) , (3) ,(4) ,(5) , (6)

hình biểu diễn vectơ

VÀ giải thích vì sao em có lựa chọn đó ?