Chung minh pt co nghiem

Dành cho: - h c sinh khá , gi iọ ỏ -Thí sinh ôn thi đ i h cạ ọ Các b n có th xem tr c tuy n trên website:ạ ể ự ế ( ) ( ) ( ) 5 2 3 2 3 : Chứng min h phương trình : x x 2x 1 0 cóđúng 1 nghiệm : Chứng minh pt : x mx 1 0 luôn có 1 nghiệm dương : Chứng Ví dụ 1 ĐH minh pt : 2 2004 D Ví dụ 2 HSG Thái x 6 x 1 0 có 3 ng bình 2002 hiệm thuộc 2;2 : Chư 20 ù 03 Ví dụ 3 ngVí dụ 4 − − − = + − = − + = − − ( ) min h phương trình cosx m.cos2x 0 luôn cónghiệm Chứng minh phương trình : m.sin2 x 2 sinx cosx 0 luô Ví n có nghie dụ 5 : äm + = + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) : Hàm số liên tục trên a;b và f a f b 0 Kết luận : pt f x 0 luôn có nghiệm trên a;b : Hàm số f x đồng biến nghòch biế 1 n ) Kiến thức cần có trên a;b Kết luận : : Kiến thức số 1 Kiến thứ ) f x 0 có tối đa 1 nghiệ c so m th á u 2 ộc a < = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Kiến thức số 3 : ;b ) f x K ( k là 1 hằng số ) có tối đa 1 nghiệm thuộc a;b ) f u f v u v với u ,v a;b Hàm số f x liên tục , đơn điệu trên a;b và f a f b 0 Kết luận : f x 0 có 1 nghiệm duy nhất trên a;b + = + = ⇔ = ∀ ∈ < = ( ) 5 2 : Chứng minh phương trình : x x 2 x 1 0 cóđúng Ví dụ 1 Đ 1 ng H 2004 hiệm D Bài làm − − − = ( ) 2 5 2 5 2 5 5 Phươngtrình : x x 2x 1 0 x x 2 x 1 x x 1 Đánh giá : VP 0 x 0 x 0 VP 1 x 1 − − − = ⇔ = + + ⇔ = + ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) 5 2 4 4 4 4 Xét f x x x 2 x 1 Có f ' x 5 x 2 x 2 x 2 x 2x 2x 2 0 Hàm số f x đồng biến trên 1; f x 0 có tối đa 1nghiệm * = − − − = − − = + − + − >  +∞ ⇒ =  Bước1: Tìm giới hạn nghiệm Bước 2 : Chỉ ra hàm số đơn điệu,liên tục ( ) ( ) Bước 3 : Chọn a,b để f a .f b 0< ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do f 1 f 2 2 .23 0 f x 0 luôn có nghiệm ** Kết hợp * và ** phương trình f x 0 códuy nhất 1 nghiệm = − < ⇒ = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 3 2 x Ví dụ 2 HSG Thái bình 2002 2003 : Chứng minh pt : x mx 1 0 luôn có 1 nghiệm dương Bài làm Xét f x x mx 1 liên tục trên R f 0 1 lim f x a 0 để f a 0 Vậy phương trình f x 0 luôn có 1 nghiệm dương →+∞ − + − = = + − = − = +∞ ⇒ ∃ > > = ( ) 3 Ví dụ 3 : Chứng minh pt : 2 x 6 x 1 0 có 3 nghiệm thu ộc 2;2 bài làm − + = − x ( ) f ' x 2− 2 1− 1 0 0 + − + ( ) f x 3− 3− 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Quan sát bảng biến thiên ta thấy : f 2 f 1 0 f 1 f 1 0 f 1 f 2 0 f x 0 có 3 nghiệm phân biệt thuộc 2;2 − − < − < < ⇒ = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 Xét f x 2x 6 x 1 với x 2;2 có f ' x 6 x 6 6 x 1 x 1 x 1 f ' x 0 x 1 Bảng biến thiên hàm số f x = − + ∈ − = − = + −  = − = ⇔  =  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 4 : Chứng minh phương trình : Bài làm Phương pháp : Chỉ ra có khoảng a; m.sin2x 2 sinx cosx 0 luôn có nghiệm Xét f x m.sin2 x 2 sinx cosx f x liên tục trên R f 0 b mà hs liên tục va 2 f 2 f 0 f ø f a .f b 0 0 f x 0 luôn có ngh + − = = + − = − π = ⇒ π < ⇒ = < iệm ( ) Ví dụ 5 : Chứng minh phương trình cosx m.cos2 x 0 luôn cónghiệm Bài làm Xét f x cosx m.cos2 x 2 f cos m.cos 0 4 4 2 2 3 3 3 2 f cos m.cos 4 4 2 2 Vậy phương trình luôn có nghiệm + = = +   π π π = + = >  ÷     π π π = + = −  ÷   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 Bài tập củng cố : 1) Chứng minh pt : 2x 6x 5 0 có3 nghiệm thuộc 1;3 2 ) Cho hàm số f x liên tục trên 0; 1 thỏa mãn điều kiện : f 0 f 1 1 Chứng min h phương trình f x f x 2004 luôn có nghiệm thuộc 0; 1 3) Tìm m để p − + = −   =     = +  ÷       ( ) ( ) ( ) 2 x y n n 1 n hương trình : 1 sin mx cosx có nghiệm duy nhất 4) Chứng min h mọi a 0 ,hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất e e ln 1 x ln 1 y y x a 5) Chứng minh phương trình : x x x 1 0 luôn có 1 nghiệm dươngx Và hãy tìm li − + = >  − = + − +   − =   + + + − = n mx . < ⇒ = < iệm ( ) Ví dụ 5 : Chứng minh phương trình cosx m.cos2 x 0 luôn cónghiệm Bài làm Xét f x cosx m.cos2 x 2 f cos m.cos 0 4 4 2 2 3 3 3 2 f cos m.cos 4 4 2 2 Vậy phương trình luôn có. dụ 3 ngVí dụ 4 − − − = + − = − + = − − ( ) min h phương trình cosx m.cos2x 0 luôn cónghiệm Chứng minh phương trình : m.sin2 x 2 sinx cosx 0 luô Ví n có nghie dụ 5 : äm + = + − = ( ) ( ) ( ) (. Chứng min h phương trình : x x 2x 1 0 cóđúng 1 nghiệm : Chứng minh pt : x mx 1 0 luôn có 1 nghiệm dương : Chứng Ví dụ 1 ĐH minh pt : 2 2004 D Ví dụ 2 HSG Thái x 6 x 1 0 có 3 ng bình 2002 hiệm