5 dạng bài khảo sát hàm số thường xuất hiện trong đề thi ĐH Câu 1.. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CĐ= xCT.. Khảo sát sự biến th
Trang 15 dạng bài khảo sát hàm số thường xuất hiện trong đề thi ĐH Câu 1 ( 2,0 điểm )
Cho hàm số y = 2x3 + 9mx2 + 12m2x + 1, trong đó m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn:
x2CĐ= xCT
Hướng dẫn giải:
www.VNMATH.com
Trang 2Câu 2 ( 2,0 điểm)
Cho hàm số y = 1
1 2
−
−
x
x
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB
Hướng dẫn giải:
Câu 3 ( 2,0 điểm)
Cho hàm số y = x 4 + 2m2x2 + 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
www.VNMATH.com
Trang 3Hướng dẫn giải:
1 Tự làm
2 Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4 +2m2x2 +1 = x + 1 ⇔ x4 + 2m2x2 – x = 0 ⇔
x( x3 + 2m2x – 1) = 0 ⇔
=
− +
=
(*) 0 1 2
0
2 3
x m x
x
Đặt g(x) = x3 + 2m2x – 1 ;
Ta có: g’(x) = 3x2 + 2m2 ≥ 0 (với mọi x và mọi m ) ⇒ Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m Mặt khác g(0) = -1 ≠ 0 Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0
Vậy đường thẳng y = x+ 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m
Câu 4 ( 2,0 điểm)
Cho hàm số: y = 2x3 – 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + 1 , trong đó m là tham số
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0
2 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số luôn có cực đại,cực tiểu và khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi
Hướng dẫn giải:
1 Tự làm.
2 Ta có y’ = 6x2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1) ⇒ y’ = 0 khi x1 =m hoặc x2 = m+1 Do x1 ≠ x2 với mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu Gọi A(x1;y1), B(x2;y2) là các điểm cực trị thì
y1 = f(x1)= 2m3 +3m2 + 1; y2 = f(x2) = 2m3 + 3m2 ⇒ AB = 2 không đổi (đpcm!)
Câu 5 (2,0 điểm)
Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0
2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞)
Hướng dẫn giải:
1. (1,25 điểm)
Với m = 0, ta có hàm số y = – x3 – 3x2 + 4 Tập xác định: D = R
Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên: y’ = – 3x2
– 6x, y’ = 0 ⇔ x 2
= −
=
y’ < 0 ⇔ x 2
< −
>
y’ > 0 ⇔ – 2 < x < 0
Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞)
+ Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0)
• Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và yCT = y(–2) = 0;
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ = y(0) = 4
• Giới hạn:
xlim , xlim
I
(2,0
điểm)
• Bảng biến thiên:
www.VNMATH.com
Trang 4• Đồ thị:
Đổ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 4), cắt trục hồnh tại điểm (1 ; 0) và tiếp xúc với trục hồnh tại điểm (− 2 ; 0)
2. (0,75 điểm)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) ⇔ y’ = – 3x2 – 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0
⇔ 3x2 + 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*)
Ta cĩ bảng biến thiên của hàm số y = 3x2 + 6x trên (0 ; + ∞)
Từ đĩ ta được : (*) ⇔ m ≤ 0
Bài tập tự luyện – Khơng đáp án:
Câu 1:
Cho hàm số y = 3 2 2 3 2
3 3(1 )
− + + − + − (1) 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2)
2) Tìm k để phương trình : 3 2 3 2
− + + − = có 3 nghiệm phân biệt
3)
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)
Câu 2:
Cho hàm số : y = 4 2 2
( 9) 10
mx + m − x + (1) 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
2)
2) Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị
Câu 3:
Cho hàm số :
2
(2 1)
1
y
x
− −
=
− (1) 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1
2)
2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ
3)
3) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x
Câu 4:
Cho hàm số : 4 2
1
y = x − mx + m − (1)
x y
+ ∞ 0
+ ∞ 0
4
3
y
x
x y' y
− ∞
− ∞
+ ∞
+ ∞
2
− 0
0 0
0
4
−
www.VNMATH.com
Trang 51) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = 8
2)
2) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
Câu 5:
Cho hàm số :
2
2 2
y
x
− +
=
− (1) 1)
1) Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn [-1 ; 0]
2)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1
3)
3) Tìm a để phương trình sau có nghiệm :
9+ −t − ( a + 2)3+ −t + 2 a + 1 0 =
Câu 6:
2 2
y= x +mx − x− m− (1)
1)
2
m =
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 4x + 2 2)
2) Tìm m thuộc khoảng (0; )5
6 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4
Câu 7:
( ) 3
y = x − m − x (1)
1)
1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0
2)
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1
3)
3) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm :
3
log log ( 1) 1.
− − − <
Câu 8:
Cho hàm số :
2
1
y
x
+
=
1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0
2)
2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số
(1) bằng 10 ?
Câu 9:
1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 1 3 2
3
y= x − x + x (1) 2)
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành
www.VNMATH.com
Trang 6Câu 10:
Cho hàm số y =
2
1
x
+ +
− (1) 1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = -1
2)
2) Tìm m để hàm số đồ thị (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương
www.VNMATH.com