Email: Jackie9x.spb@gmail.com+ B1: Phân tích mẫu thành nhân tử + B2: Dùng phương pháp hệ số bất định đưa phân thức về dạng : + B3: Tách phân thức đã cho thành tổng các phân
Trang 1Bảng công thức nguyên hàm cơ bản
| |
|
|
√ √
√ | √ | √ ( √ | √ |)
Một số dạng nguyên hàm, tích phân cơ bản
I Dạng ∫
Phân thức này có tử là đa thức bậc n, mẫu là đa thức bậc m
Cách làm:
1 Nếu thì thực hiện chia đa thức tử cho đa thức mẫu để đưa về dạng
2 Nếu
- Mẫu phân tích được thành tích: Sử dụng phương pháp hệ số bất định
Trang 2Email: Jackie9x.spb@gmail.com
+ B1: Phân tích mẫu thành nhân tử
+ B2: Dùng phương pháp hệ số bất định đưa phân thức về dạng :
+ B3: Tách phân thức đã cho thành tổng các phân thức thành phần - Mẫu ko phân tích được thành tích: thường thì sẽ gặp mẫu có dạng là đa thức bậc 2 không phân tích được thành tích Bây giờ ta chú ý đến tử + Nếu tử là bậc 1, ta viết phân số về dạng (sử dụng đồng nhất hệ số để tìm A, B) sau đó tách phân số ra + Nếu tử đã là bậc 0 rồi ta sẽ đưa mẫu về dạng và
3 Chú ý: Trong trường hợp mà , là các hàm bậc nhất theo và thì ta có thể dùng phương pháp đồng nhất hệ số:
II Dạng ∫
+ Nếu hàm lẻ với (tức )
+ Nếu hàm lẻ với (tức )
+ Nếu hàm chẵn với cả sinx và cosx(tức )
+ Nếu hàm f không có tính chẵn, lẻ với sinx và cosx
Khi đó : ; ; ;
Trang 3III Nguyên hàm, tích phân từng phần
∫ ∫
Sử dụng khi biểu thức trong nguyên hàm, tích phân là tích của hai hàm khác nhau
1 Từng phần loại 1: Xen lẫn bình thường và sin, cos
Dạng ∫ ; ∫
+ Vi phân hóa: Ta sẽ đẩy lượng giác vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần Quá trình này có thể thực hiện nhiều lần cho đến khi hết bình thường thì thôi
+ Thông thường :
2 Từng phần loại 2: Xen lẫn bình thường và siêu việt
∫
+ Vi phân hóa: Ta đẩy siêu việt vào trong vi phân rồi thực hiện từng phần cho tới khi nào hết bình thường thì thôi
+ Thông thường :
3 Từng phần loại 3: Xen lẫn bình thường và logarit
Dạng ∫
+ Vi phân hóa: Ta đẩy bình thường vào vi phân rồi thực hiện từng phần
+ Thông thường :
4 Từng phần loại 4: Xen lẫn siêu việt và sinx, cosx
Dạng ∫ ; ∫
+ Vi phân hóa: Chọn siêu việt hoặc lượng giác đẩy vào trong vi phân và thực hiện từng phần 2 lần Khi đã chọn loại nào để đẩy vào vi phân thì loại đó sẽ luôn được chọn cho bược kế tiếp Sau khi đã xuất hiện biểu thức đầu tiên sau khi từng phần 2 lần thì thực hiện chuyển vế là ra
+ Thông thường : Đặt tùy ý
* Lưu ý: Trên đây chỉ là 4 loại từng phần cơ bản thường gặp, trong các trường hợp khác
ta vẫn có thể thực hiện phép từng phần bình thường sao cho việc tính nguyên hàm, tích phân trở nên đơn giản nhất
VD: ∫ ∫ ∫ ∫
Trang 4Email: Jackie9x.spb@gmail.com
Một số dạng nguyên hàm, tích phân đặc biệt
1 Nếu trong nguyên hàm, tích phân có xuất hiện
+ √
+ √
+ √
+
Khi đó : ; ; ;
Lưu ý :+ Chỉ sử dụng các cách làm trên (lượng giác hóa) k hi k hông còn cách biến đổi nào k hác
+ Sau k hi đặt ta phải có điều k iện của t để biểu thức dưới dấu nguyên hàm, tích phân có nghĩa
+ √ = [ √
√
} Phép biến đổi Ơle
2 Dạng ∫
Đặt , khi đó
3 Dạng ∫ (√ )
Đặt
4 Dạng ∫ ( √ √
)
Đặt √ , Với k là bội chung nhỏ nhất (BCNN) của n và m
5 Dạng ∫√
Tách nguyên hàm thành 2 nguyên hàm thành phần, trong đó có 1 nguyên hàm có tử chứa (là đạo hàm của biểu thức trong căn), cái còn lại tử là hằng số
6 Dạng ∫ √
Đặt
Trang 57 Dạng ∫ √
Đặt ( )
8 Dạng ∫ √
Tách nguyên hàm thành 2 nguyên hàm thành phần, trong đó có 1 nguyên hàm có tử chứa , cái còn lại tử là hằng số
9 Dạng ∫ √ , với
Đặt
10 Dạng ∫
Với m, n và p là các số hữu tỷ
+ Nếu p nguyên: Đặt với N là mẫu số chung của m và n
+ Nếu nguyên: Đặt với N là mẫu số của p
+ Nếu nguyên: Đặt với N là mẫu số của p
11 Dạng ∫
+ Với f(x) là hàm số lẻ tức f(-x) = -f(x) =>
+ Với f(x) là hàm số chẵn tức f(-x) = f(x) => ∫
Kết quả trên được rút ra từ việc biến đổi
∫
∫
Sau đó tính (hoặc ) bằng cách và sử dụng định nghĩa
12 Dạng ∫ (Hàm số liên tục trên đoạn [ ] )
Nếu => Đặt
Chú ý: Dạng này tổng quát luôn cho cả dạng 10 nên có sử dụng định nghĩa tích phân ở dạng 10
Trang 6Email: Jackie9x.spb@gmail.com
13 Dạng: Tích phân hàm tuần hoàn chu kỳ T (
∫ ∫
* Ứng dụng tính giới hạn của tích phân xác định
Bảng công thức đạo hàm cơ bản
√
√
√
