5 dạng bài khảo sát hàm số thường xuất hiện trong đề thi ĐH Câu 1. ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1, trong đó m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = - 1. 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x CĐ , cực tiểu tại x CT thỏa mãn: x 2 CĐ = x CT . Hướng dẫn giải: Câu 2. ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = 1 12 − − x x . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số. 2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. Hướng dẫn giải: Câu 3. ( 2,0 điểm). Cho hàm số y = x 4 + 2m 2 x 2 + 1 (1). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Chứng minh rằng đường thẳng y = x + 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Hướng dẫn giải: 1. Tự làm. 2. Xét phương trình hoành độ giao điểm: x 4 +2m 2 x 2 +1 = x + 1 ⇔ x 4 + 2m 2 x 2 – x = 0 ⇔ x( x 3 + 2m 2 x – 1) = 0 ⇔ =−+ = (*)012 0 23 xmx x Đặt g(x) = x 3 + 2m 2 x – 1 ; Ta có: g’(x) = 3x 2 + 2m 2 ≥ 0 (với mọi x và mọi m ) ⇒ Hàm số g(x) luôn đồng biến với mọi giá trị của m. Mặt khác g(0) = -1 ≠ 0. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất khác 0. Vậy đường thẳng y = x+ 1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m. Câu 4. ( 2,0 điểm). Cho hàm số: y = 2x 3 – 3(2m+1)x 2 + 6m(m+1)x + 1 , trong đó m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số luôn có cực đại,cực tiểu và khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số không đổi. Hướng dẫn giải: 1. Tự làm. 2. Ta có y’ = 6x 2 – 6(2m+1)x + 6m(m+1) ⇒ y’ = 0 khi x 1 =m hoặc x 2 = m+1. Do x 1 ≠ x 2 với mọi m nên hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Gọi A(x 1 ;y 1 ), B(x 2 ;y 2) là các điểm cực trị thì y 1 = f(x 1 )= 2m 3 +3m 2 + 1; y 2 = f(x 2 ) = 2m 3 + 3m 2 ⇒ AB = 2 không đổi (đpcm!). Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞). Hướng dẫn giải: Câu Đáp án 1. (1,25 điểm) Với m = 0, ta có hàm số y = – x 3 – 3x 2 + 4 Tập xác định: D = R Sự biến thiên: • Chiều biến thiên: y’ = – 3x 2 – 6x, y’ = 0 ⇔ x 2 x 0 = − = y’ < 0 ⇔ x 2 x 0 < − > y’ > 0 ⇔ – 2 < x < 0 Do đó: + Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; − 2) và (0 ; + ∞) + Hàm số đồng biến trên khoảng (− 2 ; 0) • Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y CT = y(–2) = 0; + Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y CĐ = y(0) = 4. • Giới hạn: x x lim , lim →−∞ →+∞ = +∞ = −∞ I (2,0 điểm) • Bảng biến thiên: • Đồ thị: Đổ thị cắt trục tung tại điểm (0 ; 4), cắt trục hồnh tại điểm (1 ; 0) và tiếp xúc với trục hồnh tại điểm (− 2 ; 0) 2. (0,75 điểm) Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) ⇔ y’ = – 3x 2 – 6x + m ≤ 0, ∀ x > 0 ⇔ 3x 2 + 6x ≥ m, ∀ x > 0 (*) Ta có bảng biến thiên của hàm số y = 3x 2 + 6x trên (0 ; + ∞) Từ đó ta được : (*) ⇔ m ≤ 0. Bài tập tự luyện – Khơng đáp án: Câu 1: Cho hàm số y = 3 2 2 3 2 3 3(1 ) x mx m x m m − + + − + − (1) 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1 2) 2)2) 2) Tìm k để phương trình : 3 2 3 2 3 3 0 x x k k − + + − = có 3 nghiệm phân biệt. 3) 3)3) 3) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trò của đồ thò hàm số (1). Câu 2: Cho hàm số : y = 4 2 2 ( 9) 10 mx m x + − + (1) 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1. 2) 2)2) 2) Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trò. Câu 3: Cho hàm số : 2 (2 1) 1 m x m y x − − = − (1) 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) ứng với m = -1. 2) 2)2) 2) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ. 3) 3)3) 3) Tìm m để đồ thò hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x. Câu 4: Cho hàm số : 4 2 1 y x mx m = − + − (1) x y + ∞ 0 + ∞ 0 4 3 − 2 − O 1 y x x y' y −∞ −∞ + ∞ + ∞ 2 − 0 0 0 0 4 − − + 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) ứng với m = 8. 2) 2)2) 2) Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Câu 5: Cho hàm số : 2 2 2 x x m y x − + = − (1) 1) 1)1) 1) Xác đònh m để hàm số (1) nghòch biến trên đoạn [-1 ; 0]. 2) 2)2) 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 1. 3) 3)3) 3) Tìm a để phương trình sau có nghiệm : 2 2 1 1 1 1 9 ( 2)3 2 1 0 t t a a + − + − − + + + = . Câu 6: Cho hàm số : 3 2 1 1 2 2 3 3 y x mx x m = + − − − (1) 1) 1)1) 1) Cho 1 2 m = a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y = 4x + 2 2) 2)2) 2) Tìm m thuộc khoảng 5 (0; ) 6 sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số (1) và các đường x = 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4. Câu 7: Cho hàm số : 3 ( ) 3 y x m x = − − (1) 1) 1)1) 1) Xác đònh m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0. 2) 2)2) 2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số đã cho khi m = 1. 3) 3)3) 3) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm : 3 2 3 2 2 1 3 0 1 1 log log ( 1) 1. 2 3 x x k x x − − − < + − ≤ Câu 8: Cho hàm số : 2 1 x mx y x + = − (1) 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = 0. 2) 2)2) 2) Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Với giá trò nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trò của hàm số (1) bằng 10 ? Câu 9: 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số : 3 2 1 2 3 3 y x x x = − + (1) 2) 2)2) 2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số (1) và trục hoành. Câu 10: Cho hàm số y = 2 1 mx x m x + + − (1) 1) 1)1) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số (1) khi m = -1 2) 2)2) 2) Tìm m để hàm số đồ thò (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương . 5 dạng bài khảo sát hàm số thường xuất hiện trong đề thi ĐH Câu 1. ( 2,0 điểm ) Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1, trong đó m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thi n và. Cho hàm số: y = 2x 3 – 3(2m+1)x 2 + 6m(m+1)x + 1 , trong đó m là tham số. 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0. 2. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m , hàm số luôn. Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số y = − x 3 − 3x 2 + mx + 4, trong đó m là tham số thực. 1. Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị của hàm số đã cho, với m = 0. 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số