skkn hướng dẫn học sinh thpt thường xuân 2 sử dụng máy tính casio fx-570es trong giải toán

Bên cạnh đó qua quá trình giảng dạy tôi thấy được việc sử dụng máy tính giúp cho học sinh thực hiện các phép tính nhanh chóng với độ chính xác cao; biết cách kiểm tra kết quả, dự đoán kế

I.ĐẶT VẤN ĐỀ:

Trong các năm học qua Bộ giáo dục đã có chủ trương đưa máy tính Casio vào

hỗ trợ cho việc dạy và học trong chương trình THPT Hàng năm đều có các cuộc thi giải toán trên máy tính bỏ túi từ cấp tỉnh đến cấp Quốc gia, trong đó các môn tự nhiên nói chung và môn toán nói riêng được sử dụng nhiều hơn cả Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở việc thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính

Bên cạnh đó qua quá trình giảng dạy tôi thấy được việc sử dụng máy tính giúp cho học sinh thực hiện các phép tính nhanh chóng với độ chính xác cao; biết cách kiểm tra kết quả, dự đoán kết quả điều này rất có ích khi làm bài thi

Ngoài ra sáng kiến kinh nghiệm còn giúp cho các đồng nghiệp có một tài liệu tham khảo thêm về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mang lại

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi không đi vào trình bày các vấn đề cơ bản

về ứng dụng của máy tính Casio fx-570ES mà đưa ra các ứng dụng thiết thực, có tính mới phục vụ vào giải các bài tập thường gặp trong sách giáo khoa cũng như trong các đề thi tốt nghiệp THPT, Cao đẳng và Đại học

II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

1 Cơ sở lí luận của vấn đề:

Trong chương trình môn toán THPT ở mỗi khối học đều có các bài đọc thêm hướng dẫn sử dụng máy tính bỏ túi vào giải toán mà cụ thể là dòng máy Casio fx-500MS, điều đó nói lên rằng việc sử dụng máy tính bỏ túi là rất cần thiết, có nhiều loại máy tính bỏ túi trên thị trường hiện này, trong đó máy tính Casio fx-570ES là loại máy phổ biến, được đông đảo học sinh sử dụng và tính năng tương tự như Casio fx-500MS; Do vậy trong đề tài này tôi muốn hướng dẫn cho học sinh THPT

sử dụng máy tính này vào giải toán

Khi làm bài thi thí sinh sử dụng máy tính trong quá trình tính toán sẽ rút ngắn được thời gian, độ chính xác cao; Điều quan trọng nữa là định hướng được cách làm và còn kiểm tra được kết quả đúng hay sai

Học sinh đã được trang bị các kiến thức toán học cơ bản trong sách giáo khoa

do vậy khi kết hợp với sử dụng máy tính bỏ túi CASIO FX-570ES thì sẽ có sự bổ trợ lẫn nhau trong quá trình giải toán

Trong các kỳ thi, từ tốt nghiệp THPT đến kỳ thi Cao đẳng và Đại học trong quy chế hiện hành thí sinh được mang máy tính Casio fx-570ES vào phòng thi nên ứng dụng mang tính thực tế cao

2 Thực trạng của vấn đề:

Đa số các học sinh hiện nay đều sử dụng máy tính bỏ túi phục vụ cho việc học tập nhưng chủ yếu các em mới biết cách dùng để cộng, trừ, nhân, chia, khai căn, giải phương trình bậc hai, bậc, một số hệ phương trình đơn giản và tính giá trị của các hàm số lượng giác mà thôi; Còn việc vận dụng cao hơn đòi hỏi có suy luận logic và có sự bổ trợ của kiến thức toán học thêm vào thì còn rất ít học sinh vận dụng được

Trong quá trình giảng dạy tôi thấy được là rất nhiều học khá, giỏi khi giải toán mặc dù là đã biết được phương pháp giải nhưng đáp số sai do tính toán sai thật là

tiếc nếu các em biết sử dụng máy tính CASIO FX-570ES để kiểm tra kết quả; Còn đối với học sinh yếu, kém thì khi giải toán gặp nhiều khó khăn, kể các các bài tập đơn giản mà máy tính có thể tìm ra được kết quả chính xác, do vậy trong trường hợp này các em biết cách sử dụng máy tính bỏ túi là rất tốt

Việc sử dụng máy tính giúp đã giúp các em tính toán nhanh hơn, chính xác hơn mà còn tránh được dài dòng trong quá trình trình bày kết quả; Ví dụ như một học sinh lớp 11, 12 khi làm bài thi cần đến phải giải phương trình bậc 2 và hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn thì các em chỉ cần sử dụng máy tính đưa ra kết quả không cần giải chi tiết như lớp 10 và còn trách sai số đáng tiếc xãy ra

Từ thực trạng trên Sáng kiến kinh nghiệm này đề cập đến một vấn đề đó là hướng dẫn học sinh khai thác nhiều hơn nữa các chức năng của máy tính bỏ túi, từ

đó chất lượng dạy và học sẽ được nâng lên

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện:

3.1 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải phương trình lượng giác

Khi giải các phương trình đa thức ta thường dùng cách nhẩm nghiệm để biến đổi phương trình ấy về dạng phương trình tích qua đó phương trình bậc cao hơn được chuyển về giải các phương trình bậc thấp hơn Trong chủ đề này sẽ lấy tư tưởng trên vào việc giải một số phương trình lượng giác với sự trợ giúp của máy tính Casio fx-570ES

a) Nội dung phương pháp: để giải phương trình lượng giác bằng phương

pháp này, tiến hành theo các bước sau

Bước 1 Tiến hành thử tìm một nghiệm nào đó, ta thử với các giá trị đặc biệt sau:



Chú ý: để tìm các nghiệm trên dùng máy tính bỏ Casio fx-570ES theo một trong

hai cách sau

Cách 1: Dùng chức năng (CALC), chức năng này có công cụ là tính giá trị của một

hàm số tại một điểm

- Chuyển phương trình về dạng f(x) = 0, giả sử cần thử với giá trị x = x0

- Thực hiện như nhập vào máy hàm số f(x), ấn phím (CALC) máy hỏi x? ta nhập vào x0 và ấn phím (=); Để thử với các giá trị khác ta tiếp tục nhấn phím (CALC)

Cách 2: Dùng chức năng (SOLOVE); Chức năng này có công dụng là tìm nghiệm

của phương trình trong một lân cận của x đã chỉ ra Ta thực hiện như sau:

- Chuyển máy tính về đơn vị độ; nhập vào phương trình f(x) = 0

- ấn phím (SOLOVE), máy hiển thị x? ta nhập giá trị mà ta dự đoán là nghiệm, chẳng hạn 30 (300), máy sẽ dò tìm một nghiệm trong lân cận của

300; Tiếp tục nhấn phím (SOLOVE) để kiểm tra các nghiệm khác…

Bước 2 giả sử ở bước 1 đã tìm được nghiệm

6

x ta tiếp tục thử với các giá trị đặc biệt tương ứng liên kết với nghiệm ấy Cụ thể:

+ Thử với giá trị

6

x  nếu thỏa mãn ta dự đoán phương trình có nghiệm x

sao cho osx= 3

2

c , hay phương trình đưa về dạng tích có thừa số là (2cosx  3)

+ thử với giá trị bù với nó 5

6

x  nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x

sao cho sinx=1

2, hay phương trình có một thừa số là (2sinx 1)

+ thử lại với giá trị hơn (kém) nó , thử với

6

x   =7

6

 nếu giá trị này thỏa

mãn thì ta dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho tan 3

3

x  hay có thừa số

( 3 t anx-1)

b) Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 giải phương trình 3cos2x + 5sinx + cosx – sin2x = 4

Giải

Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm

6

x , 5

6

x  do đó dự đoán

phương trình có nghiệm x sao cho: sinx=1

2 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau:

Cách 1.

Đặt t = sinx ( t 1) ta viết phương trình đã cho trở thành

3(1-2t2) + 5t + cosx – 2tcosx =4 hay 6t2 + (2cosx-5)t + (1-cosx) = 0

Áp dụng viet: 1 2

5 2cos 6

x

t t   suy ra: t2 = (1-cosx)/ 3 Vậy phương trình đã cho tương đương với

1

sinx=

2

3sinx cosx=1











Với

2

5 2

2 6















Với:

1 1 3sin osx=1 os(x- )= arccos 2 ;

; tan 3

m Z



Đến đây ta dễ dàng tìm được tập nghiệm của phương trình

Cách 2

Do dự đoán được sinx=1

2, do đó phương trình chứa thừa số (2sinx-1) Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số (2sinx-1) từ đó ta phân tích được

(1-2sinx)(cosx + 3sinx -1) = 0

1

s inx=

2 3sinx cosx=1













Từ đó ta giải được phương trình như trên

Ví dụ 2.

Giải phương trình: cos3x + cos2x + sin2x + sinx- 5cosx = 3

Phân tích: thực hiện phép thử ta tìm được 2 nghiệm 2

3

x  vậy ta dự đoán

phương trình có nghiệm x: cos 1

2

x

Cách 1

Đặt t = cosx ( t 1) Phương đã cho trở thành

4t3 + 2t2 + ( 2sinx-8)t +(sinx – 4) = 0 do thử nghiệm biết phương trình có nghiệm t

= - 1/2 nên sử dụng phép chia đa thức ta được phương trình

( t + 1/2)[4t2 + (2sinx-8)] = 0

Hay cosx = -1/2 hoặc cos2x + 2sinx – 8 = 0

Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình này

Cách 2 ( biến đổi phương trình về dạng tích ) do theo dự đoán trên nên phương

trình chứa thừa số ( 2cosx + 1) vậy ta nên kết hợp 2 số hạng nào đó để có nhân tử chung ( 2cosx – 1) từ đó ta đi đến phương trình:

(2cosx + 1)(sinx + 2cos2x – 4) = 0 Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình này.

Ví dụ 3: giải phương trình sau:

2cos os ( ) sin 2 3cos( ) sin

Giải

Đưa phương trình về

6 cosx c os2x 3sin 2x9sinx 8 0 nhận thấy phương trình này có nghiệm

2

2

x k  nên chứa thừa số (sinx – 1)

Cách 1 Đặt t = sinx ( t 1) Phương đã cho trở thành

-2t2 + (9- 6cosx)t + (6cosx – 7) = 0 phương trình này có A + B + C = 0 Vậy

sinx=1

6cosx-7

sinx=

-2









Đến đây ta dễ ràng giải được phương trình

Cách 2 (biến đổi phương trình về phương trình tích)

nhận thấy phương trình này có nghiệm

2

2

x k  nên chứa thừa số (sinx – 1) vậy nên gép 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện thừa số chung (sinx – 1) từ đó ta thu được phương trình

(sinx- 1)(6cosx + 2sinx -7) = 0

Từ đó ta dễ ràng tìm được tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 3: giải phương trình 4sinx + cosx + 3sinxtanx-3tanx = 3

Giải

Điều kiện: cosx 0

Thực hiện các phép thử được hai nghiệm được hai nghiệm ; 3

x x 

Vậy cần nhóm 2 số hạng nào đó để làm xuất hiện nhân tử chung (tanx + 1) ta

đi đến phương trình: (1 + tanx)(cosx + 3sinx -3) = 0 Từ đó ta dễ ràng tìm được tập nghiệm của phương trình

Ví dụ 4 giải phương trình sin3x - 6sin2x + 9sinx – cos3x + cosx = 8

Giải

Thử thấy phương trình có các nghiệm 2 ;

2

x m  nên phương trình chứa thừa số ( sinx-1) Đặt t = sinx ( t 1) Phương đã cho trở thành

Trở thành -4t3 + 4(cosx) t2 + (12-12cosx)t + (8cosx – 8)= 0

Thực hiện phép chia đa thức ta được phương trình

(t – 1)[-4t2 + (4cosx-4)t + 8- 8cosx] = 0

Hay t = 1 hoặc -4t2 + (4cosx-4)t + 8- 8cosx = 0 (*) nhận thấy x k 2  là nghiệm của (*) hay phương trình (*) có nghiệm t = 0 theo định lí Viet thì nghiệm còn lại là t=cosx- 1 Từ đó ta hoàn toàn tìm được tập nghiệm của phương trình

từ đó

Ví dụ 5 (ĐH Khối A, A 1 – 2012) giải phương trình 3 sin 2x c os2x=2cosx-1

Giải

Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm

2

x ,

2

x do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau:

Cách 1.

Đặt t = cosx ( t 1) ta viết phương trình đã cho trở thành

2 3 sin 2 -1=2t-1 2t 2(1 3 sin ) 0

0

1 3 sin

t





 

 



Hay

; 2

2 ;

3 sin osx=1 os(x- )

2

3 2

x m

























 





Cách 2

Do dự đoán được cosx=0, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx) Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được

1 cosx=

2 ( 3 s inx+cosx-1)cosx=0

3 s inx+cosx=1











Từ đó ta giải được phương trình như trên

Ví dụ 6 (ĐH Khối A – 2011) giải phương trình 1 sin 2 2 ox2x 2 s inxsin2x

1+cot

x c x



Giải

Phân tích: thực hiện phép thử, thu được 2 nghiệm

2

x ,

2

x do đó dự đoán phương trình có nghiệm x sao cho: cosx=0 vậy lời giải được trình bày theo 2 cách sau:

Cách 1 Điều kiện sinx 0(*)

Đặt t = cosx ( t 1) ta viết phương trình đã cho trở thành

2

1 1+2(sinx)t+2t 1 2(2sin ) 2t 2(sin 2) =0

sin t=0

t= 2-sinx

x



 



Hay

;

;

m Z







Kết hợp điều kiện (*) phương trình có các nghiệm là 2 ; 2

x k  x m 

Cách 2

Điều kiện sinx 0(*)

Do dự đoán được cosx=0, do đó phương trình chứa thừa số ( cosx) Vậy ta nên kết hợp hai số hạng nào với nhau để có thừa số ( cosx) từ đó ta phân tích được

cosx=0 (s inx+cosx- 2)cosx=0

s inx+cosx= 2



 



Đến đây ta giải được phương trình như trên

(Nhận xét: Với bài tập đơn giản như ví dụ 5, 6 thì nên làm theo cách 2)

c Bài tập rèn luyện: giải các phương trình sau:

1) sin2x + 3sinx – 2cosx = 3

2) sin5x +sin2x + cos6x = cos4x + cosx

3) 1 + cosx + cos2x = sin2x + sin 3x + sin4x

4) 4sinx + cosx = 1 + tanx – 3sinxtanx

3.2 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để giải bất phương trình.

Tôi thấy rằng việc giải bất phương trình có dạng f(x) > 0 (f(x) < 0

, f x( ) 0,  f x( ) 0)  thì phức tạp hơn nhiều so với việc giải phương trình f(x) = 0 Thực chất của bài toán là quy về việc xét dấu của của biểu thức f(x) trên miền xác định của bất phương trình Do vậy nội dung của chủ đề này là quy việc giải bất phương trình về việc giải phương trình f(x) = 0 sau đó lập bảng xét dấu của f(x) và

từ đó suy ra tập nghiệm bất phương trình

a) Nội dung phương pháp:

Nội dung của phương pháp này dựa trên tính chất sau

Tính chất: giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K Nếu phương trình

f(x) = 0 vô nghiệm nghiệm trên miền K thì f(x) không đổi dấu trên K

Phương pháp giải bất phương trình theo cách này:

+ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x) là D

+ Giải phương trình f(x) = 0

+ Lập bảng xét dấu của f(x) ( để xác định dấu của f(x) trên khoảng con K của D mà f(x) vô nghiệm, ta chỉ cần xác định dấu của f(x0) với x0 thuộc K )

Chú ý: Để tính giá trị của hàm số tại một điểm nhanh chóng bằng máy tính Casio

fx-570ES; Cách tính: Dùng chức năng (CALC) được minh họa qua ví dụ sau

Ví dụ: Tính giá trị của hàm số y = x2 + 3x – 2 với x = 3 và x = 4 ta thực hiện như sau

+ Nhập biểu thức ấn phím: ( ALPHA) Y (ALPHA) (=) (X) (X2 ) (+) 3 (ALPHA) (X) (-) 2 + Lưu biểu thức ấn ( CALC)

+ Tính giá trị của y với x = 3 ấn: 3 (=)

+ tính giá trị của y với x = 4 ấn: (CALC) 4 (=)

b) Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Giải bất phương trình: 2 16 240

16

x

 Giải

40

16

f x x x

x

 là hàm số liên tục trên D, tập xác định hàm số là D = R

 Phương trình f(x) = 0

2

16 24

Thử lại thấy nghiệm x = 3 thỏa mãn.

 Bảng xét dấu f(x):

x -∞ 3 + ∞ Ta có: f(0) = -6 < 0 và f(4)=2,58>0 nên ta xác định được dấu trên các f(x) - 0 + khoảng ( - ∞; 3) và ( 3;+∞)

Qua bảng xét dấu bất phương trình có tập nghiệm T =(   ;3]

Ví dụ 2 giải bất phương trình: 2

1 1

3 3

log ( 1) log 2x  3x1  x Giải

* Điều kiện:

2

(0; ) ( 1;0) (1; ) ( ; )

0 1 1

x x

    



  



1 1

3 3

( )

log ( 1) log 2 3 1

f x

x



  PT f(x) = 0 trở thành:

2

2

2

So với điều kiện thì x = 5 thỏa mãn

* Lập bảng xét dấu: Ta có: f(-1/2)=- 3,584 < 0; f(1/4) = 7,163 >0; f(5/4) = 3,594>0; f(2) = -1 < 0; f(6) = 0,016 > 0 nên ta suy ra dấu f(x) như sau:

x -1 0 1/2 1 3/2 5 + ∞

Qua bảng xét dấu của f(x) ta suy ra tập nghiệm của BPT là:

1 3 (0; ) (1; ) (5; )

Ví dụ 3 giải bất phương trình sau: 1   x 1  x  x

Giải

* Điều kiện    1 x 1

Xét hàm số f x ( )  1   x 1  x x  với x [-1;1]

* Phương trình f(x) = 0

2 2

Thử lại thấy x = 0 thỏa mãn

* Bảng xét dấu của f(x)

Ta có: f(-1/2)=0,017 < 0; f(1/2) = 0,017 > 0

x - 1 0 1

f(x) - 0 +

Qua bảng xét dấu của f(x) Tập nghiệm BPT là T = [0; 1]

Ví dụ 4 giải bất phương trình sau: ( )2 sin x2 3osx log 2005 06

3

c

Nhận xét: dùng máy tính kiểm tra thì: log620054, 243537…>4

Dễ thấy:

2

c

Nên BPT đã cho vô nghiệm

d Bài tập rèn luyện: giải các bất phương trình sau

1) x x

x

1

2 2 1 0

2 1





2) 21 3  5 21

4) (x2 x 1) 1 x (x2 x 1) 1  x x

3.3 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để chứng minh sự có nghiệm của

phương trình:

Ví dụ: Cho hàm số y = x4 – 6x2 + 4x + 6 Chứng minh rằng hàm số có 3 cực trị Thật vậy

Ta có: y’ = 4x3 – 12x + 4 ta chỉ cần chứng minh phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt Dùng máy tính ta biết được 3 nghiệm: x1 1,8;x2 0,3;x3 1,5

Sau đó ta áp dụng định lí về hàm liên tục cho hàm số g(x) = 4x3 – 12x + 4 trên các đoạn [-2; -1], [0; 1], [1; 2] ta được điều phải chứng minh

3.4 Sử dụng máy tính Casio fx-570ES để nhận dạng tam giác

Trong tiết học về nhận dạng tam giác, bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các biểu thức lượng giác rất hay gặp

Ví dụ1: Cho tam giác ABC Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

T = cosA + cosB + cosC và giá trị lớn nhất đạt được khi nào?

* Trước hết ta tính giá trị của biểu thức T ứng với một số tam giác cụ thể