Bài giảng Xử lý ảnh số 22 GV. Mai Cường Thọ • Hệ thống tuyến tính (T là toán tử tuyến tính): Hệ thỏa mãn nguyên lý xếp chồng và nguyên lý tỉ lệ. nếu ),(),();,(),( 2211 yxZyxSyxZyxS TT →→ , thì với ),(.),(.),(),(),( 2121 yxZbyxZayxbSyxaSyxS T +→+= - Nếu T là toán tử tuyến tính thì ta có dudvvyuxvuSyxS ),(),(),( −−= ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− δ ∫ ∫∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− ∞ ∞− −−=−−== dudvvyuxTvuSdudvvyuxvuSTyxSTyxZ )],([),(]),(),([)],([),( δδ Nhớ lại yxhvyuxT uv ),()],([ =−−δ : đáp ứng của hệ thống TTBB đối với tác động là xung dirac tại tọa độ (u,v) - gọi là đáp ứng xung của hệ thống tuyến tính bất biến. Ta thấy rằng đáp ứng của hệ thống phụ thuộc vào thời điểm tác động nên rất khó xây dựng hệ thống. • Với hệ thống tuyến tính bất biến dịch: yxhyxT ),()],([ = δ vyuxhvyuxT ),()],([ − − = − − δ Ta có công thức tích chập (convolution) ),(),(),( ),(),( ),( yxhyxSyxZ dudvvyuxhvuS yxZ ⊗= −− = ∫ ∫ ∞ ∞− ∞ ∞− Với tín hiệu rời rạc, ta có công thức tổng chập ),(),(),( ),(),(),( nmhnmSnmZ lnkmhlkSnmZ k l ⊗= −−= ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= Ví dụ: Tính tổng chập sau: ),(),(),( nmhnmSnmx ⊗ = với n -1 1 1 1 S(m,n) m n 4 1 2 3 h(m,n) m Bài giảng Xử lý ảnh số 23 GV. Mai Cường Thọ )1,1(),1()1,(),( )1,1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0( )1,1(),1(),(),0(),(),( ),(),(),(),(),( 1 0 1 0 1 0 1 0 −−+−−−+= −−+−+−+= −−+−=−−= −−=⊗= ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = ∞ ∞= ∞ −∞= nmhnmhnmhnmh nmhSnmhSnmhSnmhS nmhlSlnmhlSlnkmxhlkS lnkmhlkSnmhnmSnmx k l l l k l MatLab: Lệnh: conv2(S,h) 2.3 Các tính chất của tổng chập a. Tính giao hoán ∑ ∑ ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= ∞ −∞= −−=−− ⊗ = ⊗ k l k l lnkmSlkGknkmGlkS nmSnmGnmGnmS ),(),(),(),( ),(),(),(),( b. Tính kết hợp [ ] [ ] ),(),(),(),(),(),(),(),(),( 321321321 nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗⊗=⊗⊗=⊗⊗ Ghép nối nối tiếp 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h 1 , h 2 tương đương với: tương đương với h 1 (m,n) h 2 (m,n) V(m,n) G(m,n) S(m,n) n 4 1 2 3 h(m,n) m 2 1 4 n 0 0 3 h(m,n-1) m 3 2 0 0 0 n 0 0 h(m-1,n-1) m 1 4 3 2 1 6 3 n 5 1 x(m,n) m -4 5 0 4 n 1 0 h(m-1,n) m 2 3 S(m,n) G(m,n) h 1 (m,n) ⊗ h 2 (m,n) h 1 (m,n) h 2 (m,n) G(m,n) S(m,n) Bài giảng Xử lý ảnh số 24 GV. Mai Cường Thọ c. Tính chất phân phối với phép cộng [ ] ),(),(),(),(),(),(),( 3121321 nmSnmSnmSnmSnmSnmSnmS ⊗+⊗=+⊗ Ghép nối song song 2 hệ thống tuyến tính bất biến có đáp ứng xung h 1 , h 2 Tương đương với Ví dụ: Cho một hệ thống xử lý ảnh được thiết kế như hình vẽ, hãy xác định đáp ứng G(m,n) của hệ thống. Với Giải Ta có [ ] [ ] ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( 321 32 nmhnmhnmhnmS nmhnmhnmSnmhnmSnmG ⊗+⊗= ⊗+⊗= S(m,n) g(m,n) h 1 (m,n) + h 2 (m,n) n -1 1 1 1 h 1 (m,n) m n 1 j 1 j h 2 (m,n) m n 1 -j 1 j h 3 (m,n) m n 1 1 1 1 S(m,n) m h 1 (m ,n) h 2 (m ,n) h 3 (m ,n) + G(m,n) S(m,n) h 1 (m,n) h 2 (m,n) + V 1 (m,n) V 2 (m,n) S(m,n) G(m,n) Bài giảng Xử lý ảnh số 25 GV. Mai Cường Thọ Tính riêng: h 2 (m,n)⊗h 3 (m,n) )1,1(),1()1,(),( )1.1()1,1(),1()0,1()1,()1,0(),()0,0( ),1(),1(),(),0( ),(),(),(),( 3333 32323232 1 0 32 1 0 32 1 0 1 0 3232 −−+−+−+= −−+−+−+= −−+−= −−⋅=⊗ ∑∑ ∑∑ == = = nmjhnmhnmhnmjh nmhhnmhhnmhhnmhh lnmhlhlnmhlh lnkmhlkhnmhnmh ll k l h(m,n)=h 1 (m,n)+h * (m,n) K ế t qu ả cu ố i cùng c ủ a h ệ th ố ng ta có: ∑ ∑ ∞ −∞= ∞ −∞= −−=⊗ k l lnkmhlkSnmhnmS ),(),(),(),( Khai tri ể n công th ứ c trên v ớ i S(m,n) và H(m,n) ta s ẽ thu đượ c tín hi ệ u ra G(m,n). 1 -j 1 n 0 0 j h 3 (m,n-1) m n 1 0 1 -j 0 j h 3 (m-1,n) m jh 3 (m-1,n-1) n 0 0 1 0 0 j m 0 j -1 h 2⊗ h 3 n j 1 j -1 jh 3 (m,n) m h * (m,n) n 1 0 2 0 1 2j m 1 2j -1 h(m,n) n 1 1 3 -1 2 2j m 1 2j -1 Bài giảng Xử lý ảnh số 26 GV. Mai Cường Thọ CHƯƠNG IV CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ẢNH Các phép bi ế n đổ i ả nh là cách ti ế p c ậ n th ứ hai đượ c áp d ụ ng trong tín hi ệ u s ố nói chung và trong x ử lý ả nh nói riêng. Phép bi ế n đổ i (transform) là thu ậ t ng ữ dùng để ch ỉ vi ệ c chuy ể n đổ i s ự bi ể u di ễ n c ủ a m ộ t đố i t ượ ng t ừ không gian này sang m ộ t không gian khác, t ừ cách bi ể u di ễ n này sang cách bi ể u di ễ n khác, ví d ụ phép bi ế n đổ i Fourier, Z, Laplace. Nói chung m ụ c đ ích c ủ a các phép bi ế n đổ i ở đ ây là c ố g ắ ng phân tích để bi ể u di ễ n tín hi ệ u d ướ i d ạ ng t ổ ng có tr ọ ng s ố c ủ a các tín hi ệ u c ơ b ả n, đặ c bi ệ t mà ta có th ể th ấ y rõ đượ c tính ch ấ t c ủ a chúng. - Nh ớ l ạ i phép bi ế n đổ i Fourier tín hi ệ u r ờ i r ạ c m ộ t chi ề u: ∑ ∑ ∞ −∞= − ∞ −∞= = = n knj k knj enx N kX ekXnx ω ω ).( 1 )( ).()( Ta có ωω ω sincos je j += là một tín hiệu điều hòa phức cơ bản. - Đối với ảnh số, ta có thể mô tả như sau: Các S ij là các ảnh cơ sở, các a ij là các hệ số phân tích I. Phép biến đổi Unitar (Unitary Transform) 1. Ma trận trực giao và ma trận Unitar • Cho A là một ma trận vuông • A trực giao khi: hay I AA T = Trong đó A -1 là ma trận đảo của A. A T là ma trận chuyển vị của A. • Ma trận A được gọi là ma trận Unitar nếu: A -1 = A *T hay AA *T = I A * là ma trận liên hợp của A S S 11 S 12 S MN a 11 + a 11 + a MN + … A A T = −1 Bài giảng Xử lý ảnh số 27 GV. Mai Cường Thọ Các phần tử của A * được xác định như sau với a ik = x + jy thì a * ik = x – jy (dạng số phức tổng quát). Nhận xét : Nếu các phần tử của ma trận A có giá trị là số thực thì A trực giao ⇔ A unitar Ví dụ 1 Xét xem ma trận A sau đây có phải là ma trận Unitar không Giải : Ta có , A trực giao ⇒ A Unitar Ví dụ 2 Kiểm tra tính Unitar của ma trận sau Nhận xét Tuy nhiên Vậy A không Unitar Ví dụ 3 Xét ma trận 11 11 2 1 − =A 11 11 2 1 − = A T IA == −− = 20 02 2 1 11 11 11 11 2 1 A T 2 2 j j A − = 2 2 j j A T − = I j j j j A A T == − − = 20 01 2 2 2 2 I j j j j j j A j j j j AA T ≠ − = −− = − = − = 322 223 2 2 2 2 , 2 2 , 2 2 A *T** I j j j j j j A j j j j A TT A ≠==== 02 20 2 1 1 1 1 1 2 1 , 1 1 2 1 , 1 1 2 1 A Bài giảng Xử lý ảnh số 28 GV. Mai Cường Thọ Tuy nhiên ta lại có: ⇒ A là ma trận Unitar ví dụ 4: Xét tính Unitar của ma trận sau: 2. Phép biến đổi Unitar một chiều Cho vector S = S(n) = (S(0), S(1), S(2),…S(N-1)) T và A NxN là ma trận Unitar. Ta có ảnh V của S qua phép biến đổi Unitar thuận. Ví dụ: S(n)= (S 1, S 2, S 3 ) T , ma trận unitar Ta có Phép biến đổi Unitar ngược: Suy ra: 2 3 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 2 3 2 1 1 111 3 1 jj jjA − − + − + − − − = IA j j A T == − − = 20 02 2 1 , 1 1 2 1 A *T* →→ = SAV hay ∑ − = = 1 0 )()( N n kn nskv a a a a aaa aaa A 333231 232221 131211 = SaSaSa SaSaSa SaSaa S S S aaa aaa aaa S SAV 333232131 323222121 31321211 3 2 1 333231 232221 131211 1 ++ ++ + =×== + →→ → − → = VS A 1 →→ = VS A T* . G(m,n) S(m,n) n 4 1 2 3 h(m,n) m 2 1 4 n 0 0 3 h(m,n-1) m 3 2 0 0 0 n 0 0 h(m-1,n-1) m 1 4 3 2 1 6 3 n 5 1 x(m,n) m -4 5 0 4 n 1 0 h(m-1,n) m 2. 0 j -1 h 2⊗ h 3 n j 1 j -1 jh 3 (m,n) m h * (m,n) n 1 0 2 0 1 2j m 1 2j -1 h(m,n) n 1 1 3 -1 2 2j m 1 2j -1 Bài giảng Xử lý ảnh số 26 GV. Mai Cường Thọ CHƯƠNG. Khai tri ể n công th ứ c trên v ớ i S(m,n) và H(m,n) ta s ẽ thu đượ c tín hi ệ u ra G(m,n). 1 -j 1 n 0 0 j h 3 (m,n-1) m n 1 0 1 -j 0 j h 3 (m-1,n) m jh 3 (m-1,n-1) n 0 0