bài dịch đại số trừu tượng

Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các nhóm trong chương 3, bạn sẽ có thể áp dụng vào kiến thức của bạn về các nhóm hoán vị, cũng như trên kiến thức của bạn của các nhóm Về thực sự sử dụng định

Bài dịch

Lớp Toán VB2-K2 (nhóm 1)

HUỲNH VĂN AN (dịch từ trang 3 – 12)

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU v

1 SỐ NGUYÊN 1

1.1 Ước Số ……… 1

1.2 Số Nguyên Tố ……… 2

1.3 Đồng Dư Thức ……… 3

1.4 Số Nguyên Môđun n ……… 5

Bài Tập Ôn Tập ……… 6

2 HÀM SỐ 7

2.1 Hàm Số ……… 7

2.2 Quan Hệ Tương Đương ……… 8

2.3 Hoán Vị ……… 10

Bài Tập Ôn Tập ……… 12

3 NHÓM 13

3.1 Định Nghĩa Nhóm ……… 13

3.2 Nhóm Con ……… 15

3.3 Xây Dựng Các Ví Dụ ……… 17

3.4 Đẳng Cấu ……… 18

3.5 Nhóm Xyclic ……… 20

3.6 Nhóm Hoán Vị ……… 21

3.7 Đồng Cấu ……… 22

3.8 Lớp, Nhóm Con Chuẩn Tắc Và Nhóm Thương ……… 24

Bài Tập Ôn Tập ……… 26

4 ĐA THỨC 27

Bài Tập Ôn Tập 27

5 VÀNH GIAO HOÁN 29

Bài Tập Ôn Tập 29

6 TRƯỜNG 33

Bài Tập Ôn Tập ……… 33

LỜI GIẢI 33

1 Số Nguyên 35

2 Hàm Số 49

3 Nhóm 57

4 Đa Thức 87

5 Vành Giao Hoán 93

6 Trường 101

TÀI LIỆU THAM KHẢO 104

BẢNG THUẬT NGỮ 105

LỜI NÓI ĐẦU

Lần đầu tiên giảng dạy khóa học đại số trừu tượng năm 1968, tôi đã sử dụng quyển sách

Herstein’s Topics in Algebra làm tài liệu Thật khó để phát triển nội dung của quyển sách đó;

môn học trở nên rộng lớn hơn với phần ứng dụng trong tính toán và các lĩnh vực khác, tuy nhiên các chủ đề của sách bao hàm hạt nhân của bất kỳ khóa học đại số trừu tượng nào Tiếc rằng, môn học đã không trở nên dễ dàng hơn, vì vậy sinh viên tiếp cận đại số trừu tượng phải cố gắng học nhiều khái niệm mới, hơn nữa họ còn phải học cách trình bày phần chứng minh của mình như thế nào

Quyển sách “hướng dẫn học” sẽ hỗ trợ những sinh viên mới bắt đầu học đại số trừu tượng Thay

vì chỉ mở rộng nội dung trong sách bài học, tôi cố gắng giảng dạy thông qua các ví dụ và thông qua cách trình bày rõ ràng lời giải của bài tập Tôi cố gắng sử dụng bài tập để làm bài học, và trong nhiều trường hợp sẽ có những lời nhận xét giúp người đọc thấy được điều gì thật sự xảy ra Tất nhiên, quyển sách này không thay thế cho một giáo viên giỏi hay những lần thảo luận nhóm giữa các sinh viên để giải quyết một số vấn đề khó

Cuối cùng, tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Đại học Northern Illinois trong thời gian tôi viết sách này Với tư cách là “Presidential Teaching Professor”, tôi được cho nghỉ phép vào mùa xuân năm 2000 để thực hiện các dự án liên quan đến giảng dạy

DeKalb, Illinois

Chương 1

SỐ NGUYÊN

Chương 1 giới thiệu những khái niệm cơ bản trong lý thuyết số và đây là điều kiện tiên quyết để nghiên cứu đại số trừu tượng Nhiều khái niệm được giới thiệu có thể trừu tượng hóa cho các

tình huống tổng quát hơn Chẳng hạn, trong Chương 3 bạn sẽ được giới thiệu khái niệm nhóm

Một trong những lớp rộng lớn đầu tiên của nhóm mà bạn sẽ gặp phụ thuộc vào định nghĩa của

một nhóm xyclic Nhóm xyclic có được bằng cách xem xét tất cả lũy thừa của một phần tử cụ

thể Các ví dụ trong Mục 1.4 được xây dựng thông qua lớp đồng dư của số nguyên sẽ nói cho bạn những điều cần biết về nhóm xyclic Thực tế, mặt dù Chương 1 khá đơn giản nhưng nó là một bước quan trọng để tiếp cận lĩnh vực đại số trừu tường

1.1 Ước số

Trước khi giải quyết toàn bộ bài tập trong mục 1.1, bạn phải chắc chắn bạn quen thuộc với tất cả các định nghĩa và định lý trong mục này Trong nhiều trường hợp, phần chứng minh định lý có nhiều kỹ thuật quan trọng bạn cần phải sử dụng để giải các bài tập trong sách Dưới đây là một

số kỹ thuật hữu ích bạn nên dùng

- Khi gặp các bài tập liên quan đến chia hết, bạn sẽ thấy hữu ích khi xem lại Định nghĩa 1.1.1 Nếu bạn khai triển biểu thức b a bằng cách viết “abq với số qnào đó thuộc ” thì bạn sẽ

có được một phương trình Phương trình này liên quan đến số nguyên thông thường nên bạn có thể sử dụng tất cả kiến thức đã biết (đại số ở bậc trung học) để giải

- Để chứng tỏ b a, cố gắng viết ra một biểu thức của a, sau đó khai triển, rút gọn, hay thay thế cho đến khi bạn được a bằng tích của một thừa số nào đó với b

- Một kỹ thuật khác để chứng minh b a là sử dụng thuật toán chia (xem Định lý 1.1.3) để viết

abqr , với 0 r b Khi đó để chứng minh b a bạn chỉ cần tìm cách chứng minh r  0

- Định lý 1.1.6 phát biểu rằng với hai số nguyên a và b khác không bất kỳ có một ƯCLN và ƯCLN đó được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến tính dương nhỏ nhất của a và b Một số

nguyên là một tổ hợp tuyến tính của a và b nếu và chỉ nếu nó là bội số của ƯCLN đó Điều này thật sự hữu ích khi giải quyết các câu hỏi liên quan đến ƯCLN

BÀI TẬP: §1.1

22 Tìm ƯCLN435,377 và biểu diễn nó dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của 435 và 377

23 Tìm ƯCLN3553,527 và biểu diễn nó dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của 3553 và

527

24 Số nguyên nào từ 0,1, ,10 có thể được biểu diễn dưới dạng 12m20n, với m, n là các số nguyên?

25 Nếu n là một số nguyên dương, hãy tìm các giá trị có thể của ƯCLNn n, 10

26 Chứng minh rằng: Nếu a và b là các số nguyên dương khác không sao cho b a và a b

thì b a

27 Chứng minh rằng: Nếu m và n là các số nguyên lẻ thì m2 n2 chia hết cho 8

28 Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên và n  1 thì

ƯCLN a b, 1 Tổng quát hơn, nếu bạn có một tổ hợp tuyến tính manbd thì điều đó chỉ cho biết rằng ƯCLN a b, là một ước của d (xem lại Định lý 1.1.6)

Bởi vì định lý cơ bản của số học (dựa vào dạng phân tích nguyên tố) được chứng minh trong mục này nên bây giờ bạn có một số kỹ thuật quen thuộc hơn để sử dụng

BÀI TẬP: §1.2

23 (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƯCLN1776,1492

(b) Sử dụng dạng phân tích nguyên tố của 1492 và 1776 để tìm ƯCLN1776,1492

24 (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƯCLN1274,1089

(b) Sử dụng dạng phân tích hóa nguyên tố của 1492 và 1776 để tìm ƯCLN1776,1492

25 Đưa ra sơ đồ dàn tất cả các ước của 250 Làm tương tự với 484

26 Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: xy2y3x25

27 Với a, b là các số nguyên dương, chứng minh rằng: ƯCLN a b, 1 nếu và chỉ nếu ƯCLN 2 2

Trong mục này, điều quan trọng hãy nhớ rằng mặc dù làm việc đồng dư thức gần giống với phương trình, tuy nhiên giữa chúng không hoàn toàn giống nhau

Những điểm nào giống nhau? Bạn có thể cộng, trừ hay nhân hai vế của đồng dư thức với cùng một số nguyên Bạn có thể sử dụng phương pháp thế, và bạn có thể sử dụng sử dụng đều hiển nhiên sau: nếu abmod n và bcmodn thì acmodn (Xem lại Mệnh đề 1.3.3

và lời nhận xét ở trước và sau phần chứng minh của mệnh đề)

Những điểm nào khác nhau? Đối với một phương trình thông thường, bạn có thể chia hai vế cho một số khác không Đối với một đồng dư thức môđun n, bạn chỉ có thể chia hai vế cho một

số nguyên khi số nguyên đó và n là nguyên tố cùng nhau Điều này thường được diễn đạt là nếu ƯCLN a n, 1 và acad mod n thì cd mod n Vì vậy phải cẩn thận!

Một trong những kỹ thuật quan trọng phải hiểu rõ là làm thế nào để chuyển đổi giữa đồng dư thức và phương trình thông thường Điều cơ bản là mọi phương trình liên quan đến số nguyên đều có thể được chuyển thành đồng dư thức bằng cách quy về môđun n Điều này thực hiện được bởi vì nếu hai số nguyên bằng nhau thì hiển nhiên chúng đồng dư môđun n

Thực hiện chuyển từ đồng dư thức sang phương trình bạn phải cẩn thận hơn Nếu hai số nguyên đồng dư môđun n thì không có nghĩa là chúng bằng nhau, nhưng chỉ bảm bảo rằng, khi chia cho n thì phần dư của chúng bằng nhau Nói cách khác, hai số nguyên đó có thể sai khác một bội số của n

Cách chuyển đổi được minh họa trong Ví dụ 1.3.5, với đồng dư thức

x7 mod 8 

được chuyển thành phương trình

x 7 8q , với số q nào đó thuộc

Lưu ý rằng khi chuyển từ một đồng dư thức sang một phương trình làm nó phức tạp hơn bởi vì ta phải giới thiệu một biến khác Trong ví dụ này, ta thực sự muốn có một đồng dư thức môđun 5

nên bước tiếp theo là viết lại phương trình sang dạng như sau:

tuyến tính dạng: axbmodn và hệ phương trình tuyến tính dạng: xa modn và

mod 

xb m , với môđun n và môđunm là nguyên tố cùng nhau Nhiều định lý trong sách được xem như “phần tóm lược”, và bạn không nên bỏ qua phần chứng minh của chúng, bởi vì bạn sẽ không nắm được các thuật toán hoặc kỹ thuật tính toán quan trọng

BÀI TẬP: §1.3

26 Giải đồng dư thức: 42x12 mod 90 

27 (a) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dư thức: 55x35 mod 75 

(b) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dư thức: 55x36 mod 75 

28 (a) Tìm một nghiệm nguyên nào đó của phương trình: 110x75y45

(b) Chứng minh rằng: Nếu xm và y  n là một nghiệm nguyên của phương trình trong câu (a) thì x m 15q và y n 22q cũng là một nghiệm, với q là số nguyên

29 Giải hệ đồng dư thức: x2 mod 9  x4 mod 10 

30 Giải hệ đồng dư thức: 5x14 mod 17  3x2 mod 13 

31 Giải hệ đồng dư thức: x5 mod 25  x23 mod 32 

32 Chỉ ra các số nguyên a, b, m, n để dẫn tới một trường hợp hệ đồng dư thức:

xa m x b n vô nghiệm

33 (a) Tính chữ số cuối cùng trong khai triển thập phân của 4100

(b) 4100 có chia hết cho 3 không?

34 Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn  2 

13 4 n 1

35 Chứng minh rằng: 10n14.10n 4 chia hết cho 9 , với mọi nguyên dương n

36 Chứng minh rằng: Lũy thừa 4 của một số nguyên là một số có chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là 0, 1, 5 hoặc 6

1.4 Số nguyên Môđun n

Các khái niệm trong mục này cho phép ta làm việc với phương trình thay vì đồng dư thức nếu ta nghĩ về các lớp tương đương Chính xác hơn, mọi đồng dư thức tuyến tính có dạng

axbmodn

đều có thể được xem như một phương trình trong n và được viết:

     a n x n  b n

Điều này cho bạn một cách nữa để xem xét các vấn đề liên quan đến đồng dư thức Đôi khi,

nó giúp có nhiều phương pháp tiếp cận khác nhau để suy nghĩ về một bài toán, và điều quan trọng là biết tất cả các phương pháp để bạn dễ dàng chuyển đổi qua lại giữa chúng và chọn phương pháp nào là thuận tiện nhất Ví dụ, khi chia cho a trong đồng dư thức axbmod n

có thể làm bạn lo lắng nếu ƯCLN a n, 1 Thay vì nghĩ về phép chia, có lẽ tốt hơn khi bạn nhân hai vế của phương trình      a n x n  b n với   1

Bài tập trong Mục 1.4 có nhiều định nghĩa liên quan đến các phần tử của n Nếu  a n, 1

thì số nguyên dương nhỏ nhất k thỏa a k 1 mod n được gọi là cấp nhân của  a trong n Tập hợp n được gọi là xyclic nếu có một phần tử cấp nhân  n Vì n   n , điều này tương đương khi nói rằng n là xyclic nếu có một phần tử  a thỏa mãn mỗi phần tử của nbằng với lũy thừa nào đó của  a Cuối cùng, phần tử  a  n được gọi là lũy đẳng nếu

   2

a  a , và lũy linh nếu tồn tại k sao cho    a k  0

BÀI TẬP: §1.4

30 Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong 7

31 Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong 13

34 Trong 20: tìm tất cả các phần tử khả nghịch (liệt kê các phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử); tìm tất cả các phần tử lũy đẳng; tìm tất cả các phần tử lũy linh

35 Trong 24: tìm tất cả các phần tử khả nghịch (liệt kê các phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử); tìm tất cả các phần tử lũy đẳng; tìm tất cả các phần tử lũy linh

36 Chứng minh rằng: 17 là xyclic

37 Chứng minh rằng: 35 không là xyclic nhưng mỗi phần tử của nó đều có dạng

   835i 4 35j , với i, j là các số nguyên dương nào đó

38 Giải phương trình:        2

x  x  

39 Cho n là một số nguyên dương, và a  với ƯCLN a n, 1 Chứng minh rằng: Nếu

k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa a k 1 mod n thì k  n

40 Chứng minh rằng:  a n là một phần tử lũy tinh của n nếu và chỉ nếu mỗi ước nguyên tố của n cũng là ước của a

4 Giải hệ đồng dư thức: 2x9 mod 15  x8 mod 11 

5 Liệt kê các phần tử của 15 Với mỗi phần tử, tìm phần tử nghịch đảo nghịch đảo và cấp nhân của nó

6 Chứng minh rằng: Nếu n là số nguyên lẻ và n  1 thì  2n   n

TRẦN NINH GIA BẢO (dịch từ trang 13 – 22)

HÀM

Mục tiêu đầu tiên của chương này là cung cấp một số đánh giá các hàm Trong mục nghiên cứu này là về cấu trúc đại số trong các chương sau, Hàm này sẽ cung cấp cách thức để so sánh hai cấu trúc khác nhau Trong phần này, các hàm song ánh tương ứng sẽ đặc biệt quan trọng

Mục tiêu thứ hai của chương này là để bắt đầu nghiên cứu các nhóm hoán vị, trong đó cung cấp

ví dụ quan trọng về lớp Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các nhóm trong chương 3, bạn sẽ có thể áp dụng vào kiến thức của bạn về các nhóm hoán vị, cũng như trên kiến thức của bạn của các nhóm

Về thực sự sử dụng định nghĩa này, nội dung gần như ngay lập tức

quay ngược lại với những gì có thể là một định nghĩa quen thuộc hơn

Một hàm f S: T

Là một "quy tắc" mà chỉ định cho mỗi phần tử của S là một yếu tố duy nhất của T

Một trong những ý tưởng cơ bản nhất của đại số giao hoán là các cấu trúc đại số được coi là cơ bản giống nhau nếu hiệu số duy nhất giữa chúng là cách thức các phần tử đã được đặt tên

Để thực hiện chính xác này, chúng tôi sẽ nói rằng cấu trúc là như nhau nếu chúng ta có thể thiết lập một hàm khả nghịch (nghịch đảo) từ một chỗ khác để giữ gìn cấu trúc đại số cần thiết

Mà làm cho nó đặc biệt quan trọng để hiểu được khái niệm về một hàm nghịch đảo, như đã giới thiệu trong phần này

Vấn đề giải quyết: § 2.1

20 Các "vạch thử đứng" từ giải tích nói rằng một đường cong trong xy – mặt phẳng là đồ thị của

một hàm số của x khi và chỉ khi không có đường thẳng đứng cắt đường cong nhiều hơn một lần Giải thích tại sao điều này đồng ý với định nghĩa 2.1.1

21 Các "vạch thử ngang" từ giải tích nói rằng một hàm song ánh khi và chỉ khi không có đường ngang giao cắt đồ thị của nó nhiều hơn một lần Giải thích tại sao điều này đồng ý với định nghĩa 2.1.4

nhiều hơn một

22 Trong tính toán đồ thị của một hàm nghịch đảo thu được bằng sự thể hiện

đồ thị của f về đường thẳng y = x Giải thích tại sao điều này nhất trí với định nghĩa 2.1.7

23 Cho A là một ma trận n n* nguyên trong R

Định nghĩa một biến đổi tuyến tính

L R R xác định bởi L x Ax, x R

(a) Chứng minh rằng L là một hàm nghịch đảo khi và chỉ khi det (A) = 0

(b) Chứng minh rằng nếu L có thể là hàm song ánh hoặc hàm toàn ánh, sau đó nó là khả nghịch

24.Cho A là một ma trận n n* nguyên trong R, và giả sử rằng mn

Xác định biến đổi tuyến tính :L R n R m, xác định bởi L x Ax, x R

Thấy rằng L là một hàm song ánh nếu det A A T 0 , nơi mà A là ma trận chuyển vị của A T

25 Cho A là một ma trận n n* nguyên trong R

Định nghĩa một biến đổi tuyến tính

L R R xác định bởi L x Ax, x R

Chứng minh rằng L là song ánh nếu và chỉ khi không có giá trị riêng của A là số không

Lưu ý: Một vector x được gọi là vector riêng của A nếu nó là khác không và tồn tại

một vô hướng (giá trị riêng)  như vậy Axx

26 Cho a là một phần tử không thay đổi của Z 17X

Xác định hàm: :Z17X Z17X

Xác định bởi:  x ax, x Z17X vậy  có phải là song ánh không? Nếu có thể, 1

là hàm nghịch đảo

2.2 Quan hệ tương đương:

Trong một loạt các tình huống nó có ích để chia lập thành các tập con trong đó các phần tử có một số tính chất chung Bạn đã quen thuộc với một trong những ví dụ quan trọng: trong chương

1 chúng tôi chia tập hợp các số nguyên thành các tập con, tùy thuộc vào số còn lại khi các số

nguyên được chia cho số nguyên n cố định

Điều này dẫn đến các khái niệm về đồng dư môđun n , mà là một mô hình cho khái niệm chung

của chúng ta về một quan hệ tương đương

Trong phần này bạn sẽ tìm thấy ba quan điểm khác nhau, nhìn vào ý tưởng một trong những cách phân chia một tập Stừ ba điểm thuận lợi khác nhau

Đầu tiên là định nghĩa của một quan hệ tương đương trên S, mà cho bạn biết khi hai yếu tố khác nhau của Sthuộc tập con tương tự

Sau đó, có khái niệm về một phân vùng của S, trong đó chú trọng vào việc mô tả các tập hợp con Cuối cùng, nó chỉ ra rằng tất cả các phân vùng (và quan hệ tương đương) thực sự xuất phát

từ một hàm ST , nơi mà chúng ta nói rằng x x1, 2 là tương đương nếu f x 1  f x 2

Lý do để xem xét một số quan điểm khác nhau xem như là một trong những tình huống một quan điểm có thể hữu ích hơn chổ khác Mục tiêu của bạn nên là tìm hiểu về mỗi quan điểm, để bạn có thể dễ dàng thay đổi với nhau, đó là một trợ giúp lớn trong việc quyết định quan điểm thực hiện

Vấn đề giải quyết: § 2.2

14 Trên tập   a b,  của tất cả cặp số nguyên dương, xác định x y1, 1 x y2, 2

nếu x y1, 2 x y2 1 Cho thấy đây là một định nghĩa mối quan hệ tương đương

15 Trên tập C của số phức, xác định z1 z2 Nếu z1  z2 Cho thấy ~ là một quan hệ tương đương

16 Cho u là một vector không đổi trongR , và cho rằng 3 u có chiều dài 1 Đối với vectơ v

và w , xác định v wnếu v • u = w • u, • là biểu thị dấu chấm sản phẩm tiêu chuẩn

Cho thấy ~ là một quan hệ tương đương, và đưa ra một mô tả hình học của các lớp tương đương của ~

Cho thấy công thức trên định nghĩa một hàm f Tìm thấy những hình ảnh của f và tập

12/

Z f của lớp tương đương được xác định bởi f

20 Trên tập của tất cả các n n ma trận trên R, xác định A B nếu có tồn tại một ma trận

nghịch đảo P mà PAP1B Kiểm tra thấy ~ là một mối quan hệ tương đương

2.3 Phép hoán vị

Phần này giới thiệu và nghiên cứu ví dụ quan trọng cuối cùng mà chúng ta cần làm trước khi chúng tôi bắt đầu nghiên cứu các nhóm trong Chương 3 Bạn cần phải làm đủ các tính toán

do đó bạn sẽ cảm thấy hài lòng trong việc giải quyết với hoán vị

Nếu bạn đang đọc một cuốn sách khác cùng với cuốn sách này, bạn cần phải lưu ý rằng một số tác giả đã mở rộng phép hoán vị bằng cách đọc từ trái sang phải, thay vì cách chúng ta đã xác định các phép nhân Cách nhìn của chúng tôi là hoán vị là một hàm, và chúng tôi viết các hàm bên trái, cũng giống như trong tính toán, vì vậy chúng tôi phải làm các tính toán từ phải sang trái

Trong nội dung chúng tôi lưu ý rằng nếu S là bất kỳ tập hợp nào, và ký hiệu Sym(S) là tập hợp của tất cả các hoán vị trên S

Sau đó chúng tôi có tính chất sau:

(i) Nếu  , Sym S ,thìSym S ;

(ii) 1SSym S  ;

(iii) Nếu Sym S , thì 1  

Sym S

Trong hai vấn đề,chúng ta cần định nghĩa sau đây:

Nếu G là một tập hợp con khác rỗng của Sym (S) chúng ta sẽ nói rằng G là một nhóm các hoán vị nếu các điều kiện sau đây giữ nguyên:

(i) Nếu  , Sym S ,thìSym S ;

, , , , , , ,

       

15 Cho  2, 4,9, 7 6, 4, 2,5,9 1, 6 3,8, 6   S9 Viết  như một sản phẩm của

chu kỳ phân chia Thứ tự của  là gì? Tính 1

18 Cho thấy S10 có các yếu tố của thứ tự 10, 12, và 14, nhưng không phải 11 hoặc 13

19 S là một tập hợp, và để cho X là một tập hợp con của S Để cho GSym S    X  X

Gợi ý: Sử dụng đạo hàm của f để hiển thị f là một hàm tăng vô hạn nghiêm ngặt

3 Trên Q tập hợp các số hữu tỉ, xác định x y nếu xylà một số nguyên Cho thấy ~ là một quan hệ tương đương

4 Tại S10 , cho 1,3,5, 7,9 ,  1, 2, 6 ,  1, 2,5,3 Cho   , viết  như một sản phẩm của chu kỳ phân chia, và sử dụng nó để tìm thứ tự của nó và nó

NHÓM

Nghiên cứu về nhóm, mà chúng tôi bắt đầu trong chương này, thường được coi là sự bắt đầu thực sự của đại số trừu tượng Bắt đầu từ số học của đại số liên quan đến việc bắt đầu sử dụng các biến, mà chỉ biểu diễn số khác nhau Nhưng các thao tác vẫn còn là những con số thông

thường như là cộng, trừ, nhân, chia

Bước đi từ đại số đến đại số trừu tượng liên quan đến việc cho phép các phép toán như một biến Lúc đầu chúng tôi sẽ sử dụng * hoặc • để đại diện cho một phép toán, để cho thấy rằng có thể đại diện cho phép cộng thông thường hay phép nhân, hoặc có thể là phép toán trên các ma trận hay Hàm số, hoặc thậm chí có một cái gì đó khá xa từ kinh nghiệm của bạn

Một trong những điều chúng tôi cố gắng để tạo ra ký hiệu là để cho nó trông quen thuộc, ngay cả khi nó đại diện một cái gì đó mới; rất sớm, chúng tôi sẽ chỉ viết ab thay vì a* b , miễn là tất cả mọi người đồng ý rằng chúng ta sử dụng ký hiệu này

3.1 Định nghĩa Nhóm:

Phần này bao gồm các định nghĩa: phép toán hai ngôi, nhóm, nhóm Abel, và nhóm hữu hạn Những định nghĩa này cung cấp các ngôn ngữ mà bạn sẽ làm việc với nó, và bạn chỉ cần phải biết ngôn ngữ này Cố gắng tìm hiểu nó rất tốt mà bạn không có thậm chí một dấu vết của điểm nhấn!

Nói một cách đơn giản, một nhóm là một tập hợp mà trên đó nó có thể xác định là một phép toán hai ngôi có các tính kết hợp, có một phần tử đơn vị, và có phần đảo cho mỗi phần tử của nó Nhận định chính xác được đưa ra trong Định nghĩa 3.1.3; bạn phải chú ý cẩn thận đến từng phần, đặc biệt là lượng hóa ("cho tất cả", "cho mỗi", "tồn tại"), và cần được nêu trong chính xác theo đúng thứ tự

Từ một điểm trên, các tiên đề cho một nhóm đưa chúng ta những gì mà chúng ta cần phải làm việc với các phương trình liên quan tới các phép tính trong nhóm Ví dụ, một trong những

nguyên tắc mà bạn được sử dụng để nói rằng bạn có thể nhân cả hai bên của một phương trình bằng giá trị như nhau, và phương trình vẫn sẽ giữ nguyên

Sự hoạt động các phép toán trong một nhóm, vì nếu x và y là các nhân tố của một nhóm G, và

x y , sau đó a x  a y , đối với bất kỳ yếu tố a trong G

Đây là một phần sự bảo đảm mà đi kèm với định nghĩa của một phép toán hai ngôi Điều quan

trọng cần lưu ý là ở cả hai bên của phương trình, a nhân bên trái.Chúng tôi cũng có thể đảm bảo

rằng a x  y a , nhưng chúng ta không thể đảm bảo rằng a x y a   , kể từ khi thao tác trong nhóm không thể thỏa mãn luật giao hoán

Sự tồn tại của phép nghịch đảo cho phép hủy bỏ (xem Phần 3.1.6 cho các phần nêu chính xác) Hãy nhớ rằng trong một nhóm không có đề cập đến phép chia, do đó bất cứ khi nào bạn đang viết a b a b , / , bạn phải viết a b 1 hoặc b a1 .Nếu bạn là cẩn thận về phép nhân, và không lầm

về phép chia, bạn có thể được an toàn khi làm những điều quen thuộc với một phương trình có liên quan đến các yếu tố của một nhóm

Hiểu biết và ghi nhớ các định nghĩa sẽ cho bạn một mức độ hiểu biết Cấp độ tiếp theo nhờ hiểu biết một số ví dụ điển hình Cấp độ thứ ba của sự hiểu biết đến từ cách sử dụng định nghĩa để chứng minh sự khác nhau về các nhóm Dưới đây là một số ví dụ quan trọng Đầu tiên, các tập hợp , , ,Z Q R C tạo thành nhóm thuộc phép cộng.Tiếp theo, các tập hợp Q , X X

R , và C tồn X

tại số khác không tạo thành các nhóm với phép nhân.Các tập hợpZ và Z là nhóm thuộc phép n

cộng, trong khi Z là một nhóm với phép nhân n X

Ta thường để chỉ danh sách các tập hợp là các nhóm, không đề cập các phép tính của nó, vì trong mỗi trường hợp chỉ có một trong hai phép tính quen thuộc có thể được sử dụng để làm cho các tập hợp tạo thành một nhóm

Tương tự như vậy, các tập hợp M n R của tất cả các n n ma trận với các mục trong R là một nhóm thuộc phép cộng, nhưng không phải phép nhân, trong khi tập GL R của tất cả các ma n 

trận nghịch đảo n n với R là một nhóm với phép nhân, nhưng không phải phép cộng

Không nên có bất kỳ sự nhầm lẫn trong danh sách các nhóm, mà không đề cập cụ thể các phép toán được sử dụng

Trong việc nghiên cứu các nhóm hữu hạn, ví dụ quan trọng nhất đến từ nhóm các ma trận Tôi vẫn nên đề cập đến các động cơ ban đầu để nghiên cứu các nhóm

đến từ việc nghiên cứu tập hợp các hoán vị, và do đó, nhóm đối xứng S n vẫn có một vai trò quan trọng

Xem xét các vấn đề 3.1:

22 Sử dụng ký hiệu dấu chấm để xác định một phép nhân trên R Điều này làm cho 3 R vào 3

một nhóm?

23 Cho vectơ x y z và 1, 1, 1 x y z2, 2, 2 trong R3 ,ký hiệu dấu chéo được xác định bởi

x y z1, 1, 1  x y z2, 2, 2  y z1 2z y z x1 2, 1 2x z x y1 2, 1 2y x1 2 R là một nhóm với phép nhân này? 3

24 Trên các tập hợp GQ X của các số hữu tỉ khác 0, xác định một phép nhân mới bởi

2

ab

a b a bG Chứng minh rằng G là một nhóm với phép nhân này

25 Viết ra các bảng nhân cho Z 9X

26 Viết ra các bảng nhân cho Z 15X

27 Cho G là một nhóm, và giả sử rằng a và b là phần tử bất kỳ của G Chứng minh rằng

nếu   2 2

ab a b , thì baab

28 Cho G là một nhóm, và giả sử rằng a và b là phần tử bất kỳ của G Chứng minh rằng

aba ab a với bất kỳ số nguyên dương n

29 Định nghĩa 3.1.3 trong bài, thay thế điều kiện (iii) với điều kiện là có tồn tại eG như vậy

,

e a   a a G, và thay thế điều kiện (iv) với điều kiện là cho mỗi aG có tồn tại a'G với

'

a a e Chứng minh rằng những điều kiện yếu hơn (đưa ra chỉ bên trái), chỉ ra G là một nhóm

30 Bài tập trước cho thấy rằng trong định nghĩa của một nhóm đó là đủ để đòi hỏi sự tồn tại của một phần tử đơn vị trái và tồn tại của nghịch đảo Cho một ví dụ để cho thấy rằng nó không phải

là đủ để yêu cầu sự tồn tại của một phần tử đơn vị trái cùng với sự tồn tại của nghịch đảo ngay

31.Cho F là tập hợp của tất cả các biến đổi tuyến tính phân số của mặt phẳng phức hợp Có nghĩa là, F là tập hợp của tất cả các hàm có dạng f z C : C có dạng f z  az b

(a) Chứng minh rằng phép toán * là tập đóng trên G

(b) Chứng minh rằng các quy luật kết hợp với *

hoán vị là một nhóm nhỏ của Sym (S), đối với một số tập S Bất kỳ nhóm n n ma trận (với các mục R) là một nhóm của GL R n 

Nếu ý tưởng của một nhóm con nhắc nhở bạn về nghiên cứu không gian con trong đại số tuyến

gian vector, nó tạo thành một nhóm Abel, và bất kỳ không gian con tự động là một nhóm nhỏ Bây giờ có thể là một thời điểm tốt để lấy phần đại số tuyến tính của bạn và xem xét không gian vectơ và không gian con

Định lý Lagrange là rất quan trọng Nó nói rằng trong một nhóm hữu hạn số lượng các yếu tố trong bất kỳ nhóm con phải là một số chia tổng số các phần tử trong nhóm Đây là một thực tế hữu ích để biết khi bạn đang tìm kiếm nhóm trong một nhóm nhất định

Nó cũng quan trọng để nhớ rằng mọi phần tử trong một nhóm định nghĩa a là một nhóm con

 a , bao gồm tất cả các quyền hạn (tích cực và tiêu cực) của phần tử này Các nhóm con này có

 

o a các phần tử, trong đó o (a) là thứ tự của a Nếu nhóm là hữu hạn, sau đó bạn chỉ cần nhìn

vào quyền hạn tích cực, vì trong trường hợp đó nghịch đảo a1

của bất kỳ yếu tố có thể được thể hiện dưới dạng a n , đối với một số n> 0

Nhận xét 3.2:

23 Tìm tất cả nhóm Cyclic là nhóm con của Z 24X

24 Trong Z , tìm thấy hai nhóm con thứ tự là 4, một trong đó là Cyclic và một trong đó không 20X

phải là Cyclic

25 (a) Tìm các nhóm con cyclic của S được tạo ra bởi các phần tử (1, 2, 3) (5, 7) 7

(b) Tìm một phân nhóm của S có chứa 12 phần tử Bạn không cần phải liệt kê tất cả các yếu 7

tố nếu bạn có thể giải thích tại sao phải có 12, và tại sao họ phải hình thành một nhóm con

26 Trong G Z 21X thấy rằng:

 21 1 mod3

H  x x và Kx x21 1 mod 7   và là nhóm con của G

27 Cho G là một nhóm Abel, và để cho n là số nguyên dương cố định cho thấy

N  g G g a a G    là một nhóm con của G

28.Giả sử p là một số nguyên tố có dạng p2 1n

(a) Chứng minh rằng trong Z thứ tự 2 p X  p là 2n

(b) Sử dụng phần (a) để chứng minh rằng n phải là một lũy thừa của 2

29 Trong nhóm phép nhân của tập C X của số phức, tìm thứ tự của các phần tử 2 2

từ một vài trường Dữ liệu các ma trận này được nhập từ trường Z , từ một vài số nguyên tố p

p , và cho phép chúng ta xây dựng rất nhiều sự thú vị về các nhóm hữu hạn như các nhóm

con của GL n( p)

Việc xây dựng thứ hai trong mục này là tích trực tiếp, có hai nhóm đó là nhóm đã biết và

xây dựng một nhóm mới, sắp xếp thành cặp Điều này có thể mở rộng thành n-tuples, nơi

mà nhập dữ liệu vào trở thành thành phần thứ i từ một nhóm G , và n-tuples là tích bởi hai i

thành phần Ở đây nhằm khái quát hóa thành phần của không gian vecto n chiều (trường hợp

đó trở nên đơn giản hơn nhiều khi nhập các phần tử đều giống nhau )

19 Trong nhóm GZ36 , giả sử H = {[x]| x ≡ 1(mod 4)} và K = {[y]│ y ≡ 1 ( mod 9)}.Chứng

tỏ rằng H và K là các nhóm con của G, và tìm nhóm con HK

20 Chứng tỏ rằng nếu p là con số nguyên tố, khi đó bậc của nhóm đơn tuyến tính tổng quát

  Tìm nhóm con trung tâm C(A) và C(B) và chứng tỏ

C(A) C(B) = Z(G) , khi đó Z(G) là con của G

23 Tính nhóm con trung tâm GL2(Z3) của ma trận 2 1

3.4 PHÉP ĐẲNG CẤU

Một song ánh tương ứng : G1  G2 giữa nhóm G1 và G2 gọi là nhóm đẳng cấu nếu (ab) ( ) ( )a b

   với mọi a b G,  1 , Hàm  có thể xem đơn giản là đổi tên phần tử của G1, khi

nó là song ánh và toàn ánh Với điều kiện đó là ( ab) ( ) ( )a b với mọi a b G,  1, tất nhiên việc nhân có thể thực hiện trên nhóm và chuyển nó sang nhóm khác, khi đó hàm nghịch đảo - 1

cũng đóng vai trò quan trọng trong phép nhân của hai nhóm

Trong điều kiện phép nhân của từng nhóm ta lập bảng tương ứng của G1 và G2 , sự tồn tại của phép đẳng cấu đảm bảo nó là một phương pháp tập hợp trên một đẳng cấu giữa các phần tử của nhóm trong cùng một loại lập bảng phép nhân của nhóm sẽ thấy rõ ràng chúng giống nhau

Ở góc độ một môn đại số, chúng ta nên hiểu nhóm đẳng cấu thực chất giống nhau Bài toán tìm thấy ở nhóm Aben thứ 8 khó thể lý giải , bỏi vì chúng có nhiều khả năng là vô tận Nhưng nếu chúng ta tìm hiểu từ mục lục của nhóm Aben thứ 8 đảm bảo nhiều vấn đề khó từ nhóm Aben thứ

8 phải tồn tại một phép đẳng cấu trên bảng danh sách của một nhóm Trong thực tế , chúng ta chỉ

ra ( trong phần 7.5) ở đó có sự trả lời cho câu hỏi này là sự liệt kê Z8 , Z4 x Z2, Z2 x Z2 x Z2 Trong tình cảnh này chúng ta có thể nói rằng nó sẽ giúp chúng ta tìm kiếm tất cả nhóm Aben thứ

25 Định nghĩa : Z30 x Z2 Z10 x Z6 xác định bởi ( [n]30,[ m]2) = ([n]10,[4n+ 3m]6), với

mọi ([n]30, [m]2)  Z30x Z2 Đầu tiên chứng minh  là một hàm định nghĩa hồn chỉnh ,

khi đĩ chứng minh rằng  là nhĩm đẳng cấu

26 Gỉa sử G là nhĩm và H là nhĩm con của G Chứng tỏ rằng nếu a là là phần tử của G khi đĩ

nĩ là nhĩm con

1  1 

aHa  gG gaha tồn tạihH là nhĩm con của G đĩ là phép đẳng cấu từ H

27 Gỉa sử cho các nhĩm G, G1, G2 Chứng tỏ nếu G là nhĩm đẳng cấu từ G1 x G2, khi đĩ H là

nhĩm con và K trong G như vậy H K  e , HK = G, và hk = kh mọi h  H k  K

28 Chứng tỏ rằng mỗi số nguyên tố p, nhĩm con của ma trận chéo trong GL2(R) là nhĩm đẳng

(b) Chứng tỏ rằng H là nhĩm đẳng cấu của nhĩm R của tất cả số thực trên phép nhân

30 Gỉa sử G là nhĩm con của GL2 (R) định nghĩa bởi

Chứng tỏ rằng G khơng phải là phép đẳng cấu từ tích số thực Rx x R

31 Gỉa sử H là nhĩm con theo sau của nhĩm G = GL2(Z3)

32 Gỉa sử G là một nhĩm và giả sử S cho bởi một vài điểm nào đĩ tồn tại duy nhất hàm :

G  S Theo định nghĩa sự di chuyển trên S đặt bởi x1 x2 = ( 1(x1), 1(x2) , mọi

x1 x 2 S.Chứng minh rằng S là nhĩm chuyển vị , và  là nhĩm đẳng cấu

5.5 NHĨM XYCLIC

Chúng ta bắt đầu việc học của chúng ta rất nhiều điều cụ thể rút ra từ mơn đại số, bằng

cái nhìn từ nhĩm Z của nhiều phép tốn và nhĩm họ Zn Chúng ta tìm ra mỗi nhĩm là tạobởi các

nguyên lý cơ bản, và từ đĩ thúc đẩy sự xác định rút ra nhĩm xyclic Trong phần này, định lý

3.5.2 cho thấy rất nhiều nhĩm xyclic là đẳng cấu từ một vài ví dụ cụ thể, cũng như tất cả tài liệu

từ nhĩm xyclic điều chứa đựng trong các ví dụ cơ bản này

Bạn sẽ đặc biệt chú ý vấn đề 3.5.3, với sự mơ tả từ phân nhĩm con của Zn, chúng cho

thấy mối quan hệ một đối một với ước số dương của n

Cho n là một lũy thừa, khi đó phân nhóm con “sắp xếp trật tự” trong khẳ năng đó nó lên hai nhóm con nào đó, một là nhóm con của nhóm khác Nhóm xyclic này có đặc điểm cấu trúc đơn giản, và hình thức cơ bản xây dựng nên khối từ các nhóm Aben hữu hạn.( Từ định lý 7.5.4 chúng ta sẽ chứng minh mọi định nghĩa nhóm Aben hữu hạn là phép đẳng cấu từ phép nhân của nhóm xyclic,

GIẢI BÀI TẬP § 3.5

20 Chứng tỏ rằng ba nhóm Z6, Z9x và Z18x thì đẳng cấu với nhau

21 Z4 x Z10 thì đẳng cấu trong Z2 x Z20 phải không ?

22 Z4 x Z15 thì đẳng cấu trong Z6 x Z10 phải không ?

23 Đưa ra sơ đồ lưới của nhóm con của Z100

24 Tìm tất phần tử sinh của nhóm xyclic Z28

25 Trong nhóm Z30, tìm bậc của nhóm con  18 30 ;tìm bậc của  24 30

26 Chứng minh nếu G1 và G2 là nhóm liệt kê từ 7 và 11, riêng biệt , khi đó tích G1 vàG2 là nhóm tuần hoàn

27 Chứng tỏ rằng một vài nhóm xyclic ngay cả có bậc chính xác thì có một phần tử có bậc là

nó có thể cung cấp kiến thức nhiều lĩnh vực khác nhau

Bạn phải hết sức nổ lực để hiểu về nhóm dihedral D Chúng có thể diễn tả một cách cụ n

thể, trong các số hạng của sự dịch chuyển cố định của một n - cạnh, nhưng cũng có thể được

mô tả một cách trừu tượng hơn trong các số hạng của hai phần tử sinh a (bậc n ) và b (bậc 2)

sao cho thỏa mãn quan hệ baa b1 Chúng ta có thể viết

24 Trong S , tìm nhóm con H sinh bởi (1,2,3) và (1,2) 4

25 Cho nhóm con H của S được định nghĩa trong vấn đề trước, tìm nhóm con tương ứng 4

1

H

 

, cho  (1, 4)

26 Chứng minh rằng mỗi phần tử trong A có thể viết như tích của 3 vòng tròn 4

27 Trong nhóm dihedral D n a b i i 0 i n,0 j 2 với O a( )n O b, ( )2, và baa b1 , tìm nhóm con trung tâm của a

28 Tìm nhóm con trung tâm của (1,2,3) trong S S3, 4 và A 4

3.7 PHÉP ĐỒNG CẤU

Trong mục 3.4 chúng tôi đã giới thiệu khái quát về sự đồng cấu, và đã được học chi tiết thế nào là hai nhóm có tính đồng cấu Trong mục này chúng tôi đã chỉ ra các công thức mà các phép toán nhóm cần thiết nhưng không thể song ánh và toàn ánh Có nhiều ví dụ quan trọng cho đồng cấu nhóm mà không đẳng cấu, và thật vậy chứng minh sự đồng cấu là cách chỉ ra mối quan

hệ một nhóm với một nhóm khác

Kết quả quan trọng nhất trong mục này là định lý 3.7.8, nó là dạng sơ bộ của định lý

Đồng cấu cơ bản (Phát biểu đầy đủ được đưa ra trong định lý 3.8.8, sau đó phát triển thành khái

niệm các lớp và các nhóm thương) Trong việc thành lập công thức định lý Đồng cấu cơ bản ,

chứng ta bắt đầu với một đồng cấu nhóm : G1G2 Thật là dễ dàng để chứng minh rằng ảnh của (G) là một nhóm con của G Hàm  có quan hệ tương đương liên kết với nó, giả sử

a b thì ( ) a ( )b , sao cho a b G,  1 Như trong , khi chúng ta dùng định nghĩa quan hệ

tương đương cho mođun đồng cấu dư n , chúng ta có thể định nghĩa một phép toán nhóm trên

các lớp tương đương , dùng phép toán trong G Theo định lý 3.7.8 chứng minh đây là nhóm 1

đẳng cấu trong (G1) Vì thế cho nên phép đồng cấu không thể là phép đẳng cấu giữa G và 1 G 2

Nó được định nghĩa là một phép đẳng cấu giữa một nhóm con G và nhóm mà chúng ta gọi là 2

18 (a) Tìm các công thức cho tất cả các đồng cấu nhóm từ 18 đến 30

(b) Chọn một công thức khác rỗng từ mục a), và đối với công thức này chỉ ra hạt nhân và tạo ảnh, và chỉ ra cách tìm phần tử ảnh tương ứng cho các lớp hạt nhân

19 (a) Chứng minh rằng 7 là xiclic sinh bởi [3] 7

(b) Chứng minh rằng 17 là xiclic sinh bởi [3] 17

(c) Xác định đầy đủ tất cả các đồng cấu nhóm từ 17 đến 7

20 Cho : 4 6 4 3 xác định bởi ( , ) x y  (x 2 , )y y

(a) Chứng minh rằng  là một đồng cấu nhóm thực sự

(b) Tìm hạt nhân và tạo ảnh của  và vận dụng định lý đồng cấu cơ bản

21 Cho n và m là những số nguyên dương, sao cho m là ước của n Chứng minh rằng

    xác định bởi    x n  x m, với mọi  x n n, là một đồng cấu nhóm thực sự

22 Cho đồng cấu nhóm : 36 12 xác định bởi   x 36 x 12 với mọi  x 36 36, tìm hạt

nhân ( Ker) và tạo ảnh của , và vận dụng định lý đồng cấu cơ bản

23 Cho G G, 1 và G là các nhóm Cho 2 1:GG1 và 2:GG2 là các đồng cấu nhóm Chứng minh rằng : G G1 G2 xác định bởi ( )x 1( ),x 2( )x , với mọi x G ,là một đồng cấu nhóm thực sự

24 Cho và p q là những số nguyên tố lẻ khác nhau Chứng minh rằng pq là đẳng cấu trực tiếp xây dựng p q

3.8 Các lớp, Nhóm con chuẩn tắc, và Nhóm thương

Khái niệm một nhóm thương là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong đại số trừu tượng Để xây dựng một nhóm thương, chúng ta bắt đầu với nhóm con chuẩn tắc và xây dựng chúng trên các lớp tương đương Đây là song cấu trúc đi từ n đến , ở đâu chúng ta có ( )

ab mod n nếu khi và chỉ khi nếu a b n  Sự phức tạp duy nhất đó là quan hệ tương

đương lưu ý các phép toán trong G và chỉ khi nhóm con là nhóm con chuẩn tắc Tất nhiên,

trong nhóm Aben chúng ta có thể dùng một vài nhóm con, khi tất cả các nhóm của nhóm Aben là chuẩn tắc

Chìa khóa của ý tưởng để bắt đầu suy nghĩ là các lớp tương đương như các phần tử phải trong lớp của chúng Điều này chúng ta đã biết trong chương 1, tại chương đầu tiên đó chúng ta

đã để ý đến lớp đồng dư vô hạn tạo từ các số nguyên, và tại mục 1.4 khi chúng ta làm việc với

n chúng ta bắt đầu dùng ký hiệu [ ]a n, đề nghị bây giờ chúng ta nghĩ đến việc thiết lập cho các phần tử đơn

Hiện tại chúng ta đang dùng định lý đồng cấu căn bản, nó thật có ích cho nghề nghiệp, bởi vì nó có thể đem lại cho nhiều việc làm Hầu như thông thường chúng ta cần chỉ ra một nhóm thương G N là chúng ta có thể xây dựng tính đẳng cấu cho nhóm / G khác Cách dễ 1

dàng nhất để làm việc này là xác định ánh xạ đồng cấu  đi từ G vào G , làm cho 1 chắc chắn

là hạt nhân của  Nếu bạn chứng minh rằng  là ánh xạ G vào G1, sau đó dùng định lý đồng cấu căn bản để làm công việc còn lại, chỉ ra tồn tại một đẳng cấu thực sự giữa G N/ và G 1

Bản chất câu truyện này là nếu bạn xác định một hàm G khác với G N/ , thông thường bạn không cần bận tâm đến tính xác thực của nó Mặt khác, nếu bạn xác định một hàm trên lớp /

G N , cách thuận lợi nhất là dùng một công thức xác định để biểu diễn cho lớp N Khi đó bạn

phải cẩn thận việc chứng minh công thức mà bạn đã dùng để không rơi vào trường hợp đặc biệt của việc chọn đại diện Đến đây bạn phải chứng minh rằng công thức vừa xác định là một hàm Sau đó bạn chứng minh hàm của bạn xác định là song ánh, trong phép cộng chứng minh nó tăng

và lưu tâm đến các phép toán trên hai nhóm Như nếu hàm của bạn là các lớp phụ thuộc, nó có thể có nhiều kỹ sảo hơn để chứng minh rằng nó là song ánh để đơn giản cho việc tính toán hạt

GIẢI BÀI TẬP: §3.8

27 Liệt kê các lớp từ 7 trong 16, nhóm thương 16 / 7 là cyclic phải không ?

28 Cho G 6 4, cho H (0,0),(0, 2) và cho K (0,0),(3,0)

(a) Liệt kê tất cả các lớp của H , liệt kê tất cả các lớp K

(b) Bạn có thể giả sử rằng có một vài nhóm Aben bậc 12 là đẳng cấu hoặc là 12 hoặc là

6 4 Tìm câu trả lời đúng cho G H/ ? cho /G K ? ?

29 Cho nhóm nhị diện D được đưa qua hàm sinh và hàm quan hệ, với phần tử sinh n a có bậc n

và b có bậc 2, thỏa mãn baa b1

(a) Chỉ ra rằng ba i ai với mọi , 1i  i n

(b) Chỉ ra rằng một vài phần tử dạng a b có bậc 2 i

(c) Liệt kê tất cả các lớp bên trái và tất cả các lớp bên phải của b

30 Cho GD6 và cho N là nhóm con 3  3

,

a  e a của G

(a) Chứng minh rằng N là nhóm con chuẩn tắc của G

(b) G N là Aben phải không ? /

31 Cho G là nhóm nhị diện D , và cho 12  3 6 9

, , ,

N  e a a a

(a) Chứng minh rằng N là nhóm con chuẩn tắc của G , và liệt kê tất cả các lớp của N

(b) Bạn có thể thừa nhận G N là đẳng cấu trên / 6 hoặc S có đúng không nếu sai sửa cho 3

đúng ?

32 (a) Cho G là một nhóm Với , a b G chúng ta nói rằng b liên hợp với a , viết là b a ,

nếu tốn tại gG sao cho bgag1 Chứng minh rằng là một quan hệ tương đương trên G

Các lớp tương đương của được gọi là lớp liên hợp của G

(b) Chứng tỏ rằng một nhóm con N của G chuẩn tắc trong G khi và chỉ khi N là một giao của

các lớp liên hợp

33 Tìm các lớp liên hợp của D4

34 Cho G là một nhóm, và cho N và H là các nhóm con của G sao cho là chuẩn tắc trong G

(a) Chứng minh rằng HNlà một nhóm con của G

(b) Chưng minh rằng N là nhóm con chuẩn tắc của HN

(c) Chứng minh rằng nếu H N    e , thì HN N / là đẳng cấu trong H

4 Chứng tỏ rằng nhóm G trong bài toán trước là đẳng cấu tích trực tiếp 

5 Liệt kê các lớp của nhóm con cyclic 9 trong 20 20 / 9 có phải cyclic không ?

6 Cho G là nhóm con của GL2( ) bao gồm tất cả các ma trận có dạng

7 Giả sử rằng nhóm nhị diện (nhóm dihedral) D4 được đưa ra như

(a) Chỉ ra bằng cách tính toán trực tiếp thì N là nhóm con chuẩn tắc của D4

(b) Nhóm thương D4 / N là một nhóm cilic phải không ?

ĐẶNG VĂN CƯỜNG (dịch từ trang 33 – 42)

Trong chương này chúng ta quay trở lại một số chủ đề trong chương 1 Chúng ta cần nói về ước chung lớn nhất của hai đa thức, và khi hai đa thức là nguyên tố cùng nhau Khái niệm của một số nguyên tố được thay thế bởi đa thức tối giản Chúng ta có thể làm việc với các lớp đồng dư của

đa thức, giống như chúng ta đã làm với các lớp đồng dư số nguyên Điểm mà chúng ta đáng nói

ở đây là xem lại các định nghĩa và định lý trong chương 1

Trong phép cộng để tổng quát hóa các ý tưởng từ số nguyên sang đa thức, chúng ta muốn phát triển xa hơn trong đại số phổ thông trung học, để có thể làm việc với các hệ số này không thể là các số thực Đây là động cơ phát triển định nghĩa trên trường, điều mà hoàn toàn mù mịt trong định nghĩa trong nhóm ( bây giờ có hai phép toán thay thế cho nó) Vấn đề này chúng ta có thể xem lại trong chương 3

Bởi vì bây giờ chúng ta có nhiều bài tập hơn khi bắt đầu ở chương 1 Tôi không thể mổ

sẻ từng vấn đề đơn lẻ được Tất nhiên, bạn cũng không thể chờ đợi đến khi bạn đã hoàn thành chương để luyện tập giải một số bài tập trong chương này

2x 3x 2x2và biểu thị nó như là một tổ hợp tuyến tính của đa thức xác định

5 Các đa thức sau đây đã tối giản trên phải không ?

(b) Liệt kê các phần tử trên trường F  3[ ] /x x 1

(c) Trong phép nhân nhóm phần tử khác không của F , chứng tỏ rằng x1 là hàm sinh nhưng  x thì không

9 (a) Biểu diễn x4x thành tích của các đa thức rút gọn trên 5

(b) Chứng tỏ rằng 3 2

x  x  đã rút gọn trên 5

10 Biểu diễn 2x3x22x2 thành tích của các đa thức rút gọn trên 5

11 Cho một ví dụ của một trường với phần tử 3

CHƯƠNG 5 VÀNH GIAO HOÁN

Đây là chương phát triển trên cơ sở từ chương 1 và chương 4, mở rộng kết quả nhân tử hóa từ tổng quát sang cụ thể hơn cho số nguyên hay đa thức trên một trường Khái niệm nhân tử của vành phụ thuộc nhiều vào định nghĩa tương ứng cho nhóm, vì thế bạn cần xem lại hai nội dung từ chương 3 Nhớ rằng luật phân phối cũng được liên kết bởi hai phép toán trên một vành

Vì nó là các yếu tố chính trong các chứng minh sau này chúng ta thấy

MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP

Xem như vành có tám phần tử gồm ma trận cỡ 3 3 với các đối tượng lấy trong

2được cho theo kiểm ma trận sau:

0 0

a a

2 Cho với vành 2[ ] /x x21 Chứng tỏ rằng mặt dù trên có bốn phần tử nhưng

nó không đẳng cấu trên vành 4 hoặc 2 2

3 Tìm tất cả các đồng cấu vành từ 120 đến 24

4 9 và 3 3 xem như vành đẳng cấu đúng không ?

5 Trong nhóm khả nghịch 180 của vành 180,tìm cấp của một phần tử lớn nhất có thể ?

6 Cho phần tử a(0;2) của vành  12 8, tìm Ann a( )  r ra0 Chứng

tỏ rằng Ann a là một Iđêan trên ( )

7 Giả sử trên cho vành 2[ ] /x x41 , và giả sử I được tạo bởi tất cả các lớp đồng

 

(a) Chứng tỏ I là Iđêan của

(b) Chứng tỏ rằng 2

2/I  x 1 (c) I là một Iđêan trên phải không ?

Gợi ý : Nếu bạn dùng định lý đồng cấu cơ bản, bạn có thể làm hai phần đầu với nhau

8 Tìm tất cả các vành tối đại và tất cả các vành nguyên tố của 36 / 36

9 Cho một ví dụ chứng tỏ rằng tập hợp tất cả ước của không của vành không cần là một iđêan của vành

10 Giả sử I là tập con của [ ] x bao gồm tất cả các đa thức ngay cả hệ số Chứng minh

rằng I là một vành nguyên tố, chứng minh I không là tối đại

11 Giả sử có vài vành giao hoán với đồng nhất thức 1

(a) Chứng minh e là một phần tử lũy đẳng của , khi đó 1 e cũng là lũy đẳng

(b) Chứng minh e là lũy đẳng, khi đó  e (1e)

14 Chứng minh rằng các vành và S của hai bài toán trước là đẳng cấu như nhóm

(Aben) , nhưng không giống như vành

15 Giả sử [ ]i là vành con của trường số phức cho bởi :

[ ]i  m ni  m n, 

(a) Cho : [ ]i  2 xác định bởi (m ni ) [ m n ]2 Chứng minh rằng  là vành đồng cấu Tìm ker( ) và chứng minh rằng nó là một iđêan chính của [ ]i

(b) Cho số nguyên tố p , cho : [ ]i  2[ ] /x x21 xác định bởi (m ni) [m nx]

    Chứng minh rằng  là một vành đồng cấu phía trên

16 Giả sử I và J là iđêan của vành giao hoán , và xác định bởi hàm thức : /I / J

   bởi ( ) r  (r I r, J) , với mọi r

(a) Chứng minh rằng  là vành đồng cấu, với ker( )  I J

(b) Chứng minh rằng nếu I J , khi  là toàn ánh, và như vậy / (IJ) /I /J

17 Để ý rằng [ ]x là một vành con của [ ] x , chứng minh rằng đây là hai miền nguyên

giống như trường thương

18 Giả sử p là số nguyên tố lẻ, số không có đồng dư 1 mod 4 Chứng minh rằng vành

2[ ] / 1

p x x  là một trường

Gợi ý : Chứng minh rằng một nghiệm của x2  1 chính là một phần tử cấp bốn của phép nhân nhóm p

CHƯƠNG 6 TRƯỜNG

Đây là bài tập ôn bao phủ không chỉ ba phần đầu của chương Nếu bạn đang được học toán đại số trừu tượng để có ý định trở thành giáo viên phổ thông, thật là chính xác đây là một mảng (nó được thực hiện chủ yếu trên đa thức) mà nó có liên quan nhất đến bạn sau này trở thành giáo viên toán

(c) Tìm đa thức cực tiểu của 2 i trên

3 Tìm đa thức cực tiểu của 132 trên

4 Chứng minh rằng x36x212x2 là tối giản trên , và phần còn lại tối giản trên

5( 2)

5 Tìm một cơ sở của  5, 5 trên 3 

CHƯƠNG 1 SỐ NGUYÊN

1.1 LỜI GIẢI

22 Tìm ÖCLN435,377, và biểu diễn nó tổ hợp tuyến tính của 435 và 377

Lời bình : Bạn cần biết cách xác định phương pháp để giải bài này

Lời giải : Chúng ta sẽ dùng thuật toán Ơclit Chia số lớn hơn thành số nhỏ hơn Bạn

xác định được thương là 1 và số dư là 58 Sau khi chia 435 cho 377 ta được 1 và dư là

7 Và tiếp tục dùng thuật toán Ơclit giống như ví dụ 1.1.4 Bạn nên làm theo thuật toán sau :

ÖCLN

Lặp lại phép chia và chứng minh rằng ÖCLN435,37729, khi số dư của thuật toán cuối cùng là 0 Viết 29 là tổ hợp tuyến tính của 435 và 377 Chúng ta có thể dùng thuật toán tương tự nhưng chúng ta cũng cần giải chúng để tìm số dư



Đây là tổ hợp tuyến tính mà ta cần, 29 = (7)(377) (6)(435)

23 Tìm ÖCLN3553,527, và biểu diễn nó tổ hợp tuyến tính của 3553 và 527

Lời bình : Lúc này chúng ta có ma trận cho thuật toán Ơclit Bạn có thể dùng hai

cách giải thuật toán (như trong bài 22) và dùng ma trận Trong chương 4, thuật toán Ơclit được dùng cho đa thức, và phương pháp dùng ma trận sẽ không quá phức tạp, khi chúng ta đã thích nghi với thuật toán cũ

Lời giải : Tương tự như bài 22, bước đầu tiên là chia nhỏ hơn trong số lớn hơn

Chúng ta tính 35536.527 391 , ta nhân hàng cuối của ma trận 1 0 3553