bài dịch đại số trừu tượng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM KHOA TOÁN - TIN Bài dịch Lớp Toán VB2-K2 (nhóm 1) ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 1 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam HUỲNH VĂN AN (dịch từ trang 3 – 12) MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU v 1. SỐ NGUYÊN 1 1.1. Ƣớc Số ……………………………………………………………………… 1 1.2. Số Nguyên Tố ………………………………………………………………. 2 1.3. Đồng Dƣ Thức ……………………………………………………………… 3 1.4. Số Nguyên Môđun n ……………………………………………………… 5 Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 6 2. HÀM SỐ 7 2.1. Hàm Số ……………………………………………………………………… 7 2.2. Quan Hệ Tƣơng Đƣơng …………………………………………………… 8 2.3. Hoán Vị .…………………………………………………………………… 10 Bài Tập Ôn Tập ………………………………………………………………… 12 3. NHÓM 13 3.1. Định Nghĩa Nhóm …………………………………………………………… 13 3.2. Nhóm Con …………………………………………………………………… 15 3.3. Xây Dựng Các Ví Dụ ……………………………………………………… 17 3.4. Đẳng Cấu ………………………………………………………………… 18 ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 2 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam 3.5. Nhóm Xyclic ……………………………………………………………… 20 3.6. Nhóm Hoán Vị ……………………………………………………………… 21 3.7. Đồng Cấu …………………………………………………………………… 22 3.8. Lớp, Nhóm Con Chuẩn Tắc Và Nhóm Thƣơng …………………………… 24 Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 26 4. ĐA THỨC 27 Bài Tập Ôn Tập 27 5. VÀNH GIAO HOÁN 29 Bài Tập Ôn Tập 29 6. TRƢỜNG 33 Bài Tập Ôn Tập …………………………………………………………………. 33 LỜI GIẢI 33 1. Số Nguyên 35 2. Hàm Số 49 3. Nhóm 57 4. Đa Thức 87 5. Vành Giao Hoán 93 6. Trƣờng 101 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 BẢNG THUẬT NGỮ 105 ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 3 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam LỜI NÓI ĐẦU Lần đầu tiên giảng dạy khóa học đại số trừu tƣợng năm 1968, tôi đã sử dụng quyển sách Herstein’s Topics in Algebra làm tài liệu. Thật khó để phát triển nội dung của quyển sách đó; môn học trở nên rộng lớn hơn với phần ứng dụng trong tính toán và các lĩnh vực khác, tuy nhiên các chủ đề của sách bao hàm hạt nhân của bất kỳ khóa học đại số trừu tƣợng nào. Tiếc rằng, môn học đã không trở nên dễ dàng hơn, vì vậy sinh viên tiếp cận đại số trừu tƣợng phải cố gắng học nhiều khái niệm mới, hơn nữa họ còn phải học cách trình bày phần chứng minh của mình nhƣ thế nào. Quyển sách “hƣớng dẫn học” sẽ hỗ trợ những sinh viên mới bắt đầu học đại số trừu tƣợng. Thay vì chỉ mở rộng nội dung trong sách bài học, tôi cố gắng giảng dạy thông qua các ví dụ và thông qua cách trình bày rõ ràng lời giải của bài tập. Tôi cố gắng sử dụng bài tập để làm bài học, và trong nhiều trƣờng hợp sẽ có những lời nhận xét giúp ngƣời đọc thấy đƣợc điều gì thật sự xảy ra. Tất nhiên, quyển sách này không thay thế cho một giáo viên giỏi hay những lần thảo luận nhóm giữa các sinh viên để giải quyết một số vấn đề khó. Cuối cùng, tôi chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của Đại học Northern Illinois trong thời gian tôi viết sách này. Với tƣ cách là “Presidential Teaching Professor”, tôi đƣợc cho nghỉ phép vào mùa xuân năm 2000 để thực hiện các dự án liên quan đến giảng dạy. DeKalb, Illinois Tháng 10 – 2000 John A. Beachy ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 4 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam Chƣơng 1 SỐ NGUYÊN Chƣơng 1 giới thiệu những khái niệm cơ bản trong lý thuyết số và đây là điều kiện tiên quyết để nghiên cứu đại số trừu tƣợng. Nhiều khái niệm đƣợc giới thiệu có thể trừu tƣợng hóa cho các tình huống tổng quát hơn. Chẳng hạn, trong Chƣơng 3 bạn sẽ đƣợc giới thiệu khái niệm nhóm. Một trong những lớp rộng lớn đầu tiên của nhóm mà bạn sẽ gặp phụ thuộc vào định nghĩa của một nhóm xyclic. Nhóm xyclic có đƣợc bằng cách xem xét tất cả lũy thừa của một phần tử cụ thể. Các ví dụ trong Mục 1.4 đƣợc xây dựng thông qua lớp đồng dƣ của số nguyên sẽ nói cho bạn những điều cần biết về nhóm xyclic. Thực tế, mặt dù Chƣơng 1 khá đơn giản nhƣng nó là một bƣớc quan trọng để tiếp cận lĩnh vực đại số trừu tƣờng. 1.1. Ƣớc số Trƣớc khi giải quyết toàn bộ bài tập trong mục 1.1, bạn phải chắc chắn bạn quen thuộc với tất cả các định nghĩa và định lý trong mục này. Trong nhiều trƣờng hợp, phần chứng minh định lý có nhiều kỹ thuật quan trọng bạn cần phải sử dụng để giải các bài tập trong sách. Dƣới đây là một số kỹ thuật hữu ích bạn nên dùng. - Khi gặp các bài tập liên quan đến chia hết, bạn sẽ thấy hữu ích khi xem lại Định nghĩa 1.1.1. Nếu bạn khai triển biểu thức ba bằng cách viết “ a bq với số q nào đó thuộc ” thì bạn sẽ có đƣợc một phƣơng trình. Phƣơng trình này liên quan đến số nguyên thông thƣờng nên bạn có thể sử dụng tất cả kiến thức đã biết (đại số ở bậc trung học) để giải. - Để chứng tỏ ba , cố gắng viết ra một biểu thức của a , sau đó khai triển, rút gọn, hay thay thế cho đến khi bạn đƣợc a bằng tích của một thừa số nào đó với b . - Một kỹ thuật khác để chứng minh ba là sử dụng thuật toán chia (xem Định lý 1.1.3) để viết a bq r , với 0 rb . Khi đó để chứng minh ba bạn chỉ cần tìm cách chứng minh 0r  . - Định lý 1.1.6 phát biểu rằng với hai số nguyên a và b khác không bất kỳ có một ƢCLN và ƢCLN đó đƣợc biểu diễn dƣới dạng tổ hợp tuyến tính dƣơng nhỏ nhất của a và b . Một số ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 5 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam nguyên là một tổ hợp tuyến tính của a và b nếu và chỉ nếu nó là bội số của ƢCLN đó. Điều này thật sự hữu ích khi giải quyết các câu hỏi liên quan đến ƢCLN. BÀI TẬP: §1.1 22. Tìm ƢCLN   435,377 và biểu diễn nó dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của 435 và 377 23. Tìm ƢCLN   3553,527 và biểu diễn nó dƣới dạng một tổ hợp tuyến tính của 3553 và 527 . 24. Số nguyên nào từ 0,1, ,10 có thể đƣợc biểu diễn dƣới dạng 12 20mn , với m , n là các số nguyên? 25. Nếu n là một số nguyên dƣơng, hãy tìm các giá trị có thể của ƢCLN   , 10nn . 26. Chứng minh rằng: Nếu a và b là các số nguyên dƣơng khác không sao cho ba và ab thì ba . 27. Chứng minh rằng: Nếu m và n là các số nguyên lẻ thì 22 mn chia hết cho 8. 28. Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên và 1n  thì ƢCLN   2 1, 1 1n n n    hoặc ƢCLN   2 1, 1 3n n n    . 29. Chứng minh rằng: Nếu n là một số nguyên dƣơng thì 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 n                       nếu và chỉ nếu 4 n . 30. Chứng minh bằng quy nạp: mỗi số trong dãy số 12,102,1002,10002, đều chia hết cho 6 . 1.2 Số nguyên tố Mệnh đề 1.2.2 phát biểu rằng hai số nguyên a và b là nguyên tố cùng nhau nếu và chỉ nếu tồn tại hai số nguyên m và n sao cho 1ma nb . Đây là một trong những công cụ hữu ích nhất khi làm việc với số nguyên tố cùng nhau. Lƣu ý rằng, mệnh đề trên chỉ đúng khi ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 6 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam ƢCLN   ,1ab  . Tổng quát hơn, nếu bạn có một tổ hợp tuyến tính ma nb d thì điều đó chỉ cho biết rằng ƢCLN   ,ab là một ƣớc của d (xem lại Định lý 1.1.6). Bởi vì định lý cơ bản của số học (dựa vào dạng phân tích nguyên tố) đƣợc chứng minh trong mục này nên bây giờ bạn có một số kỹ thuật quen thuộc hơn để sử dụng. BÀI TẬP: §1.2 23. (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƢCLN   1776,1492 . (b) Sử dụng dạng phân tích nguyên tố của 1492 và 1776 để tìm ƢCLN   1776,1492 . 24. (a) Sử dụng thuật toán Ơclít để tìm ƢCLN   1274,1089 . (b) Sử dụng dạng phân tích hóa nguyên tố của 1492 và 1776 để tìm ƢCLN   1776,1492 . 25. Đƣa ra sơ đồ dàn tất cả các ƣớc của 250. Làm tƣơng tự với 484. 26. Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2 3 25xy y x   . 27. Với a , b là các số nguyên dƣơng, chứng minh rằng: ƢCLN   ,1ab  nếu và chỉ nếu ƢCLN   22 ,1ab  . 28. Chứng minh rằng: 1n  và 21n là nguyên tố cùng nhau, với mọi số nguyên 1n  . Đều đó có đúng với 21n và 31n không? 29. Cho m và n là các số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng: ƢCLN   2 1,2 1 1 mn    nếu và chỉ nếu ƢCLN   ,1mn  . 30. Chứng minh rằng:   22 2 4 3,2 6 4 1n n n n     với mọi số nguyên 1n  . 1.3 Đồng dƣ thức ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 7 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam Trong mục này, điều quan trọng hãy nhớ rằng mặc dù làm việc đồng dƣ thức gần giống với phƣơng trình, tuy nhiên giữa chúng không hoàn toàn giống nhau. Những điểm nào giống nhau? Bạn có thể cộng, trừ hay nhân hai vế của đồng dƣ thức với cùng một số nguyên. Bạn có thể sử dụng phƣơng pháp thế, và bạn có thể sử dụng sử dụng đều hiển nhiên sau: nếu   moda b n và   modb c n thì   moda c n . (Xem lại Mệnh đề 1.3.3 và lời nhận xét ở trƣớc và sau phần chứng minh của mệnh đề). Những điểm nào khác nhau? Đối với một phƣơng trình thông thƣờng, bạn có thể chia hai vế cho một số khác không. Đối với một đồng dƣ thức môđun n , bạn chỉ có thể chia hai vế cho một số nguyên khi số nguyên đó và n là nguyên tố cùng nhau. Điều này thƣờng đƣợc diễn đạt là nếu ƢCLN   ,1an  và   modac ad n thì   modc d n . Vì vậy phải cẩn thận! Một trong những kỹ thuật quan trọng phải hiểu rõ là làm thế nào để chuyển đổi giữa đồng dƣ thức và phƣơng trình thông thƣờng. Điều cơ bản là mọi phƣơng trình liên quan đến số nguyên đều có thể đƣợc chuyển thành đồng dƣ thức bằng cách quy về môđun n . Điều này thực hiện đƣợc bởi vì nếu hai số nguyên bằng nhau thì hiển nhiên chúng đồng dƣ môđun n . Thực hiện chuyển từ đồng dƣ thức sang phƣơng trình bạn phải cẩn thận hơn. Nếu hai số nguyên đồng dƣ môđun n thì không có nghĩa là chúng bằng nhau, nhƣng chỉ bảm bảo rằng, khi chia cho n thì phần dƣ của chúng bằng nhau. Nói cách khác, hai số nguyên đó có thể sai khác một bội số của n . Cách chuyển đổi đƣợc minh họa trong Ví dụ 1.3.5, với đồng dƣ thức   7 mod 8x  đƣợc chuyển thành phƣơng trình 78xq , với số q nào đó thuộc . Lƣu ý rằng khi chuyển từ một đồng dƣ thức sang một phƣơng trình làm nó phức tạp hơn bởi vì ta phải giới thiệu một biến khác. Trong ví dụ này, ta thực sự muốn có một đồng dƣ thức môđun 5 nên bƣớc tiếp theo là viết lại phƣơng trình sang dạng nhƣ sau:   7 8 mod5xq . Thực tế, chúng ta có thể rút gọn mỗi số hạng cho môđun 5 , vì vậy cuối cùng chúng ta đƣợc:   2 3 mod5xq . Bạn nên đọc cẩn thận phần chứng minh Định lý 1.3.5. và Định lý 1.3.6. Phần chứng minh các định lý đó thực sự cho bạn thấy đƣợc nhiều kỹ thuật cần thiết để giải tất cả các đồng dƣ thức ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 8 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam tuyến tính dạng:   modax b n và hệ phƣơng trình tuyến tính dạng:   modx a n và   modx b m , với môđun n và môđun m là nguyên tố cùng nhau. Nhiều định lý trong sách đƣợc xem nhƣ “phần tóm lƣợc”, và bạn không nên bỏ qua phần chứng minh của chúng, bởi vì bạn sẽ không nắm đƣợc các thuật toán hoặc kỹ thuật tính toán quan trọng. BÀI TẬP: §1.3 26. Giải đồng dƣ thức:   42 12 mod 90x  . 27. (a) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dƣ thức:   55 35 mod75x  . (b) Tìm tất cả các nghiệm của đồng dƣ thức:   55 36 mod75x  . 28. (a) Tìm một nghiệm nguyên nào đó của phƣơng trình: 110 75 45xy . (b) Chứng minh rằng: Nếu xm và yn là một nghiệm nguyên của phƣơng trình trong câu (a) thì 15x m q và 22y n q cũng là một nghiệm, với q là số nguyên. 29. Giải hệ đồng dƣ thức:     2 mod 9 4 mod 10xx . 30. Giải hệ đồng dƣ thức:     5 14 mod 17 3 2 mod 13xx . 31. Giải hệ đồng dƣ thức:     5 mod 25 23 mod 32xx . 32. Chỉ ra các số nguyên a , b , m , n để dẫn tới một trƣờng hợp hệ đồng dƣ thức:     mod modx a m x b n vô nghiệm. 33. (a) Tính chữ số cuối cùng trong khai triển thập phân của 100 4 . (b) 100 4 có chia hết cho 3 không? 34. Tìm tất cả các số nguyên n thỏa mãn   2 13 4 1n  . 35. Chứng minh rằng: 1 10 4.10 4 nn  chia hết cho 9 , với mọi nguyên dƣơng n . 36. Chứng minh rằng: Lũy thừa 4 của một số nguyên là một số có chữ số hàng đơn vị chỉ có thể là 0 , 1 , 5 hoặc 6 . 1.4. Số nguyên Môđun n ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của John A. Beachy Nhóm 1 SVTH: Nguyễn Văn An Trang 9 GVHD: PGS.TS Trần Tuấn Nam Các khái niệm trong mục này cho phép ta làm việc với phƣơng trình thay vì đồng dƣ thức nếu ta nghĩ về các lớp tƣơng đƣơng. Chính xác hơn, mọi đồng dƣ thức tuyến tính có dạng   modax b n đều có thể đƣợc xem nhƣ một phƣơng trình trong n và đƣợc viết:       n n n a x b . Điều này cho bạn một cách nữa để xem xét các vấn đề liên quan đến đồng dƣ thức. Đôi khi, nó giúp có nhiều phƣơng pháp tiếp cận khác nhau để suy nghĩ về một bài toán, và điều quan trọng là biết tất cả các phƣơng pháp để bạn dễ dàng chuyển đổi qua lại giữa chúng và chọn phƣơng pháp nào là thuận tiện nhất. Ví dụ, khi chia cho a trong đồng dƣ thức   modax b n có thể làm bạn lo lắng nếu ƢCLN   ,1an  . Thay vì nghĩ về phép chia, có lẽ tốt hơn khi bạn nhân hai vế của phƣơng trình       n n n a x b với   1 n a  , nếu   1 n a  tồn tại. Bạn nên dành thời gian để tìm hiểu về tập hợp n và n  . Các tập hợp này sẽ cung cấp một nguồn quan trọng các ví dụ trong Chƣơng 3 khi bạn bắt đầu nghiên cứu về nhóm. Bài tập trong Mục 1.4 có nhiều định nghĩa liên quan đến các phần tử của n . Nếu   ,1an  thì số nguyên dƣơng nhỏ nhất k thỏa   1 mod k an đƣợc gọi là cấp nhân của   a trong n  . Tập hợp n  đƣợc gọi là xyclic nếu có một phần tử cấp nhân   n . Vì   n n   , điều này tƣơng đƣơng khi nói rằng n  là xyclic nếu có một phần tử   a thỏa mãn mỗi phần tử của n  bằng với lũy thừa nào đó của   a . Cuối cùng, phần tử   n a  đƣợc gọi là lũy đẳng nếu     2 aa , và lũy linh nếu tồn tại k sao cho     0 k a  . BÀI TẬP: §1.4 30. Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong 7 . 31. Tìm phần tử nghịch đảo của phép nhân của mỗi phần tử khác không trong 13 . 32. Tìm   1 501 91  , nếu có (trong 501  ). 33. Tìm   1 4061 3379  , nếu có (trong 4061  ). . đầu thực sự của đại số trừu tƣợng. Bắt đầu từ số học của đại số liên quan đến việc bắt đầu sử dụng các biến, mà chỉ biểu diễn số khác nhau. Nhƣng các thao tác vẫn còn là những con số thông thƣờng. đi từ đại số đến đại số trừu tƣợng liên quan đến việc cho phép các phép toán nhƣ một biến. Lúc đầu chúng tôi sẽ sử dụng * hoặc • để đại diện cho một phép toán, để cho thấy rằng có thể đại diện. với hai số nguyên a và b khác không bất kỳ có một ƢCLN và ƢCLN đó đƣợc biểu diễn dƣới dạng tổ hợp tuyến tính dƣơng nhỏ nhất của a và b . Một số ABSTRACT ALGEBRA – ĐẠI SỐ TRỪU TƯỢNG của