PPbiến đổi pt lượng giác thi ĐH

I. Biến đổi đa về các phơng trình quen thuộc: 1. a. ĐH Quốc gia (D+G). 97: 2cos 2 x - 3cosx + 1 = 0 cos cos x x = = 1 1 2 x k x k = = + 2 2 3 b. CĐSP Quảng Ninh (D). 98: cos2(x + 3 ) + 4sin(x + 3 ) = 5 2 1 - 2sin 2 (x + 3 ) + 4sin(x + 3 ) = 5 2 4sin 2 (x + 3 ) - 8sin(x + 3 ) + 3 = 0 sin( ) sin( ) x x + = + = 3 1 2 3 3 2 x k x k = + = 6 2 2 2 c. CĐSP Quảng Ninh (F). 98: sinx + cosx = 2 sin5x sin(x + 45 0 ) = sin5x x x k x x k + = + + = + 45 5 360 45 180 5 360 0 0 0 0 0 d. ĐH KTQD. 97: cos7x - 3 sin7x = 2 sin30 0 cos7x - cos30 0 sin7x = sin45 0 sin(30 0 - 7x) = sin45 0 . Bạn tự giải tiếp. e. ĐH Ngoại ngữ. 98: sin3x + cos2x = 1 + 2sinxcos2x 3sinx - 4sin 3 x + 1 - 2sin 2 x = 1 + 2sinxcos2x sinx(4sin 2 x + 2cos2x + 2sinx - 3) = 0. Bạn tự giải tiếp. f. ĐH Ngoại thơng. 98: sinx + sin 2 x + sin 3 x + sin 4 x = cosx + cos 2 x + cos 3 x + cos 4 x sinx - cosx + (sinx - cosx)( sinx + cosx) + (sinx - cosx)(1 + sinxcosx) + (sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0 (sin x - cosx)[2 + 2(sinx + cosx) + sinxcosx] = 0 sin cos ( ) (sin cos ) sin cos ( ) x x x x x x = + + + = 0 1 2 2 0 2 (1) tgx = 1 x = 4 + k. (2) Đặt: sinx + cosx = t, - 2 t 2 . 4 + 4t + t 2 - 1 = 0 t 2 + 4t + 3 = 0 t = - 1; - 3 sin(x + 4 ) = - 2 /2 x k x k = + = + 2 2 2 g. ĐH Dân lập Đông Đô. 97: cos2x + 2cosx + sin 2 x + 1 = 0 cos 2 x + 2cosx + 1 = 0 cosx = - 1. h. TTĐT Bu chính viễn thông I. 97: Cho y = 4x - sin2x + 4 2 cosx. Tìm x để y = 0 Ycbt 4 - 2cos2x - 4 2 sinx = 0 2sin 2 x - 2 2 sinx + 1 = 0 sinx = 2 /2 Bạn tự giải tiếp. i. TTĐT Bu chính viễn thông I. 98: 2(1 + cos2x)sinx = sin2x sin cos cos x x x = = 0 4 2 0 2 Bạn tự giải tiếp. k. ĐH NNghiệp 1 (B). 98: cos sin cos cos sin x x x x x + = 2 2 1 3 2 (1) . ĐK: 2sin 2 x - sinx - 1 0. x 2 + 2k; . . . (1) 3 cos2x + sin2x = cosx - 3 sinx 3 2 cos2x + 1 2 sin2x = 1 2 cosx - 3 2 sinx sin(2x + 60 0 ) = sin(30 0 - x) l. ĐH NNghiệp 1 (A). 98: sin cos sin cos 2 4 2 2 1 0 x x x x + = . m. 3 - sinx + tgx = 5cos 4 2 x (Đại số hoá) 2.a. 63.II.1: 16(sin 8 x + cos 8 x) = 17cos 2 2x (1 - cos2x) 4 + (1 + cos2x) 4 = 17cos 2 2x 2cos 4 2x - 5cos 4 2x + 2 = 0 cos 2 2x = 1 2 cos4x = 0 x = 8 + k 4 b. 52.II: cos 4 3 x = cos 2 x cos 4 3 x = 1 2 2 + cos x 4cos 2 2 3 x - 2 = 1 - 3cos 2 3 x + 4cos 3 2 3 x (cos 2 3 x - 1)(4cos 2 2 3 x - 3) = 0 Bạn tự giải tiếp. c. 15.III.1: 2cos 2 3 5 x + 1 = 3cos 4 5 x cos 6 5 x + 2 = 6cos 2 2 5 x - 3 - 3cos 2 5 x + 4cos 3 2 5 x + 2 = 6cos 2 2 5 x - 3 4cos 3 2 5 x - 6cos 2 2 5 x - 3cos 2 5 x + 5 = 0 (cos 2 5 x - 1)( 4cos 2 2 5 x - 2cos 2 5 x - 5) = 0 Bạn tự giải tiếp . d. 48.II.2: sin 2 2x - cos 2 8x = sin( 17 2 + 10x) 1 4 2 1 16 2 + cos cosx x = cos10x 64 2cos10x + cos16x + cos4x = 0 2cos10x + 2cos10xcos6x = 0 cos10x(cos6x + 1) = 0Bạn tự giải tiếp . e. 68.II.1: 2cos 3 x + cos2x + sinx = 02cos 3 x + cos 2 x - sin 2 x + sinx = 0 cos 2 x(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) =0 (1 - sin 2 x)(2cosx + 1) + sinx(1 - sinx) =0 (1 - sinx)[(1 + sinx)(2cosx + 1) + sinx] = 0 x k x x x x = + + + + = 2 2 2 1 2 2 0cos sin cos sin (*) (*) 2(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 1 = 0 Đặt: sinx + cosx = t, - 2 t 2 thì cos: t = 0 x = - 4 + k. f. 69.III.2: 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1 4cosx - 2cos2x - 2cos 2 2x = 0 4cosx - 2cos2x(1 + cos2x) = 0 4cosx - 4cos 2 xcos2x = 0 cos cos cos x x x = = 0 2 1 Bạn tự giải tiếp . g. 72.II.1: cos 4 x - cos2x + 2sin 6 x = 0 cos 4 x - 1 + 2sin 2 x + 2sin 6 x = 0 (cos 2 x - 1)(cos 2 x + 1) + 2sin 2 x(1 + sin 4 x) = 0 sin 2 x[2(1 + sin 4 ) - cos 2 x - 1] = 0 x k x x = + = 2 1 0 4 2 sin cos (*) (*) 2sin 4 x - sin 2 x = 0 sin 2 x(2sin 2 x + 1) = 0 x = k. h. 76.II.1 ĐH TCKT.98: cos10x + 2cos 2 4x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos 3 3x cos10x + cos8x + 1 = cosx + 2cos(4cos 3 x - 3cos3x) 2cos9xcosx + 1 = cosx + 2cos9xcosx cosx = 1 x = 2k. i. ĐH Dân lập HP. 97: 2cos2x + cos 2 x 2 - 10cos( 5 2 - x) + 7 2 = 1 2 cosx 4cos2x + 1 + cosx - 20sinx + 7 = cosx 4 - 8sin 2 x - 20sinx + 8 = 0 2sin 2 x + 5sinx - 3 = 0 sinx = 1 2 x = 30 0 + k360 0 Hay x = 150 0 + k360 0 k. ĐH Mỹ thuật công nghiệp. 96: cos7xcos5x - 3 sin2x = 1 - sin7xsin5x cos2x - 3 sin2x = 1. Bạn tự giải tiếp l. sin 4 x + cos 4 x = cos4x sin 4 x + cos 4 x = cos 2 2x - sin 2 2x sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + cos 4 x - 2cos 2 xsin 2 x - 4sin 2 xcos 2 x sin2x = 0 x k90 0 . m. ĐH Mở. 97: cosx(cos4x + 2) + cos2xcos3x = 0 cosx(cos4x + 2 - 3cos2x + 4cos2xcos 2 x) = 0 cosx = 0 Hoặc 2cos 2 2x - 1 + 2 - 3cos2x + 2cos2x(1 + cos2x) = 0 cosx = 0 x = 2 + k. n. ĐH Thái Nguyên (A).98: 2cos 2 ( 2 cos 2 x) = 1 + cos(sin2x) 2cos 2 ( 2 cos 2 x) - 1 = cos(sin2x) cos(cos 2 x) = cos(sin2x) cos 2 x = sin2x + 2k cos sin cos sin 2 2 2 4 1 2 2 2 4 1 x x k x x k = + = Có nghiệm 1 2 + 2 2 16k 2 - 8k + 1 4k 2 - 2k - 1 0 1 5 4 k 1 5 4 + k = 0. Bạn tự giải tiếp. o. Đ KTQD. 98: 16cosxcos2xcos4xcos8x = 1 Nhân 2 vế với sinx. Bạn tự giải tiếp . p. ĐHDân lập Đông Đô. 97: cos2x - 7sinx + 8 = 0. q. CĐ Lao động xã hội: 1 + sin2x + cosx + sinx + cos2x = 0 (cosx + sinx) 2 + cosx + sinx+ cos 2 x - sin 2 x=0 (cosx + sinx)(2cosx + 1) = 0. Bạn tự giải tiếp . r. ĐH Thuỷ lợi. 98: (1 + sinx) 2 = cosx (1 + sinx) 4 = cos 2 x (1 + sinx) 4 =1 - sin 2 x. Bạn tự giải tiếp. Cách 2: Nhân hai vế với cosx. Cách 3: Đổi về góc x/2. s. ĐH Hàng hải. 98: sin2x = 1 + 2 cosx + cos2x 2sinxcosx = 1 + 2 cosx + 2cos 2 x - 1. Bạn tự giải tiếp. II. Phơng trình có ẩn số ở mẫu số: 1. a. tg(120 0 + 3x) - tg(140 0 - x) = sin(80 0 + 2x) tg3(x + 40 0 ) + tg(x + 40 0 ) = sin2(x + 40 0 ). Đặt: X = x + 40 0 . ĐK: cos3X 0; cos(x + 40 0 ) 0. PT tg3X + tgX = sin2X sin4X = sin2Xcos3XcosX sin2X(cos3XcosX - 2cos2X) = 0. Bạn tự giải tiếp. b. ĐH Kiến Trúc. 92: 2tg3x - 3tg2x = tg 2 2xtg3x. ĐK: cos3xcos2xcosx 0. PT 2(tg3x - tg2x) = tg2x(1 + tg3xtg2x) 2tgx = tg2x (Chia hai vế cho: 1 + tg3xtg2x).Bạn tự giải tiếp. 65 c. 84.II.1: tg2x - tg3x - tg5x = tg2xtg3xtg5x. §K: cos5xcos3xcos2x ≠ 0. PT ⇔ tg2x - tg5x = tg3x(1 + tg2xtg5x) ⇔ tg(-3x) = tg3x (Chia hai vÕ cho: 1 + tg2xtg5x). B¹n tù gi¶i tiÕp. d. 34.II1: tg 2 2xtg 2 3xtg5x = tg 2 2x - tg 2 3x + tg5x. §K: cos5xcos3xcos2x ≠ 0. PT ⇔ tg 2 3x - tg 2 2x = tg5x(1 - tg 2 3xtg 2 2x) ⇔ tg5x = ( )( ) ( )( ) tg x tg x tg x tg x tg xtg x tg xtg x 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 − + + − ⇔ tg5x = tg5xtgx. e. - 100.III.1: tg 2 x = 1 1 3 3 − − cos sin x x . §K: cosx ≠ 0. PT ⇔ 1 1 2 2 − − cos sin x x = 1 1 3 3 − − cos sin x x ⇔ ⇔ 1 1 1 1 1 1 2 2 − − + + − + + + + cos sin .( cos sin cos cos sin sin ) x x x x x x x x = 0 ⇔ cos (cos sin )(sin cos sin cos ) x x x x x x x = − + + =    1 0 f. §H KiÕn tróc. 93: tg 2 x = 1 1 3 3 + + cos sin x x . g - 61.III.1: tg 2 x = 1 1 + − cos sin x x . B¹n tù gi¶i tiÕp. h. §H Ngo¹i ng÷. 96: tgx + tg2x - tg3x = 0. §K: cos3xcos2xcosx ≠0. PT ⇔ tgx = sin cos cos x x x3 2 ⇔ ⇔ sin cos cos cos x x x x = =    0 3 2 ⇔ sin cos cos x k x x = =    π 5 B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K. i. §H Quèc gia (B). 95: tgx - tg2x = sinx. B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K. 2. a. §H Giao th«ng vËn t¶i. 97: 3(cotgx - cosx) - 5(tgx - sinx) = 2. §K: x ≠ k90 0 . PT ⇔3 cos cos sin sin sin sin cos cos x x x x x x x x − − − 5 = 2 ⇔ 3cos 2 x -3cos 2 xsinx -5sin 2 x + 5sin 2 xcosx = 2sinxcosx ⇔ 3(cos 2 x - cos 2 xsinx - sin 2 x + sin 2 xcosx) - 2(sinxcosx + sin 2 x - sin 2 xcosx) = 0 ⇔ 3(cosx - sinx)(cosx + sinx - sinxcosx) - 2sinx(cosx + sinx - sinxcosx) = 0 ⇔ ⇔ (cosx + sinx - sinxcosx)(3cosx - 3sinx - 2sinx) = 0. B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K. b - 106.I.2: 2(tgx - sinx) +3(cotgx - cosx) + 5 =0. §K:x ≠ k90 0 ⇔ 2( sin cos x x - sinx + 1) + 3( cos sin x x - cosx + 1) = 0 ⇔ 2 cos x (sinx+cosx-sinxcosx) + 3 sin x (sinx+cosx-sinxcosx) = 0 ⇔ sin cos sin cos / x x x x tgx + − = = −    0 3 2 c - 97.II2: 6tgx + 5cotg3x = tg2x. §K: x ≠ k90 0 . PT ⇔ 5(tgx + cotg3x) = tg2x - tgx ⇔ ⇔ 5 cos sin cos sin cos cos 2 3 2 x x x x x x = ⇔ 5cos 2 2x = sin3xsinx ⇔ 10cos 2 2x = cos2x - cos4x. B¹n tù gi¶i tiÕp. d - 143.II.1: 3sinx + 2cosx = 2 + 3tgx. §K: cosx ≠ 0. PT ⇔ 2(1 - cosx) + 3tgx(1 - cosx) = 0 ⇔ (1 - cosx)(2 + 3tgx) = 0 ⇔ cos x tgx = = −    1 2 3 B¹n tù gi¶i tiÕp vµ kiÓm tra §K. e. §H KTQD. 96: ( cos ) ( cos ) ( sin ) sin sin1 1 4 1 1 2 2 2 2 2 − + + − − = + + x x x tg x x x tg x . §K: cosx ≠ 0. PT ⇔ ( cos ) ( cos ) ( sin ) sin sin1 1 4 1 1 2 2 1 2 2 2 2 − + + − = + + + x x x x tg x x ⇔ ⇔ ( cos ) ( cos ) ( sin ) sin ( ) 1 1 4 1 1 2 1 2 2 2 2 − + + − = + + x x x x tg x ⇔ 2 + 2cos 2 x = 2cos 2 x(1 + 2tg 2 x) ⇔ 2sin 2 x = 1 ⇔ x = 4 π + k π 2 3. a. §H Quèc gia (A). 98: 2tgx + cotg2x = 2sin2x + 1 2sin x . §K: sin2x ≠ 0. PT ⇔ 2 sin sin cos cos x x x x − 2 + cos sin 2 1 2 x x − = 0 ⇔ 2sinx 1 2 2 − cos cos x x + − 2 2 2 sin sin x x = 0 ⇔ ⇔ 1 cos x (sinx - 4sinxcos 2 x) = 0 ⇔ 4cos 2 x - 1 = 0 ⇔ 2 + 2cos2x - 1 = 0. B¹n tù gi¶i tiÕp. b. §H C«ng ®oµn. 98: sin sin cos 2 2 2 2 2 4 x x x − − = tg 2 x 2 . V×: sin 2 x = 4cos 2 x 2 sin 2 x 2 Nªn §K: cos x 2 ≠ 0 66 PT 4cos 2 x 2 sin 2 x 2 - 2 = - 4cos 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x = 1 x = 2 + k c. ĐH Giao thông vận tải. 98: tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x). ĐK: x k90 0 . PT 1 sin cosx x = 2(sin2x + cos2x) sin 2 2x + cos2xsin2x = 1 cos2xsin2x - cos 2 2x = 0 cos2 0 2 1 x tg x = = x k x k = + = + 45 90 22 5 90 0 0 0 0 , Bạn tự kiểm tra điều kiện. d. ĐH Luật. 98: tgx - sin2x - cos2x + 2(2cosx - 1 cos x ) = 0. ĐK: x 2 + k PT sinx( 1 cos x - 2cosx) - cos2x + 2cos2x 1 cos x = 0 - cos sin cos 2x x x - cos2x + 2cos2x 1 cos x = 0 cos2x( 2 cos x - sin cos x x - 1) = 0 cos sin cos ( ) 2 0 2 x x x VN = + = x = 4 + k 2 e. ĐH An ninh (A). 98: 3 sinx + cosx = 1 cos x . ĐK: x 2 + k. PT 3 sinxcosx + cos 2 x = 1 3 sinxcosx - sin 2 x = 0 sin x tgx = = 0 3 x k x k = = + 3 g. ĐH Báck khoa. 98: 1 2 1tgx gx x x gx + = cot (cos sin ) cot . sinx.cosx 0; cosx - sinx > 0 PT sinx cosx = 2 1 (cos sin ) cot x x gx cosx(cosx - sinx) = 2(cos sin )x x cos sinx x ( 2 - cosx cos sinx x ) = 0 cosx cos sinx x = 2 cos cos cos sin x x x x > = 0 2 3 2 Vô nghiệm. (Đánh giá) III. Phơng trình đẳng cấp: 1. a. HV Kỹ thuật quân sự. 97: 2cos 3 x = sin3x 2cos 3 x = - 4sin 3 x + 3sinx 2cos 3 x = - 4sin 3 x + 3sinx(sin 2 x + cos 2 x) sin 3 x - 3sinxcos 2 x + 2cos 3 x = 0 tg 3 x - 3tgx + 2 = 0 (tgx - 1) 2 (tgx + 2) = 0 x k x arctg k = + = + 4 2( ) b. ĐH Luật. 96: 4sin 3 x + 3cos 3 x - 3sinx - sin 2 xcosx = 0 4sin 3 x + 3cos 3 x - 3sinx(sin 2 x + cos 2 x) - sin 2 xcosx = 0 sin 3 x - sin 2 xcosx - 3sinxcos 2 x + 3cos 3 x = 0 tg 3 x - tg 2 x - 3tgx + 3 = 0 (tgx - 1)(3tg 2 - 1) = 0. c. ĐH Ngoại thơng. 96: cos 3 x - 4sin 3 x - 3cosxsin 2 x + sinx = 0 3tg 3 x + 3tg 2 x - tgx - 1 = 0 (tgx + 1)(3tg 2 - 1) = 0 d. ĐH Quốc gia. 96: 1 + 3sin2x = 2tgx cosx + 6sinxcos 2 x = 2sinx (tgx + 1)(3tg 2 - 1) = 0 6sinxcos 2 x + (cosx - 2sinx)(cos 2 x+sin 2 x) = 0 2sin 3 x - sin 2 xcosx - 4sinxcos 2 x - cos 3 x = 0 2tg 3 x - tg 2 x - 4tgx - 1 = 0 (tgx + 1)(2tg 2 x - 3tgx - 1) = 0 Bạn tự giải tiếp. Cách 2: Đặt tgx = t. e. ĐH Xây dựng (Tại chức). 96: sin 2 x(tgx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3 sin 2 x sin cos cos x x x + = 3(1 - sin 2 x + sinxcosx) sin 3 x + sin 2 xcosx = 3cos 3 x + 3sinxcos 2 x tg 3 x + tg 2 x - 3tgx - 3 = 0 (tgx + 1)(tg 2 x - 3) = 0 Bạn tự giải tiếp. f. ĐH Thái Nguyên. 97: 4cos 2 x - cos3x = 6cosx + 2(1 + cos2x) 4cos 2 x - cos3x = 6cosx - 4cos 2 x cosx(4cos 2 x - 8cosx - 3) = 0 x = 2 + k. Hoặc: x = 3 + 2k. g. ĐH Mỏ. 97: sin sin 5 5 x x = 1 . ĐK: sinx 0. PT sin5x = 5sinx sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx (3sinx - 4sin 3 x)(cos 2 x - sin 2 x) + 2sinxcosx(-3cosx + 4cos 3 x) = 5sinx(cos 2 x + sin 2 x) 2 12sin 5 x + 20sin 3 xcos 2 x = 0 3sin 2 x + 5cos 2 x = 0 x . Cách 2: PT sin3xcos2x + sin2xcos3x = 5sinx (3 - 4sin 2 x)cos2x + 2cosxcos3x = 5 . . . Vô nghiệm. 67 Cách 3: PT sin5x - sinx - 4sinx = 0 4cos3xcosxsinx - 4sinx = 0. Bạn tự giải tiếp. h. ĐH Phơng Đông. 98: sin 2 x - 3sinxcosx = - 1 sin 2 x - 3sinxcosx = - sin 2 x - cos 2 x 2sin 2 x - 3sinxcosx + cos 2 x = 0 i. ĐH Huế. 98: cos 3 x + sinx - 3sin 2 xcosx = 0. k. Quốc Gia (B). 98: cos 3 x + sin 3 x = 2(cos 5 x + sin 5 x) l. sin(3x + 4 ) = sin2xsin(x - 4 ) IV. Phơng pháp đánh giá : * sinx + 2sin2x = 3 + sin3x 2sin2x - 2sinxcos2x = 3. VN Vì: 2 2 + 2 2 sin 2 x < 3 2 1. a. ĐH Thơng mại. 97: cos2x + cos 3 4 x = 2. Vì: cos2x 1; cos 3 4 x 1 Nên: PT cos cos 2 1 1 3 4 x x = = Bạn tự giải tiếp. b. CĐSP Quảng Ninh (T). 97: 2cos2x + 3cosx - 5 = 0 2cos2x + 3cosx = 5 Vì: 2cos2x 2; 3cosx 3 Nên: PT cos cos 2 1 1 x x = = x = 2k. c. ĐH Thuỷ lợi. 97: sin 6 x + cos 6 x = 1. Vì: sin 6 x sin 2 x; cos 6 x cos 2 x. Nên: sin 6 x + cos 6 x sin 2 x + cos 2 x = 1 Vậy: PT sin s in cos cos 6 2 6 2 x x x x = = x = k. d. 94.III.2: sin 14 x + cos 13 x = 1 sin sin cos cos 14 2 13 2 x x x x = = sin sin cos cos x x x x = = = = 0 1 0 1 x = k 2 e. 109.II.2: sin cos sin cos cos sin 10 10 6 6 2 2 4 4 2 2 x x x x x x + = + + . Ta có: VP = sin cos cos sin 6 6 2 2 4 2 2 x x x x + + = = (sin cos ) sin cos (sin cos ) sin 2 2 3 2 2 2 2 2 3 4 3 2 1 4 x x x x x x x + + = . Vậy PT sin 10 x + cos 10 x = 1 Bạn tự giải tiếp. f. ĐH An Ninh. 97: (cos2x - cos6x) 2 = 6 - 2sin3x. VT 4; VP 4 Bạn tự giải tiếp Vô nghiệm. g. 74.II.1: (cos4x - cos2x) 2 = 5 + sin3x. Bạn tự giải tiếp. 74.II.2: Giải và biện luận (cos4x - cos2x) 2 = (a 2 + 4a + 3)(a 2 + 4a + 6) + 7 + sin3x. Giải: VT 4. VP = [(a + 2) 2 - 1][(a + 2) 2 + 2] + 7 + sin3x = t 4 + t 2 + 5 + sin3x = t 2 (t 2 + 1) + 5 + sin3x 4. Vậy: PT VT VP = = 4 4 t x x x = = = 0 3 1 4 2 2 sin cos cos Bạn tự giải tiếp. h. ĐH Kiến trúc. 97: sin3x(cosx - 2sin3x) + cos3x(1 + sinx - 2cos3x) = 0 sin3xcos3x - 2sin 2 3x + cos3x + cos3xcosx - 2cos 2 3x = 0 cos2x + cos3x = 2. Bạn tự giải tiếp. i. 35.II: sinx + cosx = 2 (2 - sin3x). VT = 2 sin(45 0 + x) 2 . VP 2 . Bạn tự giải tiếp. 2. a. ĐH Quốc gia. 96: 8 sin 2 x + 8 cos 2 x = 10 + cos2y 8 sin 2 x + 8 1 2 sin x = 9 + 2cos 2 y. Đặt: 8 sin 2 x = t. ĐK: 1 t 8. PT t t t 2 9 8 + = 2cos 2 y. VP 0. VT 0 Vì : t nằm trong hai nghiệm Vậy: PT t t y 2 9 8 0 0 + = = cos Bạn tự giải tiếp. b. ĐH Giao thông vận tải. 98: 6 - 4x - x 2 = 5 | sin cos | y x y x . VP = 10 2 |sin | y x 10. VT = - (x + 2) 2 + 10 10 Vậy: PT x y x = = 2 1 2 sin x y k = = + 2 2 2 c. DL Đông Đô. 98: cos2x + 8 = 7sinx. VP 7; VT 7. Hệ cos sin 2 1 1 x x = = x = 2 + 2k d. 105.II: sin 2 x + sin 2 y + sin 2 (x + y) = 9 4 1 2 2 1 2 2 + cos cosx y + 1 - cos 2 (x + y) = 9 4 68 ⇔ cos 2 (x + y) + cos(x + y)cos(x - y) + 1 4 = 0 ⇔ [cos(x + y) + 1 2 cos(x - y)] 2 + 1 4 [1 - cos 2 (x - y)] = 0 ⇔ sin( ) cos( ) x y x y − = + =    0 1 2 ⇔ y x l x k l = + = ± + −    π π π π 6 2 ⇔ y k l x k l = ± + = ± + −    π π π π π π 6 2 6 2 e. 99.V: tg 2 x + tg 2 y + cotg 2 (x + y) = 1 (*). V× Cotg(x + y) = 1 − + tgxtgy tgx tgy ⇔ (tgx + tgy)cotg(x + y) = 1 - tgxtgy ⇔ ⇔ tgxtgy + tgy(cotg(x + y) + tgx(cotg(x + y) = 1 (**). LÊy (**) trõ (*): tg 2 x - tgxtgy + tg 2 y + cotg 2 (x + y) - tgxcotg(x + y) - tgycotg(x + y) = 0 Nh©n víi 2: (tgx - tgy) 2 + [tgx - cotg(x + y)] 2 + [tgy - cotg(x + y)] 2 = 0 ⇔ ⇔ tgx tgy tgx g x y = = +    cot ( ) ⇔ x y k x x y l = + = − − +    π π π 2 ⇔ B¹n tù gi¶i tiÕp. f. 131.III.2: sin 2 x + 1 4 sin 2 3x = sinxsin 2 3x ⇔ sin 2 x + 1 4 sin 2 3x + 1 4 sin 4 3x = sinxsin 2 3x + 1 4 sin 4 3x ⇔ ⇔ sin 2 x - sinxsin 2 3x + 1 4 sin 2 3x + 1 4 sin 4 3x + 1 4 sin 2 3x - 1 4 sin 4 3x = 0 ⇔ ⇔ [sinx - 1 2 sin 2 3x] 2 + 1 4 sin 2 3x(1 - sin 2 3x) = 0 ⇔ sin sin 2 1 2 3 1x x = =    ⇔ cos sin 3 0 1 2 x x = =    ⇔ x k k k = + + +         30 60 30 360 150 360 0 0 0 0 0 0 g. 91.II.1: sin4xcos16x = 1 ⇔ sin cos sin cos 4 1 16 1 4 1 16 1 x x x x = =    =− =−          ⇔ x k x k x k x k = + = +    =− + = +           π π π π π π π π 8 4 32 16 8 16 16 8 2. a - 77.III.2: [tgx + 1 4 cotgx] n = cos n x + sin n x (n = 2, 3, 4, . . .) + n = 2: VT = [tgx + 1 4 cotgx] 2 ≥ 1; VP = 1 VËy: PT ⇔ tgx = 1 4 cotgx ⇔ tg 2 x = 1 4 ⇔ x = ± arctg 1 2 + kπ. + n > 2: VT ≥ 1 ≥ VP. Nhng vÕ ph¶i = 1 ⇔ x = k π 2 lóc ®ã VT kh«ng x¸c ®Þnh ⇒ PT v« nghiÖm. b. 136.II.2: (cos 2 x + 1 2 cos x ) 2 + (sin 2 x + 1 2 sin x ) 2 = 12 + 0,5siny. VP ≤ 12,5. Theo B§T Bunhiacèpxki: a + b ≤ 2 2 2 ( )a b+ ⇔ 1 2 (a + b) 2 ≤ a 2 + b 2 VT ≥ 1 2 [cos 2 x + sin 2 x + 1 2 2 sin cosx x ] 2 = 1 2 [ 1 + 4 2 2 sin x ] 2 ≥ 25 2 = 12,5. VËy PT ⇔ sin sin y x = =    1 2 1 2 ⇔ y k x k = + = +    π π π π 2 4 2 2 . c. 83.III.1: (cos 3 x 2 + 1 2 3 cos x ) 2 + (sin 3 x 2 + 1 2 3 sin x ) 2 = 81 4 cos 2 4x. VP ≤ 81 4 . VT = cos 6 x 2 + sin 6 x 2 + 1 6 2 cos x + 1 6 2 sin x + 4 = cos 6 x 2 + sin 6 x 2 + sin cos sin cos 6 2 6 2 6 2 6 2 x x x x + + 4 = = (cos 2 x 2 + sin 2 x 2 ) 3 - 3 cos 2 x 2 sin 2 x 2 ( cos 2 x 2 + sin 2 x 2 ) + 4 + 1 3 2 2 2 2 1 64 6 − sin cos sin x x x = = 5 - 4 3 sin 2 x + 64 1 3 4 2 6 ( sin ) sin − x x ≥ 5 - 4 3 .1 + 64 1 1 1 3 4 ( . ) − = 81 4 . PT ⇔ cos sin 2 2 4 1 1 x x = =    ⇔ x = π 2 + kπ. d - 101.II.1: sinx - 2sin2x - sin3x = 2 2 . 69 VT = -2cos2xsinx - 2sin2x [( cos ) ( sin ) ](sin ) + + 2 2 2 2 1 2 2 2 2 x x x = 2 sin 2 1x + 2 2 . Vậy: PT = = 1 2sin sin 2cos 1sin 2 x x x x Vô nghiệm. e - 146.III: sinx + 2 2 2 2 + sin sin sinx x x = 3. Ta có: sinx + 2 2 sin x ( )(sin sin )1 1 2 2 2 2 2 + + x x = 2 sinx 2 2 sin x | sinx 2 2 sin x | = |sinx|.| 2 2 sin x | ( |sin | sin | ) x x+ 2 2 2 2 1 Cộng hai BĐT thức cùng chiều có: VT 3. Vậy PT sinx = 2 - sin 2 x sinx = 1 x =90 0 +k360 0 f * . 2cosx + 2 sin10x = 3 2 + 2cos28xsinx 2cosx - 2cos28xsinx + 2 sin10x = 3 2 4 4 28 2 + cos x [ 2 4 4 28 2 cos cos x x + - 2 28 4 4 28 2 cos sin cos x x x + ] + 2 sin10x = 3 2 2 1 1 28 2 + cos x [ cos cos x x1 28 2 + - cos sin cos 28 1 28 2 x x x + ] + 2 sin10x = 3 2 Đặt: 1 1 28 2 + cos x = cos ; cos cos 28 1 28 2 x x + = sin. PT 2 1 1 28 2 + cos x cos(+x) + 2 sin10x=3 2 VT 2 2 + 2 = 3 2 . Vậy PT cos cos( ) sin 2 28 1 1 10 1 x x x = + = = x k x k x k = = + = + 28 20 5 2 g. sin 8 x + cos 8 x = 32(sin 12 x + cos 12 x). HD: VT 1; VP 1 VN. V. Phơng trình chứa căn và GTTĐ : 1. a. ĐH Bách Khoa. 97: ( 1 +cos cosx x )cos2x = 1 2 sin4x cos ( ) cos cos sin ( ) 2 0 1 1 2 2 x x x x = + = Bạn tự giải tiếp (1). Còn (2) cos ; sin cos cos cos cos sin x x x x x x x + + = 0 2 0 1 2 2 2 2 2 cos cosx x 2 = - cos 2 2x cos 2 2x = 0 (Theo trên) KL: x = 4 + 2k. b. 108.II.2: 4sinx = 1 1 + + cos cos cos x x x 4sinxcosx = 2 (|cos x 2 | + |sin x 2 |) (1) Ta thấy: Nếu x 0 là nghiệm của (1) thì x 0 + cũng là nghiệm. Nên ta tìm nghiệm x [0, ]. Lúc đó: (1) 4sinxcosx = 2 ( cos x 2 + sin x 2 ) 2sin2x = 2sin( x 2 + 4 ) x x = = 6 3 6 x k x k = + = + 6 3 6 c. CĐSP Quảng Ninh (A, B). 97: 4 2 x (sin2x + 3cosx) = 0. ĐK: - 2 x 2. x = 2 Hoặc: cosx(2sinx + 3) = 0 cos x = 0 x = 2 + k x = 1 2 + k. Do ĐK: x = - 3 2 ; x = - 1 2 ; x = 1 2 ; x = 3 2 ; = - 2; x = 2. d. CĐSP Quảng Ninh (D). 97: x 2 1 (cos 2 2x - 2cos 2 x + 1) = 0. Bạn tự giải tiếp. e. HVQH Quốc tế. 97: sin x + sinx + sin 2 x + cosx = 1 sin x + sinx + cosx - cos 2 x = 0 Đặt: sin x = U 0; cosx = V. Ta có U + U 2 + V - V 2 = 0 U V U V = = 1 sin cos ( ) sin cos ( ) x x x x = = 1 1 2 (1) cos sin cos x x x = 0 2 sinx = + 1 5 2 (Kết hợp điều kiện): x = - arcsin + 1 5 2 + 2k 70 (2) sinx = 0 Và cosx = 1 x = 2k. f. 37.II.1: 1 1 + +sin sinx x = 2cosx cos cos cos x x x + = 0 2 2 4 2 2 cosx = 1 x = 2k. 37.II.2: Giải và biện luận: 1 1 + +sin sinx x = kcosx k x x k k cos ( ) |cos | ( ) = + + 0 1 1 1 2 1 2 2 2 Từ (2) có: 1 2 2 + k k 2 - 1 k - 2 Hoặc k 2. + Nếu k -2. Thì: cosx = - 1 1 2 2 2 + + k k x = arccos(- 1 1 2 2 2 + + k k ) + 2k. + Nếu k 2. Thì: cosx = 1 1 2 2 2 + + k k x = arccos 1 1 2 2 2 + + k k + 2k. + Nếu - 2 < k < 2. Thì: PT Vô nghiệm. g. 1 1 +cos cosx x = 4sinxcosx ( 1 1 + +cos cosx x )( 1 1 +cos cosx x ) = 4sinxcosx( 1 1 + +cos cosx x ) - 2cosx = 4sinxcosx( 1 1 + +cos cosx x ) cos sin ( cos cos ) x x x x = + + = 0 2 2 1 1 + x = 2k180 0 .Hoặc sin sin ( sin ) x x x < + = 0 4 2 2 1 2 2 4sin 2 x(2 - 2sinx) = 1 (2sinx - 1)(4sin 2 x - 2sinx - 1) = 0 sinx = 1 5 4 = sin (-18 0 ) x k x k = + = + 18 360 198 360 0 0 0 0 h. 64.II.1: cos sin sin cos2 1 2 2x x x x+ + = + (cos sin )(cos sin ) (sin cos ) sin cosx x x x x x x x + + + = + 2 2 (1). ĐK: cosx+sinx 0; cos 2 x - sin 2 x 0. + Nếu: cosx + sinx = 0 Thì PT có nghiệm tgx = - 1 x = - 4 + k . + Nếu: cosx + sinx > 0 Thì ĐK: cosx - sinx 0 và (1) cos sin cos sinx x x x + + = 2 (cos sin )(cos sin )x x x x + = 2 - cosx cos 2 x + 4cosx - 5 = 0 cosx = 1 x = 2k. i. 111.II.1: cos sin sin cos2 1 2 2x x x x+ = . Bạn tự giải tiếp. k. ĐH SP II. 97: 5 2cos cosx x + 2sinx = 0 5 2cos cosx x = - 2sinx sin cos cos x x x + = 0 2 5 3 0 2 l. ĐH Văn hoá. 97: 1 2 cos sin x x = 2 (cosx - 1 2 ) 2.a. ĐH Quốc gia (A). 97: cosxsinx + |cosx + sinx| = 1. Đặt: |cosx + sinx| = t; ĐK: 0 t 2 . PT 1 2 (t 2 - 1) + t = 1 t 2 + 2t - 3 = 0 t = 1 cosxsinx = 0 sin2x = 0 x = k 2 . b. 51.II.1: |cosx - sinx| + 4sin2x = 1. Bạn tự giải tiếp. c. ĐH Công đoàn. 96: |tgx| = cotgx + 1 cos x . ĐK: x k90 0 . + Nếu tgx > 0 Thì ta có: sin 2 x = cos 2 x + sinx 2sin 2 x - sinx - 1 = 0 sinx = - 1 2 x = 210 0 + k360 0 + Nếu tgx < 0 Thì có: - sin 2 x = cos 2 x + sinx sinx = - 1 (Loại). d. 46.I.2: |cotgx| = tgx + 1 sin x . Bạn tự giải tiếp. e. 57.III.2: Giải với k = 2, 3: 3cosx + 2|sinx| = k + k = 2: 2|sinx| = 2 - 3cosx cos sin cos cos x x x x = + 2 3 2 2 4 4 12 9 cosx = 0 x = 2 + k. 71 + k = 3: 2|sinx| = 3 - 3cosx 4sin 2 x = 9 - 18cosx + 9cos 2 x cos cos x = = 1 5 13 x k x k = = + 2 2 5 13 arccos e. 59.III: |cosx| + sin3x = 0:+ Nếu cosx 0 cosx = cos(90 0 + 3x). + Nếu cosx 0 cosx = cos(90 0 - 3x). f. 86.III.2: |cosx + 2sin2x - cos3x| = 1 + 2sinx - cos2x |2sin2xsinx + 2sin2x| = 2sin 2 x + 2sinx |2sin2x(sinx + 1)| = 2sinx(sinx + 1) sin | sin | sin x x x = = 1 2 2 sinx = - 1 Hay sinx = 0 Hay cosx = 1 2 Phơng trình chứa tham số: 1. a: ĐH Kiến Trúc. 88: Giải và biện luận: 2msinxcosx - (sinx + cosx) + 1 = 0 (1). m 0. Đặt: sinx + cosx = t. |t| 2 (*). Thì (1) f(t) = mt 2 - t + 1 - m = 0 (2) Cách 1: + (1) Vô nghiệm < < < < 0 2 2 1 2 t t (Đã có ac < 0) mf mf ( ) ( ) < < 2 0 2 0 Bạn tự giải tiếp. Cách 2: + Nếu m = 0 thì PT có nghiệm t = 1 x = 4 + 2k + Nếu m 0 Thì (2) luôn có nghiệm t = 1 và t = 1 m m . Bạn tự giải tiếp. b. ĐH Thơng mại. 96: Tìm m để phơng có hai nghiệm thuộc [0,]: 2 1 3 sin sin x x + = m Đặt: sinx = t. Thì Ycbt Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm [0,1]: 2 1 3 t t + = m. Bạn tự giải tiếp. c. ĐH Ngoại ngữ. 97: Tìm m để f(x) = sin cos sin cos 4 4 2x x m x x+ có nghĩa x. Giải: Ycbt sin 4 x + cos 4 x - 2msinxcosx 0, x 1 - 1 2 sin 2 2x - msin2x 0, x f(t) = X 2 + 2mX - 2 , X [-1,1] X 1 - 1 < 1 X 2 f f ( ) ( ) 1 0 1 0 - 1 2 m 1 2 d. 5.II - 56.II.2: Tìm a để PT có nhiều hơn một nghiệm thuộc(0, 2 ): (1 - a)tg 2 x - 2 cos x + 1 + 3a = 0 Giải: PT (1 - a) 1 2 cos x - 2 cos x + 4a = 0. Đặt: X = 1 cos x Ví: 0 < x < 2 0 < cosx < 1 1 < X < Nên:Ycbt f(X) = (1 - a)X 2 - 2X + 4a = 0 thoả: 1 < X 1 < X 2 ( ) ( ) ' 1 1 0 0 1 2 > > > a f S a a < < 1 2 1 3 1 e. 11.II.1: Tìm a để PT có nghiệm: sin 6 x + cos 6 x = a|sin2x| C1: PT a|sin2x| = 1 - 4 3 sin 2 2x a = 1 2|sin |x - 4 3 |sin2x| = 1 2|sin |x + |sin2x| - 7 4 |sin2x| 2 - 7 4 |sin2x| 1 4 C2: Đặt |sin2x| = X, ĐK: 0 < X < 1. Khảo sát hàm số KL. C3: Đặt |sin2x| = X. Xét f(X) = 3X 2 + 4aX - 4 = 0 có nghiệm (0,1). 2.a. ĐH Bách khoa. 98: Giải và biện luận: 2 2 2 2 + + =x x x xsin cos |a + 1| + |a - 1| Giải: PT Vô nghiệm 4 < 2a 2 + 2 a < - 1 Hoặc a > 1. + Nếu: a = 1. PT 2 2 2 2 + + =x x x xsin cos 2 1 2 ( 2 2 2 2 + +x x x xsin cos ) = 1 Đặt: 2 2 2 x = cos; 2 2 2 + x = sin. PT sin( + x) = 1 + x = 2 + 2k x = - + 2 + 2k + Nếu: - 1 < a < 1: Thì PT sin( + x) = | | | |a a + + 1 1 2 x = - + (-1) k arcsin | | | |a a + + 1 1 2 + 2k 72 b. ĐH Xây dựng. 98: Giải và biện luận: mcotg2x = cos sin cos sin 2 2 6 6 x x x x + mcotg2x = cos sin cos 2 1 2 2 x x x + Luôn có nghiệm: x = 4 + k 2 . Ngoài ra: m x x sin sin 2 4 4 2 2 = . Đặt sin2x = X, X 0 - 1 X 1. Có 4m - mX = 4X (m + 4)X = 4m. Nếu: m = - 4 VN. m - 4 X = 4 4 m m + . Bạn tự giải tiếp. c. Tìm m để PT có đúng 4 nghiệm (0,2): mcos2x + sinx = cosxcotgx. PT sin ( ) cos ( sin ) ( ) x x m x = 0 1 2 1 0 2 + Nếu m = 0. Hệ cos2x = 0 x 1 = 4 ; x 2 = 3 4 ; x 3 = 5 4 ; x 4 = 7 4 . KL: m = 0 là một giá trị. + Nếu m 0. Hệ cos sin 2 0 1 x x m = = Có đúng 4 nghiệm sinx = 1 m Vô nghiệm | 1 m | > 1 |m| < 1 và m 0. Hoặc sinx = 1 m có nghiệm các nghiệm của cos2x = 0 | 1 m | = 2 2 |m| = 2 KL: |m| < 1 Hoặc |m| = 2 . d. Tìm m để: sin 5 x + cos 5 x - m(sinx + cosx) sinxcox(sinx + cosx), x [0, 4 ]. Giải: Vì sin 5 x + cos 5 x = (sin 2 x + cos 2 x)(sin 3 x + cos 3 x) - sin 2 xcos 2 x(sinx + cosx). Nên đặt : t = sinx + cosx Thì: Ycbt Tìm m để f(X) = X 2 + 4X + 4m - 4 0, X (0;1) X 1 0 < 1 X 2 f f ( ) ( ) 0 0 1 0 m - 1 4 . e. Tìm m để: sin3x + msin2x + 3sinx 0 (*), x [0, 2 ]. Giải: (*) -2sin 3 x + msinxcosx + 3sinx 0 - 2sin 2 x + mcosx + 3 0 (Vì sinx 0) 2cos 2 x + mcosx + 1 . Đặt cosx = X Thì: 0 X 1 Và Ycbt f(X) = 2X 2 + mX + 1, X [0;1] < < 0 1 0 1 2 1 2 X X X X m - 2 2 3. a. Giải và biện luận: (8a 2 + 1)sin 3 x - (4a 2 + 1)sinx + 2acos 3 x = 0 + Nếu a = 0 Ta có: sin 3 x - sinx = 0 x = k 2 + Nếu a 0. Vì sinx = 0 không là nghiệm nên PT 2aCotg 3 x - (4a 2 + 1)Cotgx + 8a 2 + 1 = 0 (Cotgx - 2a)(2aCotg 2 x - Cotgx - 2a) = 0 x arc g a k aCotg x Cotgx a = + = cot (*) 2 2 2 0 2 (*) 4a = 2 1 2 cot cot gx g x tg2x = 4a x = 1 2 arctg4a + m 2 . b. Tìm m để phơng trình có nghiệm: sin 2 x + sin 2 3x - mcos 2 2x = 0. Giải: PT 1 2 2 1 6 2 + cos cosx x - mcos 2 2x = 0 4cos 3 2x + 2mcos 2 2x - 2cos2x - 2 = 0 Đặt: cos2x = X, - 1 X 1. Thì Ycbt Tìm m để f X X X mX X ( ) = + + = 2 1 1 1 3 2 Vẽ hình có m 0. Hệ Phơng trình, Bất phơng trình: 1. a. ĐH Mở. 98: Cho sin sin 2 2 x mtgy m tg y m x m + = + = . a. Giải khi m = 1. b. Tìm m để hệ có nghiệm. + m = 1. Đặt: sinx = X, - 1 X 1; tgy = Y (x = 2 + k). Có: X Y X Y 2 2 1 1 + = + = X 2 - Y 2 + Y - X = 0 73 [...]... / sin x = sin y cos x 1 / cos x = cos y i Văn Lang 97: 2 a ĐH Dợc 97: Tìm x (0, 2)mà: cosx - sinx - cos2x > 0 (cosx - sinx)(1 - cosx - sinx) > 0 Bạn tự giải tiếp b cosx + 3 sinx < 1 c.cosx(1 - 2sinx) > 0 d sinx + sin3x < sin2x 2 e QGTP Hồ Chí Minh 97: 2cos2x + sin cosx + sinxcos 2x > 2(sinx + cosx) Ghi chú: Một số bài toán chứa hàm lợng giác ngợc: 1 1 1 1 15 ) Đặt t = arsin sint = (0 t ) cost... - arccosx x 2 2 3 = cos( 2 - arccosx) 1 3 = sin(arccosx) 3x2 = 1 - cos2(arccosx) 3x2 = 1 - x2 x = 2 Thử lại loại x = b arcsinx = arccos 1 x 2 cos(arcsinx) = 1 x 2 Đặt: y = arcsinx x = siny PT cosy = 1 x 2 = 1 sin 2 y Đúng y Vậy nghiệm là: x [-1,1] 1 2 75 . tiếp . r. ĐH Thuỷ lợi. 98: (1 + sinx) 2 = cosx (1 + sinx) 4 = cos 2 x (1 + sinx) 4 =1 - sin 2 x. Bạn tự giải tiếp. Cách 2: Nhân hai vế với cosx. Cách 3: Đổi về góc x/2. s. ĐH Hàng hải 40 0 ) 0. PT tg3X + tgX = sin2X sin4X = sin2Xcos3XcosX sin2X(cos3XcosX - 2cos2X) = 0. Bạn tự giải tiếp. b. ĐH Kiến Trúc. 92: 2tg3x - 3tg2x = tg 2 2xtg3x. ĐK: cos3xcos2xcosx 0. PT 2(tg3x. cos x 2 ≠ 0 66 PT 4cos 2 x 2 sin 2 x 2 - 2 = - 4cos 2 x 2 sin 2 x 2 sin 2 x = 1 x = 2 + k c. ĐH Giao thông vận tải. 98: tgx + cotgx = 2(sin2x + cos2x). ĐK: x k90 0 . PT 1 sin cosx