41 bài toán tiếp tuyến cho học sinh 11 và 12

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT GIÁO KHOA 1) Định nghóa đạo hàm hàm số điểm: Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng (a;b) x ∈ (a; b) Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0, ký hiệu f'(x0) hay y'(x0) giới hạn hữu hạn (nếu có) f(x) − f(x ) lim x → x0 x − x0 f(x) − f(x ) x→x0 x − x0 f '(x ) = lim Ý nghóa hình học đạo hàm: • Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 f'(x0) (C) đồ thị hàm số M (x ; f(x )) ∈ (C) vaø ∆ tiếp tuyến (C) M y f(x0 ) (C): y=f(x) M0 x0 ∆ x a) Ý nghóa hình học đạo hàm: • Đạo hàm hàm số y=f(x) điểm x0 hệ số góc k tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M (x ; f(x )) k = f '(x ) (k = tan α với α = ( ox; ∆ ) ) b) Phương trình tiếp tuyến: • Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm x0 phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M0(x0;f(x0)) là: y = f '(x )(x − x ) + f(x ) hay: y = f(x )  y − y = k ( x − x ) :  k = f '(x )  THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào Các quy tắc tính đạo hàm: Đạo hàm tổng hiệu tích thương hàm số ′ a Đạo hàm tổng ( hiệu ): (u ± v ) = u ′ ± v′ b Đạo hàm tích: (u.v )′ = u ′.v + u.v′ Đặc biệt ′ ( C.u ) = C.u′ Với C số c Đạo hàm thương: ′  u  u ′.v − u.v′ Đặc biệt   = v2 v ′ ′ C C.v '   −1   =   = − v v v v d Đạo hàm hàm số hợp: Cho hai hàm số y = f (u ) u = g(x ) y = f [g(x )] gọi hàm hợp hai y′x = y′u u′x hàm số trên, đó: Đạo hàm hàm số bản: (C)′ = (x)' =1 ′ (x ) n ( C số ) ( C.x ) ' = C = n.x n −1 ( n ∈ N, n ≥ ) ′ 1   = − (x ≠ 0) x x ′ x = ( x > 0) x (sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x ′ ( tan x ) = = + tan x cos x ′ ( cot x ) = − = − (1 + cot x ) sin x ′ a.d − c.b  ax + b    =  cx + d  (cx + d ) ( ) Với u hàm số ′ (u ) n = n.u n −1.u ′ ′ u′ 1   =− u u ′ u′ u = u (sin u )′ = u ′ cos u (cos u )′ = −u ′ sin u u′ ′ ( tan u ) = = (1 + tan u).u′ cos u u′ ′ ( cot u ) = − = − (1 + cot u ) u′ sin u ′  ax + bx + c  a.a1 x + 2a.b1 x + b.b1 − a1 c   =  a x+b  (a1 x + b1 )2  1  ( ) THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG CÁC DẠNG TỐN TIẾP TUYẾN CƠ BẢN Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C):y = f(x) điểm M (x ; y ) ∈ (C) y (C): y=f(x) y0 M ∆ x x0 Phương pháp: Phương trình tiếp tuyến với (C) M(x0;y0) có dạng: y = f '(x )(x − x ) + f(x ) hay y - y0 = k ( x - x0 ) Trong : x0 : hoành độ tiếp điểm y0: tung độ tiếp điểm y0 = f(x0) k : hệ số góc tiếp tuyến tính công thức : k = f'(x0) Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước y (C): y=f(x) y0 M x0 ∆ x Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tiếp điểm tiếp tuyến với (C) Bước 2: Tìm x0 cách giải phương trình : f ' ( x0 ) = k , từ suy y0 = f ( x0 ) =? Bước 3: Thay yếu tố tìm vào pt: y - y0 = k ( x - x0 ) ta pttt cần tìm THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào Chú ý : Đối với dạng người ta cho hệ số góc k dạng gián tiếp : tiếp tuyến song song, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước y y (C): y=f(x) (C): y=f(x) k=a y = ax + b ∆ x x O ∆1 ∆2 k = −1 / a ∆ : y = ax + b Khi ta cần phải sử dụng kiến thức sau: Định lý 1: Nếu đường thẳng ( ∆ ) có phương trình dạng : y= ax+b hệ số góc ( ∆ ) là: k∆ = a Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng (∆1 ) (∆ ) Khi đó: ∆1 / / ∆ ⇔ k∆ = k∆ ∆1 ⊥ ∆ ⇔ k ∆ k ∆ = −1 1 (∆1 ≠ ∆ ) 2 Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA;yA) y (C ) : y = f ( x) A( x A ; y A ) x O ∆ : y − y A = k(x − xA ) ⇔ y = k(x − xA ) + y A Phương pháp : Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C) điểm M0(x0;y0) ∈ (C ) (d ) : y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) (*) Bước 2: Định x0 để (d) qua điểm A(xA;yA) Ta coù: (d) qua điểm A(xA;yA) ⇔ y A = f '( x0 )( x A − x0 ) + f ( x0 ) (1) Bước 3: Giải pt (1) tìm x0 Thay x0 tìm vào (*) ta pttt cần tìm THPT Chun Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào Ngồi cách giải ta có dựa vào định lý sau để giải ĐỊNH LÝ: Đường thẳng y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) hệ phương trình sau có nghiệm a = f '( x)  f ( x) = ax + b hay   ax + b = f ( x)  f '( x) = a Phương pháp: Ta tiến hành theo bước sau Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A có hệ số góc k công thức: y − y A = k ( x − x A ) ⇔ y = k ( x − x A ) + y A (*) Bước 2: Định k để ( ∆ ) tiếp xúc với (C) Ta có: f(x)=k(x-x A ) + y A  ∆ tiếp xúc (C) ⇔ hệ  ' có nghiệm (1) f ( x ) = k  Bước 3: Giải hệ (1) tìm k Thay k tìm vào (*) ta pttt cần tìm THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN 41 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Dành cho học sinh lớp 11 chuyên) Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 33: Bài 34: Bài 35: Bài 36: Bài 37: Bài 38: Bài 39: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Huỳnh Chí Hào Bài 40: Bài 41: ============Hết============ ... GIẢI TOÁN 41 BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ (Dành cho học sinh lớp 11 chuyên) Bài 1: Bài 2: Bài 3: Bài 4: Bài 5: Bài 6: Bài 7: Bài 8: THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 9: Bài 10: Bài 11: Bài. .. Bài 12: Bài 13: Bài 14: Bài 15: Bài 16: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 17: Bài 18: Bài 19: Bài 20: Bài 21: Bài 22: Bài 23: Bài 24: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài. .. Nguyễn Quang Diêu Bài 25: Bài 26: Bài 27: Bài 28: Bài 29: Bài 30: Bài 31: Bài 32: Huỳnh Chí Hào THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Bài 33: Bài 34: Bài 35: Bài 36: Bài 37: Bài 38: Bài 39: Huỳnh Chí Hào