Giải toán trong cuốn tuyển sinh 10 - Bình Dương

ĐẠI SỐChương I: CĂN BẬC HAI.

ĐẠI SỐ

Chương I: CĂN BẬC HAI.

A) LÝ THUYẾT:

1) Căn bậc hai:

 Căn bậc hai số học của một số khơng âm a là số khơng âm x sao cho x2 =a , ký hiệu a

Ta cĩ: a x x2 0

≥





 Với mọi số thực a > 0 đều cĩ 2 căn bậc hai là 2 số đối nhau, a gọi là căn bậc hai số học hay căn bậc hai dương của a, – a gọi là căn bậc hai âm của a.

:

 ∀ ∈a ¡ +,x∈¡ :x2 = ⇔ = ±a x a

 ∀a b, ∈¡ +: a = b⇔ =a b

 ∀a b, ∈¡ +: a < b ⇔ <a b

2) Các cơng thức:

0

nếu nếu

≥





 AB= A B. (A ≥ 0, B ≥ 0)

B

A B

−

±

m

(A > 0, B > 0, A ≠ B)

2

C

−

±

m

(B > 0, 2

A ≠ B)

B) BÀI TẬP:

Bài 1 Tính:

4

 Hướng dẫn :

1/ 169+ 49− 36 13 7 6 12= − + = 2/ 0,36 4 25 0,6 2 5 53

Bài 2 So sánh:

1+ 2 + 3+ + 99+ 100 và 70

1/ 26> 25 5= do đĩ 26 > 5

2/ 7< 9 3= ⇔ − 7 > −3

3/ 2 3= 12< 121 11= do đĩ 2 3 < 11

2

10 =43 57;+ 26+ 17 =43 2 442+

Vì 572 =3249 và ( )2

2 442 =1768 nên 57 2 442> do đĩ 10 > 26+ 17

10

1 > 100 = , 1 1 1

10

10

99 > 100 = Nên

10

Bài 3 Giải các phương trình

4x +4x+ +5 8x +8x+ = −11 4 4x −4x

2/ 3x2+6x+12+ 5x4−10x2+ = −9 3 4x−2x2 3/ x+ 3+ x =3

 Hướng dẫn :

1/ 4x2+4x+ =5 (2x+1)2+ ≥4 2 và 8x2+8x+ =11 2(2x+1)2+ ≥9 3 nên VT ≥ 5

4 4− x −4x= −(2x+1) + ≤5 5

Do đĩ phương trình cĩ nghiệm khi

2

2 2

1

2

x

x



− + + =



2/ 3x2+6x+12 = 3(x+1)2+ ≥9 3 và 5x4−10x2+ =9 5(x2−1)2+ ≥4 2 nên VT ≥ 5

3 4− x−2x = −2(x+1) + ≤5 5

Do đĩ phương trình cĩ nghiệm khi

2

2 2 2

x

x



− + + =



3/ Điều kiện xác định x ≥ 0

Với x > 1 ⇒ x > 1 ⇒ 3+ x > 4 ⇒ 3+ x > 2 ⇒ x+ 3+ x >3

Với 0 ≤ x < 1 ⇒ x < 1 ⇒ 3+ x< 4 ⇒ 3+ x < 2 ⇒ x+ 3+ x <3

Với x =1 ⇒ 3 = 3

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất

Bài 4 Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau cĩ nghĩa:

25

x

x x

−

 Hướng dẫn :

1/ A cĩ nghĩa khi

3 4

x x

3/ C cĩ nghĩa khi

2 25 0 2 25 5

7 7

x

x x

≠ ±

Bài 5 Giải phương trình sau:

1/ x2−14x+49 3− x=1 2/ x2+ +1 x2+ =2 2

 Hướng dẫn :

1/ x2−14x+49 3− x=1 ⇔ (x−7)2 =3x+1 Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là 1

3

Pt ⇔ x− =7 3x+1⇔

4

3

2

(loại)

x

= −



3 2

2/ Vì x2+ ≥1 1, x2+ ≥2 2 1> do đĩ x2+ +1 x2+ >2 2 nên x2+ +1 x2+ =2 2 vơ nghiệm

Bài 6 Tính:

3/ 2009 2 2008− − 2008 4/ 76 42 3− + 76 42 3+

 Hướng dẫn :

16 6 7− = 9 2.3 7 7− + = 3− 7 = −3 7 = −3 7

2/ 12 5 29− + 12 5 29+ = 29 12 5− + 29 12 5+ =

9 2.3.2 5 20− + + 9 2.3.2 5 20+ +

3 2 5− + 3 2 5+ = −3 2 5 3 2 5 2 5 3 3 2 5 4 5+ + = − + + =

2009 2 2008− − 2008= 2008 1− − 2008= 2008 1− − 2008= −1

4/ 76 42 3− + 76 42 3+ = 49 2.7.3 3 27− + + 49 2.7.3 3 27+ + =

7 3 3− + 7 3 3+ = 7 3 3 7 3 3− + + = 7 3 3 7 3 3 14− + + =

Bài 7 Tính:

1/ A = 4− 7 − 4+ 7 + 2 2/ B = 4 3 2 2+ − 56 2 81+

3/ C = 3− 5 (3+ 5)( 10− 2) 4/ D = 10+ 24+ 40+ 60

 Hướng dẫn :

1/ A 2 = 8 2 7− − 8 2 7 2+ + = ( 7 1)− 2 − ( 7 1)+ 2 + =2 7 1− − 7 1 2 0− + = ⇒ A = 0

2/ B = 4 ( 2 1)+ 2 − (7 4 2)+ 2 = 4( 2 1) (7 4 2)+ − + = 4 2 4 7 4 2+ − − = −3

3/ C =

2

2 3− 5 (3+ 5)( 5 1)− = 6 2 5 (2 2 5)− + = ( 5 1) (2 2 5) 2( 5 1)( 5 1)− + = − + = 8

4/ D 2 = 20 4 6 4 10 2 60+ + + = ( )2

6+ 10 2+ = 6+ 10 2+ ⇒ D =

3+ 5+ 2

Bài 8 Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức: M = 4x + 7 – 16x2+56x+49 với x = 3

 Hướng dẫn : M = 4x + 7 – 2

(4x+7) = 4x + 7 – 4x+7 =

7 0

4 7

8 14

4

nếu nếu

x







Với x = 3 ⇒ M

= 0

Bài 9 Tính:

2

15a −8a 15 16+ với

3/ C = 35a2−10 35a+25 với 5 7

3 3 2

3

x

x

+

+ (x ≥ 0) với 3

 Hướng dẫn :

1/ A = 3 2 2 2 : 2

2/ B = ( )2

15 4

4 15

15 4

15

4 15

15

nếu nếu

B





= 



3/ C = ( )2

35 5

5 35

35 5

35

5 35

35

nếu nếu

C





= 



4/ D =

3 2

3

3

x

x

+

+ (x ≥ 0) = 4x – 27 Với x= 3 ⇒ D = 4 3 3 3− = 3

Bài 10 Tính:

1/ M =

2

x

3 4

x=

 Hướng dẫn :

3 x + −11 x + + x + = x + với x=( 10− 6) 4+ 15

⇒ x2 = −(6 2 60 4)( + 15) (=4 4− 15 4)( + 15) =4(16 15) 4− = Vậy M = 6 4 12+ = 24

− < < , N = (1 2 ) (1 1 2 ) (1 2 ) (1 1 2 )

+

2

x

2 2

x

− Với x= 43 ⇒ N =

2 3 2 3 3

2 3

2

2

2 3

− =

( 3 1 3 1 3)

2 1

2 3

− =

Bài 11 Sắp xếp các số theo thứ tự tăng dần: 51; 2 5; 3 4; 5 2; − 71; 2 11−

 Hướng dẫn : − 71; − 44; 20; 36; 50; 51 hay − 71; 2 11; 2 5; 3 4; 5 2; 51;−

Bài 12 Giải phương trình sau:

1/ 9x− 16x+ 81x =2 2/ 1 4 4 2 9 9 24 1 17

x

3/

 Hướng dẫn :

1/ Với x ≥ 0: Pt ⇔ 3 x−4 x+9 x=2 ⇔ 8 x =2 ⇔ 1

4

16

x= 2/ Với x ≥ 1: Pt ⇔ x− −1 2 x− +1 3 x− =1 17 ⇔ 1 17

2

4

4

x= 3/ Với y ≥ 0: Pt ⇔ y+ y+ =1 1 Vì y ≥0; y+ ≥1 1 do đĩ y+ y+ =1 1 ⇔ y = 0

Bài 13 Tính:

3/ C = 4+ 8 2+ 2+ 2 2− 2+ 2 4/ D = 5− 3− 29 12 5−

 Hướng dẫn :

2 4+ 20− 8 3 4+ = 2 4+ 16 8 3− =

2 4+ 2 3 2− = 2 2 2 3+ = 4 4 3+

2/ B = 8 2 2 2 5 2 10+ + + = ( ) (2 )

5+ 2 +2 5+ 2 +1 = 5+ 2 1+ 3/ C = 4+ 8 4 2− − 2 = 2 2( + 2) 2− 2 = 2(4 2)− = 2

5− 3− 2 5 3− = 5− 6 2 5− = ( )2

5− 5 1− = 5− 5 1+ = 1

Bài 14 Khử căn mẫu số:

1/ 9

5

13

3a (a > 0)

 Hướng dẫn :

1/ 9

7 =

63

5

343 =

1715

13

3a =

5

Bài 15 Trục căn thức ở mẫu:

1

1

2+ 5 2 2+ + 10

2 1 1

1/ 1

3 5 5 3− =

−

1+ 2+ 3 =

2

3/

(5 4)(2 1)

+

5/ (a, b > 0 và a ≠ b): a b b a

−

ab

6/ (x < –1 hoặc x > 1):

2 2

1 1

1 1

x x

− +

− − =

Bài 16 Tính:

6 11

7

5 − 5 1− 7 1+

 Hướng dẫn :

1/ A = 15( 6 1) (4 6 2) (12 3 6) ( )

6 11

=

2/ C = 10 5 8( 5 1) (6 7 1)

7

− − = 2 5 2 5 2− + − 7 1− + 7 = 1

Bài 17 So sánh: a = 5 5 5 5

5 2 1− + 3− 2 + + 99− 98+ 100− 99 = 5.9 = 45 > 40

Bài 18 Cho biểu thức: A = 1 : 1 2

1/ Rút gọn A 2/ Tìm a để A > 1 3/ Tính giá trị của A nếu a = 6 2 5−

 Hướng dẫn : Điều kiện a ≥ 0 và a ≠ 1

1/ A =

:

2

1 1

:

a

−

( 1 ( )1)

1 1

a

−

2/ A > 1 ⇔ 1

1

a

− > 1 ⇔

1 0 hoặc 1 0

  ⇔ a > 1 hoặc a < –2 (loại) Vậy A > 1 khi a > 1

6 2 5− = 5 1− ⇒ A = 6 2 5 5 1 1

5 1 1

5 2

Bài 19 Cho biểu thức: B = 2 9 3 2 1

1/ Rút gọn B 2/ Tìm x để B nhận giá trị nguyên 3/ Tìm x để B < 1

 Hướng dẫn : Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9

2

1

2/ B nguyên khi: x−3 ≥ –3 và là ước của 4

3

x− = 4 ⇔ x = 49 x−3 = 2 ⇔ x = 25 x−3 = –2 ⇔ x = 1

3

x− = 1 ⇔ x = 16 x−3 = –1 ⇔ x = 4

Vậy các giá trị x cần tìm để B nguyên là : 49, 25, 16, 4, 1

3/ B < 1 ⇔1 4

3

x

+

− < 1 ⇔

4

− Kết hợp điều kiện ⇒ B < 1 khi 0≤ <x 9 và x ≠ 4

Bài 20 Cho biểu thức: C = 3 9 3 1 2

1/ Rút gọn C 2/ Tìm giá trị nguyên của x để C nhận giá trị nguyên

 Hướng dẫn : Điều kiện x ≥ 0, x ≠ 1

2

2

2 1

2

x

+

2/ x nguyên (*)

C nguyên khi x+ x−2 là ước của 2 hoặc của x

+) x+ x−2 = 2 ⇔ x+ x− =4 0

1 17 2

1 17 2

x

x

=





⇔

=



khơng thỏa (*)

+) x+ x−2 = –2 ⇔ x+ x=0 0

1 (loại)

x x

⇔ 

= −

+) x+ x−2 = 1 ⇔ x+ x− =3 0

1 13 2

1 13 2

x

x

=





⇔

=



khơng thỏa (*)

+) x+ x−2 = –1 ⇔ x+ x− =1 0

2

2

x

x

=





⇔

=



khơng thỏa (*)

+) x+ x−2 = x ⇔ x− =2 0 ⇔ x = 2 thỏa (*)

+) x+ x−2 = – x ⇔ x+2 x− =2 0 1 3

x x

⇔ 

= − −

Vậy x = 0 hoặc x = 2 là hai giá trị cần tìm

Bài 21 Cho biểu thức D = 2 4 2 4 : 2 3

4

x

1/ Rút gọn D 2/ Tìm giá trị của x để D > 0 3/ Tìm giá trị của x để D = x+3

 Hướng dẫn : Điều kiện x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9

1/ D =

: 4

x

=

:

3

x

=

−

2/ Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ 9, D > 0 ⇔ 4

3

x

x− > 0 ⇔

9

3 0 hoặc 3 0

x

3/ D = x+3 ⇔ 4

3

x

x− = x+3 ⇔ 4x = x – 9 ⇔ x = –3 < 0 khơng thỏa điều kiện.

Khơng tồn tại x để D = x+3

Bài 22 Rút gọn các biểu thức:

3+ 3+ 10 6 3+

 Hướng dẫn :

5+ 3 − 5 = 5+ 3− 5 = 3

7− 3 + 3= 7− 3+ 3= 7

5 2 6+ − 2= 2+ 3 − 2 = 2+ 3− 2= 3

14 6 5+ − 5= 3+ 5 − 5 3= + 5− 5 3=

8 2 7 1− + = 7 1− + =1 7 1 1− + = 7

12 2 35− + 5= 7− 5 + 5= 7− 5+ 5= 7

3 45 29 2+ +345 29 2− =3 3+ 2 +3 3− 2 = 3+ 2 3+ − 2 6=

8/ ( )3

3+ 3+ 10 6 3+ = 3+ 3+ 1+ 3 = 3+ 3 1+ + 3 = 4 2 3+ = 3 1+

Bài 23 Tính:

1/ ( 28 2 14− + 7) 7 7 8+ 2/ ( 8 3 2− + 10)( 2 3 0, 4− )

3/ (15 50 5 200 3 450 : 10+ − ) 4/ 5 2 6 8 2 15

7 2 10

+

+

3 3

3 3

 Hướng dẫn :

1/ (2 7 2 7 2− + 7) 7 7 8+ = 14 14 2 7 7 8− + + = 21

5

2 2 5

5

−

5

16 5 40

5

− 3/ 15 5 5 20 3 45+ − = 15 5 10 5 9 5+ − = 16 5

+

5/ 7( 2 1) 5( 3 1) ( 7 5)

= −( 7+ 5)( 7− 5) = –2

6/

3 3

3 3

1 1

+

3 3 3

2 1 1

− +

− = 3 2