Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là.. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
Trang 1Chuỷ ủeà 9 : HOAÙN Về, CHặNH HễẽP, TOÅ HễẽP
A- BAỉI TAÄP MAÃU
1 Cú bao nhiờu số tự nhiờn chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khỏc nhau?
Giaỷi :
Gọi n a a a a là số cần lập.= 1 2 3 4
TH1 : a4 = 0, ta cú8 cỏch chọn a1 (vỡ a1≥ 2)
8 cỏch chọn a2
7 cỏch chọn a3
(1 cỏch chọn a4 ) Vậy ta cú 8.8.7.1 = 448 số n
TH2 : a4≠ 0 vỡ a4 chẵn Ta cú : 4 cỏch chọn a4
7 cỏch chọn a1
8 cỏch chọn a2
7 cỏch chọn a3
Vậy ta cú 4.7.8.7 = 1568 số n
Vậy cả 2 trường hợp ta cú : 448 + 1568 = 2016 số n
2 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ
Giaỷi:
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10
5 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu)
và 3
5
C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
5
C 3 5
C = 100 bộ 5 số đợc chọn
Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2
4
C 3 5
C 5! = 12000 số
Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 3.4! 960
5
1
C Vậy có tất cả
12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
Giaỷi:
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6
4 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và 2 10
5 =
C
cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
4
C 2 5
C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả 2
4
C 2 5
C 4! = 1440 số
4 Cho tập E={0,1,2,3,4,5,6} Từ cỏc chữ số của tập E lập được bao nhiờu số tự nhiờn chẵn gồm 4
chữ số đụi một khỏc nhau?
Giaỷi:
Giả sử abcd là số thoả mãn ycbt Suy ra d∈{0,2,4,6}
+) d =0. Số cách sắp xếp abc là 3
6
A
+) d =2. Số cách sắp xếp abc là 2
5
3
6 A
A −
+) Với d = 4 hoặc d = 6 kết quả giống nh trờng hợp d = 2
Trang 2Do đó ta có số các số lập đợc là A63 +3(A63−A52)=420.
5 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ
Giaỷi
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6
4 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và 2 10
5 =
C
cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
4
C 2 5
C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả 2
4
C 2 5
C 4! = 1440 số
6 Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ
Giaỷi:
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 10
5 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu)
và 3
5
C =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
5
C 3 5
C = 100 bộ 5 số đợc chọn
Mỗi bộ 5 số nh thế có 5! số đợc thành lập => có tất cả 2
4
C 3 5
C 5! = 12000 số
Mặt khác số các số đợc lập nh trên mà có chữ số 0 đứng đầu là 3.4! 960
5
1
C Vậy có tất cả
12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán
7 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.
Giaỷi:
Từ giả thiết bài toán ta thấy có 2 6
4 =
C cách chọn 2 chữ số chẵn (vì không có số 0)và 2 10
5 =
C
cách chọn 2 chữ số lẽ => có 2
4
C 2 5
C = 60 bộ 4 số thỏa mãn bài toán Mỗi bộ 4 số nh thế có 4! số đợc thành lập Vậy có tất cả 2
4
C 2 5
C 4! = 1440
8 Moọt hoọp ủửùng 5 vieõn bi ủoỷ, 6 vieõn bi traộng vaứ 7 vieõn bi vaứng Nguụứi ta choùn ra 4 vieõn bi tửứ hoọp ủoự Hoỷi coự bao nhieõu caựch choùn ủeồ trong soỏ bi laỏy ra khoõng coự ủuỷ caỷ ba maứu?
Giaỷi:
-Số cỏch chọn 4 bi từ số bi trong hộp là: C184
-Số cỏch chọn 4 bi đủ 3 màu từ số bi trong hộp là: C52C61C71 + C51C62C71 + C51C61C72
-Số cỏch chọn thoả món yờu c ầu là: ( 2) 1485
7
1 6
1 5
1 7
2 6
1 5
1 7
1 6
2 5
4
18 − C C C + C C C + C C C =
C
9 Từ cỏc số 0,1,2,3,4,5,6 Lập được bao nhiờu số cú 5 chử số khỏc nhau mà nhất thiết phải cú chử số 5
*Số cú 5 chử số khỏc nhau là: 4
6
6.A (số)
* Số cú 5 chử số khỏc nhau khụng cú mặt chử số 5 là: 4
5
3.A
*Vậy cỏc Số cú 5 chử số khỏc nhau luụn cú mặt chử số 5 là: 4 4
6.A −5.A =1560(SỐ)
Trang 310 Cho tập hợp X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
đôi một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
Giải:
n = a b cd e
* Xem các số hình thức a b cd e , kể cả a = 0 Có 3 cách chọn vị trí cho 1
(1 là a hoặc là b hoặc là c) Sau đó chọn trị khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ X \ { }1 : số cách chọn A 47
Như thế có 3 x (7 x 6 x 5 x 4) = 2520 số hình thức thỏa yêu cầu đề bài
* Xem các số hình thức 0b cd e
* Loại những số dạng hình thức 0b cd e ra, ta còn 2520 – 240 = 2280 số n thỏa yêu cầu đề bài
11 Cho tập hợp X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi
một từ X, sao cho một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
Giải:
n = a b cd e
* Xem các số hình thức a b cd e , kể cả a = 0 Có 3 cách chọn vị trí cho 1 (1 là a hoặc là b hoặc là c) Sau đó chọn trị khác nhau cho 4 vị trí còn lại từ X \ { }1 : số cách chọn 4
7
A Như thế có 3 x (7 x 6 x 5 x 4) = 2520 số hình thức thỏa yêu cầu đề bài
* Xem các số hình thức 0b cd e
* Loại những số dạng hình thức 0b cd e ra, ta còn 2520 – 240 = 2280 số n thỏa yêu cầu đề bài
12 Cĩ bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010
Giải:
Gọi số cần tìm cĩ dạng : abcd
+ Nếu a > 2 : cĩ 7 cách chọn a và 3
9
A cách chọn b, c , d + Nếu a = 2 :
+ b > 0 : cĩ 8 cách chọn b và cĩ 2
8
A cách chọn c , d + b = 0 và c > 1: cĩ 7 cách chọn c và và 7 cách chọn d
+ b = 0 và c = 1 : cĩ 7 cách chọn d
Vậy số các số thỏa yêu cầu bài tốn là : 7 8 2 7 7 7 4032
8
3
A
13 Cho tập A= { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Cĩ bao nhiêu số tự nhiên cĩ 5 chữ số khác nhau chọn trong A sao cho số đĩ chia hết cho 15
Nhận xét: Số chia hết cho 15 thì chia hết 3 và chia hết 5
Trang 4+ Các bộ số cĩ 5 số cĩ tổng chia hết cho 3 là: (0; 1; 2; 3; 6), (0; 1; 2; 4; 5), (0; 1; 3; 5; 6), (0; 2; 3; 4; 6), (0; 3; 4; 5; 6),(1; 2; 3; 4; 5), (1; 2; 4; 5; 6)
Mỗi số chia hết cho 5 khi và chỉ khi số tận cùng là 0 hoặc 5
Trong các bộ số trên cĩ 4 bộ số cĩ đúng một trong hai số 0 hoặc 5
⇒ 4.P4 = 96 số chia hết cho 5
Trong các bộ số trên cĩ 3 bộ số cĩ cả 0 và 5
Nếu tận cùng là 0 thì cĩ P4= 24 cách lập số chia hết cho 5
Nếu tận cùng là 5 vì do số hàng chục nghìn khơng thể là số 0, nên cĩ 3.P3=18 số chia hết cho 5 Trong trường hợp này cĩ: 3(P4+3P3) = 126 số
Vậy số các số theo yêu cầu bài tốn là: 96 + 126 = 222 số
14 Từ các chữ số 0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số cĩ 5 chữ số khác nhau trong đĩ cĩ 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đĩ đứng cạnh nhau
Giải:
Số cách chọn 2 số lẻ khác nhau và đứng cạnh nhau là : 2 6
3 =
A cách Coi mỗi số như vậy là x
và coi x là một số lẻ Với mỗi cách chọn x , ta cĩ số cách chọn một số thỏa yêu cầu bài tốn chính là số cách chọn một số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau từ tập hợp {0, 2, 4 , 6, x}
+ TH1: Nếu hàng đơn vị = 0 ⇒ Số cách chọn là P3 = 6 cách
+ TH2: Nếu hàng đơn vị ≠ 0 ⇒ Số cách chọn là 3.2.2.1 = 12 cách
Vậy , số các số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là : 6(6+12) = 108 số
15 Một lớp học cĩ 33 học sinh, trong đĩ cĩ 7 nữ Cần chia lớp học thành 3 tổ , tổ 1 cĩ 10 học sinh, tổ 2 cĩ 11 học sinh, tổ 3 cĩ 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ cĩ ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi
cĩ bao nhiêu cách chia như vậy?
Giải:
Cĩ các trường hợp sau:
TH1:Tổ 1 cĩ 3 nữ và 7 nam,tổ 2 cĩ 2 nữ và 9 nam,tổ 3 cĩ 2 nữ và 10 nam:
Số cách chọn là: 3
7
C 7 26
C 2 4
C 9 19
C 2 2
C 10 10
C = 12760912164000 TH2:Tổ 1 cĩ 2 nữ và 8 nam,tổ 2 cĩ 2 nữ và 9 nam, tổ 3 cĩ 3 nữ và 9 nam:
Số cách chọn là: 2
7
C 8 26
C 3 5
C 8 18
C 2 2
C 10 10
C = 14356026184500 TH3:Tổ 1 cĩ 2 nữ và 8 nam,tổ 2 cĩ 2 nữ và 9 nam,tổ 3 cĩ 3 nữ và 9 nam:
Số cách chọn là: 2
7
C 8 26
C 2 5
C 9 18
C 3 3
C 9 9
C = 15951140205000
Số cách chia tổ cần tìm là:
12760912164000 + 14356026184500 + 15951140205000
= 43068078553500
16 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn cĩ 5 chữ số khác nhau mà mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?
Giải:
Gọi số thỏa mãn yêu cầu bài tốn cĩ dạng: abcde
TH1: a = 1 ⇒ cĩ 4 cách chọn e ⇒ cĩ A = 60 cách chọn b, c, d.35
⇒ tổng số cách chọn là: 4.60 = 240 cách
Trang 5TH2: a = 2, b chẵn ⇒ b ∈{0,4} ⇒ cĩ 2 cách chọn b ⇒ cĩ 2 cách chọn e ⇒ cĩ 2
4
A = 12 cách chọn c, d ⇒ tổng số cách chọn là: 2.2.12= 48 cách
TH3: a = 2, b lẻ ⇒ b ∈{1,3} ⇒ cĩ 2 cách chọn b ⇒ cĩ 3 cách chọn e ⇒ cĩ 2
4
A = 12 cách chọn
c, d ⇒ tổng số cách chọn là: 2.3.12= 72 cách
Vậy tổng số cách chọn abcde thỏa mãn yêu cầu bài tốn là: 240+48+72 = 360 cách, nghĩa là cĩ
360 số thỏa mãn yêu cầu bài tốn
B- BÀI TẬP TỰ LUYỆN: ( Các bài tập cùng chủ đề TSĐH qua các năm gần đây)
1 (ĐH-KB-2004) Trong một mơn học, thầy giáo cĩ 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khĩ,
10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đĩ cĩ thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải cĩ đủ 3 loại câu hỏi ( khĩ, trung bình, dễ ) và số câu hỏi dễ khơng ít hơn 2?
2 (ĐH-B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện cĩ 15 người gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách phân cơng đội thanh niên tình nguyện đĩ về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh cĩ 4 nam và 1 nữ?
3 (ĐH A -DB1-2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7,8,9 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm , hàng ngàn bằng 8
4 (ĐH-B DB1-2005) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm đồng ca gồm 8 người biết rằng trong nhóm đó có 3 nữ
5 (ĐH B –DB2-2005) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6,7, cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 5
6 (ĐH D –DB2-2005) Có bao nhiêu số tự nhiên chẳn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau
7 (ĐH A –DB2-2006) (Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau, tìm tổng của tất cả các số tự nhiên đó
8 (ĐH B –DB1-2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu số chẳn mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó có đúng hai chữ số lẻ và hai chữ số chẳn đứng cạnh nhau
9 (ĐH B –DB2-2006) Có hai đường thẳng song song d1 và d2 trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt ( n≥2 ) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n
10 (ĐH D –DB1-2006) Một lớp có 30 học sinh trong đó có 7 nữ, cần chia lớp học đó thành 3 tổ , tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho mỗi tổ có ít nhất hai nữ Có bao nhiêu cách chia như vậy
11 (ĐH D –DB2-2006) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẳn nhỏ hơn 2500