Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Bài tập hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

1 3! + · · · +

1 n! < 2.

Gi¶i.

1 1! = 1 1 2! = 1 −

1 2 1

1 n! <

1 (n − 1)n =

1

n − 1 − 1

n .

www.VNMATH.com

Céng vÕ

1 1! +

1 2! + · · · +

1 n! < 2 −

1 n! < 2.

C1 n

+ · · · + n C

n n

Cn−1 n

.

Cn1 = n

2 · C

2 n

C1 n

Cn−1 n

VÝ dô 13. a) Chøng minh víi c¸c sè r, n nguyªn, kh«ng ©m sao cho 0 ≤

5 TÝnh A = A

2 5

P2 +

A5107P5.

§S: 0 ≤ k ≤ 11, n = 11.

d) A2x · Cx−1

x = 48.

§S: x = 4.

2 x.

§S: x = 4.

www.VNMATH.com

2 Tæng c¸c sè mò cña a vµ b trong mçi sè h¹ng b»ng n.

3 C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn l−ît lµ

Cn0, Cn1, Cn2, , Cnn−1, Cnnvíi chó ý

Cnk = Cnn−k, 0 ≤ k ≤ n.

4 Cnk = n − k + 1

k · Ck−1

n .

b Với x > 0, ta có (1 + x)10 > 1 + 10x. Do đó với x = 0, 1 ta có

(1, 1)10 > 1 + 10 ã (0, 1) = 2.

www.VNMATH.com

2 Thùc hiÖn khai triÓn (3x − 4)5.

8 (§H §µ L¹t 99) TÝnh hÖ sè cña x25y10 trong khai triÓn (x3 + xy)15.

9 Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh r»ng

Với mọi x và với n là số nguyên dương, ta có

(1 + x)n = Cn0 + Cn1x + Cn2x2 + ã ã ã + Cnnư1xnư1 + Cnnxn (1)Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được

n(1+x)nư1 = Cn1+2Cn2x+ã ã ã+(nư1)Cnnư1xnư2+nCnnxnư1 (2)

www.VNMATH.com

Với mọi x và với n là số nguyên dương, ta có

(1 + x)n = Cn0 + Cn1x + Cn2x2 + ã ã ã + Cnnư1xnư1 + Cnnxn (1)Thay x = 1 vào (1), ta được

2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + ã ã ã + Cnư1n + Cnn (2)Lấy đạo hàm theo x hai vế của (1), ta được

n(1+x)nư1 = Cn1+2Cn2x+ã ã ã+(nư1)Cnnư1xnư2+nCnnxnư1 (3)Thay x = 1 vào (3), ta được

n ã 2nư1 = Cn1 + 2Cn2 + ã ã ã + (n ư 1)Cnnư1 + nCnn (4)Lấy (4) ư (3), ta được

n(1 + x)nư1 = Cn1 + 2Cn2x + ã ã ã + (n ư 1)Cnnư1xnư2 + nCnnxnư1.Thay x = 2 vào, ta có

n ã 3nư1 = Cn1 + 4Cn2 + ã ã ã + n ã 2nư1Cnn (*)

www.VNMATH.com

Ngoài ra

(x ư 1)n = Cn0xn ư Cn1xnư1 + ã ã ã + (ư1)nCnn.Lấy đạo hàm hai vế, ta có

n(x ư 1)nư1 = n ã Cn0xnư1 ư (n ư 1)Cn1xnư2 + ã ã ã + (ư1)nư1Cnnư1.Thay x = 4 vào, ta được

nã3nư1 = n4nư1Cn0ư(nư1)4nư2Cn1+(nư2)4nư3Cn2ưã ã ã+(ư1)nư1Cnnư1

(**)

So sánh (*) và (**) ta có điều phải chứng minh

15 Với n là số nguyên dương, chứng minh rằng

a (ĐHGTVT 2000):

Cn0 + C

1 n

1 + 1 +

Cn2

1 + 2 ư ã ã ã + (ư1)n ã C

n n

Với mọi x và với m, n là các số nguyên dương, ta có

(1 + x)m+n = (1 + x)n ã (1 + x)m (1)Mặt khác

CNr = CN ưm0 Cmr + CN ưm1 Cmrư1 + ã ã ã + CN ưmrư1 Cm1 + CN ưmr Cm0 .(c) Bạn đọc hãy lấy ý tưởng trong bài tập trên áp dụng với khai triển

(1 ư x)n+m.

Từ đó chứng minh rằng

(C2n0 )2 ư (C2n1 )2 + ã ã ã + (C2n2n)2 = (ư1)n ã C2nn .

2 Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh r»ng

3 +

Cn2

5 − · · · + (−1)

nCnn2n + 1 =

10 Víi n lµ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh r»ng

1 2(n + 1) .

III HÖ sè vµ sè h¹ng trong khai triÓn nhÞ thøc

1 C¸c hÖ sè c¸c h¹ng tö thø 2, 3 vµ 4 trong khai triÓn (a + b)n lËp thµnh cÊp sè céng T×m c¸c sè h¹ng Êy.

Gi¶i

Ta cã

Cn1 + Cn3 = 2Cn2 ⇐⇒ n2 − 9n + 14 = 0 ⇐⇒ n = 7 ∨ n = 2.(i) NÕun = 7 :c¸c sè h¹ng thø 2, 3 vµ 4 lÇn l−ît lµ 7a6b, 21a5b2, 35a4b3.(ii) NÕu n = 2 : kh«ng cã sè h¹ng thø t−, cã thÓ xem lµ 0 nªn c¸c sèh¹ng thø 2, 3, 4 lµ 2ab, b2, 0.

2 T×m x sao cho trong khai triÓn

3 Gi¶ sö trong khai triÓn nhÞ thøc xlg x − 3
n, tæng c¸c hÖ sè cña ba sè

h¹ng cuèi b»ng 22 Sè h¹ng gi÷a cña khai triÓn cã gi¸ trÞ b»ng -540000.

n

, hÖ sè sè h¹ng thø ba lín h¬n hÕ sè sè h¹ng thø hai lµ 35 TÝnh sè h¹ng kh«ng chøa x.

www.VNMATH.com

Ta cã



x + 1 x

10 − 2k = 0 ⇐⇒ k = 5.

VËy sè h¹ng Êy lµ C105 = 252.

6 TÝnh c¸c hÖ sè x3 vµ x2 trong khai triÓn (x + 1)5 + (x − 2)7.

Gi¶i

HÖ sè cña x2 trong khai triÓn (1 + x)5 lµ C52 · 13 = C52.

HÖ sè cña x3 trong khai triÓn (1 + x)5 lµ C53.

HÖ sè cña x2 trong khai triÓn (x − 2)7 lµ C72(−2)5 = −32C72.

HÖ sè cña x3 trong khai triÓn (x − 2)7 lµ C73(−2)4 = 16C73.

VËy hÖ sè cñax2 trong khai triÓn lµ(x + 1)5+ (x − 2)7 lµ C52− 32C2

a15 = 15C1515+ 16C1615+ 17C1715+ 18C1815+ 19C1915+ 20C2015 = 400995.

9 T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn

 1

a0 < a1 < a2 < · · · < a8

a8 > a9 > a10 > · · · > a12.

Khi đó

(2x ư 1)2000 = (ư2bx + b)2000 + (x2 + cx + d)1000, ∀x ∈ R (1)Suy ra hệ số của x2000 thoả mãn phương trình

Luü thõa cña x lµ 3n − 3 khi −2i − k = −3 hay 2i + k = 3, tøc lµ

Nh− vËy trong khai triÓn (2x + 1)4 kh«ng cã x5

HÖ sè x5 trong khai triÓn cña

• nhÞ thøc (2x + 1)5 øng víi k = 5 − 5 = 0 lµ 25C50 = 25,

• nhÞ thøc (2x + 1)6 øng víi k = 6 − 5 = 1 lµ 25C61 = 6 · 25,

www.VNMATH.com

• nhÞ thøc (2x + 1)7 øng víi k = 7 − 5 = 2 lµ 25C72 = 21 · 25. VËy

hÖ sè cÇn t×m lµ 25 + 6 · 25 + 21 · 25 = 28 · 25 = 896.

17 Trong khai triÓn cña

 3x3 − 2

Gi¶i.

Ta cã ba sè h¹ng tæng qu¸t liªn tiÕp lµ:

Tk = Cnk−1an−k+1bk−1, Tk+1 = Cnkan−kbk, Tk+2 = Cnk+1an−k−1bk+1.

có hai hạng tử thoả điều kiện này là C2m+1m am+1bm và C2m+1m+1 ambm+1với m = n − 1

2 .Vậy trong khai triển (a + b)n với a > 0, b > 0, hạng tử có hệ số lớn nhấtlà

(

Cnmambm nếu n = 2m

Cnmam+1bm hoặc Cnm+1ambm+1 nếu n = 2m + 1.

áp dụng. Từ 25 học sinh của một lớp, muốn lập những nhóm gồm p

học sinh Tìm giá trị của p để đ−ợc số nhóm là lớn nhất Tìm số nhóm đó Giải.

Có 25 học sinh, chọn p em, số nhóm có thể thành lập là C25p .

Theo trên, ta có n = 25 lẻ với k = 12.

(C25p lớn nhất ) ⇐⇒ p = k + 1 = 13.

www.VNMATH.com

VËy p = 13, tøc lµ sè nhãm tèi ®a cã thÓ lËp ®−îc lµ C2513 = 25!

13!12! = 5200300.

20 BiÕt tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn nhÞ thøc (x2 + 1)n b»ng 1024,

Vậy số hạng không phụ thuộc x là a7 = C126 x4ã63 ư12015 = C126 .

22 Tìm hệ số của x31 trong khai triển của

25 Cho n là số nguyên dương thoả điều kiện Cnnư1 + Cnnư2 = 55 H y tìm

số hạng là số nguyên trong khai triển 7

(

m = 1

k = 3.Vậy số hạng nguyên trong khai triển là a4 = C103 ã8ã5 = 40ãC3

10 = 4800.

26 Xác định hệ số của x3 trong khai triển (1 + 2x + 3x2)10.

Giải.

www.VNMATH.com

Thực hiện các bài toán đếm.

Ví dụ 1. Giả sử rằng một thương nhân định đi bán hàng tại tám thành phố.Chị ta bắt đầu cuộc hành trình của mình tại một thành phố nào đó, nhưng cóthể đến bảy thành phố kia theo bất kỳ thứ tự nào mà chị ta muốn Hỏi chị ta

có thể đi qua tất cả các thành phố này theo bao nhiêu lộ trình khác nhau ?

Giải

Số lộ trình có thể giữa các thành phố bằng số hoán vị của bảy phần tử, vìthành phố đầu tiên đã được xác định, nhưng bảy thành phố còn lại có thể cóthứ tự tùy ý Do đó có:

7! = 5040 cách để người bán hàng chọn hành trình của mình

Chú ý: Nếu muốn tìm lộ trình ngắn nhất thì chị ta phải tính tổng khoảngcách cho mỗi hành trình có thể, tức là tổng cộng phải tính cho 5040 hành tình

Ví dụ 2. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E?

b) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đócác chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau ?

c) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bắt đầubằng 123?

Giải

a) Mỗi số gồm 7chữ số phân biệt hình thành từ tập E ứng với chỉ một hoán

vị của 7 phần tử của tập E, và ngược lại

Vậy số các số phải tìm bằng

P7 = 7! = 5040 sốb) Xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự đó

www.VNMATH.com

Giả sử α = (3, 4, 5) là bộ ba chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự

đó

Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, trong đó các chữ số

3, 4, 5 đứng cạnh nhau (theo thứ tự đó) ứng với chỉ một hoán vị của 5 phần tửcủa tập F = {1, 2, α, 6, 7}, và ngược lại

Vậy các số phải tìm bằng:

P5 = 5! = 120 số Trường hợp 2: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau theo thứ tự bất kỳ

Ta biết rằng có 3! cách chọn các bộ 3 chữ số (3, 4, 5) đứng cạnh nhau vàtheo thứ tự bất kỳ

Vậy các số phải tìm bằng:

3!.P5 = 720 sốc) Mỗi số gồm 7 chữ số phana biệt, hình thành từ tập E, bắt đầu bằng 123,ứng với chỉ một hoán vị của 4 chữ số (4, 5, 6, 7)

P4 = 4! = 24 cáchb) Với một bàn tròn, người ta không phân biệt vị trí chỗ ngồi, có nghĩa làcác kết quả chỉ do đổi chỗ vòng tròn, sẽ không coi là khác nhau Ví dụ 4 cáchsắp xếp sau đây được coi là một cách sắp xếp:

Thực hiện bài toán đếm

Ví dụ 1. Có bao nhiêu cách chọn bốn cầu thủ khác nhau trong mười cầuthủ của đội bóng quần vợt để chơi bốn trận đấu đơn, các trận đấu là có thứ tự

Ví dụ 2. Giả sử rằng có tám vận động viên chạy thi Người thắng sẽ nhận

được huy chương vàng, người về thứ hai sẽ nhận được huy chương bạc, người

về thứ ba sẽ nhận được huy chương đồng Có bao nhiêu cách trao các huychương này nếu tất cả các kết cục của cuộc thi đều có thể xảy ra ?

Ví dụ 5.

a) Có bao nhiêu đường chéo trong một đa giác lồi n cạnh ?

b) Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35?

Giải

a) Ta có:

- Mỗi đa giác lồi n cạnh thì có n đỉnh

- Mỗi đoạn thẳng nối 2 đỉnh bất kỳ, không kể thứ tự, thì hoặc là một cạnh,hoặc là một đường chéo của đa giác đó

Vậy số đường chéo (ký hiệu là Cn) của đa giác n cạnh bằng:

Cn = Cn2 ư nb) Với Cn = 35, ta được

Ví dụ 1. Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Tìm số các só tự nhiên gồm 5chữ số lấy từ 7 só trên sao cho:

Cách 1: Thực hiện việc lựa chọn dần:

77.6.5.4.3 = 2520 số Cách 2: Sử dụng định nghĩa chỉnh hợp

Số các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ E bằng

A57 = 2520b) Ta có:

* a1 = 3 =⇒ có một cách chọn

* a2, a3, a4, a5 để đ−ợc chọn từ E do đó mỗi phần tử có 7 cách chọn

www.VNMATH.com

VËy, sè c¸c sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè b¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 3 h×nh thµnh tõ

mét sè 5 ch÷ sè ®−îc ký hiÖu:

α = a1a2a3a4a5, víi a1 ∈ E vµ i = 1, 5a) Sè α lÎ, ta cã thÓ theo mét trong hai c¸ch tr×nh bµy sau:

C¸ch 1: Thùc hiÖn viÖc lùa chän dÇn:

E, b»ng:

3.4.3.2.1 = 72 sè C¸ch 2: Sö kiÕn thøc vÒ ho¸n vÞ

VÝ dô 4. Víi tËp E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sègåm 5 ch÷ sè ph©n biÖt vµ

a) Lµ sè ch½n

www.VNMATH.com

b) Trong đó có chữ số 7 và chữ số hàng ngàn luôn là chữ số 1.

Giải

Một số 5 chữ số được ký hiệu

α = a1a2a3a4a5, với a1 ∈ E và i = 1, 5a) Số α chẵn, ta có thể theo một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Thực hiện việc lựa chọn dần:

3.6.5.4.3 = 72 số Cách 2: Sử kiến thức về hoán vị

Bước 1: Chọn một vị trí trong 5 vị trí của các chữ số, để đặt chữ số 7

www.VNMATH.com

Gäi A1 lµ tËp c¸c sè gåm 5 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµ b¾t ®Çub»ng ch÷ sè 1, suy ra:

* A1 ⊂ A.

* |A1| = P4 = 4! = 24 sè

Gäi A2 lµ tËp c¸c sè gåm 5 ch÷ sè ph©n biÖt h×nh thµnh tõ E, vµ kh«ngb¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 1, suy ra:

* A12 ⊂ A.

* A = A1 ∪ A2 vµ A1 ∩ A2 = ∅.

Theo qui t¾c céng

|A| = |A1| + |A2| ⇐⇒ |A2| = |A| − |A1| = 120 − 24 = 96 sèc) Víi tËp A nh− c©u a)

Gäi B1 lµ tËp c¸c sè gåm 5 ch÷ sè ph©n biÖt h×nh thµnh tõ E, vµ kh«ngb¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 123, suy ra:

* a3 ®−îc chän tõ tËp F = 2, 8

=⇒ cã 2 c¸ch chän

* a1, a2 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E \ {a3} do đó nó là mộtchỉnh hợp 4 chập 2

=⇒ có A24 cách chọnTheo qui tắc nhân, số các chẵn số gồm 3 chữ số phân biệt, hình thành từtập E, bằng:

2.A34 = 24 số b) Số α nhỏ hơn hoặc bằng 278, ta có a1 ∈ {1, 2}

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:

Cách 1: Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: * Nếu a1 = 1

=⇒ có 1 cách chọn

* a2, a3 là một bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E \ {1} do đó nó là mộtchỉnh hợp 4 chập 2

Vậy, trong trường hợp này ta nhận được:

1.A24 = 12 số Trường hợp 2: Nếu a1 = 2.

12 + 9 = 21 số Cách 2: Ta có:

* Gọi B1 là tập các số gồm 3 chữ số phân biệt, hình thành từ E, và nhỏhơn hoặc bằng chữ 278.

www.VNMATH.com

* Gäi B2 lµ tËp c¸c sè gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµ nháh¬n hoÆc b»ng ch÷ sè 1, suy ra

B1 ⊂ B&|B1| = A24 = 12

* Gäi B lµ tËp c¸c sè gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµ nháh¬n hoÆc b»ng ch÷ sè 2, suy ra

B2 ⊂ B&|B2| = A24 = 12

* Gäi B lµ tËp c¸c sè gåm 3ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµ nhá h¬nhoÆc b»ng 28, suy ra B3 ⊂ B2& c¸c ph©n tö thuéc B3 lµ 281, 285, 287.

=⇒ cã 3 c¸ch chän.

VËy trong tr−êng hîp nµy ta nhËn ®−îc

1.1.3 = 3 sèVËy, sè c¸c sè gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt nhá h¬n 278, h×nh thµnh tõ tËp E,b»ng

6 + 3 = 9 sè C¸ch 2: Ta cã

* Gäi C lµ tËp c¸c sè ch½n gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµnhá h¬n hoÆc b»ng 278.

* Gäi C1,2 lµ tËp c¸c sè ch½n gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµb¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 1, vµ tËn cïng b»ng ch÷ sè 2, suy ra

C1,2 ⊂ C&|C1,2| = 3.

* Gäi C1,2 lµ tËp c¸c sè ch½n gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµb¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 1, vµ tËn cïng b»ng ch÷ sè 8, suy ra

C1,8 ⊂ C&|C1,8| = 3.

* Gäi C2,8 lµ tËp c¸c sè ch½n gåm 3 ch÷ sè ph©n biÖt, h×nh thµnh tõ E, vµb¾t ®Çu b»ng ch÷ sè 2, vµ tËn cïng b»ng ch÷ sè 8, suy ra

α = a1a2 ,chØ cã nghÜa khi a1 6= 0.

www.VNMATH.com

Do đó trong trường hợp 0 ∈ E chứng ta cần xét các trường hợp riêng.

Ví dụ 7. Với 10chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu

* Gọi A là tập các số có 5 chữ số khác nhau, hình thành từ tập E, suy ra:

|A| = |A1| + |A2| =⇒ |A2| = |A| ư |A1| = A510 ư A49 = 27216 số

Ví dụ 8. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó hai chữ số kềnhau phải khác nhau.

* a1 được chọn từ tập E \{0}

=⇒ Có 5 cách chọn

* a2, a3, a4, a5 là bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E \{a1} do đó nó làmột chỉnh hợp 5 chập 4

=⇒ Có A45 cách chọn

Vậy, số các số gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng:

5.A45 = 600 sốb) Ta xét hai trường hợp:

=⇒ Có 2 cách chọn

* a1 được chọn từ tập E \{0, a5}

=⇒ Có 4 cách chọn

* a1, a3, a4 là một bộ phận thứ tự được chọn từ E \{a1, a5} do đó nó làmột chỉnh hợp 4 chập 3

=⇒ Có A34 cách chọn.

Vậy trong trường hợp này chúng ta nhận được:

2.4.A34 = 192 sốVậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng

120 + 192 = 312 sốc) Ta có lập luận:

* Gọi B là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E. Theoa) ta có:

|B| = 600

* Gọi B1 là tập các số gồm 5 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong

đó không có chữ số 0, suy ra

B1 ⊂ B&|B1| = P5 = 5! = 120 sốKhi đó B1 = B \ B1 là tập các số gồm 5 chữ số khác nhau, hình thành từtập E, trong đó có chữ số 0. Ta được:

|B1| = |B \ B1| = |B| ư |B1| = 480 số.

Ví dụ 11. Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} có thể lập được baonhiêu số gồm 5 chữ số khác nhau đôi một lấy từ E trong mỗi trường hợp sau:a) Là số chẵn

b) Một trong 3 chữ số đầu tiên phải băng 1.

Giải

Một số 5 chữ số được ký hiệu

α = a1a2a3a4a5, với a1 ∈ E, i = 1, 5 và a1 6= 0a) Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a5 = 0

=⇒ Có 1 cách chọn

* a1, a2, a3, a4 là bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{0} do đó nó là mộtchỉnh hợp 7 chập 4

www.VNMATH.com

=⇒ Có A47 cách chọn.

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được

1.A47 = 840 số Trường hợp 2: Nếu a5 được chọn từ tập {2, 4, 6}

=⇒ Có 3 cách chọn

* a1 được chọn từ tập E \{0, a5}

=⇒ Có 6 cách chọn

* a2, a3, a4 là một bộ phận thứ tự được chọn từ E \{a1, a5} đo đó nó làmột chỉnh hợp 6 chập 3

=⇒ Có A36 cách chọn

Vậy trong trường hợp này chúng ta nhận được:

3.6.A36 = 2160 sốVậy, số các số chẵn gồm 5 chữ số phân biệt, hình thành từ tập E, bằng

840 + 2160 = 3000 sốb) Ta xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Nếu a1 = 0

=⇒ Có 1 cách chọn

* a2, a3, a4, a5 là bộ phân biệt thứ tự được chọn từ E\{1} do đó nó là mộtchỉnh hợp 7 chập 4

=⇒ Có A47 cách chọn

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được

1.A47 = 840 số Trường hợp 2: Nếu a2 = 1 hoặc a3 = 1

=⇒ Có A36 cách chọn.

Vậy trong trường hợp này chúng ta nhận được:

2.6.A36 = 1440 sốVậy, số các số thỏa mãn đầu bài, bằng

840 + 1440 = 2280 số

Ví dụ 12. Từ sáu chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm

4 chữ số khác nhau, trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5.

=⇒ Có A45 cách chọn

Vậy, trong trường hợp này chúng ta nhận được

1.A45 = 120 số Trường hợp 2: Nếu a5 = 0 =⇒ Có 1 cách chọn

* a1 được chọn từ tập E \{0, 5}

=⇒ Có 4 cách chọn

* a2, a3, a4 là một bộ phận thứ tự được chọn từ E\{5, a1} đo đó nó là mộtchỉnh hợp 4 chập 3

=⇒ Có A34 cách chọn

Vậy trong trường hợp này chúng ta nhận được:

1.4.A34 = 96 số

www.VNMATH.com