KHẢ VI VÀ VI PHÂN pdf

§3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 ( ) ( ) x y d f dx d f dy ¢ ¢ = + 2 ( ) ( ) x y d f d df d f dx f dy ¢ ¢ = = + ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) x x y y d f dx f d dx d f dy f d dy ¢ ¢ ¢ ¢ = + + + 2 2 2 xx xy yy f dx f dxdy f dy ¢¢ ¢¢ ¢¢ = + + Hay ta viết dưới dạng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 f f f d f dx dxdy dy x x y y ¶ ¶ ¶ = + + ¶ ¶ ¶ ¶ Vậy ta viết dưới dạng quy ước sau 2 2 d f dx dy f x y æ ö ¶ ¶ ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø ¶ ¶ df dx dy f x y æ ö ¶ ¶ ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø ¶ ¶ §3 : Khả vi và Vi phân 2 2 2 2 2 ( , , ) 2 2 2 xx yy zz xy yz zx d f x y z dx dy dz f x y z f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx æ ö ¶ ¶ ¶ ÷ ç = + + ÷ ç ÷ ç è ø ¶ ¶ ¶ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ = + + + + + Vi phân cấp 2 của hàm 3 biến f(x,y,z) 3 3 3 2 2 3 3 3 xxx xxy xyy yyy d f dx dy f x y f dx f dx dy f dxdy f dy æ ö ¶ ¶ ÷ ç = + ÷ ç ÷ ç è ø ¶ ¶ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ ¢¢¢ = + + + Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính df, d 2 f tại (0,π/2) Giải : Ta đi tính các đạo hàm riêng đến cấp 2, thay vào công thức tính vi phân sin 2 sin , cos 2cos x y f y y x f x y x ¢ ¢ = + = - 2 cos , cos 2sin , sin xx xy yy f y x f y x f x y ¢¢ ¢¢ ¢¢ = = + =- (0, ) (0, ) (0, ) 2 2 2 2 x y df f dx f dy dx dy p p p ¢ ¢ = + = - Vậy ta được: 2 2 2 (0, ) (0, ) 2 (0, ) (0, ) 2 2 2 2 xx xy yy d f f dx f dxdy f dx p p p p ¢¢ ¢¢ ¢¢ = + + ( ) 2 2 0, 2 , à (0, ) 2 2 df dx dy v d f dx p p p= - = Vậy : §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y,z) = xy 2 – 2yz 2 + e x+y+z . Tính df, d 2 f Giải Tương tự ví dụ trên, ta có x y z df f dx f dy f dz ¢ ¢ ¢ = + + df = (y 2 +e x+y+z )dx+(2xy–2z 2 +e x+y+z )dy+(-4yz + e x+y+z )dz d 2 f=e x+y+z dx 2 +(2x+e x+y+z )dy 2 + (-4y+e x+y+z ) dz 2 + 2(2y+e x+y+z )dxdy+2(-4z+e x+y+z )dydz + 2(e x+y+z )dzdx 2 2 2 2 2 2 2 xx yy zz xy yz zx d f f dx f dy f dz f dxdy f dydz f dzdx ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ ¢¢ = + + + + + §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng cấp 1 của hàm hợp Định lý : Cho hàm z = z(x,y) khả vi trong miền D; x, y là các hàm theo biến t: x=x(t), y=y(t) khả vi trong khoảng (t 1 ,t 2 ), khi ấy hàm hợp z = z(x(t),y(t)) cũng khả vi trong khoảng (t 1 ,t 2 ) và dz z dx z dy dt x dt y dt ¶ ¶ = + ¶ ¶ Ví dụ : Cho hàm z = x 2 -3xy, x = 2t+1, y= t 2 -3. Tính dz dt Giải: dz z dx z dy dt x dt y dt ¶ ¶ = + ¶ ¶ =(2x – 3y)2 + (-3x)2t §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Tổng quát hơn: Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta có công thức tương tự: z z x z y u x u y u z z x z y v x v y v ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Ta có thể tổng quát bằng sơ đồ sau : z z y ¶ ¶ z x ¶ ¶ x y x u ¶ ¶ x v ¶ ¶ u v u v y u ¶ ¶ y v ¶ ¶ Cần tính đạo hàm của z theo biến nào ta đi theo đường đến biến đó §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ : Cho hàm z = xe y , trong đó x=cosu+sinv, y=u 2+ v 2 . Tính , z z u v ¶ ¶ ¶ ¶ Giải: Ta sử dụng công thức trên để tính . . ( sin ) .2 y y z z x z y e u xe u u x u y u ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = + = - + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ . . (cos ) .2 y y z z x z y e v xe v v x v y v ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ = + = + ¶ ¶ ¶ ¶ ¶ Chú ý: Có thể tính đạo hàm trên bằng cách thay x, y theo u, v vào biểu thức của hàm z rồi tính đạo hàm thông thường. Tuy nhiên, việc sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp (nói chung) sẽ cho ta kết quả nhanh hơn §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ví dụ: Cho hàm z = f(x+y,2x-3y). Tính các đhr đến cấp 2 của hàm z Giải : Ta đặt thêm 2 biến trung gian : u = x+y, v = 2x – 3y để thấy rõ ràng hàm z = f(u,v) là hàm hợp Dùng công thức đh hàm hợp, ta được 2 đhr cấp 1: z’ x = f’ u .u’ x +f’ v .v’ x = f’ u +2f’ v ; z’ y = f’ u .u’ y +f’ v .v’ y = f’ u -3f’ v Sau đó, lấy đhr của các đh cấp 1, ta được các đhr cấp 2: §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp z” xx = [f’ u ]’ x + 2[f’ v ]’ x = z” xx = [(f’ u )’ u .u’ x +(f’ u )’ v .v’ x ]+2[(f’ v )’ u .u’ x +(f’ v )’ v .v’ x ] Lấy đhr cấp 2 theo thì tương ứng nhân với đhr của u, v theo x Giữ nguyênGiữ nguyên Lấy đhr theo v thì nhân với đhr của v theo x Lấy đhr theo u thì nhân với đhr của u theo x Tương tự: z” xy = f” uu -f” uv -6f” vv , z” yy = f” uu -6f” uv +9f” vv §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp . . . .2 x z y f t y f x x ¶ ¢ ¢ ¢ = = ¶ . . . .( 2 ) y z f y f t f y f y y ¶ ¢ ¢ ¢ = + = + - ¶ Ví dụ: Cho hàm z = y.f(x 2 -y 2 ). Tính , x y z z ¢ ¢ Giải: Ta đặt t = x 2 -y 2 , thì f là hàm theo 1 biến t, z=y.f Vậy: Vi phân cấp 1 : Cho z = z(x,y) và x=x(u,v), y=y(u,v) tức là z là hàm hợp của 2 biến u, v. Ta tính vi phân của hàm z theo vi phân của 2 biến độc lập u, v bằng cách dùng công thức như hàm 2 biến thường` v u dz z dv z du ¢ ¢ = + [...]... u.y + x(- 2v )))2u Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm hp Ta ch tớnh vi phõn cp 2 ca hm z theo bin c lp u, v; tc l ta s dng cụng thc vi phõn cp 2 ca hm z(u,v) Vy vi phõn cp 2 ca hm hp l Âdu 2 + 2zuv dudv + zvv dv 2      d z = zuu 2 Vớ d: Cho z = xcosy, x = uv, y = u+v Tớnh dz, d2z theo vi phõn ca bin c lp du, dv Gii: Ta s tớnh cỏc o hm riờng n cp 2, ri thay vo cụng thc vi phõn, ta c: dz = (v cos y - x sin... 3, FyÂ= 2y + 6, Fz 2z - 5 = Ta cng s c kt qu nh trờn cú o hm cp 2, ta ly o hm ca o hm cp 1, v nh rng z l hm, bin cũn li l hng s Vi phõn ca hm n: hm y(x) hoc z(x,y) u l cỏc hm theo 1 hoc 2 bin c lp nờn ta tớnh vi phõn cỏc cp ca chỳng nh vi hm bỡnh thng Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Vớ d: Tớnh dz, d2z nu zex + 3y + z - 1 = 0 ti (0,1) Gii: Trc tiờn, ta thay (x,y) = (0,1) vo phng trỡnh c z = -1 Tip... l hm theo 3 bin x, y, z s dng cụng thc o hm hm hp Fx = Ft.tx + Fs.sx = Ft + Fs = Fy, Fz = Ft - 2Fs Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Thay vo cụng thc trờn, ta c kt qu Ft  Fs +   zx = = zy Ft  2Fs - Đ5 : Cụng thc Taylor - Maclaurint Cụng thc Taylor vi phn d Peano: Cho hm f(x,y) kh vi n cp (n+1) trong 1 hỡnh cu m tõm M0 l B(M0,r) Ta cú cụng thc: d k f ( x0 , y 0 ) f ( x, y ) = f ( x0 , y 0 ) + ồ +... (Coi bin cũn li l hng s Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Vớ d : Cho hm z = z(x,y) xỏc nh bi phng   trỡnh x2+y2+z2-3x+6y-5z+2 = 0 Tớnh zx , zy Gii: Cỏch 1: Ly o hm 2 v phng trỡnh ó cho theo x, coi y l hng s 3 - 2x    2 x + 2zzx - 3 - 5zx = 0 ị zx = 2z - 5 V ly o hm theo y, coi x l hng s 6 + 2y    2y + 2zzy + 6 - 5zy = 0 ị zy = 5 - 2z Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Cỏch 2: S dng cụng thc bng cỏch... y )dv 2 +2(- v sin y + cos y - u sin y - x cos y )dudv Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Hm n 1 bin (ó bit) : Cho hm y=y(x) xỏc nh t phng trỡnh hm n F(x,y)=0 Ta tớnh o hm y bng cỏch ly o hm 2 v phng trỡnh F(x,y)=0 theo x: ảF dx ảF dy dy + = 0 Ta tớnh t ng thc ny ảx dx ảy dx dx c cụng thc dy Fx = y Â= dx Fy Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Vớ d : Tớnh y, y bit x y + arctany = 0 Gii: Ta t F(x,y) = x... 3 y )2 z - (1- 3 y - z ) Thay zx(0,1) = ẵ vo, ta  = zx   zxx (1- 3 y )2 c zxx(0,1) = 0 Tng t, ta tớnh c 2 o hm riờng cp 2 cũn li V c d 2 z(0,1) = 3 dxdy 2 Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Vớ d : Cho hm z = f(x+y,x.y), tớnh vi phõn dz, d2z Gii: Ta i tớnh o hm riờng n cp 2 ca hm z Trc ht, ta t t = x+y, s = x.y thỡ z l hm theo 2 bin t v s, cũn t, s l hm theo 2 bin x v y Ta c zx = ft.tx+fs.sx = ft.1+fs.y;... arctany = 0 Gii: Ta t F(x,y) = x y + arctany, ri ỏp dng cụng thc Fx 1 1+ y 2 y Â= == 1 Fy y2 - 1+ 1+ y 2 tớnh o hm cp 2, ta ly o hm ca o hm cp 1 vi ghi nh rng y ó cú trc ú thay vo cui cựng 1 2yy  2( y 2 + 1)  y Â= (1 + 2 )Â= 4 =y y y5 Đ4 : o hm riờng v Vi phõn hm n Hm n nhiu bin: Cho hm z=z(x,y) xỏc nh t phng trỡnh hm n F(x,y,z) = 0 Ta phi tớnh 2 o hm riờng Tng t hm n 1 bin, ta cú cụng thc tớnh... Taylor - Maclaurint Vớ d : Khai trin Tay lor ti lõn cn im (1,-1) hm f(x,y) = x2+2y2-3xy+4x-5y+7 Gii : Do f(x,y) l a thc bc 2 theo x hoc theo y nờn t cp 3 tr i, cỏc o hm riờng bng 0 tc l vi phõn cng bng 0 Ta ch cn tớnh vi phõn ca f n bc 2 f(1,-1) = 22 fx = 2x 3y +4 , fy = 4y 3x 5 fx(1,-1) = 9 , fy(1,-1) = -12 df(1,-1) = 9dx - 12dy = 9(x-1) 12(y+1) Đ5 : Cụng thc Taylor - Maclaurint fxx = 2, fxy = -3,... Hm f(x,y) c gi l t cc i cht ti M0(x0,y0) nu tn ti hỡnh cu m B(M0,r) sao cho f(x,y) < f(x0,y0), vi mi M(x,y) thuc hỡnh cu trờn Tc l: $r > 0 : " M ( x, y ) ẻ B(M0 , r ), f ( x, y ) < f ( x0 , y 0 ) nh ngha : Hm f(x,y) c gi l t cc i khụng cht ti M0(x0,y0) nu tn ti hỡnh cu m B(M0,r) sao cho f(x,y) f(x0,y0) , vi mi M(x,y) thuc hỡnh cu trờn Tc l: $r > 0 : " M ( x, y ) ẻ B(M0 , r ), f ( x, y ) Ê f ( x0 ,... bin nh ngha tng t cho khỏi nim cc tiu cht v cc tiu khụng cht Chỳ ý: Khỏi nim cc tr ch mang tớnh a phng, nú khỏc vi khỏi nim giỏ tr ln nht, nh nht ca hm trong mt min (Xem hỡnh v) Đ6 : Cc tr hm nhiu bin - Cc tr t do Vớ d: Hm f(x,y) = x2 + y2 t cc tiu ti (0,0) vỡ f(x,y) f(0,0) = (x2 + y2) 0, vi mi (x,y) Hn na, f(0,0) = 0 cũn l giỏ tr nh nht ca hm trong ton MX vỡ : f ( x, y ) - f (0,0) > 0, " ( x, y ) . §3 : Khả vi và Vi phân Vi phân cấp 2 là vi phân của vi phân cấp 1 ( ) ( ) x y d f dx d f dy ¢ ¢ = + 2 ( ) ( ) x y d f d df d. ¢¢¢ = + + + Tổng quát công thức trên cho hàm 3 biến và cho vi phân cấp 3 của hàm 2 biến Vi phân cấp 3 của hàm 2 biến f(x,y) §3 : Khả vi và Vi phân Ví dụ : Cho hàm f(x,y) = xsiny – 2ycosx. Tính. - §4 : Đạo hàm riêng và Vi phân hàm hợp Ta chỉ tính vi phân cấp 2 của hàm z theo biến độc lập u, v; tức là ta sử dụng công thức vi phân cấp 2 của hàm z(u,v). Vậy vi phân cấp 2 của hàm hợp