Hớng dẫn chấm - Môn Toán 9 Vòng 1 Câu 1: (2.0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì : a. - Có : b 5 - b = b(b 4 - 1) = (b -1)b(b+1)(b 2 +1) - (b -1)b là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2. - (b-1)b(b+1) là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. - Do UCLN(2,3) =1 nên (b-1)b(b+1) chia hết cho 6 hay b 5 - b chia hết cho 6 . ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) b. - Có : a 5 b - ab 5 = a 5 b - ab + ab - ab 5 = b (a 5 - a) - a(b 5 - b) - Có a 5 - a chia hết cho 5 với mọi a ( Theo Fermat) - Do UCLN(5,6) =1 nên a 5 - a chia hết cho 30. - Tơng tự b 5 - b chia hết cho 30.Suy ra đợc a 5 b - ab 5 chia hết cho 30. ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 2: (1.0 điểm) Thực hiện rút gọn: A = 3 2 3 3 2 3 4 3 22 3 4 baba bbaa ++ ++ Đặt : xa = 3 và yb = 3 Ta đợc :A = 22 4224 yxyx yyxx ++ ++ = 22 22222 )( yxyx yxyx ++ + = 22 yxyx + Vậy A = 3 2 3 3 2 baba + ( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Phép đặt chỉ có ý nghĩa đơn giản trong trình bày) Câu 3 : (1,5 điểm) Chứng minh với mọi giá trị a,b,c thì phơng trình (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 (1) luôn có nghiệm. x 2 - x(a + b) + ab + x 2 - x(b + c) + bc + x 2 - x(a + c) + ac = 0 3x 2 -2x(a + b+c) + ab + bc + ac = 0 = (a + b+ c) 2 - 3 (ab + bc + ac) = a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ac 2 = 2a 2 + 2b 2 + 2c 2 - 2ab - 2bc - 2ac = ( a -b) 2 + (b - c) 2 + (c - a) 2 . 0 với mọi giá trị của a,b,c nên (1) luôn có nghiệm . ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 4 : Giải phơng hệ trình sau : =+ = 13 7 22 xyyx yxyx - Cộng (1) và (2) vế theo vế ta đợc x 2 + y 2 -2xy + x - y = 20 - (x - y ) 2 + ( x - y) - 20 = 0 - Đặt Y = x - y đợc Y 2 + Y - 20 = 0 - Giải phơng trình trên đợc Y 1 = 4 ; Y 2 = - 5 - Với Y = 4 đợc x = y + 4. Thay vào (1) đợc y + 4 - y( y+4) - y = 7 Giải đợc nghiệm - Với Y = - 5 đợc x = y - 5 .Thay vào (1) đợc y - 5 - y( y - 5) - y = 7 Giải đợc nghiệm - Kết luận nghiệm : ( Mỗi ý cho 0,25 điểm, riêng ý 1 cho 0,50 điểm) Câu 5 : (3,5 điểm) ( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm) a. Có : CMA = AMH và HMB = BMD ( T/c tiếp tuyến) CMD = 2AMB Do AMB = 90 0 nên CMD = 180 0 Hay C,M,D thẳng hàng. OM là đờng trung bình của hình thang ABDC nên OM//AC. OM CD hay CD là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O b. Có AC = AH và BD=BH Nên AC.BD = AH.BH. Do AMB vuông tại M nên AH.BH = MH 2 Do MH = 2 CD nên AC.BD = 4 2 CD c. Có S ABDC = ( AC +DB) 2 CD = OM. 2 CD = OM. 2 CD = OM.MH Do OM không đổi nên S ABDC lớn nhất khi MH lớn nhất Lúc đó M nằm chính giữa cung AB. O B A C H M D Hớng dẫn chấm - Môn Toán 9 Vòng 2 Câu 1: (2.0 điểm) - Cộng hai phân số đầu : ))()(( 22 cbcabaab acabcb + - và rút gọn đợc : ))(( cbcaab abc - Cộng tiếp phân số thứ ba : ))(( 2 cbcaabc abcacbc + - và rút gọn đợc đpcm. ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) - Tách thành tổng : ) ))(())(())(( ( ) ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 ( yzxzz z zyxyy y zxyxx x yzxzzzyxyyzxyxx aB + + + + + = - Tính đợc tổng thứ hai bằng 0. - áp dụng câu a để đợc B = xyz a ( ý 1 cho 0,50 điểm - ý 3, ý 3 cho 0,25 điểm) Câu 2: (3,0 điểm) Giải các phơng trình : a. 15 )1( 2 2 2 = + + x x x - Điều kiện : x - 1 - 1 2 15) 1 ( 2 2 + = + x x x x x - 015 1 2 1 22 = + + + x x x x - Đặt 1 2 + = x x y đợc 0152 2 =+ yy Giải phơng trình 0152 2 =+ yy đợc y 1 = 3 ; y 2 = - 5 - Với y = 3 đợc x 2 = 3x + 3. Giải x 2 - 3x - 3 = 0 đợc x 1 = ; x 2 = - Với y = -5 đợc x 2 = -5x - 5. Giải x 2 +5x+5 = 0 đợc x 1 = ; x 2 = - Kết luận nghiệm. ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) b. ( x 2 - 6x - 9 ) 2 = x( x 2 - 4x - 9 ) - Có x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình. - Chia hai vế cho x 2 đợc : = x x x x 9 4 9 6 2 - Đặt x x 9 6 = y đợc y 2 = y + 2 Giải phơng trinh y 2 - y - 2 = 0 đợc y 1 = 2 ; y 2 = - 1 - Với y = 2 đợc x x 9 6 = 2 Giải phơng trình x 2 - 8x - 9 = 0 x 1 = - 1 ; x 2 = 9 - Với y = -1 đợc x x 9 6 = -1 Giải phơng trình x 2 - 5x - 9 = 0 x 1 = 2 615 + x 1 = 2 615 ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 3 : (1,5 điểm) Cho hai số dơng x, y thoả x + y = 1. Hãy tìm a. Tìm GTLN của A = xy 2 - Có x + y = x + 22 yy + 3 3 2 4 xy - Thay x+y = 1 đợc 1 3 3 2 4 xy Hay 2 27 4 xy - Max B = 27 4 lúc 3 1 2 == y x b. Tìm GTNN của B = x 3 + y 3 + xy - Có B = x 3 + y 3 + xy = (x+y)(x 2 - xy + y 2 ) + xy Thay x + y = 1 và rút gọn đợc C = x 2 + y 2 - Có : ++=+ + xyyxyx xyyx 2)( 2 222 22 2(x 2 + y 2 ) (x + y) 2 - x 2 + y 2 2 1 Hay Min B = 2 1 lúc x = y = 2 1 ( Mỗi ý cho 0,25 điểm) Câu 4 : a. Xét tam giác MNH có : MB, NC là các phân giác ngoài. MB và NC cắt nhau tại A nên HA là phân giác trong của tam giác MNH. HC HA nên HC là phân giác ngoài. HC và NC cắt nhau tại C nên MC là phân giác trong của tam giác MNH. b. MC là phân giác trong, MB là phân giác ngoài tại M nên MC MB Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BN NC. AH, BN, CM là ba đờng cao của tam giác ABC nên đồng qui. ( Mỗi ý cho 0,25 điểm - Hình vẽ cho 0,25 điểm) Câu 5: - Kẻ đờng cao AH của ABC và đờng cao OH 1 của OBC. Có : AH OH AA OA 1 1 1 = - Và ABC OBC S S AH OH = 1 nên ABC OBC S S AA OA = 1 1 - Tơng tự ta có : ABC OAC S S BB OB = 1 1 Và ABC OAB S S CC OC = 1 1 - Cộng ba đẳng thức vế theo vế ta đợc đpcm. ( Mỗi ý cho 0,25 điểm - ý 1 cho 0,50 điểm - Hình vẽ 0,25 điểm) uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện A B H C E F M N A B H H 1 C O A 1 huyện Quế sơn năm học 2004-2005 Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 1 Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a, b thì : a. b 5 - b chia hết cho 6 . b. a 5 b - ab 5 chia hết cho 30 . Câu 2:(1,0 điểm) Thực hiện rút gọn A = 3 2 3 3 2 3 4 3 22 3 4 baba bbaa ++ ++ Câu 3 : (1,5 điểm) Chứng minh rằng với mọi giá trị a,b,c thì phơng trình (x-a)(x-b) + (x-b)(x-c) + (x-c)(x-a) = 0 luôn có nghiệm. Câu 4 :(2,0 điêm) Giải hệ phơng trình sau : =+ = 13 7 22 xyyx yxyx Câu 5 :(3,5 điểm) Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB= 2R. Gọi M là điểm di động trên nửa đ- ờng tròn O ( M Khác A và B). Vẽ đờng tròn tâm M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC và BD với đờng tròn tâm M. a. Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đờng tròn tâm O. b. Tính tích AC.BD theo CD. c. Xác định vị trí M để diện tích hình thang ABDC đạt giá trị lớn nhất. uỷ ban nhân dân Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện huyện Quế sơn năm học 2004-2005 Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 2 Câu 1: (2,0 điểm) a. Chứng minh rằng với a, b, c đôi một khác nhau thì abcbcacccbabbcabaa 1 ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 = + + b. Thực hiện rút gọn : A = ))(())(())(( yzxzz za zyxyy ya zxyxx xa + + + + + Câu 2: (3,0 điểm) Giải các phơng trình sau : a. 15 )1( 2 2 2 = + + x x x b. )94()96( 222 = xxxxx Câu 3 : (1,5 điểm) Cho hai số dơng x, y thoả x + y = 1. H y tìmã a. Giá trị lớn nhất của : A = xy 2 . b. Giá trị nhỏ nhất của : B = x 3 + y 3 + xy Câu 4 : (2,0 điểm) Tam giác ABC có AH là đờng cao. E, F lần lợt là điểm đối xứng của H qua các cạnh AB, AC. Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF với AB, AC. a. Chứng minh : - HA là phân giác của góc MHN - MC là phân giác của góc HMN b. Chứng minh AH,CM,BN đồng qui. Câu 5: (1,5 điểm) Cho tam giác ABC. O là điểm bất kì thuộc miềm trong của tam giác. Các tia AO, BO, CO cắt các cạnh đối diện tơng ứng ở A 1 , B 1 , C 1 . Chứng minh rằng : 1 1 1 1 1 1 1 =++ CC OC BB OB AA OA . 3 3 2 4 xy - Thay x+y = 1 đợc 1 3 3 2 4 xy Hay 2 27 4 xy - Max B = 27 4 lúc 3 1 2 == y x b. Tìm GTNN của B = x 3 + y 3 + xy - Có B = x 3 + y 3 + xy = (x+y)(x 2 - xy + y 2 ) + xy Thay x +. A B H C E F M N A B H H 1 C O A 1 huyện Quế sơn năm học 2004-2005 Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 1 Câu 1: (2,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số. huyện huyện Quế sơn năm học 2004-2005 Phòng giáo dục và đào tạo Môn : Toán 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề chính thức - Vòng 2 Câu 1: (2,0 điểm) a. Chứng minh rằng với a,