Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 I. Phơng trình đa về phơng trình bậc 2, 3, bậc cao chỉ chứa một hàm số lơng giác Phơng pháp: Đặt t = hàm số lợng giác đó Chú ý: Đặt sin , cost x x= . ĐK 1 1t Các công thức hay sử dụng: 2 2 2 2 cos 2 cos sin 2cos 1 1 2sina a a a a= = = 3 sin 3 3sin 4sina a a= ; 3 cos3 4cos 3cosa a a= Ví dụ 1. Giải các phơng trình 1.D-06 cos3 cos2 cos 1 0x x x+ = (1) Giải ( ) 3 2 1 4 cos 3cos 2 cos 1 cos 1 0x x x x + = 3 2 2cos cos 2cos 1 0x x x + = ( ) ( ) 2 2cos 1 cos 1 0x x + = ( ) 2 1 cos 2cos 1 sin 0 2 sin 0 x x x x = + = = ( ) 2 2 3 x k k x k = + =  2.A-05 2 2 cos 3 .cos2 cos 0x x x = (2) ( ) 1 cos 6 1 cos 2 2 .cos 2 0 2 2 x x x + + = cos 6 .cos 2 1 0x x = ( ) 1 cos8 cos 4 1 0 2 x x + = 2 2cos 4 1 cos 4 2 0x x + = 2 cos 4 1 2cos 4 cos 4 3 0 3 cos 4 1 2 x x x x = + = = < ( ) 4 2 2 x k x k k = =  3.A-10. ( ) 1 sin cos 2 sin 1 4 cos 1 tan 2 x x x x x + + + ữ = + (3) Điều kiện: tan 1 cos 0 x x ( ) ( ) ( ) 3 2 sin 1 sin cos 2 1 tan .cos 4 x x x x x + + + = + ữ ( ) ( ) sin cos sin cos 1 sin cos 2 .cos cos x x x x x x x x + + + + = sin cos 2 0x x + = ( ) 2 sin 1 2sin sin 1 0 1 sin 2 x l x x x = = = ( ) 2 6 7 2 6 x k k x k = + = +  Bài tập tơng tự 4. B-04 2 5sin 2 3(1 sin ) tanx x x = 5.A-06 ( ) 6 6 2 sin cos sin cos 0 2 2sin x x x x x + = 6.B-03 2 cot tan 4sin 2 sin 2 x x x x + = 7.A-02 cos3 sin 3 5 sin cos2 3 1 2sin 2 x x x x x + + = + ữ + với (0;2 )x II. Phơng trình bậc nhất đối với sin và cos: 2 2 sin cos ( 0)a x b x c a b+ = + Phơng pháp: Chia cả hai vế cho 2 2 a b+ rồi đặt 2 2 2 2 cos ;sin a b a b a b = = + + (0 2 ) Đa phơng trình về dạng: 2 2 2 2 sin .cos cos sin sin( ) c c x x x a b a b + = + = + + Điều kiện để phơng trình có nghiệm là 2 2 2 2 2 1 c a b c a b + + Ví dụ 2. Giải các phơng trình 1.D-07 2 sin cos 3cos 2 2 2 x x x + + = ữ (1) ( ) 2 2 1 sin 2sin cos cos 3 cos 2 2 2 2 2 x x x x x + + + = sin 3 cos 1x x + = 1 3 1 sin cos 2 2 2 x x + = 1 sin .cos cos .sin 3 3 2 x x + = 1 sin 3 2 x + = ữ ( ) 2 2 3 6 6 5 2 2 3 6 2 x k x k k x k x k + = + = + + = + = +  2.A-09 ( ) ( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x x x = + (2) Điều kiện: sin 1 1 sin 2 x x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sinx x x x = + 1 Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 2 cos 2sin cos 3 3 sin 2 3 sinx x x x x = + ( ) 2 cos 3 sin sin 2 3 1 2sinx x x x = + cos 3 sin sin 2 3 cos 2x x x x = + 1 3 1 3 cos sin sin 2 cos 2 2 2 2 2 x x x x = + cos .cos sin .sin sin 2 .sin cos 2 .cos 3 3 6 6 x x x x = + cos cos 2 3 6 x x + = ữ ữ ( ) 2 2 2 2 2 6 3 18 3 x k x x k k x k = + = + + ữ = +  Kết hợp với điều kiện ta đợc nghiệm của phơng trình là 2 18 3 x k = + , k  3)B-09 ( ) 3 sin cos .sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x+ + = + ( ) 2 sin 1 2sin cos .sin 2 3 cos 3 2cos 4x x x x x x + + = sin 3 3 cos3 2cos 4x x x + = 1 3 sin 3 cos3 cos 4 2 2 x x x + = cos 4 cos 3 6 x x = ữ 4 3 2 6 x x k = + ữ ( ) 2 6 2 42 7 x k k x k = + = +  Bài tập tơng tự 4)D-09. 3 cos 5 2sin 3 .cos 2 sin 0x x x x = III. Phơng trình đẳng cấp ( cùng bậc) với sin x và cos x 1) 2 2 sin sin cos cosa x b x x c x d+ + = 2) 3 2 2 3 sin sin cos sin cos cos 0a x b x x c x x d x + + + = Phơng pháp: Viết phơng trình về dạng vế phải bằng 0, vế trái cùng bậc k (lu ý 2 2 sin cos 1x x+ = ) Xét riêng trờng hợp cos 0x = xem ( ) 2 x k k = +  có là nghiệm hay không? Nếu cos 0x , chia cả hai vế của phơng trình cho 2 3 cos ,cosx x rồi đặt tant x= Ví dụ 3. Giải các phơng trình 1)B-08 3 3 2 2 sin 3cos sin cos 3 sin cosx x x x x x = Giải: - Thay ( ) cos 0 2 x x k k = = +  vào phơng trình ta đợc 3 sin 0 sin 0x x= = nên , 2 x k k = +  không là nghiệm của phơng trình - Khi cos 0x ta chia cả 2 vế của phơng trình cho 3 cos x ta đợc: 3 2 tan 3 tan 3.tanx x x = ( ) ( ) 2 2 tan tan 1 3 tan 1 0x x x + = ( ) ( ) 2 tan 1 tan 1 tan 3 0 tan 3 x x x x = + = = ( ) 4 3 x k k x k = + = +  2) 3 sin 2 sin 4 x x + = ữ 3 sin cos 2 sin 2 x x x + = ữ 3 2 2 3 sin 3sin .cos 3sin .cos cos 4sin 0x x x x x x x + + + = - Thay ( ) cos 0 2 x x k k = = +  vào phơng trình ta đợc 3 sin 0 sin 4sin 0 sin 2 x x x x = = = (loại) nên , 2 x k k = +  không là nghiệm của phơng trình - Khi cos 0x ta chia cả 2 vế của phơng trình cho 3 cos x ta đợc: ( ) 3 2 2 tan 3tan 3tan 1 4 tan 1 tan 0x x x x x+ + + + = 3 2 3tan 3tan tan 1 0x x x + = ( ) 2 3tan tan 1 tan 1 0x x x + = ( ) ( ) 2 tan 1 3tan 1 0x x + = ( ) tan 1 4 x x k k = = +  Bài tập tơng tự 3) 3 3 2 4sin 3cos 3sin sin cos 0x x x x x+ = IV. Phơng trình đối xứng và nửa đối xứng đối với với sin x và cos x (là phơng trình mà khi ta thay sin x bởi cos x , cos x bởi sin x thì phơng trình không thay đổi) Phơng pháp: Đặt sin cos 2 sin 4 t x x x = = ữ ĐK: 2 2t 2 Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 Khi đó: 2 1 sin cos 2 t x x = Ví dụ 4. Giải các phơng trình 1)A-08 1 1 7 4sin 3 sin 4 sin 2 x x x + = ữ ữ (1) Giải: Ta có: 3 sin sin cos 2 2 x x x = + = ữ ữ 7 sin sin sin 4 4 4 x x x = = + ữ ữ ữ Điều kiện: sin 0 , cos 0 2 x x k k x  ( ) 1 1 1 4sin sin cos 4 x x x + = + ữ ( ) sin cos 2 2 sin .cos sin cosx x x x x x + = + ( ) ( ) sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x + + = tan 1 sin cos 0 2 2 2 sin .cos 1 0 sin 2 2 x x x x x x = + = + = = 4 4 2 2 , 4 8 5 5 2 2 4 8 x k x k x k x k k x k x k = + = + = + = + = + = +  Kết hợp với điều kiện trên ta suy ra nghiệm của ph- ơng trình là: 4 x k = + ; 8 x k = + ; 5 8 x k = + với k  Bài tập tơng tự 2)A-07. ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x + + + = + 3) 1 1 2 2 sin 4 sin cos x x x + = + ữ 4) xxx 2sinsincos1 33 =+ V. Phơng trình đối xứng và nửa đối xứng đối với tan x và cot x (là phơng trình mà khi ta thay tan x bởi cot x , cot x bởi tan x thì phơng trình không thay đổi) Phơng pháp: Đặt 1 2 tan cot tan tan sin 2 t x x x x x = + = + = ĐK: 2t hoặc đặt tan cott x x= Khi đó : 2 2 2 tan cot 2x x t+ = ; 3 3 3 tan cot 2x x t t+ = ; 4 4 4 2 tan cot 4 2x x t t+ = + Ví dụ 5. Giải các phơng trình 1)B-06 cot sin (1 tan tan ) 4 2 x x x x+ + = (1) Giải: Điều kiện: sin 0 cos 0 , 2 cos 0 2 x x x k k x  ( ) sin sin 2 1 cot sin 1 . 4 cos cos 2 x x x x x x ữ + + = ữ ữ cos .cos sin .sin 2 2 cot sin 4 cos .cos 2 x x x x x x x x + ữ + = ữ ữ cos 2 cot sin . 4 cos .cos 2 x x x x x + = cos sin 4 sin cos x x x x + = 1 4sin .cosx x = 2 2 1 6 12 sin 2 , 5 5 2 2 2 6 12 x k x k x k x k x k = + = + = = + = +  Kết hợp điều kiên trên ta có nghiệm của phơng trình là: 12 x k = + ; 5 12 x k = + với k  Bài tập tơng tự 2) 2 2 2 2 tan 5(tan cot ) 4 0 sin x x x x + + + + = 3) 2 2 tan cot 3(tan cot )x x x x+ = VI. Một số dạng phơng trình khác Sử dụng các công thức biến đổi lợng giác: biến đổi tơng đơng, hạ bậc, biến đổit tích thành tổng, tổng thành tích, đa phơng trình về dạng phơng trình tích đã biết cách giải Ví dụ 6. Giải các phơng trình 1)B-10 ( ) sin 2 cos 2 cos 2 cos 2 sin 0x x x x x + + = (1) Giải: ( ) 2 1 2sin .cos sin cos 2 .cos 2 cos 2 0x x x x x x + + = ( ) ( ) 2 sin 2cos 1 cos 2 cos 2 0x x x x + + = ( ) cos 2 sin cos 2 0x x x + + = cos 2 0 cos 2 0 2 sin 2 sin 2 1 4 4 x x x x = = + = + = < ữ ữ 2 , 2 4 2 x k x k k = + = +  3 Phơng trình lợng giác thờng gặp trần mạnh sâm thpt lạng giang số 2 2)B-07 2 2sin 2 sin 7 1 sinx x x+ = (2) Giải: ( ) ( ) 2 2 sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x = 2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x = ( ) cos 4 0 cos 4 2sin 3 1 0 1 sin 3 2 x x x x = = = 4 8 4 2 2 3 2 , 6 18 3 5 5 2 3 2 6 18 3 x k x k x k x k k x k x k = + = + = + = + = + = +  3) B-02 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x = (3) Giải: ( ) 1 cos 6 1 cos8 1 cos8 1 cos10 3 2 2 2 2 x x x x + + = ( ) ( ) cos12 cos10 cos8 cos 6 0x x x + + = 2cos11 .cos 2cos 7 .cos 0x x x x = ( ) cos cos11 cos 7 0x x x = cos .sin 9 .sin 2 0 sin 9 .sin 2 0x x x x x = = sin 9 0 9 9 , sin 2 0 2 2 x k x x k k x x k x k = = = = = =  Bài tập tơng tự 4) D -10. sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x + = 5) B-05 1 sin cos sin 2 cos2 0x x x x + + + + = 6) 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x+ + = 7)A-03 2 cos2 1 cot 1 sin sin 2 1 tan 2 x x x x x = + + 8) )cos(sin2cossin 8866 xxxx +=+ 9) 3(cot cos ) 5(tan sin ) 2x x x x = 10) 1 tan 1 sin 2 1 tan x x x = + . 4