Vẽ đường tròn tâm I qua hai điểm A và C cắt đoạn AB, BC lần lượt tại M, N.. Vẽ đường tròn tâm J qua ba điểm B, M, N cắt đường tròn tâm O tại điểm H khác B a Chứng minh OB vuông góc với M
Trang 1HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG TPHCM
NĂM HỌC 2004 – 2005
Câu 1 : (4 điểm) : Giải hệ
2
( )
2
x y x y
I
x y x y
đk :
0
x y
x y
Đặt
1
2
1
u
x y
v
x y
( )
0 1 3
3 2 1
u v
I
u v
u v
x y
x y
x
y
Câu 2 : (3 điểm) : Cho x > 0 thoả
2 2
x x
Tính
5 5
1
x x
Vì:
2 2
2
2
1 x+ 9 x 1 x+ 3 ( 0) x
do x
Nên :
Trang 2
2 2
2
1
3 49 8
123
x
x
Câu 3 : (3 điểm) : Giải phương trình:
3 10
x
Đk : 3x + 1 ³ 0
1 3
x
³
Ðặt
2 2
0
3 1
3 1
9 3 10
t
t x
³
Ta có :
2
2
2
2
2
1
9
3 1 1
0
2 8
4
3 1 4
3 1 16
5
t
t
x
x
x
t
t
x
x
x
Vậy (1) x 0 x 5
Trang 3Câu 4 : (4 điểm)
a) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 5x 2 + 9y 2 – 12xy + 24x – 48y + 82
b) b) Tìm các số nguyên x, y, z thoả hệ 3 3 3
3 3
x y z
x y z
a) a) Ta có:
P = (2x – 3y + 8)2 + (x – 4)2 + 2 ³ 2
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi
16
3
Vậy Min P = 2
b) b) Ta có :
3 27 3( )( )( )
(3 )(3 )(3 ) 8
x y z x y z x y y z z x
x y y z z x
x y y z z x
x y y z z x
Suy ra 3 – z, 3 – x, 3 – z là các ước số của 8
Mà các ước số của 8 là 1, 2, 4, 8
Như vậy 3 - x, 3 - y, 3 - z nhận một trong các giá trị đã nêu
Lập bảng :
Thử trên bảng ta được :
Câu 5 : (4 điểm) :
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O (AB < BC) Vẽ đường tròn tâm I qua hai điểm A và C cắt đoạn AB, BC lần lượt tại M, N Vẽ đường tròn tâm J qua ba điểm B, M, N cắt đường tròn tâm (O) tại điểm H (khác B)
a) Chứng minh OB vuông góc với MN
b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành
c) Chứng minh BH vuông góc với IH
Trang 4
Dựng tiếp tuyến Bx tại B của đường tròn ngoại tiếp tam giác BAC thì Bx ^
OB Ta chứng minh Bx // MN
Ta có góc xBN= góc BAC (cùng chắn cung BC của đường tròn (O))
Góc BAC= góc BNM (do tứ giác AMNC nội tiếp) Suy ra : góc xBN= góc BNM
Suy ra : MN // Bx (2 góc ở vị trí so le trong bằng nhau) (đpcm)
b) Chứng minh IOBJ là hình bình hành Chứng minh tương tự như câu a, ta có: BJ ^AC
Vì IJ là là đường nối tâm của (I) và (J) nên IJ ^ MN
OB MN
OB IJ
IJ MN
^
^
Chứng minh tương tự ta có OI // BJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra IOBJ là hình bình hành
c) Gọi F là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành IOBJ thì F là trung điểm BI và F Î OJ
Vì BH là dây chung và OJ là đường nối tâm của (O) và (J) nên OJ là trung trực của BH ==> OJ cắt BH tại trung điểm E của BH ==> EF BH
Vì EF là đường trung bình của tam giác BHI nên EF // HI Suy ra IH BH (đpcm)
Câu 6 : (2 điểm) : Cho hình bình hành ABCD Qua một điểm S ở trong hình bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD, BC tai
M, P và cũng qua S Kẻ đường thẳng song song với AD lần lượt cắt AB, CD tại N, Q Chứng minh ba đường thẳng AS, BQ, DP đồng quy
x
O B
C A
I
M
N J
H
Trang 5A
B S
N
Q
O
K I
Giải:
Gọi I là giao điểm của DP và NQ
K là giao điểm của SA và BC
Ta có:
KP PK SP SP IS
PB AM SM QD IQ
Vậy
KP IS
BP IQ suy ra
KP BP
IS IQ (1).
Gọi O là giao điểm SA và DP Ta có
OP KP
Gọi O' là giao điểm BQ và DP Ta có
' '
O P BP
O I IQ (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có: Vậy O' trùng O, tức là SA, BQ và DP đồng qui