SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1 THANH HÓA (2010-2011) (Thời gian 120’ không kể giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) Cho biểu thức: x 6 1 10 x A : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 − = − + − + ÷ ÷ − − + + 1. Rút gọn biểu thức A. 2. Tìm x sao cho A < 2. Câu 2: (2.0 điểm) Cho x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của pt: x 2 - 7x + 3 = 0. 1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x 1 - x 2 và . 2. Tính giá trị của B = |2x 1 - x 2 | + |2x 2 - x 1 |. Câu 3 : (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 4 1 1 x 2y x 2y 20 3 1 x 2y x 2y − = + − + = + − Câu 4 : (3.5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H. 1. Chứng minh rằng AE = ID. 2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A). Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB Câu 5: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P. Chứng minh rằng: P P P 9 P a P b P c + + ≥ − − − …Hết… HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (2.0 điểm) Cho biểu thức: x 6 1 10 x A : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 − = − + − + ÷ ÷ − − + + 1. Rút gọn biểu thức A.ĐK: x ≠ 4, x ≠ 0, x ≥ 0 ⇒ x > 0, x ≠ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 6 1 x 4 10 x A : x x 4 x 2 x 2 3 x 2 3x 6 x x 2 3 x x 2 x 2 1 . 6 2 x 3 x x 2 x 2 − + − ÷ = − + ÷ ÷ − + + − − + + − + = = = − + − 2. Tìm x sao cho A < 2. A < 2 ⇔ x 4 x 2 1 1 2 x 3 2 2 0 0 9 3 x 2 x 2 x x 2 x 4 2 > > − < ⇔ − < ⇔ > ⇔ ⇔ < − − − < Kết hợp với đk: 9 0 x 4 < < hoặc x 4> Câu 2: (2.0 điểm) Cho x 1 ; x 2 là 2 nghiệm của pt: x 2 - 7x + 3 = 0. 1. Lập phương trình có hai nghiệm là 2x 1 - x 2 và 2x 2 - x 1 Ap dụng định lí Viet đảo pt nhân hai nghiệm 2x 1 - x 2 và 2x 2 - x 1 là: X 2 - SX + P = 0 Với S = 2x 1 - x 2 + 2x 2 - x 1 = x 1 + x 2 = 7 P = (2x 1 - x 2 )(2x 2 - x 1 ) = 5x 1 x 2 - 2[(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 ] = 9x 1 x 2 - 2(x 1 +x 2 ) 2 = 9.3 - 2. 49 = -71 ⇒ pt: X 2 - 7X -71 = 0 2. Tính giá trị của B = |2x 1 - x 2 | + |2x 2 - x 1 |. B = |2x 1 - x 2 | + |2x 2 - x 1 | = |X 1 | + |X 2 | ≥ 0 B 2 = X 1 2 + X 2 2 + 2| X 1 X 2 | = (X 1 + X 2 ) 2 - 2 X 1 X 2 + 2| X 1 X 2 | Thay số: B 2 = 7 2 - 2(-71) + 2|-71| = 333 mà B ≥ 0 B 333 3 37= = Câu 3 : (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 4 1 1 x 2y x 2y 20 3 1 x 2y x 2y − = + − − = + − ĐK : x ≠ ± 2y Đặt 4 1 u; v x 2y x 2y = = + − ta có hệ : u v 1 3u 3v 1 1 1 u ;v 5u 3v 1 5u 3v 1 2 2 − = − = ⇔ ⇒ = = − + = + = 4 1 x 3 x 2y 8 x 2y 2 5 3 1 x 2y 2 y 2 x 2y 2 = = + = + ⇒ ⇔ ⇔ − = − = = − − (t/m đk) Câu 4 : (3.5 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm I sao cho BI = BA. Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD tại E và AI cắt BE tại H. 1. Chứng minh rằng AE = ID. 2. Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD tại điểm thứ hai F (F ≠ A). Chứng minh rằng: DF . DA = EH . EB F H E I D C A B a, ∆ABE = ∆IBE (cạnh huyền, cạnh góc vuông) ⇒ AE = IB (đ/n) ∆EID vuông cân ⇒ IE = IE ⇒ AE = IE (đpcm) b, DI 2 = DF.DA EI 2 = EH.EB ⇒ DF.DA = EH.EB (đpcm) Câu 5*: (1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c và chu vi tam giác là 2P. Chứng minh rằng: P P P 9 P a P b P c + + ≥ − − − * Cm bđt: 1 1 4 x y x y + ≥ + với x > 0, y > 0 Ta có (x - y) 2 ≥ 0 ∀x,y ⇔ x 2 + y 2 -2xy ≥ 0 ⇔ (x + y) 2 ≥ 4xy x y 4 1 1 4 xy x y x y x y + ⇔ ≥ ⇔ + ≥ + + với ∀x ; y. * Áp dụng : ( ) 1 1 4 4 P a P b P a P b c 1 1 4 1 1 1 1 1 1 2 P b P c c P a P b P c a b c 1 1 4 P a P b c P P P 1 1 1 2P P a P b P c a b c P P P 1 1 1 a b c P a P b P c a b c + ≥ = − − − + − + ≥ ⇒ + + ≥ + + ÷ − − − − − + ≥ − − ⇔ + + ≥ + + ÷ − − − ⇔ + + ≥ + + + + − − − ( ) 2 1 1 1 9≥ + + = ÷ (Áp dụng Bunhacopski) Dấu bằng xảy ra ⇔ a 2 = b 2 = c 2 ⇔ a = b = c . SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHUYÊN LAM SƠN vòng 1 THANH HÓA (2 010- 2011) (Thời gian 120’ không kể giao đề) Câu 1: (2.0 điểm) Cho biểu thức: x 6 1 10 x A : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 − . 6 1 10 x A : x 2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 − = − + − + ÷ ÷ − − + + 1. Rút gọn biểu thức A.ĐK: x ≠ 4, x ≠ 0, x ≥ 0 ⇒ x > 0, x ≠ 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x 6 1 x 4 10 x A