ĐỀ THI TOÁN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA; ĐỀ THI TOÁN TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA;SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HOÁĐề thi gồm 01 trangKỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠNNĂM HỌC 2013 2014Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)Thời gian làm bài: 150 phút(không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2013Câu 1: (2,0 điểm)Cho và thỏa mãn phương trình: . Tính .Câu 2: (2,0 điểm)1. Giải phương trình: .2. Giải hệ phương trình: Câu 3: (2,0 điểm)Cho là các số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: .Câu 4: (3,0 điểm)Cho ABC cân tại C có CD là đường trung tuyến. Gọi là đường tròn đường kính AD và là đường tròn đi qua A, tiếp xúc với CD tại C. Gọi E là giao điểm thứ hai (khác A) của với .1. Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp được.2. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng. Tính số đo góc biết .3. Gọi H là giao điểm của với AE. Chứng minh rằng: , từ đó suy ra: E là trọng tâm của ACD khi và chỉ khi .Câu 5: (1,0 điểm)Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm bất kì không cùng nằm trên một đường thẳng. Xét tất cả các đường thẳng đi qua hai điểm bất kì của P. Chứng minh rằng luôn có ít nhất một đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm của P. Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁKỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠNNĂM HỌC 2013 2014HƯỚNG DẪN CHẤM Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)Ngày thi: 25 tháng 6 năm 2013Hướng dẫn chấm này gồm 03 trangHướng dẫn chung: Lời giải nêu trong HDC này là lời giải vắn tắt. Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ và chính xác các suy luận thì mới được điểm tối đa. Nếu học sinh thừa nhận kết quả của ý trước để giải ý sau thì không chấm điểm ý sau đó. Câu hình học (Câu 4) nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm Học sinh giải cách khác với cách nêu trong HDC này, mà đúng, thì vẫn được điểm tối đa của phần (câu) tương ứng.CâuÝNội dungĐiểm1(2,0đ)Từ giả thiết ta có: 0,25 0,5 (1)0,5Mặt khác: .0,5Do đó: (1) .0,252(2,0đ)1(1,0đ)Đặt , phương trình đã cho trở thành: 0,25 0,25 0,25Với , ta có .0,252(1,0đ)Điều kiện xác định: 0,25Hệ phương trình tương đương với hệ: 0,25Suy ra là các nghiệm của phương trình: (2)Hệ có nghiệm (2) có nghiệm .0,25Với , (2) có nghiệm .Vậy hệ có nghiệm 0,253(2,0đ)Với x, y thì có chữ số tận cùng là 6, có chữ số tận cùng là 5 nên A có chữ số tận cùng là 1 (nếu ) hoặc 9 (nếu ).0,5TH 1: A = 1. Khi đó: : Điều này không xảy ra do nên , còn không chia hết cho 7.0,5TH 2: A = 9. Khi đó: : Điều này không xảy ra do , còn không chia hết cho 9.0,5TH 3: A = 11. Khi đó: . Dễ thấy thỏa mãn.Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 11.0,54(3,0đ) 1(1,0đ)Ta có: (cùng chắn cung ) (cùng chắn cung )0,25Trong có: (3)0,25Lại do cân tại C nên (4)Từ (3) và (4) suy ra: Tứ giác BCED nội tiếp được.0,52(1,25đ)Kéo dài AE cắt CD tại I’ (dùng tam giác đồng dạng) I’ là trung điểm CD.Vậy I I’, hay A, E, I thẳng hàng.0,5Ta có: CD = 2AD ID = AD ADI vuông cân tại D .0,25Mà tứ giác BCED nội tiếp nên: BCE vuông cân tại E .0,5Chú ýNếu học sinh tính góc trực tiếp bằng cách sau thì cho 0,75đ:Ta có: (tứ giác BCED nội tiếp); (cùng chắn ); .0,5Hơn nữa: BEC vuông cân tại E .0,253(0,75đ)Theo trên ta có I là trung điểm CD. Xét các tam giác và ta có: .0,25Vì H là giao điểm của với nên .Từ các kết quả trên suy ra: .0,25Khi đó (5)Lại có: (do H là trung điểm AE).Nên: (5) E là trọng tâm ACD.0,255(1,0đ)Do P có hữu hạn điểm nên tập hợp Q gồm các đường thẳng đi qua 2 điểm bất kì của P cũng chỉ có hữu hạn phần tử.Xét tập hợp S gồm tất cả các khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc P đến một đường thẳng bất kì (không chứa điểm đó) thuộc Q.0,25Vì P và Q có hữu hạn phần tử nên S cũng có hữu hạn phần tử. Do đó, trong S có phần tử nhỏ nhất. Giả sử đó là khoảng cách từ điểm M (thuộc P) tới đường thẳng AB (thuộc Q).Khi đó, đường thẳng AB chính là đường thẳng chỉ đi qua đúng hai điểm A, B thuộc P.0,25 Thật vậy, giả sử ngược lại rằng đường thẳng AB còn đi qua một điểm C khác nữa. Khi đó đường thẳng MC thuộc Q.Xảy ra 2 khả năng sau:1 C nằm giữa A và B.Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Không mất tổng quát, giả sử H nằm trong đoạn BC.Gọi P và N lần lượt là hình chiếu của C và H trên AM CP S.Dễ thấy: MH > HN CP: Trái với giả sử MH bé nhất trong S.0,252 C nằm ngoài đoạn AB: Làm tương tự cũng suy ra điều vô lý.Vậy bài toán được chứng minh.0,25
ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC Đề thi gồm 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 25 tháng năm 2013 Câu 1: (2,0 điểm) Cho (a− 1) (1− b) thỏa mãn phương trình: x3 + 2x − 2013 = Tính a + b Câu 2: (2,0 điểm) Giải phương trình: (x − 2)(x2 + 6x − 11)2 = (5x2 − 10x + 1)2 1 1 x+ y+ z = Giải hệ phương trình: − =9 xy z2 Câu 3: (2,0 điểm) Cho x, y số tự nhiên khác 0, tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = 36x − 5y Câu 4: (3,0 điểm) Cho ∆ABC cân C có CD đường trung tuyến Gọi (O1; R1) đường tròn đường kính AD (O2; R2 ) đường tròn qua A, tiếp xúc với CD C Gọi E giao điểm thứ hai (khác A) (O1; R1) với (O2; R2 ) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp Gọi I trung điểm CD Chứng minh ba điểm A, E, I thẳng hàng Tính số đo · góc BCE biết CD = 2AD Gọi H giao điểm OO với AE Chứng minh rằng: ra: E trọng tâm ∆ACD OO = ID OO = , từ suy IH R1 + R2 ( R1 + R2 ) Câu 5: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng, cho tập hợp P gồm hữu hạn điểm khơng nằm đường thẳng Xét tất đường thẳng qua hai điểm P Chứng minh ln có đường thẳng qua hai điểm P - Hết -https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 - 2014 HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chun Tốn) Ngày thi: 25 tháng năm 2013 Hướng dẫn chấm gồm 03 trang Hướng dẫn chung: - Lời giải nêu HDC lời giải vắn tắt Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ xác suy luận điểm tối đa - Nếu học sinh thừa nhận kết ý trước để giải ý sau khơng chấm điểm ý sau - Câu hình học (Câu 4) học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai không chấm điểm - Học sinh giải cách khác với cách nêu HDC này, mà đúng, điểm tối đa phần (câu) tương ứng Điể Câu Ý Nội dung m (2,0đ) (a − 1)3 + 2(a − 1) − 2013 = Từ giả thiết ta có: (1− b) + 2(1− b) − 2013 = 0,25 0,5 ⇒ (a − 1) + (b− 1) + 2(a + b − 2) = 3 ⇔ (a + b − 2) (a − 1)2 − (a − 1)(b − 1) + (b − 1)2 + 2(a + b − 2) = ⇔ (a + b − 2) (a − 1)2 − (a − 1)(b− 1) + (b − 1)2 + 2 = (1) 0,5 Mặt khác: (a − 1) − (a − 1)(b − 1) + (b − 1) + = 2 2 (2,0đ) (1,0đ) = (a − 1) − (b − 1) + (b − 1)2 + > 0, ∀a, b Do đó: (1) ⇔ a + b− = ⇔ a + b = Đặt y = x − , phương trình cho trở thành: y(y+ 2)2 + 6(y + 2) − 11 = 5(y+ 2)2 − 10(y+ 2) + 1 ⇔ y(y2 + 10y+ 5)2 = (5y2 + 10y + 1)2 ⇔ y5 − 5y4 + 10y3 − 10y2 + 5y − 1= ⇔ (y − 1) = ⇔ y = (1,0đ) Với y= 1, ta có x − = 1⇔ x = Điều kiện xác định: x, y, z ≠ 1 x + y = 3− z Hệ phương trình tương đương với hệ: = 9+ xy 2z2 1 Suy x , y nghiệm phương trình: 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1 t2 − 3− ÷t + + ÷ = (2) z 2z https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA 1 Hệ có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm ⇔ ∆ = − + 3÷ ≥ ⇔ z = − z 1 Với z = − , (2) có nghiệm t1 = t2 = 3⇒ x = y = 3 x = y = Vậy hệ có nghiệm z = − Với x, y ∈ 36 có chữ số tận 6, có chữ số tận nên A có chữ số tận (nếu 36x > 5y ) (nếu 36x < 5y ) TH 1: A = Khi đó: 36x − 5y = 1⇔ 36x − 1= 5y : Điều không xảy (36x − 1) M35 nên (36x − 1) M7 , 5y khơng chia hết cho TH 2: A = Khi đó: 5y − 36x = ⇔ 5y = 36x + 9: Điều không xảy (36x + 9) M9 , 5y khơng chia hết cho TH 3: A = 11 Khi đó: 36x − 5y = 11 Dễ thấy x = 1, y = thỏa mãn Vậy giá trị nhỏ A 11 * (2,0đ) x 0,25 y 0,5 0,5 0,5 0,5 (3,0đ) · · » ) Ta có: DCE (cùng chắn cung CE = CAE · · · » ) (cùng chắn cung DE CDE = DAE = BAE 0,25 · · · · · · Trong ∆CDE có: 1800 − CED = DCE + CDE = CAE + BAE = BAC (3) 0,25 · · · Lại ∆ABC cân C nên BAC (4) = ABC = DBC · · Từ (3) (4) suy ra: CED + DBC = 180 ⇒ Tứ giác BCED nội tiếp 0,5 2 Kéo dài AE cắt CD I’ ⇒ I ′C = I ′A.I ′E = I ′D (dùng tam giác đồng 0,5 (1,25đ) dạng) ⇒ I’ trung điểm CD Vậy I ≡ I’, hay A, E, I thẳng hàng (1,0đ) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Ta có: CD = 2AD ⇒ ID = AD ⇒ ∆ADI vuông cân D ⇒ · · CDE = DAI = 450 0,25 · · · · = CDE = 450; CEB = CDB = 900 Mà tứ giác BCED nội tiếp nên: CBE · ⇒ ∆BCE vuông cân E ⇒ BCE = 450 0,5 Chú ý Nếu học sinh tính góc trực tiếp cách sau cho 0,75đ: · · · Ta có: DCE (cùng chắn = ·ABE (tứ giác BCED nội tiếp); CDE = BAE »DE ); CD = 2AD = AB ⇒ ∆CED = ∆BEA ⇒ BE = CE 0,5 · · · Hơn nữa: CEB = CDB = 900 ⇒ ∆BEC vuông cân E ⇒ BCE = 450 0,25 Theo ta có I trung điểm CD Xét tam giác O1DI O2CI (0,75đ) ta có: 1 SO1DI + SO2CI = (O1D + O2C).ID = (R1 + R2 ).ID = SO1O2CD 2 ⇒ SO1O2I = SO1O2CD 0,25 Vì H giao điểm OO với AE; AE ⊥ OO 2; A, E, I nên IH ⊥ OO ⇒ SO1O2I = IH.OO 2 OO ID = Từ kết suy ra: IH.OO = (R1 + R2 )ID ⇔ R1 + R2 IH 0,25 ID2 IE.IA (R1 + R2 ) ⇔ = ⇔ = (5) IH IH Lại có: IE.IA = (IH − EH )(IH + AH ) = IH − EH (do H trung điểm Khi OO = AE) Nên: (5) ⇔ (1,0đ) IH − EH EH EH 1 = ⇔ = ⇔ = ⇔ IE = IA 2 IH IH IH ⇒ E trọng tâm ∆ACD 0,25 Do P có hữu hạn điểm nên tập hợp Q gồm đường thẳng qua điểm P có hữu hạn phần tử Xét tập hợp S gồm tất khoảng cách từ điểm thuộc P đến đường thẳng (khơng chứa điểm đó) thuộc Q 0,25 Vì P Q có hữu hạn phần tử nên S có hữu hạn phần tử Do 0,25 đó, S có phần tử nhỏ Giả sử khoảng cách từ điểm M (thuộc P) tới đường thẳng AB (thuộc Q) Khi đó, đường thẳng AB đường thẳng qua hai điểm A, B thuộc P https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Thật vậy, giả sử ngược lại đường thẳng AB qua điểm C khác Khi đường thẳng MC thuộc Q Xảy khả sau: 1/ C nằm A B Gọi H hình chiếu M AB Khơng tổng quát, giả sử H nằm đoạn BC Gọi P N hình chiếu C H AM ⇒ CP ∈ S Dễ thấy: MH > HN ≥ CP: Trái với giả sử MH bé S 0,25 2/ C nằm đoạn AB: Làm tương tự suy điều vô lý Vậy toán chứng minh 0,25 - Hết -KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2013 – 2014 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Mơn TỐN (Mơn chung cho tất thí sinh) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24 tháng năm 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức : x x + ÷: x +2÷ x x+2 x P = ( với x > ) Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P = Câu 2: (2,0 điểm) x + my = 3m Cho hệ phương trình: mx − y = m − Giải hệ phương trình với m = Tìm m để hệ có nghiệm thỏa mãn x − x − y > https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Câu 3: (2,0 điểm) 2 x2 − x + x −1 Giải phương trình: ÷+ ÷ − 4 ÷ =0 x+2 x −4 x−2 Câu 4: (3.0 điểm) Cho ba điểm A, B, C phân biệt, thẳng hàng theo thứ tự cho AB ≠ BC Trong nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AC dựng hình vuông ABDE BCFK Gọi I trung điểm EF, đường thẳng qua I vng góc với EF cắt đường thẳng BD AB M N Chứng minh rằng: Tứ giác AEIN EMDI tứ giác nội tiếp đường tròn Ba điểm A, I, D thẳng hàng năm điểm B, N, E, M, F nằm đường tròn Các đường thẳng AK, EF, CD đồng quy Câu 5: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x3 y3 z3 + + x + xy + y y + yz + z z + zx + x - Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2013 – 2014 Mơn: TỐN (Mơn chung cho tất thí sinh) Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang Câu (2,0đ) Ý Đáp án (Vắn tắt) Với điều kiện x > thì: (1,0đ) x x P = + : ÷ ÷ x + ( x + 2) x x x x +2 ) x+2 =( + x = x +2 x + x = x + +1 x https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Điểm 0.25 0.25 0.25 0.25 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA (1,0đ) P =3⇔ x + x −2=0 ⇔ x−4 x +4=0 0.25 ⇔ x =2 0.25 0.25 ⇔ x=4 (2,0đ) 0.25 x + 3y = (1,0đ) Với m = , hệ trở thành: 3 x − y = y = 3x − x = ⇔ ⇔ x + 3(3 x − 7) = y = 0.25 0.75 Biến đổi hệ cho ⇔ (1,0đ) y = mx − m + x + my = 3m x = m ⇔ ⇔ 2 y = y = mx − m + x + m ( mx − m + ) = 3m x = m Vậy ∀m , hệ ln có nghiệm y = Do đó, nghiệm hệ thỏa mãn u cầu tốn m > m − m − > ⇔ ( m + 1) ( m − ) > ⇔ m < −1 (2đ) x −1 x +1 ,b = x+2 x−2 Phương trình cho trở thành: a − 4ab + 3b = ⇔ ( a − b ) ( a − 3b ) = 0.5 0,5 a= 0.25 a = b ⇔ a = 3b 0.75 Đặt x −1 x +1 = ⇔ x=0 x+2 x−2 x = −3 − x −1 x +1 =3 ⇔ Với a = 3b , ta có x+2 x−2 x = −3 + Với a = b , ta có https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.5 0.5 ĐỀ THI TỐN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HĨA (3 đ) Từ giả thiết ta có ∠EAN = ∠EIN = 900 , suy tứ giác AEIN nội tiếp (1,0 đ) đường tròn đường kính EN Lại có ∠EIM = ∠EDM = 900 , suy tứ giác EIDM nội tiếp đường tròn đường kính EM Nối EB, FB tính chất đường chéo hình vng, suy ∠EBF = 900 (1,0 đ) Vì I trung điểm EF nên tam giác vng EBF ta có BI trung tuyến thuộc cạnh huyền nên: BI = IE Suy I nằm đường trung trực đoạn BE, hay I thuộc AD, tức A, I, D thẳng hàng Xét tứ giác nội tiếp AEIN, ta có ∠ENI = ∠EAI = ∠EAD = 450 (do A,I,D thẳng hàng) Tương tự, tứ giác nội tiếp EIDM, ta có ∠EMI = ∠EDI = ∠EDA = 45 (do A,I,D thẳng hàng) Suy tam giác EMN vuông cân E Lại ME = MF, NE = NF, nên suy tứ giác EMFN hình thoi hình vng Khi IE = IF = IM = IN = IB, hay E, M, F, B , N thuộc đường tròn đường kính EF Xét hai tam giác vng ABK DBC, ta thấy cạnh góc vuông (1,0 đ) nhau: AB = DB; BK = BC Suy hai tam giác ∠BAK = ∠BDC ⇒ AK ⊥ DC Gọi H giao điểm AK DC Xét ngũ giác ABHDE, ta thấy: ∠ABD = ∠AHD = ∠AED = 900 Vậy ngũ giác nội tiếp Suy ∠EHD = ∠EBD = 450 (1) Chứng minh tương tự ta có ngũ giác BCFHK nội tiếp ∠FHC = ∠FKC = 450 (2) Từ (1) (2) suy ∠EHD = ∠FHC = 450 , mà hai góc vị trí đối đỉnh nên E, H, F thẳng hàng Vậy EF, AK, CD đồng quy https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA (1,0đ) 0,25 Do x3 − y3 y3 − z3 z − x3 + + = x−y+ y−z+z−x =0 x + xy + y y + yz + z z + zx + x ⇒ x3 y3 z3 y3 x3 x3 + + = + + x + xy + y y + yz + z z + zx + x x + xy + y y + yz + z z + zx + x x3 + y y3 + z3 z + x3 + + Suy P = ÷ x + xy + y y + yz + z z + zx + x x − xy + y x3 + y x+ y ≥ ⇒ ≥ Lại có 2 x + xy + y x + xy + y 3 3 y +z y+z z +x z+x ≥ ; ≥ Tương tự: 2 y + yz + z z + zx + x x+ y+z =3 Suy P ≥ 0.25 0.25 Dấu “=” xảy x = y = z = Vậy giá trị nhỏ P 0.25 * Ghi chú: - Nếu học sinh làm cách khác với cách nêu đáp án mà điểm tối đa cho phần (câu) tương ứng - Nếu học sinh sử dụng kết câu trước chưa chứng minh để làm câu sau khơng cho điểm, trường hợp khơng làm câu trước mà làm độc lập câu sau cho điểm tối đa câu - Bài hình học sinh khơng vẽ hình vẽ sai khơng chấm điểm - Điểm toán tổng điểm câu khơng làm tròn - Hết - SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA Đề thi thức Đề thi gồm có 01 trang KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 – 2013 Mơn Tốn (Dùng cho thí sinh thi vào chun Tốn) Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng năm 2012 Câu 1: (2.0 điểm) x 1 , với số thực x, y thỏa mãn xy ≠ y xy Chứng minh A = a + b + c − abc không phụ thuộc vào x, y Cho a = x + , b = y + , c = xy + Câu 2: (2.0 điểm) Cho phương trình ( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 6) = mx ( m tham số) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Giả sử m nhận giá trị cho phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 khác 1 1 + + + Chứng minh biểu thức không phụ thuộc m x1 x2 x3 x4 Câu 3: (2.0 điểm) n(2n − 1) Tìm số nguyên dương n cho số phương 26 Câu 4: (3.0 điểm) 1) Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi ( I ), ( K ) đường tròn nội tiếp tam giác ABH , ACH Đường thẳng KI cắt cạnh AB M cạnh AC N IH BH = a) Chứng minh KH AH b) Chứng minh AM = AN 2) Cho tam giác nhọn ABC , D điểm cạnh AB ( D ≠ A, B ), trung tuyến AM · · cắt CD E Chứng minh DBM + DEM = 1800 BC < AC Câu 5: (1.0 điểm) x > 1, y > Cho x, y số thực thay đổi thỏa mãn: x + y ≤ x4 y4 + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ( y − 1)3 ( x − 1)3 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ Đề thi thức Đáp án có 04 trang KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn thi: TỐN (Mơn Tốn chun) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 18 tháng năm 2012 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu Câu1 Ý Đáp án 1 1 2 a = x + ⇒ a2 = x2 + + ; b = y + ⇒ b = y + + ; y y x x https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Điểm 0,50 đ 10 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA (3,0 đ) 1a (1,0 đ) 1b (1,0 đ) (1,0 đ) · P nằm đường tròn đường kính IC tâm O1 ⇒ IPC = 900 · · · Mà IPC + CPK = 1800 ⇒ CPK = 900 · · Do đó: CPK + CBK = 1800 ⇒ Tứ giác CPKB nội tiếp đường tròn đường kính CK có tâm O2 trung điểm CK Trong (O1) có µA1 = Iµ2 0,25 0,25 0,25 µ =K ¶ Trong (O2) có B 1 0,25 ¶ = 900 ⇒ µ µ = 900 A1 + B Mà Iµ2 + K 1 ⇒ ∆ APB vng P Ta có: AI // BK ⇒ ABKI hình thang vng 0,25 0,25 ⇒ S ABKI = AB.( AI + BK ) 0,25 0,25 0,25 Vì A, B, I cố định nên AB, AI khơng đổi Do đó: SABKI lớn BK lớn · · Vì Cµ1 = Iµ1 IAC = CBK = 900 nên ∆ AIC ∼ ∆ BCK (g.g) ⇒ AI AC AC BC = ⇒ AI.BK = AC.BC ⇒ BK = BC BK AI 0,25 Do đó: BK lớn ⇔ AC.BC lớn Ta có: ( AC − BC ) ≥ ⇒ AC + BC ≥ AC.BC AC + BC AC.BC ≤ ⇔ AB AB ⇔ AC.BC ≤ ⇔ AC BC ≤ AB Vậy AC.BC lớn AC.BC = AB Mà AC + BC = AB không đổi ⇒ AC = BC = ⇔ C trung điểm AB Vậy SABKI lớn C trung điểm AB Từ giả thiết ta có: a, b, c ∈ (0; 2) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0,25 0,25 0,25 25 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA (1,0 đ) và: ab + 2c = ab + (a + b + c)c = (a + c)(b + c) Do đó, áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ab ab ab ab = ≤ + ÷ 2c + ab (a + c)(b + c) b + c c + a Tương tự: bc bc bc ≤ + ÷ bc + 2a a + b c + a ca ca ca ≤ + ÷ ca + 2b b + a c + b (1) 0,25 (2) (3) 0,25 Từ (1), (2), (3) ta có: P≤ ab ca bc ab bc ca + + + ÷+ ÷+ ÷ = (a + b + c) = b + c b + c c + a c + a a + b a + b 2 Dấu đẳng thức xảy a = b = c = Vậy P đạt giá trị lớn a = b = c = * Ghi chú: 0,25 - Nếu học sinh làm cách khác với cách nêu đáp án mà điểm tối đa cho phần (câu) tương ứng - Điểm toán tổng điểm câu khơng làm tròn Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA Đề thức (Đề thi gồm có: 01 trang) KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 Mơn: Tốn (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2010 Câu 1: (2,0 điểm) Giải phương trình: x + 3x − 140 = Khơng dùng máy tính, tính giá trị biểu thức: P = 70 + 4901 + 70 − 4901 Câu 2: (2,5 điểm) x đường thẳng (d): y = -1 Gọi M điểm thuộc (P) Tìm trục tung tất điểm cho khoảng cách từ M đến điểm khoảng cách từ M đến đường thẳng (d) Cho ba số không âm a, b, c có tổng Chứng minh rằng: b + c ≥ 16abc Chỉ rõ dấu đẳng thức xảy nào? Cho parabol (P): y = https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 26 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Câu 3: (1,5 điểm) 10 10 −x+ y = + y+ x+ + y 3 y Giải hệ phương trình sau (với x > 0, y < 0): x + y = 82 Câu4: (3,0 điểm) · Tam giác ABC có BAC = 1050 , đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt K cho KB = KC Gọi H chân đường cao hạ từ A tam giác ABC Chứng minh rằng: HA = HB Tính số đo góc ·ABC ·ACB Câu 5: (1,0 điểm) Ký hiệu [x] phần nguyên số thực x Tìm số thực x thoả mãn: x + 1 x − 1 16 x − + = - Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA (Đáp án gồm có 04 trang) KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn (Dùng cho thí sinh thi vào chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 20 tháng năm 2010 Hướng dẫn chung: * Lời giải nêu đáp án, nói chung, lời giải vắn tắt Khi làm bài, học sinh phải nêu đầy đủ xác suy luận điểm * Các câu hình học: Nếu học sinh khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm điểm Nếu học sinh thừa nhận kết ý để giải ý khơng chấm điểm ý * Các cách giải khác với cách nêu đáp án mà cho điểm tối đa phần (câu) tương ứng * Điểm toàn khơng làm tròn Câu ý Nội dung I x + 3x − 140 = ⇔ ( x − 5)( x + x + 28) = (2,0đ) (1,0đ) 87 ⇔ x − = (Vì x + x + 28 = x + ÷ + ≥ 0, ∀x ) 2 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm Điểm 0,5 0,25 27 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA ⇔ x=5 Vậy, phương trình có nghiệm nhất: x = Với P = 70 + 4901 + 70 − 4901 ta có: (1,0đ) P = 140 − 3P ⇔ P + 3P − 140 = Do P nghiệm phương trình: x + 3x − 140 = Theo ý 1, phương trình có nghiệm nhất: x0 = Vậy P = 70 + 4901 + 70 − 4901 = Giả sử E(0; y0) điểm trục tung (2,5đ) (1,5đ) 2 Do M ∈ (P) nên M x ; x ÷ khoảng cách từ M đến (d) là: 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 h= x + ; độ dài ME = x + x − y0 ÷ (dùng pitago để tính) 4 2 1 1 Từ đó: x + x − y0 ÷ = x + 1÷ với ∀x 4 4 1 ⇔ x − x y0 + y02 = x + với ∀x 2 1 ⇔ x − y0 ÷+ y02 − = với ∀x 2 Yêu cầu toán thoả mãn khi: 1 − y0 = ⇔ y0 = 2 2 y0 − = Vậy có điểm E thoả mãn toán: E(0; 1) Trước hết chứng minh: (x + y)2 ≥ 4xy với x, y (1,0đ) Đẳng thức xảy khi: x = y áp dụng ta có: (a + b + c)2 = [a +(b + c)]2 ≥ 4a(b + c) Đẳng thức xảy khi: a = b + c ⇔ a = (*) Do a + b + c = nên bất đẳng thức suy ra: ≥ 4a(b + c) ⇔ b + c ≥ 4a(b + c)2 (do b + c khơng âm) Nhưng lại có (b + c)2 ≥ 4bc Đẳng thức xảy khi: b = c (**) Suy ra: b + c ≥ 16abc 1 Từ (*) (**) có: đẳng thức xảy a = ; b = c = 1 10 10 −x+ y ≥ −x+ y Ta có: x + ≥ x + (1,5đ) y y 3 Suy ra: x + 0,25 0,25 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 10 10 + −x+ y ≥ + y+ y 3 y https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 28 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA x + ≥0 y Dấu "=" xảy khi: 10 − x + y ≥ x + y ≥ 10 −x+ y≥0 Do đó, hệ cho tương đương với: 82 x + y2 = x > 0, y HB, ·ABH > BAH ⇒ BAH < 450 ·ABH > 450 · · · Vì BAH + CAH = 1050 nên CAH > 600 · Tam giác AMH cân M nên ·AHM = HAM > 600 ⇒ ·AMH < 600 Do HA < MH = HB (mâu thuẫn) Tương tự, HA < HB ta gặp điều mâu thuẫn Vậy: HA = HB · Từ kết ý suy ∆AHB vuông cân H ⇒ BAH = ·ABH = 450 · ·ACB = 300 ⇒ HAC = 600 ⇒ Vậy: ·ABC = 450 , ·ACB = 300 1 y −1 4x − , ta có: y + + [ y ] = 2 3 1 y −1 Mặt khác: y + = [ y ] − [ y ] ⇒ [ y ] = 2 Đặt y = Đặt t = t = −1 y − 3t + 3t + ⇒ = t ⇒ t ≤ < t + ⇒ t = x = − Từ ta có: x = 16 Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 Mơn: Tốn Đề thức (Dành cho tất thí sinh thi vào THPT chuyên Lam Sơn) (Đề thi gồm có: 01 trang) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2010 Câu 1:(2.0 điểm) x − + x x −4 x x −6 Cho biểu thức: A = 10 − x : x −2+ x + 2 x + 2 Rút gọn biểu thức A Tìm x cho A < Câu 2:(2.0 điểm) Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x − x + = Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1 − x2 2x2 − x1 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 30 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HĨA Tính giá trị biểu thức: B = x1 − x2 + x2 − x1 x + 2y − x − 2y =1 20 + = x + y x − y Câu 3:(1.5 điểm) Giải hệ phương trình: Câu :(3.5 điểm) Cho hình vng ABCD,trên đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA.Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E AI cắt BE H Chứng minh rằng: AE = ID Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F (F ≠ A) Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB Câu 5:(1.0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là: BC = a, CA = b, AB = c chu vi p p p + + ≥9 p −a p −b p −c 2p.Chứng minh rằng: …………… Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC 2010 – 2011 ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn THANH HĨA (Đề thi gồm có: 01 trang) (Dành cho tất thí sinh thi vào THPT chuyên Lam Sơn) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng năm 2010 Câu ý Nội dung Điểm Cho biểu thức: x − + x x −4 x x −6 A= 1 10 − x : x −2+ x + 2 x + 2 Rút gọn biểu thức A Tìm x cho A < x > Điều kiện: x ≠ (2.0đ) 0.25 x 10 − x − + : x −2+ x + 2 x + 2 x x −4 x x −6 x x − + 10 − x − + = : x x − x + x − x + x +2 A= ( )( ) ( ) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.25 31 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA = ( ) x −2 x +2 + x −2 : x −2 x +2 ( )( ) = x +2 x > Với điều kiện: (*) x ≠ Ta có A < ⇔ ⇔ ( −6 x +2 = x −2 x +2 2− x )( ) 0.5 0.25 4 x > 2 x − < x < ⇔ 4⇔x< + Trường hợp 2: 2 − x > x < 2 x − > ⇔ + Trường hợp 1: 2 − x < 0.25 0< x< Kết hợp với điều kiện (*), ta có giá trị x cần tìm là: x > 0.25 Cho x1 x2 hai nghiệm phương trình: x − x + = Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm 2x1 − x2 (2.0đ) 2x2 − x1 Tính giá trị biểu thức: B = x1 − x2 + x2 − x1 0.25 Theo định lý Viét ta có: x + x = 7; x x = 2 Đặt y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 – x1 ta có y1 + y2 = x1 + x2 = 7; 0.25 y1.y2 = (2x1 – x2)( 2x2 - x1) = 5x1.x2 - 2(x12 +x22) = 5x1x2 - 2[(x1 + x2)2 - 2x1x2] = 9x1x2 - 2(x1 + x2)2 = 9.3 - 2.72 = -71 Vậy,phương trình cần lập là: y2 - 7y -71 = Phương trình y2 - 7y -71 = có hai nghiệm là: + 37 − 37 ; y2 = 2 Ta có B = x1 − x2 + x2 − x1 = y1 + y2 y1 = = + 37 − 37 + 2 Giải hệ phương trình: Đ/k: x ≠ ±2 y = + 37 37 − + = 37 2 − x + 2y x − 2y =1 20 + = x + y x − y https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 (1.5đ) 32 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Đặt u = u − v = , v= ta hệ: x + 2y x − 2y 5u + 3v = 1 u = ⇔ v = − x + 2y = x + y = ⇔ ⇔ Suy : 1 x − y = − =− x − y 0,5 0,5 x = (Thoả mãn đ/k) y = x = Vậy hệ phương trình có nghiệm: y = 0.5 Cho hình vng ABCD,trên đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA.Đường thẳng qua I vuông góc với BD cắt AD E AI cắt BE H (3.5đ) Chứng minh rằng: AE = ID Đường tròn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F (F ≠ A) Chứng minh rằng: DF.DA = EH.EB Tam giác ABI cân B nên · · BAI = BIA · · suy EAI = EIA hay EA=EI 0,5 (1) Xét tam giác vng · DIE có: EDI = 450 nên tam giác DIE vng cân đỉnh I,do IE = ID 0,5 (2) Từ (1) (2) suy 0,5 AE = ID (đpcm) Do EA = EI EI ⊥ BD nên đường tròn (E) qua I nhận BD làm 0,5 · · tiếp tuyến,từ có: DAI = DIF Xét hai tam giác đồng dạng AID IFD có: DA ID ⇔ DA.DF = ID2, = DI FD mặt khác ID = IE nên DA.DF = IE2 (1) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.25 0,5 33 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Do tam giác ABI cân B nên EB ⊥ AI Xét hai tam giác vng đồng dạng IHE BIE có: IE EH = EB IE ⇔ EH.EB = IE2 (2) 0,5 Từ (1) (2) suy ra: DF.DA = EH.EB (đpcm) 0,25 Cho tam giác ABCcó độ dài ba cạnh là:BC = a, CA = b, (1.0đ) AB = c chu vi 2p p p p + + ≥9 p −a p −b p −c 1 + ≥ Trước tiên,ta chứng minh bất đẳng thức phụ: x y x+ y Chứng minh rằng: (với x > 0; y > ) Thật vậy,bất đẳng thức tương đương với: ( x + y) ≥ xy ⇔ ( x − y ) ≥ (đúng) Vì p − a > 0; p − b > nên áp dụng bất đẳng thức ta có: 1 + ≥ p −a p −b 1 + ≥ tương tự: p −b p −c 1 + ≥ p−c p−a 1 + + đó: p−a p−b p−c 4 = p − (a + b) c a b 1 ≥ 2( + + ) a b c p p p 1 1 + + ≥ + + ÷( a + b + c ) Suy ra: p −a p−b p −c a b c a b c a b c = + + + + + + ≥9 b a a c c b 0,25 0,5 0,25 (Đpcm) Lưu ý: * Các cách giải khác với cách nêu đáp án mà cho điểm tối đa phần (câu) tương ứng * Điểm tồn khơng làm tròn Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ Đề thức KỲ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN LAM SƠN NĂM HỌC: 2009 - 2010 MƠN: TỐN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 34 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Ngày thi: 19 tháng năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm) =7 x2 1 Tính giá trị biểu thức: A = x3 + B = x5 + x x 1 + 2− = y x Giải hệ phương trình: + 2− = y x Cho số x ( x ∈ R; x > 0) thoả mãn điều kiện: x2 + Câu 2: (2,0 điểm) Cho phương trình: ax + bx + c = ( a ≠ ) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện: ≤ x1 ≤ x2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: 2a − 3ab + b Q= 2a − ab + ac Câu 3: (2,0 điểm) Giải phương trình: x−2 + y + 2009 + z − 2010 = ( x + y + z) 2 Tìm tất số nguyên tố p để 4p2 +1 6p2 +1 số nguyên tố Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Một đường thẳng qua A , cắt cạnh BC M cắt đường thẳng CD N Gọi K giao điểm đường thẳng EM BN Chứng minh rằng: CK ⊥ BN Cho đường tròn (O) bán kính R=1 điểm A cho OA= Vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Một góc xOy có số đo 45 , có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB D cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC E Chứng minh rằng: 2 − ≤ DE < Câu 5: (1,0 điểm) Cho biểu thức P = a + b + c + d + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P ≥ ……………… Hết …………… https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 35 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 CHUYÊN LAM SƠN THANH HOÁ NĂM HỌC 2009 - 2010 ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn: Tốn ( Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán) Ngày thi: 19 tháng năm 2009 (Đáp án gồm 04 trang) Câu ý Nội dung Điểm x = (do x > 0) x 1 1 ⇒ 21 = (x + )(x2 + ) = (x3 + ) + (x + ) ⇒A = x3 + =18 x x x x x 1 1 ⇒ 7.18 = (x2 + )(x3 + ) = (x5 + ) + (x + ) x x x x ⇒ B = x5+ = 7.18 - = 123 x Từ giả thiết suy ra: (x + )2 = ⇒ x + Từ hệ suy > 1 x + 2− 1 = + 2− y x y (2) b c , x1.x2 = a a b b − + ÷ 2a − 3ab + b a a ( Vì a ≠ 0) Khi Q = = b c 2a − ab + ac 2− + a a 2 + 3( x1 + x2 ) + ( x1 + x2 ) = + ( x1 + x2 ) + x1 x2 2 Vì ≤ x1 ≤ x2 ≤ nên x1 ≤ x1 x2 x2 ≤ ⇒ x12 + x2 ≤ x1 x2 + ⇒ ( x1 + x2 ) ≤ 3x1 x2 + Theo Viét, ta có: x1 + x2 = − Do Q ≤ 0.25 0.25 0.25 0.5 − > − nên (2) xảy x = y x y y x vào hệ ta giải x = 1, y = Nếu 0.25 + 3( x1 + x2 ) + x1 x2 + =3 + ( x1 + x2 ) + x1 x2 Đẳng thức xảy x1 = x2 = x1 = 0, x2 = https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 36 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA b − a = c = c = −b = 4a a ⇔ b = −2a Vậy max Q = Tức − b = c = a c = a 0.25 ĐK: x ≥ 2, y ≥ - 2009, z ≥ 2010 0.25 Phương trình cho tương đương với: x + y + z = x − +2 y + 2009 +2 z − 2010 ⇔ ( x − - 1)2 + ( y + 2009 - 1)2 + ( z − 2010 - 1)2 = x−2 - = y + 2009 - = 0.25 0.25 x=3 ⇔ y = - 2008 0.25 z − 2010 - = z = 2011 Nhận xét: p số nguyên tố ⇒ 4p2 + > 6p2 + > Đặt x = 4p2 + = 5p2- (p - 1)(p + 1) y = 6p2 + ⇒ 4y = 25p2 – (p - 2)(p + 2) 0.25 Khi đó: - Nếu p chia cho dư dư (p - 1)(p + 1) chia hết cho ⇒ x chia hết cho mà x > ⇒ x không số nguyên tố 0.25 - Nếu p chia cho dư dư (p - 2)(p + 2) chia hết cho ⇒ 4y chia hết cho mà UCLN(4, 5) = ⇒ y chia hết cho mà y>5 ⇒ y không số nguyên tố 0.25 Vậy p chia hết cho 5, mà p số nguyên tố ⇒ p = Thử với p =5 x =101, y =151 số nguyên tố Đáp số: p =5 0.25 https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 37 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA A I B K E M D C N Trên cạnh AB lấy điểm I cho IB = CM Ta có ∆ IBE = ∆ MCE (c.g.c) Suy EI = EM , ∠MEC = ∠BEI ⇒ ∆ MEI vuông cân E Suy ∠EMI = 450 = ∠BCE Mặt khác: IB CM MN = = ⇒ IM // BN AB CB AN ∠BCE = ∠EMI = ∠BKE ⇒ tứ giác BECK nội tiếp ∠BEC + ∠BKC = 180 Lại có: ∠BEC = 90 ⇒ ∠BKC = 90 Vậy CK ⊥ BN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 O B x x D A M y E C Vì AO = , OB = OC = ∠ ABO=∠ACO=900 suy OBAC hình vng Trên cung nhỏ BC lấy điểm M cho ∠DOM = ∠DOB ⇒ ∠MOE =∠COE Suy ∆ MOD = ∆ BOD ⇒ ∠DME = 900 ∆ MOE = ∆ COE ⇒∠EMO = 900 suy D, M, E thẳng hàng, suy DE tiếp tuyến (O) Vì DE tiếp tuyến suy DM = DB, EM = EC Ta có DE < AE + AD ⇒ 2DE < AD + AE + BD + CE = suy https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 0.25 0.25 0.25 38 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA DE < Đặt DM = x, EM = y ta có AD2 + AE2 = DE2 ⇔ (1 - x)2 + (1 - y)2 = (x + y)2 ⇔ 1- (x + y) = xy ≤ ( x + y ) suy DE2 + 4.DE – ≥ 0.25 0.25 ⇔ DE ≥ 2 − Vậy 2 − ≤ DE < 0.25 Ta có: (ac + bd ) + (ad − bc) = a c + 2abcd + b d + a d − 2abcd + b c = a ( c + d ) + b ( d + c ) = ( a + b )( c + d ) Vì ad − bc = nên + (ac + bd ) = ( a + b )( c + d ) (1) 0.25 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho hai số không âm 2 2 ( a + b ) ; ( c + d ) có: P = a + b + c + d + ac + bd ≥ ( a + b )( c + d ) + ac + bd ⇒ P ≥ + ( ac + bd ) + ac + bd (theo (1)) Rõ ràng P > vì: + ( ac + bd ) > ac + bd Đặt x = ac + bd ,ta có: P ≥ + x + x ⇔ P ≥ 4(1 + x ) + x + x + x = (1 + x ) + x + x + x + = ( ) + x2 + 2x + ≥ 0.25 0.25 Vậy P ≥ 0.25 Hết https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 39 ... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 18 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Câu KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA NĂM... https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 14 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ KÌ THI VÀO LỚP 10 CHUN LAM SƠN NĂM HỌC 201 2-2 013... (P): y = https://123doc.org/trang-ca-nhan-3408296-loc-tin-tai.htm 26 ĐỀ THI TOÁN - TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN – THANH HÓA Câu 3: (1,5 điểm) 10 10 −x+ y = + y+ x+ + y 3 y Giải