Ts10_Chuyên Trần Hưng Đạo-Bình Thuận (2010-2011) (de+da)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học: 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán ( hệ số 2) ( Dành cho lớp chuyên Toán ) Thời gian : 150 phút ( không kể thời gian phát đề ) ———————————— ĐỀ : Bài 1: ( 2 điểm) 1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và 2 2 2 2 2 2 4 2 ; 9 2 ; 16 2x y xy x z xz y z yz+ = − + = − + = − 2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S = 2 3 3 2 6 n n n + + là một số tự nhiên Bài 2: ( 2 điểm) Cho hai số a , b thỏa : 2 2 2 1 2 4 4 b a a + + = . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất Bài 3: ( 2 điểm) 1/ Cho a > 0 . Chứng minh rằng : 1 2a a + ≥ 2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a 1 , a 2 , … , a n thỏa mãn các đẳng thức a 1 + a 2 + … + a n = 2 và 1 2 1 1 1 2 n a a a + + + = Bài 4: ( 3 điểm) Cho đường thẳng ( d ) cố định và điểm A cố định không thuộc ( d ) . Hai điểm B, C thay đổi trên ( d ) sao cho tam giác ABC vuông tại A . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên ( d ); E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H lên AB và AC. 1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O ) . 2/ Gọi M, N là giao điểm của đường thẳng AH với (O) . Chứng minh : a/ AM.AN = AE.AB b/ Hai điểm M, N cố định Bài 5: ( 1 điểm) Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều. —Hết— Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh: …………………… Số báo danh: ………… HƯỜNG DẪN GIẢI Bài 1: 1/ Tìm tất cả các bộ ba số thực ( x, y, z ) sao cho x + y + z > 2 và 2 2 2 2 2 2 4 2 ; 9 2 ; 16 2x y xy x z xz y z yz+ = − + = − + = − Giải: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 9 16 2 x y x z y z x y z  + =   + =  ⇔   + =  + + >   2 3 4 2 x y x z y z x y z  + =  + =   + =   + + >  ⇔ 3 1 9 ; ; ; 2 2 2 1 3 5 ; ; ; 2 2 2 x y z x y z  = − = − =    = = =   2/ Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì S = 2 3 3 2 6 n n n + + là một số tự nhiên Giải: S = ( 1)( 2) 6 n n n+ + M 6 , (chú ý rằng : ( 1)( 2)n n n+ + là 3 số tự nhiên liên tiếp ) Bài 2: Cho hai số a , b thỏa : 2 2 2 1 2 4 4 b a a + + = . Xác định a và b để tích a.b nhỏ nhất Giải: Ta có : 2 2 1 a a + ≥ 2 ; 2 2 2 2 2 4 4 b a b a + ≥ (Cô si) Vậy : 2 2 2 1 2 4 b a a + + ≥ 2. 2 2 2 4 a b 1 2 2 2 2 ab ab ab⇔ ≥ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ Suy ra : Min (ab) = -2 ; khi x = 1 ; y = -2 hoặc x = -1 ; y = 2 Bài 3: 1/ Cho a > 0 . Chứng minh rằng : 1 2a a + ≥ ( tự giải ) 2/ Với giá trị nào của n nguyên dương thì các số dương a 1 , a 2 , … , a n thỏa mãn các đẳng thức a 1 + a 2 + … + a n = 2 và 1 2 1 1 1 2 n a a a + + + = Giải: Ta có : (a 1 + a 2 + … + a n ) ( 1 2 1 1 1 n a a a + + + ) = 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . .x x x x x x   ≥ + + +  ÷  ÷   = (1 + 1 + … + 1) 2 = n 2 ( Bunhiacopki ) Vậy : n 2 ≤ 4 ⇒ n ≤ 2 ⇒ n = 1; 2 (do n ∈ Z + ) - Nếu n = 1 , ta có : 1 1 2 1 2 x x =   ⇔  =   Hệ vô nghiệm - Nếu n = 2, ta có : 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 x x x x x x x x + =  + =   ⇔   + = =    Vậy x 1 , x 2 là nghiệm của pt : x 2 – 2x +1 = 0 ⇔ x = 1 Kết luận chung : n = 1 Bài 4: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình ) Giải: 1/ Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp trong đường tròn ( O ) . - Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật ⇒ · · · · àHAF AFE v HAF ABH= = ( cùng phụ · BAH ) ⇒ · · HAF ABH= ⇒ tứ giác BEFC nội tiếp 2/ Chứng minh : a/ AM.AN = AE.AB Xét ∆ AME và ∆ ABN ; có · BAM chung ; · · AEM ANB= ( cùng bù · BEM ) b/ Hai điểm M, N cố định Để ý : AM.AN = AE.AB =AF.AC = HB.HC = AH 2 Và đường thẳng ( d ) cố định, điểm A cố định , AH không đổi , đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng ( d ) là cố định Bài 5: ( Đọc giả vui lòng vẽ hình ) Tam giác ABC có độ dài các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Chứng minh ABC là tam giác đều. Giải: Gọi S là d.tích tam giác ABC , a, b, c là độ dài các cạnh , x , y , z là các đường cao tương ứng , r là bán kính đường tròn nội tiếp , r =1. Ta có : 2.S = ax =by = cz = ar + br + cr = a + b + c Vậy : 1 1 1 1 a b c x y z a b c a b c a b c + + = + + = + + + + + + Không mất tính tổng quát , giả sử x y z≤ ≤ khi đó 1 = 1 1 1 x y z + + 3 3x x ≤ ⇒ ≤ (1) Ta có : b + c > a ⇒ x = 1 2 b c a + + > (2 ) Từ (1) và (2 ) : x = 3 Suy ra : x = y = z = 3 ; hay tam giác ABC đều . . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO Năm học: 2010 – 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn : Toán ( hệ số 2) ( Dành cho lớp chuyên Toán ) Thời gian :