Toán Cao cấp C 1 docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOÁN CAO CẤP C1 (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mục lục I. Các kiến thức cơ bản 1. Tậphợp 1 1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cácphép toán trêntập hợp 1 2. ánhxạ 2 2.1 Cácđịnh nghĩa 2 2.2 ảnhvà nghịchảnh 3 2.3 Đơnánh-Toàn ánh-Song ánh 4 3. Quanhệtrêntậphợp 6 3.1 Quan hệ hai ngôi 6 3.2 Quan hệ t-ơngđ-ơng 6 3.3 Quan hệ thứtự 7 4. Cáccấutrúcđạisố 8 4.1 Phép toán hai ngôi 8 4.2 Cáccấu trúcđại số cơbản 10 5. Tr-ờngsốphức 8 5.1 Địnhnghĩa sốphức 11 5.2 Biểudiễn số phức 15 6. Đathức 15 6.1 Vành đa thức mộtbiến 15 6.2 Phép chia Euclid 16 6.3 Nghiệm của đa thức 20 6.4 Sơ đồ Horner . . . . . . . .20 6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức . . . . . . . .20 6.6 Đa thứctrêntr-ờngsố thực 21 6.7 Đa thứctrêntr-ờngsố hữutỉ 22 6.8 Giải ph-ơng trình đại số bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Phânthức 27 7.1 Tr-ờng các phân thức 27 7.2 Phân tíchphâh thức 28 II. Đại số tuyến tính 1. Matrận 31 1.1 Địnhnghĩa matrận 31 1.2 Cácma trậnđặc biệt 31 1.3 Cácphép toán trênmatrận 33 1.4 Biếnđổi sơcấp trên matrận 36 2. Địnhthức 37 2.1 Hoán vị 37 2.2 Nghịch thế-Ký số 37 2.3 Địnhnghĩa địnhthức 38 2.4 Cáctính chấtcủa địnhthức 40 2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Hạng của ma trận 47 2.8 Hệ ph-ơngtrìnhtuyếntính 48 3. Khônggianvector 53 3.1 Địnhnghĩa vàvídụ 53 3.2 Khônggian vectorcon 55 3.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.4 Cơsở- Số chiều-Tọađộ 58 4. Tổng, tích, th-ơng các không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60 4.2 Tích cáckhônggian vector 62 4.3 Khônggian th-ơng 63 5. ánhxạ tuyếntính 64 5.1 ánhxạ tuyếntính 64 5.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3 Đẳng cấu tuyến tính 68 5.4 ánhxạ tuyếntínhvà matrận 68 6. Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 6.1 Đổicơ sở -Côngthức đổitọađộ 70 6.2 Ma trậnđồngdạng -Chéo hóa 71 6.3 Giá trịriêng-Vectorriêng 72 6.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 72 6.5 Thuật tóanchéo hóa 73 6.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.1 Dạng song tuyến tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 7.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 7.3 Dạng toàn ph-ơng 76 7.4 Dạng chính tắc của dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .77 7.5 Dạng xác định 79 III. Phép tính vi phân hàm một biến thực 1. Sốthực 81 1.1 Số hữutỉ 81 1.2 Số thực 82 1.3 Cácphép tóan số học 83 1.4 Cận trêncậnd-ới 83 2. Dãysốthực 84 2.1 Kháiniệmdãy số 84 2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 84 2.3 Giới hạndãy số 85 2.4 Cáctính chấtvàphép toán 86 2.5 Cácđiều kiệnhộitụ 87 2.6 Số e vàlogarithmtựnhiên 88 3. Hàmmộtbiếnthực 89 3.1 Kháiniệmhàm số 89 3.2 Cácphép toán 89 3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 91 3.5 Cáchàm sơ cấp 92 4. Giớihạnhàmsố 93 4.1 Kháiniệmgiới hạnhàmsố 93 4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 4.3 Giới hạnmộtphía 97 4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 4.5 Vô cùngbé, vôcùng lớn 98 5. Hàmliêntục 99 5.1 Kháiniệmhàm liêntục 100 5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.3 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6. Đạohàm 102 6.1 Kháiniệmđạo hàm 102 6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 7. Vi phân 106 7.1 Địnhnghĩa viphân 106 7.2 ứng dụngcủa viphân 106 7.3 Cácqui tắctínhviphân 107 7.4 Đạo hàm và viphâncấp cao 107 8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.2 Khai triểnTaylor 112 9. ứngdụngđạo hàm đểkhảo sáthàm số 113 9.1 Tínhđơn điệu-Cực trị 113 9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 115 IV. Phép tính tích phân hàm một biến 1. Nguyênhàm-Tíchphân bấtđịnh 117 1.1 Nguyên hàm 117 1.2 Bảng tính tích phân các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.3 Cáctính chất 119 1.4 Các ph-ơng pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2. Tích phân một số lớp hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 2.1 Tích phâncác hàmhữu tỉ 120 2.2 Tích phâncác hàmvôtỉ 123 2.3 Tích phân các hàm l-ợng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3. Tíchphânxácđịnh 126 3.1 Bài toán diện tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .126 3.2 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.3 Cáclớp hàmkhả tích 127 3.4 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 3.5 Công thức Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4. Tíchphânsuy rộng 133 4.1 Tích phânsuy rộngloại 1 133 4.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.3 Sự hộitụtuyệt đối 136 4.4 Tích phânsuy rộngloại 2 138 V. Phép tính vi phân hàm nhiều biến 1. Không gian R n 141 1.1 Không gian R n 141 1.2 Tích vô h-ớng, chuẩn, khoảng cách trong R n 142 1.3 Dãy trong R n 142 1.4 Các tập hợp trong R n 144 2. Hàmnhiềubiến 146 2.1 Hàm nhiều biến 146 2.2 Giới hạnhàmnhiều biến 147 2.3 Tínhliên tục 151 3. Đạohàmvàviphân 154 3.1 Đạo hàm riêng 154 3.2 Sự khảvi 155 3.3 Cáccông thứccơ bản 158 3.4 ý nghĩacủa sự khảvi 159 3.5 Định lý giá trị trung bình, Định lý phần gia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4. Đạohàmvàviphân cấp cao 162 4.1 Đạo hàm riêngcấp cao 162 4.2 Côngthức Taylor 165 5. Hàmng-ợc,hàmẩn 167 5.1 Định lý hàm ng-ợc địa ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 5.2 Địnhlý hàmẩn 171 6. Cựctrịhàmnhiềubiến 174 6.1 Cực trị 174 6.2 Cực trịcóđiềukiện 176 VI. Tích phân bội 1. Tíchphântrênhìnhhộp 181 1.1 TồngRiemann 181 1.2 TổngDarboux 183 1.3 Thể tíchkhông 185 2. Tíchphântrêntập giớinội 186 2.1 Tập đo đ-ợc 186 2.2 Tích phântrêntập giớinội 188 3. Cáccôngthứctínhtíchphân 189 3.1 Côngthức Fubini 189 3.2 Côngthức đổibiến 192 VII. Tích phân đ-ờng - Tích phân mặt 1. Tíchphânđ-ờng 195 1.1 Đ-ờngcong 195 1.2 Tích phânđ-ờngloại 1 198 1.3 ý nghĩa của tích phân đ-ờng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 1.4 Các tính chất của tích phân đ-ờng loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1.5 Tích phânđ-ờngloại 2 202 1.6 Các tính chất của tích phân đ-ờng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 1.7 ý nghĩa của tích phân đ-ờng loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199 2. Tíchphânmặt 205 2.1 Mặt cong 205 2.2 Tích phânmặt loại1 209 2.3 ý nghĩa của tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 2.4 Tích phânmặt loại2 213 3. Métsèc«ng thøc 216 3.1 C¸c kh¸i niÖm trong lý thuyÕt tr-êng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 3.2 C«ngthøc Green 217 3.3 C«ngthøc Ostrogradsky 221 3.4 C«ngthøc Stokes 223 1 I. Một số kiến thức cơ bản 1 Tập hợp 1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định. Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó A = {a 1 ,a 2 , ,a n }, hai là mô tả đặc tính của các phần tử thuộc tập hợp A = {a | a có tính chất E}. Nếu a là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a A. Nếu a không là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a/ A. Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là . Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là tập con của X, ký hiệu A X. Rõ ràng ta có X với mọi tập hợp X. Các tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2 X , và gọi là tập hợp các tập con của X. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A B và B A. Nếu A B và A = B, thì ta nói A là tập con thực sự cuả B, khi đó ta viết A B. 1.2 Các phép toán trên tập hợp Định nghĩa 1. Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nếu A B = , thì ta nói A và B rời nhau. 2 Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nh-ng không thuộc B. Nếu A là tập con của X thì hiệu X \ A gọi là phần bù của A trong X. Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ì B,là tập hợp gồm tất cả các cặp (x, y) với x A và y B. Mệnh đề 1. Cho A,B,C,X là các tập hợp bất kỳ. Khi đó 1) A, A A. 2) Nếu A B và B C, thì A C. 3) (A B) = (B A), (A B) = (B A). 4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). 5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C). 6) Qui tắc De Morgan X \(A B)=(X \A) (X \B),X\(A B)=(X \ A) (X \B). Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên tập hợp. Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan. Thật vậy ta có x X \ ( A B) x X và x/ ( A B) x X và (x/ A và x/ B) (x X và x/ A) và (x X và x/ B) x ( X \A) và x (X \B) x ( X \A) (X \B). 2 ánh xạ 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x X với duy nhất một phần tử y Y . Phần tử y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f(x),vàx đ-ợc gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp X đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau f : X Y x y = f(x). [...]... P1 , P1 = 0 ã P0 + 1 ã P1 Giả sử () đúng đến k 1, t c là ta c Pk2 = Uk2 P0 + Vk2 P1 , Pk1 = Uk1 P0 + Vk1 P1 () 19 Khi đó Pk = Pk2 Qk1 Pk1 = Uk2 P0 + Vk2 P1 Qk1 (Uk1 P0 + Vk1 P1 ) = (Uk2 Qk1 Uk1 )P0 + (Vk2 Qk1 Vk1 )P1 ) = U k P 0 + Vk P 1 Từ đó, gcd(P0 , P1 ) = Pn = Un P0 + Vn P1 Chú ý rằng U = Un , V = Vn đ- c tính bởi c c công th c truy hồi U0 = 1 U1 = 0 , Un = Un2 Qn1 Un1 V0 = 0 V1 = 1. .. b c 1 nh- sau f (x) = an (x c1 )m1 (x c2 )m2 ã ã ã (x cs )ms , trong đó an = lcf (x), m1 + m2 + ã ã ã + cs = n Chứng minh Theo Định lý c bản, f (x) c nghiệm c1 C Định lý Bézout suy ra f (x) = (x c1 )f1(x) Lập luận t-ơng tự nh- trên cho đa th c f1(x) nếu degf1 (x) = n 1 1 C tiếp t c cho đến b c 0, ta đ- c f (x) = (x c1 )(x c2 ) ã ã ã (x cn )A, với A C Nhóm c c thừa số giống nhau và viết chúng... c ch chứng minh kh c nhau c a Định lý c bản, nh-ng ta sẽ không trình bày chúng ở đây  21 Định lý 4 (Định lý c bản c a đại số) Mọi đa th c f (x) b c n 1 trên tr-ờng số ph c đều c nghiệm ph c Mệnh đề 10 Mọi đa th c f (x) b c n 1 trong C[ x] đều c đúng n nghiệm ph c kể c bội (t c là mỗi nghiệm đ- c tính một số lần bằng bội c a nó) Nói c ch kh c, đa th c f (x) đ- c phân tích thành c c thừa số b c. .. thuận tiện c a c ch biểu diễn số ph c d-ới dạng l-ợng gi c Mệnh đề 7 a) | z1z2 |=| z1 || z2 |; Arg(z1z2 ) = Argz1 + Argz2 n b) r(cos + i sin ) = rn (cos n + i sin n) (C ng th c Moivre) Chứng minh a) Giả sử z1 = r1(cos 1 + i sin 1) , z2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ) Khi đó z1, z2 = r1 r2 (cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 + i(sin 1 cos 2 + cos 1 sin 2)) = r1 r2 (cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2 )), 14 2 Từ đó ta c khẳng... phải chứng minh 2 6.6 Đa th c trên tr-ờng số th c Mệnh đề 11 Cho đa th c f (x) R[x] Khi đó 1) Nếu số ph c c là nghiệm c a f (x), thì số ph c liên hợp c cũng là nghiệm c a f (x) 2) Nếu degf (x) = n, thì f (x) phân tích đ- c thành tích c c đa th c b c 1 và đa th c b c 2 nh- sau f (x) = an (x c1 )m1 ã ã ã (x cs )ms (x2 + p1 x + q1 )n1 ã ã ã (x2 + pr x + qr )nr , trong đó an = lcf (x), ci (i = 1, ... tất c c c - c của hệ số dẫn đầu an , p rồi kiểm tra c c số c phải là nghiệm c a f (x) hay không q 6.8 Giải ph-ơng trình bằng c n th c Một ph-ơng trình b c n 1 với hệ số ph c an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 = 0, (ai C) , gọi là giải đu c bằng c n th c nếu c c nghiệm c a nó c thể biểu diễn qua c c hệ số c a ph-ơng trình bằng c c phép toán c ng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai c n 23 6.8 .1 Ph-ơng... a) Nếu C( x) | D(x) và D(x) | C( x) thì C( x) = aD(x), với a k Nh- vậy c c - c chung lớn nhất c a hai đa th c sai kh c nhau một đa th c b c 0 b) Nếu F = Q ã G + R thì gcd(F, G) = gcd(G, R) Nhận xét này cho ta c ch tìm - c chung lớn nhất c a hai đa th c bằng c ch th c hiện liên tiếp c c phép chia Định lý 2 Cho hai đa th c P0 (x), P1 (x) bất kỳ trong k[x] Khi đó a) Ư c chung lớn nhất c a P0 (x) và P1 (x)... đảo) c c số ph c d-ới dạng đại số nh- số th c với chú ý là i2 = 1 5.2.2 Dạng l-ợng gi c của số ph c Có một sự t-ơng ứng một-một giữa tập tất c c c số ph c z = (a, b) với tập c c điểm M(a, b) hay vector OM = (a, b) trong mặt phẳng toạ độ Descartes Oxy c n gọi là mặt phẳng ph c, với e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) là hai vector c sở, tr c hoành gọi là tr c th c, tr c tung gọi là tr c ảo (H .1) Trong c ch... 1, , r) là c c tam th c b c hai không c nghiệm th c 3) Nếu degf (x) = n là lẻ, thì f (x) c nghiệm th c Chứng minh 1) Giả sử f (x) = a0 + a1x + a2x2 + ã ã ã + an xn R[x] Khi đó với mọi c C ta c f (c) = a0 + a 1c + a2 c2 + ã ã ã + an cn = a0 + a1 c + a 2c2 + ã ã ã + an cn = f () c Từ đó f (c) = 0 khi và chỉ khi f () = 0 c 2) Theo định lý phân tích đa th c trên tr-ờng số ph c f (x) = an (x c1 ... F Ta chỉ c n chứng minh cho tr-ờng hợp : F = 0 và degF degG B- c 1: Đặt R1 = F lcF degF degG x G ( degR1 < degF ) lcG Nếu degR1 < degG, thì đã đã chứng minh xong Q= lcF degF degG x , R = R1 lcG Nếu degR1 degG, thì đi đến b- c 2 B- c 2: Đặt R2 = R1 lcR1 degR1 degG x G ( degR2 < degR1 ) lcG Nếu degR2 < degG thì đã chứng minh xong Q= lcF degF degG lcR1 degR1 degG x x + , R = R2 lcG lcG 17 Nếu . .16 7 5.2 Địnhlý hàmẩn 17 1 6. C ctrịhàmnhiềubiến 17 4 6 .1 C c trị 17 4 6.2 C c tr c điềukiện 17 6 VI. Tích phân bội 1. Tíchphântrênhìnhhộp 18 1 1. 1 TồngRiemann 18 1 1. 2 TổngDarboux 18 3 1. 3 Thể tíchkhông. bấtđịnh 11 7 1. 1 Nguyên hàm 11 7 1. 2 Bảng tính tích phân c c hàm sơ c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 8 1. 3 C ctính chất 11 9 1. 4 C c ph-ơng pháp tính tích phân. Phânth c 27 7 .1 Tr-ờng c c phân th c 27 7.2 Phân tíchphâh th c 28 II. Đại số tuyến tính 1. Matrận 31 1 .1 Địnhnghĩa matrận 31 1.2 C cma trậnđ c biệt 31 1.3 C cphép toán trênmatrận 33 1. 4 Biếnđổi s c p