Toán Cao cấp B 1 docx

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT KHOA TOÁN - TIN HỌC Y  Z ĐỖ NGUYÊN SƠN - TRỊNH ĐỨC TÀI TOÁN CAO CẤP B1 (Bài Giảng Tóm Tắt) Lưu hành nội bộ Y Đà Lạt 2008 Z Mục lục I. Các kiến thức cơ bản 1. Tậphợp 1 1.1 Tập hợp-Tập con- Tập hợp bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Cácphép toán trêntập hợp 1 2. ánhxạ 2 2.1 Cácđịnh nghĩa 2 2.2 ảnhvà nghịchảnh 3 2.3 Đơnánh-Toàn ánh-Song ánh 4 3. Quanhệtrêntậphợp 6 3.1 Quan hệ hai ngôi 6 3.2 Quan hệ t-ơngđ-ơng 6 3.3 Quan hệ thứtự 7 4. Cáccấutrúcđạisố 8 4.1 Phép toán hai ngôi 8 4.2 Cáccấu trúcđại số cơbản 10 5. Tr-ờngsốphức 8 5.1 Địnhnghĩa sốphức 11 5.2 Biểudiễn số phức 15 6. Đathức 15 6.1 Vành đa thức mộtbiến 15 6.2 Phép chia Euclid 16 6.3 Nghiệm của đa thức 20 6.4 Sơ đồ Horner . . . . . . . .20 6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức . . . . . . . .20 6.6 Đa thứctrêntr-ờngsố thực 21 6.7 Đa thứctrêntr-ờngsố hữutỉ 22 6.8 Giải ph-ơng trình đại số bằng căn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 7. Phânthức 27 7.1 Tr-ờng các phân thức 27 7.2 Phân tíchphâh thức 28 II. Ma trận và định thức 1. Matrận 31 1.1 Địnhnghĩa matrận 31 1.2 Cácma trậnđặc biệt 31 1.3 Cácphép toán trênmatrận 33 1.4 Biếnđổi sơcấp trên matrận 36 2. Địnhthức 37 2.1 Hoán vị 37 2.2 Nghịch thế-Ký số 37 2.3 Địnhnghĩa địnhthức 38 2.4 Cáctính chấtcủa địnhthức 40 2.5 Các ph-ơng pháp tính định thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.6 ádụng định thức tính ma trận nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.7 Hạng của ma trận 47 2.8 Hệ ph-ơngtrìnhtuyếntính 48 III. Không gian vector 1. Khônggianvector 55 1.1 Địnhnghĩa vàvídụ 55 1.2 Khônggian vectorcon 57 1.3 Không gian con sinh bởi một tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 1.4 Cơsở- Số chiều-Tọađộ 58 2. Tổng, tích, th-ơng các không gian vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1 Tổng các không gian con- Tổng trực tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 2.2 Tích cáckhônggian vector 64 2.3 Khônggian th-ơng 65 3. ánhxạ tuyếntính 66 3.1 ánhxạ tuyếntính 66 3.2 ảnh và nhân của ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.3 Đẳng cấu tuyến tính 70 3.4 ánhxạ tuyếntínhvà matrận 70 4. Phép biến đổi tuyến tính và chéo hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.1 Đổicơ sở -Côngthức đổitọađộ 72 4.2 Ma trậnđồngdạng -Chéo hóa 73 4.3 Giá trịriêng-Vectorriêng 74 4.4 Tiêu chuẩn chéo hóa 74 4.5 Thuật tóanchéo hóa 75 4.6 Thuật tóan chéo hóa ánh xạ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.1 Dạng song tuyến tính đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 Ma trận biểu diễn dạng song tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3 Dạng toàn ph-ơng 78 5.4 Dạng chính tắc của dạng toàn ph-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 5.5 Dạng xác định 81 IV. Phép tính vi phân hàm một biến thực 1. Sốthực 83 1.1 Số hữutỉ 83 1.2 Số thực 84 1.3 Cácphép tóan số học 85 1.4 Cận trêncậnd-ới 85 2. Dãysốthực 86 2.1 Kháiniệmdãy số 86 2.2 Dãy bị chặn, dãy đơn điệu 86 2.3 Giới hạndãy số 87 2.4 Cáctính chấtvàphép toán 88 2.5 Cácđiều kiệnhộitụ 89 2.6 Số e vàlogarithmtựnhiên 90 3. Hàmmộtbiếnthực 91 3.1 Kháiniệmhàm số 91 3.2 Cácphép toán 92 3.3 Các loại hàm số với tính chất đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4 Hàm hợp, hàm ng-ợc 93 3.5 Cáchàm sơ cấp 94 4. Giớihạnhàmsố 95 4.1 Kháiniệmgiới hạnhàmsố 95 4.2 Các tính chất và qui tắc tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.3 Giới hạnmộtphía 99 4.4 Giới hạn vô cùng, giới hạn ở vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.5 Vô cùngbé, vôcùng lớn 100 5. Hàmliêntục 101 5.1 Kháiniệmhàm liêntục 102 5.2 Liên tục một phía - Điểm gián đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.3 Các tính chất của hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6. Đạohàm 104 6.1 Kháiniệmđạo hàm 104 6.2 ý nghĩa hình học và cơ học của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.3 Các tính chất và qui tắc tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 7. Vi phân 108 7.1 Địnhnghĩa viphân 108 7.2 ứng dụngcủa viphân 108 7.3 Cácqui tắctínhviphân 109 7.4 Đạo hàm và viphâncấp cao 109 8. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110 8.1 Các định lý giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.2 Khai triểnTaylor 114 9. ứngdụngđạo hàm đểkhảo sáthàm số 115 9.1 Tínhđơn điệu-Cực trị 1i5 9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 117 V. Phép tính tích phân hàm một biến 1. Nguyênhàm-Tíchphân bấtđịnh 119 1.1 Nguyên hàm 119 1.2 Bảng tính tích phân các hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 1.3 Cáctính chất 121 1.4 Các ph-ơng pháp tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2. Tích phân một số lớp hàm thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.1 Tích phâncác hàmhữu tỉ 121 2.2 Tích phâncác hàmvôtỉ 125 2.3 Tích phân các hàm l-ợng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3. Tíchphânxácđịnh 128 3.1 Bài toán diện tích hình thang cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .128 3.2 Định nghĩa tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 Cáclớp hàmkhả tích 129 3.4 Các tính chất của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 3.5 Công thức Newton-Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.6 Các ph-ơng pháp tính tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7 ứng dụng hình học của tích phân xác định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4. Tíchphânsuy rộng 135 4.1 Tích phânsuy rộngloại 1 135 4.2 Tích phân suy rộng loại 1 của hàm không âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.3 Sự hộitụtuyệt đối 138 4.4 Tích phânsuy rộngloại 2 140 VI. Lý thuyết chuỗi 1. Cácđịnhnghĩavàvídụ 143 1.1 Chuỗisố 143 1.2 Tiêu chuẩn hội tụ 145 1.3 Cáctính chấtcủa chuỗi 145 2. Chuỗid-ơng 146 2.1 Chuỗid-ơng 146 2.2 Các dấu hiệu hội tụ của chuỗi d-ơng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 3. Chuỗivớidấubấtkỳ 150 3.1 Chuỗiđan dấu 150 3.2 Chuỗihộitụ tuyệtđối 150 4. Chuỗihàm 151 4.1 Khái niệm chuỗi hàm, sự hội tụ, hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.2 Các tính chất của chuỗi hàm hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 5. Chuỗilỹthừa 154 5.1 Khái niệm chuỗi luỹ thừa, bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.2 Các tính chất của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 5.3 Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 5.4 Khai triển một số hàm sơ cấp thành chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . 157 6. KhaitriểnFourier 158 6.1 Chuỗil-ợnggiác 158 6.2 Khai triển Fourier của hàm chẵn, hàm lẻ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .159 6.3 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn có chu kỳ khác 2 160 6.4 Thác triểntuầnhoàn 160 6.5 Tích phânFourier 161 1 I. Một số kiến thức cơ bản 1 Tập hợp 1.1 Tập hợp - Tập con - Tập bằng nhau Tập hợp là một khái niệm nguyên thủy. Tập hợp đ-ợc mô tả nh- một toàn thể nào đó bao gồm các đối t-ợng có cùng một dấu hiệu hay một tính chất nhất định. Các đối t-ợng lập nên tập hợp gọi là phần tử. Có hai cách để xác định một tập hợp. Một là liệt kê tất cả các phần tử của nó A = {a 1 ,a 2 , ,a n }, hai là mô tả đặc tính của các phần tử thuộc tập hợp A = {a | a có tính chất E}. Nếu a là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a A. Nếu a không là một phần tử của của tập hợp A, thì ta viết a/ A. Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu là . Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là các phần tử của tập hợp X, thì ta nói A là tập con của X, ký hiệu A X. Rõ ràng ta có X với mọi tập hợp X. Các tập con của X lập thành một tập hợp , ký hiệu 2 X , và gọi là tập hợp các tập con của X. Hai tập hợp A và B gọi là bằng nhau, ký hiệu A = B, nếu A B và B A. Nếu A B và A = B, thì ta nói A là tập con thực sự cuả B, khi đó ta viết A B. 1.2 Các phép toán trên tập hợp Định nghĩa 1. Hợp của hai tập hợp A và B , ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử hoặc thuộc A hoặc thuộc B. Giao của hai tập hợp A và B, ký hiệu A B, là tập hợp gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B. Nếu A B = , thì ta nói A và B rời nhau. 2 Hiệu của hai tập hợp A và B , ký hiệu A \B, là tập hợp gồm các phần tử thuộc A nh-ng không thuộc B. Nếu A là tập con của X thì hiệu X \ A gọi là phần bù của A trong X. Tích trực tiếp hay tích Descartes của hai tập hợp A và B, ký hiệu A ì B,là tập hợp gồm tất cả các cặp (x, y) với x A và y B. Mệnh đề 1. Cho A,B,C,X là các tập hợp bất kỳ. Khi đó 1) A, A A. 2) Nếu A B và B C, thì A C. 3) (A B) = (B A), (A B) = (B A). 4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). 5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C). 6) Qui tắc De Morgan X \(A B)=(X \A) (X \B),X\(A B)=(X \ A) (X \B). Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa các phép toán trên tập hợp. Ta chứng minh, chẳng hạn, công thức De Morgan. Thật vậy ta có x X \ ( A B) x X và x/ ( A B) x X và (x/ A và x/ B) (x X và x/ A) và (x X và x/ B) x ( X \A) và x (X \B) x ( X \A) (X \B). 2 ánh xạ 2.1 Các định nghĩa Định nghĩa 2. Cho hai tập hợp X và Y . Một ánh xạ f từ X đến Y là một qui tắc cho t-ơng ứng mỗi phần tử x X với duy nhất một phần tử y Y . Phần tử y gọi là ảnh của x, ký hiệu là f(x),vàx đ-ợc gọi là tạo ảnh của y. Tập hợp X đ-ợc gọi là tập nguồn hay miền xác định, còn tập Y gọi là tập đích hay miền giá trị của ánh xạ f. Một ánh xạ th-ờng đ-ợc viết nh- sau f : X Y x y = f(x). 3 Hai ánh xạ f và g gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu chúng có cùng tập nguồn X và f(x)=g( x) với mọi x X. Ví dụ. a) T-ơng ứng f : R R, x 3 x, là một ánh xạ. b) T-ơng ứng Id X : X X, x x, là một ánh xạ gọi là ánh xạ đồng nhất trên X. c) Cho ánh xạ f : X Y và U X. Khi đó t-ơng ứng f | U : Y xác định bởi f | U (x)=f(x) với mọi x U là một ánh xạ, gọi là hạn chế của ánh xạ f lên bộ phận U. 2.2 ảnh và Nghịch ảnh Định nghĩa 3. Cho ánh xạ f : X Y và U X, V Y là các tập con. Khi đó tập hợp f(U)={f(x) | x U} gọi là ảnh của tập U qua ánh xạ f, và tập hợp f 1 (V )={x X | f(x) V } gọi là nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ f. Nếu V = {y}, thì ta viết f 1 (y) thay cho f 1 ({y}). Mệnh đề 2. Cho ánh xạ f : X Y và A,B X, U, V Y . Khi đó 1) Nếu A B, thì f(A) f(B). 2) Nếu U V , thì f 1 (U) f 1 (V ). 3) f(A B)=f(A) f(B), f(A B) f(A) f(B). 4) f 1 (U V )=f 1 (U) f 1 (V ), f 1 (U V )=f 1 (U) f 1 (V ). Chứng minh. Các công thức đ-ợc dễ dàng suy ra từ định nghĩa. Ta chứng minh, chẳng hạn, các công thức thứ hai trong 3) và 4). Thật vậy, ta có y f(A B)=x (A B):f(x)=y = (x A và x B):f(x)=y = (x A : f(x )=y) và (x B : f(x)=y) = y f(A) và y f(B) = y f(A) f(B). Từ đó suy ra f(A B) f(A) f(B). T-ơng tự, ta có x f 1 (U V ) f(x) U V f(x) U và f(x) V x f 1 (U) và x f 1 (V ) x f 1 (U) f 1 (V ). [...]... tức là ta có Pk2 = Uk2 P0 + Vk2 P1 , Pk1 = Uk1 P0 + Vk1 P1 () 19 Khi đó Pk = Pk2 Qk1 Pk1 = Uk2 P0 + Vk2 P1 Qk1 (Uk1 P0 + Vk1 P1 ) = (Uk2 Qk1 Uk1 )P0 + (Vk2 Qk1 Vk1 )P1 ) = U k P 0 + Vk P 1 Từ đó, gcd(P0 , P1 ) = Pn = Un P0 + Vn P1 Chú ý rằng U = Un , V = Vn đ-ợc tính b i các công thức truy hồi U0 = 1 U1 = 0 , Un = Un2 Qn1 Un1 V0 = 0 V1 = 1 Vn = Vn2 Qn1 Vn1 2 Ví dụ Tìm -ớc chung lớn nhất của... = 1 + i 12 12 8(cos 3 3 + i sin )=1i 12 12 Ph-ơng trình (1) có nghiệm là X1 = u0 + v0 =2 2 X2 = u0 + v0 = 1 1 3 3 i (1 + i) + i (1 i) = 1 3 + 2 2 2 2 1 1 3 3 X3 = 2 u0 + v0 = i (1 + i) + + i (1 i) = 1 + 3 2 2 2 2 Từ đó ph-ơng trình đã cho có 3 nghiệm : x1 = 5, x2 = 2 + 3, x3 = 2 3 6.8.4 Ph-ơng trình b c 4: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0(a = 0) b c d e x4 + x3 + x2 + x = 0 a a a a b. .. +a1x+a2x2 +ã ã ã+an xn và q(x) = b0 +b1 x +b2 x2 +ã ã ã+bn1 xn1 Nếu f (x) = (x c)q(x) + r, thì ta có bn1 = an , bk = ak +1 + cbk +1 , k = 0, 1, , n 2, và r = f (c) = a0 + cb0 Từ đó để tìm f (c) và th-ơng của phép chia f (x) cho x c ta th-ờng sử dụng sơ đồ Horner sau đây, trong đó mỗi phần tử ở dòng thứ hai b ng phần tử ở trên nó cộng với c lần phần tử đứng tr-ớc nó an an1 ak a1 a0 bn1 = an bn2... 2x2 + 2x + 1 và P1 (x) = x3 + x2 x 1 Thuật toán < /b> tìm -ớc chung lớn nhất đ-ợc thực hiện trong b ng d-ới đây k Pk1 Pk Qk Pk +1 1 x5 + 2x4 + 2x3 + 2x2 + 2x + 1 x3 + x 2 x 1 x2 + x + 2 2x2 + 5x + 3 2 x3 + x 2 x 1 2x2 + 5x + 3 1 2 3 x 2 4 5 5 x+ 4 4 3 2x2 + 5x + 3 5 5 x+ 4 4 8 12 x+ 5 5 0 4 5 5 x+ 4 4 0 V0 = 0 V1 = 1 , V2 = V0 Q1 V1 = x2 x 2 1 3 1 3 = U1 Q2U2 = x2 + V3 = V1 Q2 V2 = 1 ( x2 )(x2... deg D1 < deg D2 + deg D1 , suy ra deg V1 + deg D2 = deg V1 D2 = deg(F V2 D1 ) < deg D1 + deg D2 Từ đó, deg V1 (x) < deg D1 (x) B đề đ-ợc chứng minh Chứng minh Định lý: Tồn tại phân tích Chia P cho Q F P = A + , với deg F < deg Q Q Q Đặt D1 = Qk1 , D2 = Qk2 ã ã ã Qks Khi đó gcd(D1 , D2 ) = 1 và Q = D1 D2 Từ 1 2 s B đề, ta có biểu diễn F V2 D1 + V1 D2 V1 V2 = = + , với deg Vi < deg Di Q D1 D2 D1... Cho f : X Y , g : Y Z, là các song ánh Khi đó f 1 và g f cũng là song ánh và ta có 1) (f 1 )1 = f 2) (g f )1 = f 1 g 1 Chứng minh f 1 và g f là song ánh là dễ dàng kiểm tra Đẳng thức 1) là hiển nhiên Đẳng thức 2) suy ra từ (g f ) (f 1 g 1 ) = g (f f 1 ) g 1 = g g 1 = IdZ , (f 1 g 1 ) (g f ) = f 1 (g 1 g) f = f 1 f = IdX 2 3 3 .1 Quan hệ trên một tập hợp Quan hệ hai ngôi Định nghĩa... i =1 j =1 Pij (x) Qj (x) i Chứng minh Ta cần b đề sau B đề 1 Cho D1 (x), D2 (x) k[x] với gcd(D1 (x), D2 (x)) = 1 và F (x) là một đa thức b t kỳ với deg F (x) < deg D1 (x) + deg D2 (x) Khi đó tồn tại hai đa thức V1 (x), V2 (x) sao cho Chia F (x) = V2 (x)D1 (x) + V1 (x)D2 (x), trong đó deg V1 (x) < deg D1 (x) và deg V2 (x) < deg D2 (x) Chứng minh B đề: Từ gcd(D1 (x), D2 (x)) = 1, ta có đẳng thức B zout... ); k = 0, 1, , n 1 2 r(cos n n + k2 + k2 Ví dụ a) 1 = cos + i sin = {cos + i sin , k = 0, 1} = 2 2 {i, i} k2 k2 + i sin , k = 0, 1, , n 1} b) n 1 = {cos n 2 2 2 n1 + i sin } = {1, n , , n , với n = cos n n wk = 15 6 6 .1 6 .1. 1 Đa thức Vành đa thức một biến Định nghĩa Định nghĩa 15 Cho k là một tr-ờng Đa thức một biến x trên tr-ờng k là một biểu thức có dạng n ai xi = a0 + a1 x + ã ã... a1 a0 bn1 = an bn2 = an1 + cbn1 bk1 = ak + cbk b0 = a1 + cb1 r = a0 + cb0 6.5 Đa thức trên tr-ờng số phức Định lý sau đây là nền tảng trong lý thuyết các đa thức trên tr-ờng số gọi là Định lý cơ b n của đại số Có rất nhiều cách chứng minh khác nhau của Định lý cơ b n, nh-ng ta sẽ không trình b y chúng ở đây  21 Định lý 4 (Định lý cơ b n của đại số) Mọi đa thức f (x) b c n 1 trên tr-ờng số phức đều... B zout 1 = U1 (x)D1(x) + U2 (x)D2 (x) Nhân hai vế của đẳng thức trên với F (x) ta đ-ợc F (x) = F (x)U1(x)D1 (x) + F (x)U2(x)D2 (x) (1) 29 Chia đa thức F (x)U1(x) cho D2 (x): F (x)U1(x) = B( x)D2(x) + V2 (x), (2) trong đó, deg V2 (x) < deg D2 (x) Thay (2) vào (1) ta đ-ợc F (x) = V2 (x)D1 (x) + B( x)D1(x) + F (x)U2(x) D2 (x) V1 (x) = V2 (x)D1 (x) + V1 (x)D2 (x) Vì deg F < deg D1 + deg D2 và deg V2 D1 = deg . Tínhđơn điệu-Cực trị 1i5 9.2 Tínhlồi, lõm, điểmuốn 11 7 V. Phép tính tích phân hàm một biến 1. Nguyênhàm-Tíchphân b tđịnh 11 9 1. 1 Nguyên hàm 11 9 1. 2 B ng tính tích phân các hàm sơ cấp . . . . . . 28 II. Ma trận và định thức 1. Matrận 31 1 .1 Địnhnghĩa matrận 31 1.2 Cácma trậnđặc biệt 31 1.3 Cácphép toán trênmatrận 33 1. 4 Biếnđổi s cấp trên matrận 36 2. Địnhthức 37 2 .1 Hoán vị 37 2.2 Nghịch. (A B) = (B A). 4) (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C). 5) A (B C)=(A B) (A C), A (B C)=(A B) (A C). 6) Qui tắc De Morgan X (A B) =(X A) (X B) ,X(A B) =(X A) (X B) . Chứng