KSHS NGDACDAT

NGUYỄN ĐẮC ĐẠT CHỦ ĐỀ: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A. ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : (tối thiểu phải có đũ 6 bước) Các bước khảo sát hàm đa thức Các bước khảo sát hàm hữu tỷ  Tập xác định  Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị  Giới hạn lim x y →−∞ = ; lim x y →+∞ =  Bảng biến thiên  Giá trị đặc biệt ( có tọa độ điểm uốn khi khảo sát hàm số bậc 3 để chính xac hóa đồ thị)  Đồ thị  Tập xác định  Tìm y’ & sự biến thiên, cực trị  Giới hạn & tiệm cận ( đứng + ngang; đứng + xiên)  Bảng biến thiên  Giá trị đặc biệt ( giao điểm với Ox, Oy, điểm cực trị )  Đồ thị  Các dạng đồ thị hàm số:  Hàm số bậc 3: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) ( chỉ nêu 4/6 dạng đồ thị)  Hàm số trùng phương: y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số không có cực trị ⇔ ? x y O • I x y O • I a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ? x y O x y O a < 0 a > 0 Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ? NGUYỄN ĐẮC ĐẠT  Hàm số nhất biến : )bcad( dcx bax y 0≠− + + =  Hàm số hữu tỷ (2/1) : 2 1 1 ax bx c y a x b + + = + (tử, mẫu không có nghiệm chung, ) B. ÔN TẬP CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình: f(x) = m hoặc f(x) = g(m) hoặc f(x) = f(m) (1) + Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát + Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) hoặc y = f(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox. Các bước giải Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau: Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận: m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) y I x y O Dạng 2: hsố nghịch biến Dạng 1: hsố đồng biến xO I x y O • I x y O • I Dạng 2: hàm số không có cực trị x y O • I x y O • I Dạng 1: hàm số có cực trị Bảng 1 NGUYỄN ĐẮC ĐẠT g(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) f(m) m Số giao điểm của (C) & (d) Số nghiệm của pt (1) Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay. • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b) → Ta sử dụng công thức ( ) b a S f x dx= ∫ (I) Đặc biệt: Nếu f(x) không đổi dấu / (a;b) thì b a S f x dx= ∫ ( ) • Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: (C): y = f(x), y = g(x) , x = a, x = b ( a < b), → Ta sử dụng công thức ( ) ( ) b a S f x g x dx = − ∫ (II) Đặc biệt: Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu / (a;b) thì [ ] b a S f x g x dx= − ∫ ( ) ( ) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi (C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox. → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V f x dx( ) π (III) • Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy. Bảng 2 Bảng 3 NGUYỄN ĐẮC ĐẠT → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Bài tập : ( Phần KSHS – Biện luận phương trình bằng dồ thị - tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể : Bài 1: Cho hàm số y = x 3 – mx + m + 2. có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát hàm số khi m = 3. b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x 3 – 3x – k +1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x 3 – 2x 2 – (m - 1)x + m = 0 a) Xác định m để hàm số có cực trị. b) Khảo sát hàm số trên. Gọi đồ thị là (C). c) Tiếp tuyến của (C) tại O cắt lại (C) tại một điểm A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đoạn OA. Bài 3: Cho hàm số y = (x +1) 2 (x –1) 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo n số nghiệm của phương trình : (x 2 – 1) 2 – 2n + 1 = 0 c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 4: Cho hàm số mx mxm y − +− = )1( (m khác 0) và có đồ thị là (Cm) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C 2 ), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4. Bài 5: Cho hàm số 1 2 + +− = x xx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết pttt của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành. c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành. Bài 6: Cho hàm số 4 4 2 − +− = mx mxx y a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C 2 ). b) Dùng đồ thị (C 2 ) giải và biện luận phương trình : x 2 – 2(k + 1)x + 4(k + 1) = 0. c) Tính diện tích hình phẳng của hình (H) giới hạn bởi: (C 2 ), trục Ox, trục Oy, và đường thẳng x = 1. d)* Tính thể tích hình tròn xoay do (H) quay 1 vòng xung quanh Ox tạo ra. NGUYỄN ĐẮC ĐẠT Bài 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong : y = 2 4 1 x ; y = xx 3 2 1 2 +− . Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi 2 đường: x 2 + y – 5 = 0; x + y – 3 = 0. Tính thể tích vật thể tạo ra do D quay quanh Ox. Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay khi phần mặt phẳng bị giới hạn bởi các đường: y = x 2 và y = x quay quanh Ox. Dạng 3: Viết PTTT của đồ thị hàm số?  Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M 0 (x 0 ;y 0 ) ∈ (C).  Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y 0 = f’(x 0 ) ( ) 0 x x− hay y – y 0 = k(x – x 0 ) (*)  Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x 0 , y 0 , f’(x 0 ) thay vào (*). Rút gọn ta có kết quả  Bài toán 2: Viết pttt của (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua hay xuất phát từ A(x A ;y A )  Bước 1: Viết pt đường thẳng (d) đi qua A và có hệ số góc k: y – y A = k(x – x A ) (1)  Bước 2: (d) là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A A f x k x x y f x k = − +   =   Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.  Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến. (hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) ) C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x 0 ( hoành độ tiếp điểm)  Bước 2: Tìm y 0 và thay vào dạng y = k(x – x 0 ) + y 0 . ta có kết quả C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) NGUYỄN ĐẮC ĐẠT (trong đó m là tham số chưa biết)  Bước 2: Lập và giải hệ pt: ( ) '( ) f x kx m f x k = +   =  ⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả Bài tập về pttt của đồ thị: Bài 10: Cho hàm số y = x 2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0 a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau. Bài 11: Cho hàm số y = x 3 + mx 2 – m – 1, có đồ thị (C). a) Tìm các điểm cố định của (Cm). b) Lập pttt tại các điểm cố định đó. Bài 12: Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau Bài 13: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành Bài 14: Cho hàm số y = 2 ax - 2 2 x x + − . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với trục tung và trục hoành. Bài 15: Cho hàm số y = 2 2 x x + − . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5) Bài 16: Viết pttt của đồ thị hàm số y = 2 2 2 1 x x x + + + đi qua B(1;0) Bài 17: Cho hàm số y = x 3 – 3x. Lập các pttt kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số Bài 18: Cho hàm số y = 2x 3 – 3x 2 + 5. Lập pttt kẻ từ A( 19 12 ;4) Bài 20: Cho hàm số y = 2x 3 + 3x 2 – 12x – 1. Tìm M ∈ đồ thị (C) của hàm số đã cho sao cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O. Dạng 4: Cực trị của hàm số: NGUYỄN ĐẮC ĐẠT Điều kiện để hàm số có cực trị: Vắn tắt: Xét hàm số y = f(x)  Hàm số đạt cực trị tại x 0 thì f’(x 0 ) = 0 ( ngược lại không luôn đúng)  Hàm số y = f(x) có : (Dấu hiệu thứ nhất )  f’(x 0 ) = 0 và f’(x) có đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực trị tại x 0 .  f’(x 0 ) = 0 và f’(x) có đổi dấu từ +≫- khi x qua x 0 thì hàm số có cực đại tại x 0 .  f’(x 0 ) = 0 và f’(x) có đổi dấu khi x qua x 0 thì hàm số có cực tiểu tại x 0 .  Hàm số y = f(x) có :  f’(x 0 ) = 0 và f’’(x 0 ) ≠ 0 thì thì hàm số có cực trị tại x 0  f’(x 0 ) = 0 và f’’(x 0 ) < 0 thì thì hàm số có cực đại tại x 0  f’(x 0 ) = 0 và f’’(x 0 ) > 0 thì thì hàm số có cực tiểu tại x 0 Yêu cầu đối với học sinh :  Biết số lượng cực trị của mỗi dạng hàm số được học trong chương trình:  Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) → không có cực trị hoặc có 2 cực trị.  Hàm số bậc 4 dạng : y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) → có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.  Hàm số nhất biến dạng: ax+b cx+d =y → chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.  Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng: 2 ax bx c y a 'x b' + + = + → không có cực trị hoặc có 2 cưc trị. Bài tập 21: Định tham số m để: 1). Hàm số y = 3 2 1 ( 6) 1 3 x mx m x+ + + − có cực đại và cực tiểu. Kết quả: m < - 2 hay m > 3 2). Hsố y = 2 2 1 x mx mx + − − có cực trị. NGUYỄN ĐẮC ĐẠT Kết quả: - 1 < m < 1 3). Hàm số y = 2x 3 – 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x 1 , x 2 và khi đó x 2 – x 1 không phụ thuộc tham số m. Kết quả : ∀m và x 2 – x 1 = 1 4). Hàm số y = x 3 – 3x 2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M 1 (x 1 ;y 1 ), M 2 (x 2 ;y 2 ) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 ( )( 1) y y x x x x − − − = 2. Kết quả : m < 1 Dạng 5: Giá trị lớn nhất & giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1) Định nghĩa : Cho hàm số y=f(x) xác định trên D Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x M x D f x M ∀ ∈ ≤ ∃ ∈ = (ký hiệu M là Giá trị lớn nhất của f(x) trên D) Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu: 0 0 : ( ) : ( ) x D f x m x D f x m ∀ ∈ ≥ ∃ ∈ = (ký hiệu m là Giá trị nhỏ nhất của f(x) trên D) 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b) + Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b). + Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại (cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b). 3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b]. + Tìm các điểm tới hạn x 1 ,x 2 , , x n của f(x) trên [a,b]. + Tính f(a), f(x 1 ), f(x 2 ), , f(x n ), f(b). + Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên [ , ] [ , ] max ( ) ; min ( ) a b a b M f x m f x= = BÀI TẬP : ( Về GTLN – GTNN) Bài tập 22:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số: a) 3 2 2 3 1y x x= + − trên [-2;-1/2] ; [1,3). b) 3 4 2sinx- sin 3 y x= trên đoạn [0,π] (TN-THPT 03-04/1đ) c) 2 os2x+4sinxy c= x∈[0,π/2] (TN-THPT 01-02/1đ) d) 2 3 2y x x= − + trên đoạn [-10,10]. NGUYỄN ĐẮC ĐẠT Bài tập 23: 2 ( ) 25f x x= − trên đoạn [-4; 4] HD : [ ] 4;4 max ( ) (0) 5f x f − = = ; [ ] 4;4 min ( ) ( 4) (4) 3f x f f − = − = = Bài tập 24: 2 ( ) (3 ) 1f x x x= − + trên đoạn [0; 2] HD : [ ] 0;2 max ( ) (0) 3f x f= = ; [ ] 0;2 min ( ) (2) 5f x f= = Bài tập 25:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 y= x 1 3x 6x 9 + + − + + trên đoạn[-1,3]. Bài tập 26:Chứng minh rằng 2 2 6 3 2 7 2 x x x + ≤ ≤ + + với mọi giá trị x. Dạng 6: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x) Số giao diểm của hai đường cong (C 1 ) y= f(x) và (C 2 ) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x) (1) Ví dụ Cho hàm số 1 1 − + = x x y và đường thẳng y= mx - 1 biện luận số giao điểm của hai đường cong. Giải : Số giao điểm của hai đường cong là số nghiệm của phương trình 1 1 1 −= − + mx x x (điều kiện x khác 1) 0)2( 2 =+−⇔ xmmx 0))2(( =+−⇔ mmxx +Nếu m = 0 hay m = -2: Phương trình có một nghiệm x = 0 nên đường thẳng cắt đường cong tại một điểm +Nếu m ≠ 0 và m ≠ -2: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x = m và x = 2m m + . Đường thẳng cắt đường cong tại hai điểm phân biệt (chú ý cả hai nghiệm đều khác 1) Kết luận: + m = 0 hay m = - 2 có một giao điểm. + m ≠ 0 và m ≠ - 2 có hai giao điểm. B ài tập: ( Về sự tương giao của 2 đường) Bài tập 27: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C): 3 2 2 3 2 x x y x= + − và đường thẳng (T): 13 1 ( ) 12 2 y m x− = + . KQ: 1 giao điểm ( m ≤ 27 12 − ), 3 giao điểm ( m > 27 12 − ) NGUYN C T Bi tp 28: nh a ng thng (d): y = ax + 3 khụng ct th hm s 3 4 1 x y x + = . KQ: -28 < a 0 Bi tp 29: Cho ng cong (C): 2 2 2 1 x x y x + = . Tỡm cỏc giỏ tr ca k sao cho trờn (C) cú 2 im khỏc nhau P, Q tha món iu kin: P P Q Q x y k x y k + = + = . BI TP TNG HP Cể LI GII Bi Tp 1: 4 2 ( ) 2y f x x x= = 1. Kh o sỏt v v th (C) c a hm s . 2.Trờn (C) ly hai im phõn bit A v B cú honh ln lt l a v b. Tỡm iu kin i vi a v b hai tip tuyn ca (C) ti A v B song song vi nhau. Bi Tp 2: Cho hm s y = x 3 + mx + 2 (1) 1.Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1) khi m = -3. 2.Tỡm m th hm s (1) ct trc hũanh ti mt im duy nht. Bi Tp 3: Cho hàm số 2 12 + + = x x y có đồ thị là (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm sộ 2. Chứng minh đu ờng thẳng d: y = x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m Bi Tp 4: 1.Kh o sỏt v v th hm s 2 ( 1) ( 2)y x x= + 2.ng thng qua M (2; 0) v cú h s gúc k . Tỡm k ct th hm s 3 3 2y x x= ti 4 im phõn bit Bi Tp 5: Cho hm s y = x 3 3x 2 +2 (1) 1. Kh o sỏt s bi n thiờn v v th c a hm s (1). 2. Tỡm im M thuc ng thng y=3x-2 sao tng khong cỏch t M ti hai im cc tr nh nht Bi Tp 6: Cho hm s 2 m y x m x = + + 1. Kh o sỏt s bi n thiờn v v th hm s ó cho v i m = 1. 2. Tỡm m hm s c ú c c i cú c c ti u sao cho hai i m c c tr c a th HS c ỏch ng th ng d: x y + 2 = 0 nhng khong bng nhau. Bi Tp 7: Cho HS ố 43 23 += xxy [...]...NGUYN C T 1 .KSHS 2.Gi d l ng i qua im A(3;4) v cú h s gúc l m.Tỡm m d ct â tai 3 im phõn bit A,M,N sao cho 2 tip tuyn ca M v N vuụng gúc vi nhau Bi Tp 8: Cho ố y= 2x 3 x 2 1 .KSHS 2.Cho M l im Bt Kỡ trờn C Tip Tuyn ca C ti M ct cỏc ng tim cn ca C ti A v B Gi I l giao dim ca cỏc ng tiờm cn Tỡm... vi ng thng i qua M v giao im hai ng tim cn cú tớch h s gúc bng - 9 Bi Tp 11: 2x + 3 cú th ( C ) x2 a .KSHS v th ( C ) Cho hm s: y = b.Xỏc nh m ng thng (d): y = x + m ct th (C) ti hai im phõn bit A, B sao cho tam giỏc OAB cú din tớch bng 2 3 (vi O l gc ta ) Bi Tp 12: 3 2 Cho HS y = x 3 x (1) 1 KSHS 2 tỡm tt c cỏc giỏ tr ca a : x 3 3 x 2 = a cú 3 nghim phõn bit trong ú cú 2 nghim ln hn 1 Bi Tp . xxy NGUYN C T 1 .KSHS 2.Gi d l ng i qua im A(3;4) v cú h s gúc l m.Tỡm m d ct â tai 3 im phõn bit A,M,N sao cho 2 tip tuyn ca M v N vuụng gúc vi nhau. Bi Tp 8: Cho ố 2 32 = x x y 1 .KSHS 2.Cho. 2 Bảng 3 NGUYỄN ĐẮC ĐẠT → Ta dùng công thức [ ] 2 = ∫ b a V g y dy( ) π (IV) Bài tập : ( Phần KSHS – Biện luận phương trình bằng dồ thị - tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể : Bài. ng tim cn cú tớch h s gúc bng - 9. Bi Tp 11: Cho hm s : 2 3 2 x y x + = cú th ( C ). a .KSHS v th ( C ) . b.Xỏc nh m ng thng (d): y x m = + ct th (C) ti hai im phõn bit A, B sao