Chuyên đề: Khảo Sát Hàm Số a. sơ đồ khảo sát 1 hàm đa thức - TXĐ: D={R} - đạo hàm: +, tính y , ,gpt y , =0 ----->x= xxx k , 21 +, tính y ,, , gpt y ,, =0 ----->x= xxx k , 21 - BBT - Giao với trục tọa độ : cho x=0---->y =? Cho y =0---->x=? -vẽ đồ thị 2 .hàm phan thức - TXĐ: D=R\ { x 0 } với x 0 là giá trị làm phân thức không XĐ - đạo hàm: +, tính y , ,gpt y , =0 ----->x= xxx k , 21 - Tiệm cận - BBT - Giao với trục tọa độ : cho x=0---->y =? Cho y =0---->x=? -vẽ đồ thị Đây là sơ đồ khảo sát hàm đa thức,đã đợc cô đọng và lợc bỏ những phần không cần thiết trong sơ đồ tổng quát,để rút ngắn thòi gian làm bài mà vẫn đạt điểm tối đa (cách khảo sát kiểu ĐáP áN CủA BGD) Để tính nhanh giá trị cực trị, điểm uấn,đạo hàm(với hàm phân thức) tiệm cận.vẽ nhanh và đẹp đồ thị với mỗi loại hàm ta có các thủ thuật sau: b. Thủ thuật khảo sát 1 Hàm dcxbay xx +++= 23 -tính nhanh cực trị: Ta có: ) 3 . 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 2 ') 3 ( 3 1 c a b dx a b cy a b xy +++= để tính cực trị ta chỉ việc thay gia trị xx 21 , (nghiệm y =0) vào biểu thức ) 3 . 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 2 c a b dx a b c + Mình đã ghi tờng minh kiểu 3 1 , 3 2 , 3 3 ,và a b 3 chính là hoành độ điểm uấn để các bạn dễ nhớ.Và PT: y= ) 3 . 3 ( 3 3 ) 3 ( 3 2 c a b dx a b c + chính là ptdt qua CĐ-CT ( nếu tồn tại CĐ-CT) -Tính nhanh toạ độ điểm uấn:do tính đối xứng nên điểm uấn là trung điểm của CĐ,CT nên toạ độ điểm uấn là ) 2 , 2 ( 2121 yy xx + + với xx 21 , ; là hoành và tung độ CĐ-CT.Từ công thức này ta dễ thấy nếu mà điểm uấn dễ tính thì ta có thể tính toạ độ điểm uấn trớc rồi suy ra toạ độ CĐ-CT.Và cũng có thể kiểm tra xem việc tính đạo hàm cóđúng không khi gpt:y =0&y =0 có nghiệm không đối xứng thì fải kiểm tra lại ngay 2 hàm nmx cbxa y x + ++ = 2 = )( )( xg xf - tính nhanh đạo hàm: )( 2 2 )(2 ' nmx x cmbnanxam y + ++ = (chú ý cmbn chính là định thức của cặp b,c và m,n và nghiệm kép của tử chính là nghiệm của mẫu điều này chứng minh cho bài toán tìm tham số để hàm có CĐ-CT thì chỉ cần đk:pt tử số =0 có hai nghiệm phân biệt không cần thêm đk nghiệm khác nghiệm mẫu số nh các sách vẫn làm) - tính nhanh cực trị.Giả sử xx 21 , là hoành độ CĐ và CT thì )(' )(' 1 1 1 x x y g f = ; )(' )(' 2 2 2 x x y g f = CM CT này rất đơn giản đi thi ta lờ qua không nói đến mà ghi luôn kết quả mà vẫn đạt điểm tối đa - tính nhanh tiệm cận: TCĐ x= m n ;do lim y= khi x y= )( bncmx m a + do lim( y-TCX)=0 khi x dễ thấy y= )( bncmx m a + + nmx m n f + )( 3 Cách vẽ đồ thị nhanh và đẹp chia làm 3 bớc: - B1:chọn hệ toạ độ.Với hàm đa thức chon trục hoành dài hơn trục tung,còn hàm phân thức thì ngợc lại -B2:vẽ phác đồ thị theo một vài hình dáng quen thuộc và theo vài điểm chia.Để việc vẽ đẹp ta không chia toạ độ trớc mà sau khi vẽ thì mới chia.Việc chia ngoài không cần đều ở hai trục mà trong một trục cũng ch a chắc cần đều B3. Điền điểm chia bắt buộc fải điền đều,không cần thiết có điền đúng vạch chia hay không.Ta ghi thật to số sao cho nó trùng khít với điểm chia Tuyển tập các bài toán về hàm số thi đại học Chú ý: Trong mọi bài thì m luôn là tham số . Bài 1: Cho h/s 3 2 2 3 2 y x 3 x 3(1 )xm m m m= + + + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1 . b) Tìm k để phơng trình : 3 2 3 2 x 3x 3 0k k + + = có ba nghim phân biệt 2002_A Bài 2: Cho h/s 4 2 2 y x ( 9)x 10m m= + + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 1 . b) Tìm m để h/s (1) có 3 điểm cực trị ? 2002_B Bài 3: Cho h/s 2 (2 1)x y x 1 m m = (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) khi m = -1 . b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và 2 trục tọa độ . c) Tìm m để đồ thị h/s (1) tiếp xúc với đờng thẳng y = x ? 2002_D Bài 4: Cho h/s 2 x x y x 1 m m+ + = (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = -1 . b) Tìm m để đồ thị h/s (1) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dơng . 2003_A Bài 5: Cho h/s 3 2 y x 3x m= + (1) a) Tìm m để đồ thị h/s (1) có 2 điểm phân biệt đx với nhau qua gốc tọa độ . b) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2 . 2003_b Bài 6: a) Khảo sát h/s 2 x 2x 4 y x 2 + = (1) b) Tìm m để đờng thẳng d m : y = mx + 2 2m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm phân biệt ? 2003_d Bài 7: Cho h/s 2 x 3x 3 y 2(x 1) + = (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (1) b) Tìm m để đờng thẳng d : y = m cắt đồ thị h/s (1) tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1 2004_A Bài 8: Cho h/s 3 2 1 y x 2x 3 3 = + (1) có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và CMR : là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất . 2004_b Bài 9: Cho h/s 3 2 y x 3 x 9x 1m= + + (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s (1) khi m = 2 . b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị h/s (1) thuộc đờng thẳng y = x + 1 2004_d Bài 10: Gọi (C m ) là đồ thị h/s 1 y x+ x m= (*) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 1 4 . b) Tìm m để h/s (*) có cực trị và k/c từ ĐCTiểu của (C m ) đến TCXiên (C m ) bằng 1 2 2005_a Bài 11: Gọi (C m ) là đồ thị h/s 2 x ( +1)x+m+1 y x+1 m+ = (*) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 1 . b) CMR : Với m đồ thị (C m ) luôn có ĐCĐ, ĐCT và k/c giữa 2 điểm đó bằng 20 2005_b Bài 12: Gọi (C m ) là đồ thị h/s 3 2 1 1 y x x 3 2 3 m = + (*) a) Khảo sát và vẽ đồ thị của h/s (*) khi m = 2 . b) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng -1 . Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đt: y = 5x 2005_d Bài 13: a)Khảo sát h/s 3 2 y 2x 9x 12x 4= + b) Tìm m để phơng trình : 3 2 2 x 9x 12 x m + = có 6 nghiệm phân biệt 2006_a Bài 14: Cho h/s 2 x x 1 y x+2 + = a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s . b) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó vuông góc với TCXiên của (C) 2006_b Bài 15: Cho h/s 3 y x 3x 2 = + a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của h/s . b)Gọi d là đờng thẳng qua A(3 ; 20) có hệ số góc k . Tìm k để đờng thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt ? B i 16: Cho h/s : 2 2 2( 12) 4 ( ) 2 x m x m m y C x + + + = + a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=-1 b)Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông. 2007_A Bài 17:Cho hàm số: 3 2 2 2 3 3( 1) 3 1 ( )y x x m x m C= + + a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc toạ độ O 2007_B Bài 18: Cho hàm số: 2 ( ) 1 x y C x = + a)Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm toạ độ điểm M thuộc đồ thị hàm , biêt tiếp tuyến của (C ) tại M cắt trục ox,oy tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 1 4 2007_D . thức) tiệm cận.vẽ nhanh và đẹp đồ thị với mỗi loại hàm ta có các thủ thuật sau: b. Thủ thuật khảo sát 1 Hàm dcxbay xx +++= 23 -tính nhanh cực trị: Ta có:. tồn tại CĐ-CT) -Tính nhanh toạ độ điểm uấn:do tính đối xứng nên điểm uấn là trung điểm của CĐ,CT nên toạ độ điểm uấn là ) 2 , 2 ( 2121 yy xx + + với xx 21