150 đề thi vào chuyên lop10

Tương Hạ QH ⊥CD suy ra QH là trung trực thứ ba của ∆IER hay Q nằm trên trung trực A P P' Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất diện tích Qua mỗi đỉnh c

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho các thí sinh thi vào lớp chuyên Toán

Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

—————————

(Đề có 01 trang) Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình:

1 1 9

2

1 5 2

x y

x y xy

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

——————

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

Dành cho lớp chuyên Toán.

xy xy

1

x y

2 2

1

x y

0,25

+ Nếu p = 1 thì phương trính có vô số nghiệm − ≤ ≤ 3 x 2

Suy ra ∆KIB= ∆KED⇒IK =KE 0,25

Chứng minh tương tự có: ∆MIA= ∆MRC 0,25

Trong tam giác IER có IK = KE và MI =

MR nên KM là đường trung bình ⇒ 0,25

Có: QK ⊥AD(gt), IE//AD (CM trên) ⇒QK ⊥IE Tương tự có QM ⊥IR 0,25

Từ trên có: IK=KE, QK ⊥IE⇒QKlà trung trực ứng với cạnh IE của ∆IER Tương

Hạ QH ⊥CD suy ra QH là trung trực thứ ba của ∆IER hay Q nằm trên trung trực

A

P P'

Trong số các tam giác tạo thành, xét tam giác ABC có diện tích lớn nhất (diện tích

Qua mỗi đỉnh của tam giác, kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, các

đường thẳng này giới hạn tạo thành một tam giác A B C' ' ' (hình vẽ) Khi đó

Giả sử trái lại, có một điểm P nằm ngoài tam giác A B C' ' ', chẳng hạn như trên

hình vẽ Khi đó d P AB( ; ) >d C AB( ; ) , suy ra S PAB >S CAB, mâu thuẫn với giả thiết tam

giác ABC có diện tích lớn nhất

0.25Vậy, tất cả các điểm đã cho đều nằm bên trong tam giác A B C' ' ' có diện tích không

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THÁI BèNH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN THÁI BèNH

Năm học : 2009-2010

Mụn thi: TOÁN

(Dành cho thớ sinh thi vào chuyờn Toỏn, Tin)

Thời gian làm bài:150 phỳt (khụng kể thời gian giao đề)

a Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú nghiệm x 1 = + 2

b Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm x x sao cho biểu thức: 1 , 2

b Tỡm cỏc số nguyờn x, y thỏa món phương trỡnh: x3 + 2x2 + 3x+ = 2 y3

Bài 4 (3,0 điểm): Cho hỡnh vuụng ABCD tõm O, cạnh a M là điểm di động trờn đoạn OB

(M khụng trựng với O; B) Vẽ đường trũn tõm I đi qua M và tiếp xỳc với BC tại B, vẽ đường trũn tõm J đi qua M và tiếp xỳc với CD tại D Đường trũn (I) và đường trũn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

a Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cựng thuộc một đường trũn Từ đú suy ra 3 điểm

C, M, N thẳng hàng.

b Tớnh OM theo a để tớch NA.NB.NC.ND lớn nhất.

Bài 5 (0.5 điểm): Cho gúc xOy bằng o

120 , trờn tia phõn giỏc Oz của gúc xOy lấy điểm A sao cho

độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyờn lớn hơn 1 Chứng minh rằng luụn tồn tại ớt nhất ba đường thẳng phõn biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài cỏc đoạn thẳng OB và OC đều là cỏc số nguyờn dương

========= Hết =========

Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm

Họ và tờn thớ sinh:……….……… Số bỏo danh:……….

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO THÁI BèNH

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYấN THÁI BèNH

Năm học : 2009-2010

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MễN TOÁN CHUYấN

đề chính thức

CÂU Ý NỘI DUNG ĐIỂM

Luôn đúng với mọi k nguyên dương.

c Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 1= + 2

d Tìm m để (1) có 2 nghiệm x x sao cho biểu thức: 1 , 2

Tìm được m=5 2 6− và KL. 1.0b.

x y

= 1 từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là (1 ; 2), (-1 ; 0) 0.25

Bài 4.

(3 điểm) Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a M là điểm di động trên đoạn OB (M không trùng với O; B) Vẽ đường tròn tâm I

đi qua M và tiếp xúc với BC tại B, vẽ đường tròn tâm J đi qua M và tiếp xúc với CD tại D Đường tròn (I) và đường tròn (J) cắt nhau tại điểm thứ hai là N.

c Chứng minh rằng 5 điểm A, N, B, C, D cùng thuộc một

đường tròn Từ đó suy ra 3 điểm C, M, N thẳng hàng.

d Tính OM theo a để tích NA.NB.NC.ND lớn nhất.

K H

Bài 5.

(0.5

điểm)

Cho góc xOy bằng 120 o, trên tia phân giác Oz của góc xOy lấy điểm

A sao cho độ dài đoạn thẳng OA là một số nguyên lớn hơn 1 Chứng minh rằng luôn tồn tại ít nhất ba đường thẳng phân biệt đi qua A và cắt hai tia Ox, Oy lần lượt tại B và C sao cho độ dài các đoạn thẳng

OB và OC đều là các số nguyên dương.

y

z x

• Đặt OA = a > 1 (a nguyên) Trên tia Ox lấy điểm B sao cho OB

= a + 1 nguyên dương Đường thẳng d đi qua A, B cắt tia Oy tại 2

• Tương tự lấy B trên Ox sao cho OB = a(a + 1), Ta tìm được đường thẳng d3

• Chứng minh d d d phân biệt ĐPCM1 , , 2 3

3 Những cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.

4 Chấm điểm từng phần, điểm toàn bài là tổng các điểm thành phần( không làm tròn).

===========================

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI

PHÒNG

NĂM HỌC 2009-2010Bài 1 : ( 1 điểm )

Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt

là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và

BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC

1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1

2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không

=> tứ giác BOPN nội tiếp

+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp

+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> ·AQO=·AMO= 90 0

tứ giác BOPN nội tiếp => BPO BNO· = · = 90 0

=> AQB· = ·APB= 90 0 => tứ giác AQPB nội tiếp

b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA

vậy p/ trỡnh cú hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )

2.Ta tụ màu cỏc ụ vuụng của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua

Lỳc đầu tổng số sỏi ở cỏc ụ đen bằng 1005 2009 là một số lẻ

sau mối phộp thực hiện thao tỏc T tổng số sỏi ở cỏc ụ đen luụn là số lẻ

vậy khụng thể chuyển tất cả viờn sỏi trờn bẳng ụ vuụng về cựng một ụ sau một số hữu hạn cỏc phộp thưc hiện thao tỏc T

Sở giáo dục-đào tạo Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên

Môn thi : toán(đề chuyên)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút(không kể thời gian giao đề)

2) Giải hệ phơng trình:

1 7 12

x

x y x

a) Chứng minh:AIB 90ã 0 à

2

C

b) Chứng minh 5 điểm A, M, I, K, E cùng nằm trên một đờng tròn

c) Gọi T là giao điểm của BI với AC, chứng minh: KT.BN=KB.ET

d) Gọi Bt là tia của đờng thẳng BC và chứa điểm C Khi 2 điểm A, B và tia Bt

cố định; điểm C chuyển động trên tia Bt và thoả mãn giả thiết, chứng minh rằng các đờng thẳng NE tơng ứng luôn đi qua một điểm cố định

Từ đó xét 4 trờng hợp ta sẽ tìm đợc giá trị của m

2)Từ giả thiết bài toán ta có:

MÆt kh¸c 2.5 2

4( ) 1

ab c

a b

= + − vµ ( )2

Theo tính chất tia phân giác của ∆ABT ta có TA AB

TI = BI

Và do BM=BN từ đó suy ra điều phải c/m

*ý d:Chứng minh NE đi qua một điểm cố định:Do A, B và tia Bt cố định nên ta

có tia Bx cố định và ãABI = α không đổi (tia Bx là tia phân giác của ãABt)

Xét ∆ABK vuông tại K ta có KB = AB.cos ABI=AB.cosα không đổi

Nh vậy điểm K thuộc tia Bx cố định và cách gốc B một khoảng không đổi do

y 9 xy

Cho đờng tròn tâm O và dây AB không đi qua O Gọi M là điểm chính giữa của cung

AB nhỏ D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B) DM cắt AB tại C Chứng minh rằng:

a) MB.BD MD.BC =

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

c) Tổng bán kính các đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 - giác EFGHIJKM có các góc bằng nhau Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 - giác EFGHIJKM là các số hữu tỉ thì EF =

- Víi y 3 = ⇒ = x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

- Víi y = − ⇒ = − 3 x 2 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn)

VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

Bài 4: (3,0 điểm)

J I

C N

c) Kẻ đờng kính MN của (O) ⇒ NB ⊥ MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB

Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC ∆

( − ). =

0,25 đ

Suy ra mỗi góc ngoài của hình 8 cạnh đó là: 180 O - 135 O = 45 O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.

4x 2 + 4mx 2m + 2 − 5m 6 0 + =

Câu II (2.5 điểm):

Đề thi chính thức

Câu III (2.0 điểm):

1) Cho đa thức bậc ba f(x) với hệ số của x 3 là một số nguyên dơng và biết

1) MD = ME

2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ đó suy ra điểm M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK của tam giác DAK.

Câu V (1.0 điểm):

Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A và C phân biệt Tìm vị trí của các điểm B

và D thuộc đờng tròn đó để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn nhất.

-Hết -Họ và tên thí sinh : Số báo danh :

Chữ kí của giám thị 1 : Chữ kí của giám thị 2:

H ớng dẫn chấm

x

−

= , thay vào (1) ta có:

0.25 2

3 2 3

a m + b m c 0 + = (1) Giả sử có (1)

b m c m am 0 (2)

Từ (1), (2) ⇒ (b 2 − ac) m (a m bc) 3 = 2 − 0.25 Nếu a m bc 0 2 − ≠

2 3

2

a m bc m

= là số hữu tỉ Trái với giả

thiết! ⇒ = a 0;b 0 = Từ đó ta tìm đợc c = 0 0.25 Ngợc lại nếu a = b = c = 0 thì (1) luôn đúng Vậy: a = b = c = 0 0.25

Ta có f(7) - f(1) = (7 3 - 1 3 )a + (7 2 - 1 2 )b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 M 0.25 Vì a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) là hợp số 0.25

x 3 2 .Thử lại x = 7 thì A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn

0.25 Lại có ã BNM CPM = ã

A N

Theo giả thiết ã DMK NMP = ã ⇒ DMK DEK 180 ã + ã = 0

Do MA là trung trực của DE ⇒ ∆ MEA = ∆ MDA 0.25 ⇒ MEA MDA ã = ã ⇒ MEK MDC ã = ã 0.25Vì ã MEK MDK = ã ⇒ MDK MDC ã = ã ⇒DM là phân giác của góc CDK, kết hợp

với AM là phân giác DAB ⇒M là tâm của đờng tròn bàng tiếp góc DAK

K

E

B C

A N

M

P

D

câu V

1 điểm

D'

B' A'

O

C A

B

D

Không mất tổng quát giả sử:AB ≤ AC Gọi B’ là điểm chính giữa cung

ẳ ABC ⇒ AB' CB' =

Trên tia đối của BC lấy điểm A’ sao cho BA’ = BA ⇒ AB BC CA' + = 0.25

Ta có: ã B'BC B'AC B'CA (1) ; ã = ã = ã B'CA B'BA 180 (2) + ã = 0 ã B'BC B'BA' 180 (3);Từ (1), (2), (3) + ã = 0 ⇒ B'BA B'BA' ã = ã 0.25 Hai tam giác A’BB’ và ABB’ bằng nhau ⇒ A'B' B'A =

Ta có ⇒ B'A B'C B'A' B'C A 'C + = + ≥ = AB + BC ( B’A + B’C không

đổi vì B’, A, C cố định) Dấu “=” xảy ra khi B trùng với B’ 0.25 Hoàn toàn tơng tự nếu gọi D’ là điểm chính giữa cung ẳADC thì ta cũng

có AD’ + CD’ ≥ AD + CD Dấu “=” xảy ra khi D trùng với D’.

⇒ Chu vi tứ giác ABCD lớn nhất khi B, D là các điểm chính giữa các

Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải đúng vẫn cho điểm tối đa.

sở giáo dục - đào tạo

hà nam

kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

Năm học 2009 - 2010 Môn thi : toán(Đề chung)

đề chính thức Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

1) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng y = x + 6 và parabol y = x2

2) Tìm m để đồ thị hàm số y = (m + 1)x + 2m + 3 cắt trục õ, trục Oy lần lợt tại các điểm A , B và ∆AOB cân ( đơn vị trên hai trục õ và Oy bằng nhau)

Bài 4 (3,5 điểm)

Cho ∆ABC vuông đỉnh A, đờng cao AH, I là trung điểm của Ah, K là trung

điểm của HC Đờng tròn đờng kính AH ký hiệu (AH) cắt các cạnh AB, AC lần lợt tại diểm M và N

a) Chứng minh ∆ACB và ∆AMN đồng dạng

b) Chứng minh KN là tiếp tuýn với đờng tròn (AH)

sở giáo dục đào tạo

hà nam Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên

− (loại)K/l: Giá trị cần tìm m = 0; m = -2

0,25

Bài 4(3,5 điểm)

a) (1,5 điểm)

E N

M

I

K H

C B

A

0,25

Có AMN AHNã = ã (cùng chắn cung AN)

b) (1 điểm) ∆HNC vuông đỉnh N vì ANH 90 ã = 0 có KH = KC ⇒NK = HK

lại có IH = IN (bán kính đờng tròn (AH)) và IK chung nên ∆KNI = ∆KHI (c.c.c)

KNI KHI

⇒ = = ⇒KNIã = 90 0

0,75

Có KN⊥In, IN là bá kính của (AH)⇒ KN là tiếp tuyến với đờng tròn (AH) 0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BèNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYấN

NĂM HỌC 2009 – 2010Mụn Toỏn – Vũng 1(Dựng cho tất cả cỏc thớ sinh)

Thời gian làm bài 120 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 cõu trong 01 trang

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn:

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B Điểm M chuyển động trên (d)

và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới

đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó

b) Chứng minh MA.MB = MN2

c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều

d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP

Câu 5: (1 điểm)

Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5 23

x + ≥yTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B 8x 6 18y 7

a, b).

c) Tam giác MNP đều khi OM = 2R

d) Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong đường tròn)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

MÔN: TOÁN ( Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 19 tháng 6 năm 2009 Câu 1: (2,0 điểm)

Đề chính thức

1 Cho số x ( x R ; x > 0 ∈ ) thoả mãn điều kiện : 2

2

1

x + = 7

x Tính giá trị các biểu thức : A = x + 3 13

x và B =

5 5

1 + 2 - 21

x y

2 Cho đường tròn (O) bán kính R = 1 và một điểm A sao cho OA = 2 Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm) Một góc xOy có số đo bằng 45 0 có cạnh Ox cắt đoạn thẳng AB tại D và cạnh Oy cắt đoạn thẳng AC tại

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1: (3.5 điểm)

a) Giải phương trình

3 x+ +2 3 7− =x 3b) Giải hệ phương trình

x y x

Bài 4: (1.5 điểm)

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh

BC Đường tròn đường kính BC cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N (M khác B, N khác C) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I và K Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành

Bài 5: (2.0 điểm)

a) Bên trong đường tròn tâm O bán kính 1 cho tam giác ABC có diện tích lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng điểm O nằm trong hoặc nằm trên cạnh của tam giác ABC

b) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c+ + =3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

x x

1 3

1 1

x x

x x

42

x x

02

x x

0,50®

dạng với tam giác ANK

Từ chứng minh trên suy ra tam giác AMI

đồng dạng với tam giác AOB

Giả sử O nằm ngoài miền tam giác ABC

Không mất tính tổng quát, giả sử A và Onằm về 2 phía của đờng thẳng BC 0,25đSuy ra đoạn AO cắt đờng thẳng BC tại K

Kẻ AH vuông góc với BC tại H 0,25đ

Suy ra 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 3(a 2 b + b 2 c + c 2 a) > 0

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4

0,25đ

Nếu thí sinh giải cách khác đúng của mỗi câu thì vẫn cho tối đa điểm của câu đó

SỞ GIÁO DỤC BèNH ĐỊNH KỲ THI TUỶấN SINH VÀO LỚP 10

BèNH ĐỊNH TRƯỜNG THPT CHUYấN Lấ QUí ĐễN

Cho tam giỏc ABC nội tiếp trũn tõm O cú độ dài cỏc cạnh BC = a, AC = b, AB = c.E

là điểm nằm trờn cung BC khụng chứa điểm A sao cho cung EB bằng cung EC.AE cắt cạnh BC tại D

a.Chỳng minh:AD2 = AB.AC – DB.DC

b.Tớnh độ dài AD theo a,b,c

Bài 5(1.5điểm)

1 2

m

n - ³ n + Với mọi số nguyờn m,n

**********************************************

ba

Ta cú f(m) = 3m2 – 2m2 -2mn -2mp +mn +mp +np = m2 –mn –mp +np = (m-n)(m-p)

ạ 0

= >m,n,p khụng phải là nghiệm của pt(1)

Vậy PT đó cho luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Ta cú BADã =CAEã ( Do cung EB = cung EC)

Và ãAEC=DBAã ( Hai gúc nội tiếp cựng chắn cung

AC) nờn ΔBAD ΔEAC

Ta cú ADCã =BDCã (Đối đỉnh) và CADã =DBEã

(2 gúc nội tiếp cựng chắn cung CE) nờn ΔACD

AD(AE-AD) = DB.DC

Hay AD2 = AD.AE - DB.DC=AB.AC – DB.DC (do (1))

4b)Theo tính chất đường phân giác ta có hay DC

2 2

n

- + -

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

*****

Câu 1.(4,0 điểm) Cho phương trình x4 + ax 3 + x 2 + ax + 1 = 0, a là tham số

a) Giải phương trình với a = 1.

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, chứng minh rằng a 2 > 2.

a) Cho x, y, z, a, b, c là các số dương Chứng minh rằng:

3 abc + xyz3 ≤3 (a + x)(b + y)(c + z)

b) Từ đó suy ra : 3 3 + 3 3 + 3 3 − 3 3 ≤ 2 3 3

Câu 5.(3,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh

AB, BC, CD, DA của hình vuông.

a) Chứng minh rằng S ABCD

AC 4

≤ (MN + NP + PQ + QM).

b) Xác định vị trí của M, N, P, Q để chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất.

Câu 6.(3,0 điểm) Cho đường tròn (O) nội tiếp hình vuông PQRS OA và OB là hai bán kính

thay đổi vuông góc với nhau Qua A kẻ đường thẳng Ax song song với đường thẳng PQ, qua B kẻ đường thẳng By song song với đường thẳng SP Tìm quỹ tích giao điểm M của

2- Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm hướng dẫn chấm phải bảo đảm không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.

3- Điểm toàn bài thi không làm tròn số

II- Đáp án và thang điểm:

Dễ thấy x = 0 không phải là nghiệm

Chia 2 vế của (2) cho x2 ta được: 2

Giải (3) ta được hai nghiệmt1 1 5

nghiệm

0,500,500,50

⇔ 

 ⇔ 2xy = (x + y) 2

⇔ x + y = 0 2 2 ⇔ x = y = 0 ⇒ z = 1

Vậy hệ phương trình chỉ có 1 cặp nghiệm duy nhất: (x ;y ;z) =

(0 ;0; 1)

0,500,500,500,50

Với y = 0 , (3) không có số nguyên x nào thỏa mãn

Với |y| = 1, từ (3) suy ra x ∈{ 0 ; 6}.

0,500,500,500,50

Câu 4a.

(2,0đ)

3 abc +3 xyz ≤ 3(a+x)(b+y)(c+z) (1)

Lập phương 2 vế của (1) ta được :

(abz+ayc+ xbc) 3 (abc) xyz ≥ (3)

2 3

(ayz+xbz+ xyc) 3 abc(xyz) ≥ (4)

0,50

0,50

0,50

(1,0) Chu vi tứ giác MNPQ là :

MN + NP + PQ + QM = 2BJ + 2IK +2DK + 2IJ

= 2(BJ + JI + IK + KD) ≥ 2BD (cmt)

Dấu bằng xảy ra khi đường gấp khúc trùng với BD, tức là MQ

//NP, MN//PQ, MN=PQ (vì cùng là cạnh huyền 2 tam giác vuông

cân bằng nhau), lúc đó MNPQ là hình chữ nhật

0,500,50

Câu 6.

(3,0đ) Kí hiệu như hình vẽ

Phần thuận :

AOB =AMB 90 = (giả thiết)

⇒ tứ giác AOBM luôn nội tiếp

AMO ABO 45 = = (vì ∆AOBvuông cân tại O)

Suy ra M luôn nằm trên đường

thẳng đi qua O và tạo với đường

K

x y

A

B

M M'

B'

qua M kẻ đường thẳng song song với đường thẳng PQ cắt (O) tại

A Kẻ bán kính OB ⊥ OA

Ta thấy tứ giác AOBM nội tiếp (vì AMO ABO 45· = · = 0)

Suy ra : AMB AOB 90· =· = 0

=Hết=

GIẢI ĐỀ CHUYÊN TOÁN THPT HUỲNH MẪN ĐẠT – KIÊN GIANG, NĂM 2009 –

2010

Đề, lời giải Cách khác, nhận xét

Bài 1: (1 điểm) Cho phương trình ax 2 + bx +

c = 0 có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 Đặt S 2

a/ Định m để phương trình có một nghiệm

bằng 9 và tìm tất cả nghiệm còn lại của