Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m, đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm phân biệt.. Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng d và parabol P.. Đường thẳn
Trang 1
Bài 1: (1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức: 1 . 1
a a
= + ÷÷
với 0 < a < 1
Bài 2: (1,5 điểm)
Tìm hai số x, y thỏa mãn các điều kiện:
12
x y xy
+ =
=
Bài 3: (2,0 điểm)
Hai người cùng làm chung một công việc sẽ hoàn thành trong 4 giờ Nếu mỗi người làm riêng để hoàn thành công việc thì thời gian người thứ nhất làm ít hơn người thứ hai 6 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người phải làm trong bao lâu để hoàn thành công việc ?
Bài 4:(2,0 điểm)
Cho các hàm số: y = x2 (P) và y = 3x + m2 (d) (x là biến số, m là số cho trước)
1 Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt
2 Gọi y1 và y2 là tung độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
Tìm m để có đẳng thức y1 + y2 = 11y1.y2
Bài 5: (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A Trên cạnh AC lấy điểm M (khác A và C) Vẽ đường tròn (O) đường kính MC Gọi T là giao điểm thứ hai của (O) với cạnh BC Nối BM và kéo dài cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là D Đường thẳng AD cắt (O) tại điểm thứ hai là S
Chứng minh:
1 Tứ giác ABTM nội tiếp được trong một đường tròn.
2 Khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì góc ADM có số đo không đổi.
3 Đường thẳng AB song song với đường thẳng TS.
-
Trang 2HẾT -Bài 1: (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
2
1,7
x x y
x x y
+ =
+ =
+
Bài 2: (2 điểm)
Cho biểu thức: 1
1
x P
x x x
+ − với x > 0 và x ≠ 1.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tính giá trị của P khi 1
2
x=
Bài 3: (2 điểm)
Cho đường thẳng d có phương trình y = ax + b Biết rằng đường thẳng d cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 1 và song song với đường thẳng y = -2x + 2003.
a) Tìm a và b.
b) Tìm tọa độ các điểm chung (nếu có) của d và parabol 1 2
2
y= − x
Bài 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O) có tâm là điểm O và một điểm A nằm ngoài đường tròn Từ A kẻ các tiếp tuyến AP và AQ với đường tròn (O), P và Q là các tiếp điểm Đường thẳng đi qua O
và vuông góc với OP và cắt đường thẳng AQ tại M.
a) Chứng minh rằng: MO = MA.
b) Lấy điểm N trên cung PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại N
của đường tròn (O) cắt các tia AP và AQ tương ứng tại B và C.
b1) Chứng minh rằng: AB + AC - BC không phụ thuộc vào vị trí của N.
b2) Chứng minh rằng: Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường tròn thì PQ // BC.
Bài 5: (1 điểm)
Giải phương trình: x2 − 2x− + 3 x+ = 2 x2 + 3x+ + 2 x− 3
-
Trang 3HẾT -Bài 1: (3 điểm)
1) Đơn giản biểu thức: P= 14 6 5 + + 14 6 5 −
2) Cho biểu thức: 2 2 . 1
1
Q
x
= − ÷÷
− + +
a) Chứng minh : 2
1
Q x
=
− b) Tìm số nguyên x lớn nhất để Q có giá trị là số nguyên.
Bài 2: (3 điểm)
Cho hệ phương trình: ( 1) 4
ax+y=2a
a x y
+ + =
1) Giải hệ khi a = 1.
2) Chứng minh rằng với mọi giá rtij của a, hệ luôn có nghiệm duy nhất
(x, y) sao cho x + y ≥ 2
Bài 3: (3 điểm)
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O)
tại A M và Q là hai điểm phân biệt, chuyển động trên (d) sao cho M khác Avà Q khác A Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P.
Chứng minh:
1) Tích BM.BN không đổi.
2) Tứ giác MNPQ nội tiếp được trong đường tròn.
3) Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài 4: (1 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2 2
x x y
x x
+ +
= + +
-
Trang 4HẾT Bài 1: (2,0 điểm)
2) Chứng minh: ( )2
4
a b ab a b b a
a b
= −
Bài 2: (3,0 điểm)
Cho parabol (P) : 2
2
x
y= và đường thẳng (d) có phương trình: (d): y = mx - m + 2 Với (m là tham số).
1) Tìm m để đường thẳng (d) và parabol (P) cùng đi qua điểm có hoành độ x = 4.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại
2 điểm phân biệt
3) Giả sử (x1; y1) và (x2; y2) là tọa độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P)
Chứng minh rằng: y1 +y2 ≥(2 2 1 − ) (x1 +x2)
Bài 3: (4,0 điểm)
Cho BC là dây cung cố định của đường tròn tâm O, bán kính R (0 < BC < 2R) A là
điểm di động trên cung lớn BC sao cho ΔABC nhọn Các đường cao AD, BE,CF của ΔABC cắt nhau tại H ( D BC E CA F∈ ; ∈ ; ∈AB)
1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong một đường tròn
Từ đó suy ra AE.AC = AF.AB.
2) Gọi A' là trung điểm của BC Chứng minh AH = 2A'O.
3) Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đặt S là diện tích của ΔABC, 2p là chu vi của ΔDEF.
a) Chứng minh: d // EF.
b) Chứng minh: S = pR.
Bài 4 (1,0 điểm)
Giải phương trình: 9x2 + 16 2 2 = x+ + 4 4 2 −x
- HẾT
Trang 5-Câu 1: (2 điểm)
x x A
+ +
= − − ÷ − − − ÷÷
với x > 0, x ≠ 1 và x ≠ 4
1.Rút gọn A
2.Tìm x để A = 0.
Câu 2: (3,5 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y x= 2 và đường thẳng (d) có phương trình:
y = 2(a - 1)x + 5 - 2a (a là tham số)
1 Với a = 2 tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).
2.Chứng minh rằng với mọi a đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.
3 Gọi hoành độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P) là x1, x2
Tìm a để x2
1 + x2
2 = 6
Câu 3: (3,5 điểm)
Cho đường tròn đường kính AB Điểm I nằm giữa A và O (I khác A và O) Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN (C khác M, N và B) Nối AC cắt MN tại E
Chứng minh:
1.Tứ giác IECB nội tiếp
2.AM2 = AE.AC
3.AE.AC - AI.IB = AI2
Câu 4: (1 điểm)
Cho a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 Chứng minh: a + b + c ≥ 16.
HẾT
Trang 6-phương án đúng Hãy viết vào bài làm của mình -phương án trả lời mà em cho là đúng (chỉ cần viết chữ cái ứng với phương án trả lời đó).
Câu 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : y = 2x + 1 và d 2 : y = x – 1 Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại điểm có tọa độ là:
A (–2; –3) B (–3; –2) C (0; 1) D (2; 1)
Câu 2: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến khi x < 0?
A y = –2x B y = –x + 10 C y= 3x2 D y= ( 3 2) − x2
Câu 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đồ thị của hàm số y = 2x + 3 và hàm số y = x2 Các đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm có hoành độ lần lượt là:
Câu 4: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có tổng hai nghiệm bằng 5?
A x 2 – 5x + 25 = 0 B 2x 2 – 10x – 2 = 0 C x 2 – 5 = 0 D 2x 2 + 10x +1 = 0
Câu 5: Trong các phương trình sau đây, phương trình nào có hai nghiệm âm?
A x 2 + 2x + 3 = 0 B x 2 + 2 x – 1 = 0 C x 2 + 3x + 1 = 0 D x 2 + 5 = 0
Câu 6: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) có OO’ = 4cm; R = 7cm; R’ = 3cm Hai đường tròn đã cho
A cắt nhau B tiếp xúc trong C ở ngoài nhau D tiếp xúc ngoài
Câu 7: Cho tam giác ABC vuông ở A có AB = 4cm; AC = 3cm Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán
kính bằng
Câu 8: Một hình trụ có bán kính đáy là 3cm, chiều cao là 5cm Khi đó, diện tích xung quanh của hình trụ đã cho
bằng
Bài 2 (1,5 điểm)
x x x P
x x x x
+ +
= − ÷
1 Rút gọn biểu thức P
2 Tìm x để P < 0.
Bài 3 (2,0 điểm)
Cho phương trình x2 + 2mx + m – 1 = 0
1 Giải phương trình khi m = 2
2 Chứng minh: phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, với mọi m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương.
Bài 4 (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB, điểm I nằm giữa hai điểm A và O Kẻ đường thẳng vuông góc với
AB tại I, đường thẳng này cắt đường tròn (O; R) tại M và N Gọi S là giao điểm của hai đường thẳng BM và
AN Qua S kẻ đường thẳng song song với MN, đường thẳng này cắt các đường AB và AM lần lượt ở K và H Hãy chứng minh:
1 Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và HS.HK = HA.HM
2 KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
3 Ba điểm H, N, B thẳng hàng
Bài 5 (1,5 điểm)