Ôn tập hình học lớp 12

Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 1 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 b c a A B C HÌNH HỌC ÔN TẬP : 1) Các hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC  vuông tại A , AH là đường cao . Ta có :  2 2 2 BC AB AC   ( Pitago )  . .AH BC AB AC   2 .AB BH BC , 2 .AC CH CB  2 2 2 1 1 1 AH AB AC   , 2 .AH HB HC 2 BC AM  ( trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền ) 2) Các hệ thức lượng trong tam giác thường : a) Định lí hàm số cosin :  2 2 2 2 cosa b c bc A    2 2 2 2 cos b a c ac B     2 2 2 2 cosc a b ab C   2 2 2 cos 2 b c a A bc    2 2 2 cos 2 a c b B ac    2 2 2 cos 2 a b c C ab    b) Định lí hàm sin : 2 sin sin sin a b c R A B C    ( R là bk đường tròn ngoại tiếp của ABC ) A B C H M Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 2 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 b c a A B C B A C A B C M N N K M A B C a h  Công thức tính diện tích của tam giác :  S= 1 1 1 2 2 2 a b c ah bh ch   1 1 1 sin sin sin 2 2 2 S ab C bc A ac B    4 abc S R  , .S p r  ( )( )( )S p p a p b p c    ( Với 2 a b c p    , r là bán kính đường tròn nội tiếp ABC ) c) công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác : 2 2 2 2 2 4 AB AC BC AM    2 2 2 2 2 4 BA BC AC BN    2 2 2 2 2 4 CA CB AB CK    3) Định lí Talet :  //MN BC AM AN MN k AB AC BC      Chú ý : 2 2 AMN ABC S AM k s AB           4) Diện tích của đa giác : a) Diện tích của tam giác vuông: S = 1 2 tích hai cạnh góc vuông ABC  vuông tại A 1 . 2 ABC S AB AC    b) Diện tích tam giác đều : 2 ( ) 3 4 canh S  Chiều cao của tam giác đều : h = ( ) 3 2 canh ABC  đều có cạnh a : Diện tích : 2 3 4 a S  Chiều cao : 3 2 a h  Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 3 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 B A C D A D C B H c) Diện tích của hình vuông : 2 ( )S canh Đường chéo hình vuông =(cạnh) 2 Hình vuông ABCD có cạnh a Diện tích : 2 S a  Đường chéo : AC = BD = 2a d) Diện tích hình chữ nhật : S  dài x rộng e) Diện tích tứ giác có hai đường chéo vuông góc 1 2 S  tích hai đường chéo Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc AC BD thì 1 . 2 S AC BD f) Diện tích hình thang : S= 1 2 (đáy lớn + đáy bé) x chiều cao . 2 AD BC S AH   Ghi Nh ớ 1/ Ch ứng minh đường thẳng // ( )d mp  ( v ới ( )d  )  Chứng minh //d d  và ( ) d    2/ Ch ứng minh ( )// ( )mp mp   Ch ứng minh ( )  ch ứa hai đường thẳng cắ t nhau song song v ới ( )  3/ Ch ứng minh hai đường thẳng song song : Áp d ụng một trong các định lí sau  Hai mp ( ) , ( )  có đi ểm chung S và lần lượt chứa hai đường thẳng song song a , b thì ( ) ( ) // //Sx a b     ( )// , ( ) ( ) ( ) //a a b a        Hai m ặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 4 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 a b a' b' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P d P d                 M ột mặt phẳng cắt hai mặt phẳng song song theo hai giao tuyến song song  Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau  S ử dụng phương pháp hình học phẳng : đường trung bình , định lí Talét đảo , …. 4/ Ch ứng minh đường thẳng ( )d mp   Ch ứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong ( )  Ch ứng minh //d d  và ( )d     Ch ứng minh ( )d  mà ( )//( )    Hai m ặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuy ến của chúng vuông góc v ới mặ t ph ẳng th ứ 3  Có hai m ặt phẳng vuông góc nhau, đư ờng thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến , cũng vuông góc với mặt phẳng kia ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d a a a d                       5/ Ch ứng minh đường thẳng d d    Ch ứng minh ( ) d  và ( ) d    6/ Ch ứng minh ( ) ( )mp mp    Ch ứng minh ( ) d   và ( )d  ( ch ứng minh mp này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mp kia ) GÓC VÀ KHO ẢNG CÁCH 1/ Góc gi ữa hai đường thẳng : / / ' ( , ) ( ', ') / / ' a a a b a b b b      2/ Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 5 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 b a d M d' d M Là góc t ạo bới đường thẳng đó và hình chi ếu của nó trên mặt phẳng ( ,( )) ( , ')d d d  v ới d’ là hình chiếu vuôn g góc c ủa d lên ( ) 3/ Góc gi ữa hai mặt phẳng : ( ) ( ) ( ), (( ),( )) ( , ) ( ), d a a d a b b b d                    4/ Kho ảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Là đ ộ dài đoạn vuông góc v ẽ từ điểm đó đến đường thẳng 5/ Kho ảng cách t ừ một điểm đến m ột mặt phẳng : Là đ ộ dài đoạn vuông góc vẽ từ điểm đó đến m ặt phẳng 7/ Kho ảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau :  Là đ ộ dài đoạn vuông góc chung c ủa hai đường thẳng đó  Là kho ảng cách MH từ một đi ểm M trên d đến mp ( ) ch ứa d’ và song song với d  Là kho ảng cách giữa hai mặt phẳ ng song song ( ), ( )  l ần lượt chứa d và d’ d’ d M Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 6 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 O H A C B S H O C A D S B HÌNH CHÓP ĐỀU  M ột hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là m ột đa giác đều và có chân đư ờng cao trùng với tâm của đa giác đáy Nh ận xét : a) Hình chóp đều có các mặt bên là nh ững tam giác cân bằng nhau . Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau b) Các c ạnh bên của hình chóp đều tạo với mặt đáy các góc bằng nhau  Hai hình chóp đều thường gặp : 1) Hình chóp tam giác đều : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC  Đáy ABC là tam giác đ ều  Các m ặt bên là các tam giác cân tại S  Ch ều cao : SO  Góc gi ữa cạnh bên và mặt đáy:    SAO SBO SCO   Góc gi ữa mặt bên và mặt đáy :  SHO  2 3 AO AH , 1 3 OH AH , 3 2 AB AH  Chú ý : Hình chóp tam giác đều khác với tứ diện đều T ứ diện đều có các mặt là các tam giác đều . Như vậy : Tứ diện đều là hình chóp tam giác đ ều có cạnh bên bằng cạnh đáy 2) Hình chóp t ứ giác đều : Cho hình chóp t ứ giác đều S. ABCD  Đáy ABCD là h ình vuông  Các m ặt bên là các tam giác cân tại S  Ch ều cao là SO  Góc gi ữa cạnh bên và mặt đáy:     SAO SBO SCO SDO    Góc gi ữa mặt bên và mặt đáy :  SHO Nh ắc lại : - Một tam giác đều có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , chiều cao h = - M ột hình vuông có cạnh bằng a thì : Diện tích S = , độ dài đường chéo = Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 7 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 h B A B C D S h h B B a b c a THỂ TÍCH KH ỐI ĐA DIỆN 1)Thể tích khối chóp : V= 1 3 .h .B B : là diện tích mặt đáy h : là chiều cao của khối chóp 2) Thể tích khối lăng trụ : V = B.h B : là diện tích mặt đáy h : là chiều cao của khối lăng trụ Ghi chú : Lăng trụ đứng có chiều cao cũng là cạnh bên 3) Th ể tích hình hộp chữ nhật V = a.b.c 4)Th ể tích khối lập phương : V = 3 a Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 8 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 1) T ỉ thể tích ' ' ' ' ' ' . . SA B C SASBC V SA SB SC V SA SB SC  A C B S A' B ' C ' Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 9 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718 T A C B S T A D C S M ẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP 1- Nh ắc lại một số kiến thức cơ bản :  Trục của đa giác : là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác và vuông góc v ới mặt phẳng chứa đa giác B ất kì một điểm nào nằm trên tr ục của đa giác th ì cách đều các đỉnh của đa giác đó  Đư ờng trung trực của đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc v ới đoạn thẳng đó Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng  Mặt trung trực của một đoạn thẳng l à mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc v ới đoạn thẳng đó B ất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2- Tâm m ặt cầu ngoại tiếp hình chóp : Là đi ểm cách đều các đ ỉnh của h ình chóp 3- Cách xác đ ịnh tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp :  D ạng 1 : Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông Hình chóp S.ABC có   0 90SAC SBC   Tâm T c ủa mặt c ầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung đi ểm của SC Bán kính 2 SC R  Hình chóp S.ABCD có    0 90SAC SBC SDC    Tâm T c ủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung đi ểm của SC Bán kính 2 SC R  Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 10 - ThS. Huỳnh Khoa Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt website: www.trithucvietnam.vn Cơ S ở 1: 612 L ạc Long Quân , P5, Q11 ĐT : 08.66.572.472 Cơ S ở 2 : 104 Tô Hi ến Thành , P15 , Q.10 ĐT: 08.66.570.718  Dạng 2 : + Hình chóp có các c ạnh bên bằng nhau - G ọi O là tâm của đáy  SO là tr ục của đáy - Trong m ặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên , dựng đường trun g tr ực c ủa cạnh bên cắt SO tại I  I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp + Hình chóp có m ột cạnh bên SA vuông góc v ới đáy - Tìm tr ục  c ủa đáy - Trong m ặt phẳng chứa cạnh bên SA và ch ứa tr ục  , d ựng đường trung trực d c ủa cạnh bên SA c ắt  t ại I  I là tâm c ủa mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  D ạng 3 : V ới hình chóp có m ột mặt bên vuông góc với đáy. - D ựng trục  c ủa đáy - D ựng tr ục d của mặt bên vuông góc với đáy. - d I   I là tâm m ặt cầu ngoại tiếp hình chóp BÀI TẬP Bài 1 : Cho hình chóp SABC có đáy là ABC vuông cân t ại A , hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là trung đi ểm O của BC , SO = AB = a . a) CMR BC SA , tính SA theo a . b) Tính th ể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 2 : Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy . Biết góc 0 120BAC  , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. Bài 3 : a) Tính th ể tích của khối chóp tam giác đ ều S.ABC biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2 3 a b) Tính th ể tích của khối chóp tứ giác đều S.ABCD biết cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy m ột góc 60 0 c) Tính th ể tích của khối chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh đáy bằ ng a , m ặt bên hợp với đáy một góc 60 0 Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a . Đỉnh S cách đều A , B , C và SA tạo với (ABCD) một góc 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. [...].. .Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 11 - ThS Huỳnh Khoa Bài 5 : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3 , mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) Bài 6 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mp (SAB) vuông góc với mp đáy ,SA = SB... ABC  Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,góc   BAD  900 , BA = BC = a, Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt Cơ Sở 1: 612 Lạc Long Quân , P5, Q11 Cơ Sở 2: 104 Tô Hiến Thành , P15 , Q.10 website: www.trithucvietnam.vn ĐT : 08.66.572.472 ĐT: 08.66.570.718 Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 16 - ThS Huỳnh Khoa AD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA = a 2 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên... của hình vuôngA1B1C1D1 Tính thể tích của khối lập phương và thể tích của khối tứ diện A 1O1BD Chứng minh : BD1  ( ACB1 ) Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với đáy , cạnh bên SB = a 3 a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD b) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 19:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông... tích xung quanh của hình chóp c) Gọi H là trung điểm AB , OK  SH Chứng minh OK   SAB  d) Gọi M là trung điểm OC , qua M dựng mp(  ) vuông góc AB, cắt AB , SA , SC lần lượt tại N, P , Q Tứ giác MNPQ là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNPQ e) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc của S xuống... lượt là hình chiếu của A lên SB , SD Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt Cơ Sở 1: 612 Lạc Long Quân , P5, Q11 Cơ Sở 2: 104 Tô Hiến Thành , P15 , Q.10 website: www.trithucvietnam.vn ĐT : 08.66.572.472 ĐT: 08.66.570.718 Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 12 - ThS Huỳnh Khoa Chứng minh SC  ( AHK ) và tính thể tích của khối chóp OAHK Bài 13 : Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B Biết SA vuông góc... 08.66.572.472 ĐT: 08.66.570.718 Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 13 - ThS Huỳnh Khoa a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABCD Bài 21 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC b) Xác định tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 22 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD... 08.66.570.718 1 4 Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 15 - ThS Huỳnh Khoa Bài 32 : Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a , góc giữa đường thẳng BB’ và mp(ABC) bằng 600 ; tam giác ABC vuông tại C và góc BAC = 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích của khối tứ diện A’ABC theo a ĐS : V  (ĐH khối B – 2009 ) 9a 3 208 Bài 33 :Cho hình chóp S.ABCD... Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài 23 : Cho hình chóp S.ABC có có đáy là ABC vuông tại A , SA  ( ABC ) , góc ABC = 300 , AC = a , SA = 4a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Xác định tâm và tích bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A , hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC) là trung điểm O của BC... giác vuông tại C , cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết AB = a 3 , BC = a , SB tạo với mp(ABC) một góc 600 a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy Mặt (SBD) tạo với mặt đáy một góc 600 Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt Cơ Sở 1: 612 Lạc Long Quân , P5, Q11 Cơ... tại J,M,N Tứ giác IJMN là hình gì? Tính diện tích tứ giác IJMN theo a d) Tính d[AD,SB];d[AB,(SCD)] và góc hợp bởi SB với mp (SCD) e) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Trung tâm LTĐH Tri Thức Việt Cơ Sở 1: 612 Lạc Long Quân , P5, Q11 Cơ Sở 2: 104 Tô Hiến Thành , P15 , Q.10 website: www.trithucvietnam.vn ĐT : 08.66.572.472 ĐT: 08.66.570.718 Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 14 - ThS . Bài 12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA ( )ABCD . Cho AB = a , 2SA a . Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của A lên SB , SD . Hình Học Lớp 12 (Chương I) - 12. cầu ngoại tiếp hình chópS.ABC. Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy . M ặt (SBD) tạo với mặt đáy một góc 60 0 . Hình Học Lớp 12 (Chương I). B A C D A D C B H c) Diện tích của hình vuông : 2 ( )S canh Đường chéo hình vuông =(cạnh) 2 Hình vuông ABCD có cạnh a Diện tích : 2 S a  Đường chéo : AC = BD = 2a d) Diện tích hình chữ nhật :