Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bất đẳng thức trung bình điều hoà.Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bài toán 1 Bài toán 1Bài toán 1 Bài toán 1. Cho hai cặp số dơng 1 2 , x x và 1 2 , y y ta có: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 (1) 1 1 1 1 1 1 x x y y x x y y + + + + + + (1) gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà đối với hai cặp số. Chứng minh. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) (1) x y x y x x y y x y x y x x y y + + + + + + + + [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y + + + + + + + + + + ( ) 2 1 2 2 1 1 2 1 2 0, x , , , x y x y x y y Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có Mệnh đề 1 Mệnh đề 1Mệnh đề 1 Mệnh đề 1 Cho hai bộ n số tự nhiên , , 1, ( ) i i x y i n n N = ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n i n n i i i i i i x y x y = = = + + (2) (2) đợc gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với hai bộ n số dơng. Chứng minh Giả sử (2) đúng với n = k nghĩa là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k i k k i i i i i i x y x y = = = + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 1 2 2 : : : k k x y x y x y = = = Ta chứng minh cho (2) đúng với n = k + 1. Thật vậy, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k i i n n i i i i k k k k i i i i x y x y x y x y x y + = = + + + + = = = + + + + + + + áp dụng bất đẳng thức (1) cho hai cặp số: 1 1 , k i k i x x + = và 1 1 , k i k i y y + = ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k k k k k k i i i i i i i i x y x y x y + + + + = = = = + + + + Đẳng thức xảy ra khi: 1 1 1 1 1 1 2 2 : : : : : k k i i k k i i k k x y x y x y x y x y + + = = = = = = 1 1 2 2 1 1 : : : k k x y x y x y + + = = = Vậy, ta đã chứng minh đợc (2). Chúng ta mở rộng (1) theo hớng khác ta có: Mệnh đề 2. Mệnh đề 2.Mệnh đề 2. Mệnh đề 2. Cho 3 cặp số dơng 1 2 1 2 1 1 , ; , ; , x x y y z z ta có: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x x y y z z + + + + + + + + + + (3) (3) gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với 3 cặp số dơng. Chứng minh. 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x x x x y z y z y z y z + = + + + + + + + + + + + + + + áp dụng (1) cho hai cặp số dơng: 1 2 1 1 2 2 1 1 , ; , 1 1 1 1 x x y z y z + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 1 2 2 1 1 : : 1 1 1 1 x x y z y z = + + Tiếp tục áp dụng (1) cho hai cặp số dơng 1 2 1 2 , ; , y y z z ta đợc. 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 y z y z y y z z + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 2 : : y y z z = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x y y z z y z y z y y z z = + + + + + + + + + + + + + + + Vậy , 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x y z x y z x x y y z z + + + + + + + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 : : 1 1 1 1 : : : : : : x x x y z x y z y z y z y z y z = + + = = Bằng chứng minh quy nạp ta có các mở rộng sau của bất đẳng thức Mệnh đề 3 Mệnh đề 3Mệnh đề 3 Mệnh đề 3 Bất đẳng thức trung bình điều hoà cho 3 bộ n số dơng. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n i n n n i i i i i i i i i x y z x y z = = = = + + + + Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: 1 1 1 2 2 2 : : : : : : n n n x y z x y z x y z = = = Mệnh đề 4. Mệnh đề 4. Mệnh đề 4. Mệnh đề 4. BĐT trung bình điều hoà với n cặp số dơng 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 n n n i i i i i i i x x x x = = = + + Mệnh đề 5. Mệnh đề 5.Mệnh đề 5. Mệnh đề 5. BĐT trung bình điều hoà m bộ n số dơng. Cho n bộ gồm m số dơng 1 2 , , 1, i i mi x x x i m = 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n m m m i i i i i im j j j j j nj x x x x x x = = = = = = + + + + + + . Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bất đẳng thức trung bình điều hoà .Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bất đẳng thức trung bình điều hoà. Bài toán 1 Bài toán. = = Bằng chứng minh quy nạp ta có các mở rộng sau của bất đẳng thức Mệnh đề 3 Mệnh đề 3Mệnh đề 3 Mệnh đề 3 Bất đẳng thức trung bình điều hoà cho 3 bộ n số dơng. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n i n. đợc gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với hai bộ n số dơng. Chứng minh Giả sử (2) đúng với n = k nghĩa là: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k i k k i i i i i i x y x y = = = + + Đẳng thức xảy