Hệ thức về trọng tâm Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.. Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp Cho tam giác ABC, G, H,
Trang 1GV : Chu Quèc Hïng
Chủ để 1 Chứng minh các đẳng thức Vectơ VD1 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F CMR : (bằng nhiều cách khác nhau)
a) AB CD AD CBuuur uuur uuur uuur+ = + b) AB CD AC DBuuur uuur uuur uuur− = + c) AD BE CF AE BF CDuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + = + +
VD2 Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA Chứng minh rằng :
a) AN BP CM Ouuur uuur uuur ur+ + = b) AN AM APuuur uuur uuur= + c) AM BN CP Ouuur uuur uuur ur+ + =
VD3 (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B
a) Cho M là trung điểm A, B Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : uur uurIA IB+ =2IMuuur
b) Với điểm N sao cho NAuuur= −2NBuuur CMR với I bất kì : IAuur+2IBuur=3INuur
c) Vơi điểm P sao cho PAuuur=3PBuuur CMR với I bất ki : IAuur−3IBuur= −2IPuur
d) Tổng quát tính chất trên
VD3 (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.
a) Chứng minh rằng AG BG CG Ouuur uuur uuur ur+ + = Với I bất kì ta có : uur uur uurIA IB IC+ + =3uurIG
b) M thuộc đoạn AG và 1
4
MG= GA CMR : 2MA MB MC Ouuur uuur uuuur ur+ + = Với I bki 2IA IB ICuur uur uur+ + =4IMuuur c) Tổng quát tính chất trên
d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1 Chứng minh rằng :
+ AD BE CEuuur uuur uuur+ + =3GGuuuur1
+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm
VD4 (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O.
a) CMR : AO BO CO DO Ouuur uuur uuur uuur ur+ + + = , Với I bất kì IA IB IC IDuur uur uur uur+ + + =4IOuur
b) M là điểm thoả mãn:
VD5 (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD Gọi M, N của AB và CD CMR :
a) AD BCuuur uuur+ =2MNuuuur b) uuur uuurAC BD+ =2uuuurMN
c) Tìm vị trí điểm I sao cho IA IB IC ID Ouur uur uur uur ur+ + + =
d) Với M bất kì, CMR : MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + =4uuurMI
VD6 (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm A A1, 2, ,A n
a) Gọi G là điểm thoả mãn GAuuuur uuuur1+GA2 + + GAuuuur urn =O CMR vơi bki M : MAuuuur uuuur1+MA2+ + MAuuuurn =nMGuuuur b) Gọi I là điểm thoả mãn n IA1uuur1+n GA2uuuur2+ + n GA nuuuur urn =O CMR với M bất kì :
n MA1uuuur1+n MA2uuuur2+ + n MA nuuuurn =(n1+ + n MG n)uuuur
VD7
a) Cho lục giác đều ABCDEF CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm
b) Cho lục giác ABCDEF Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm
c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho :
A B k A C B C kB A C A kC Buuur' = uuur uuur' , ' = uuur uuur' , ' = uuur' và k≠1 CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng trọng tâm d) Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm
VD8 (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp)
Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp
a) 3OG OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + + b) OH OA OB OCuuur uuur uuur uuur= + + c) 2HO HA HB HCuuur uuur uuur uuur= + +
d) aIA bIB cIC Ouur+ uur+ uur ur= e) Tan HA TanBHBAuuur+ uuur+tanCHC Ouuur ur=
f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC CMR : S BCM IA Suur+ ACM IB Suur+ ABM IC Ouur ur= (M nằm ngoài thì không còn đúng)
VD9 (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp) Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB
và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN
AK = AB+ AC
uuur uuur uuur
b) D là trung điểm BC CMR : 1 1
KD= AB+ AC
uuur uuur uuur
Trang 2GV : Chu Quèc Hïng
Chủ đề 2 Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm
VD1 Cho tam giác ABC và G là trọng tâm B1 đối xứng với B qua G M là trung điểm BC Hãy biểu diễn
các véc tơ AMuuur, uuur uuur uuur uuur uuuurAG BC CB AB MB, , 1, 1, 1 qua hai véc tơ uuur uuurAB AC,
VD2 Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB
= 2JC
a) Tính AI AJuur uur, theo hai véc tơ AB ACuuur uuur, Từ đó biểu diễn AB ACuuur uuur, theo uur uurAI AJ, (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn)
b) Gọi G là trọng tâm tam giác Tính AGuuur theo uur uurAI AJ,
Chủ đề 3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB kACuuur= uuur
Lưu ý : uuurAB mx ny AC kmx kny= r+ r uuur , = r+ r thì AB kACuuur= uuur
VD1 (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn) Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là
trung điểm AB, AC
a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng
b) Gọi E, F thoả mãn : 1
3
ME= MN
uuur uuuur
3
BF= BC
uuur uuur
CMR : A, E, F thẳng hàng
VD2 Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.
a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng
b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấy điểm K là trung điểm EF Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng
VD3 Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : MBuuur−3MC Ouuuur ur= , uuurAN=3NCuuur, PB PA Ouuur uuur ur+ =
MP CB= + CA MN= CB+ CA
uuur uuur uuur uuuur uuur uuur
)
VD4 Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LBuuur=2LCuuur, 1
2
MC= − MA
uuuur uuur
, NB NA Ouuur uuur ur+ = CM : L, M, N thẳng hàng
VD5 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm I, J thoả mãn : 2IAuur+3IC Ouur ur= , 2uurJA+5uurJB+3uur urJC O=
a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC
b) CMR J là trung điểm BI
c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE kABuuur= uuur Xác định k để C, E, J thẳng hàng
VD6 Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : uurIA=2 , 3uur uurIB JA+2uur urJC O= CMR : Đường thẳng IJ đi qua G
Chủ đề 4 Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định.
a) Nếu PB PA Ouuur uuur ur+ = thì P là trung điểm của AB
b) Nếu PB PA PC Ouuur uuur uuur ur+ + = thị P là trọng tâm tam giác ABC
c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ?
VD1(Cho hai điểm) Xác định vị trí điểm I thoả mãn : IAuur+2IB Ouur ur=
NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA nIB Ouur+ uur ur= Với điểm O bất kì
VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C Tìm vị trí điểm M sao cho :
a) MB MC ABuuur uuuur uuur+ = (Trung điểm AC) b) 2MA MB MC Ouuur uuur uuuur ur+ + = c) MAuuur+2MB MC Ouuur uuuur ur+ =
d) MA MBuuur uuur+ +2MC Ouuuur ur= e) MA MB MC Ouuur uuur uuuur ur+ − = f) MAuuur+2MB MC Ouuur uuuur ur− =
NX : Mở rộng với n điểm bất kì
Chủ đề 5 Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ
Trang 3GV : Chu Quèc Hïng
Một số quĩ tích cơ bản :
a) MAuuur = uuurMB thì M nẵm trên đường trung trực của AB
b) MCuuuur=k ABuuur, với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB
c) AM kBCuuur= uuur với A, B, C cho trước
+ k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BCuuur
+ k< 0
+ k bất kì
Dạng 1 (Bài toán hai điểm)
VD1 Cho hai điểm A,B cố định Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) uuur uuurMA MB+ =2 ABuuur b) MA MBuuur uuur+ = uuurAB c) uuur uuurMA MB+ =2 MAuuur
d) MA MBuuur uuur+ = MAuuur e) 2MA MBuuur uuur+ = MA MBuuur uuur−
Dạng 2 (Bài toán 3 điểm)
VD2 Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
2
MA MB MC+ + = MB MC+
uuur uuur uuuur uuur uuuur
b) MA ACuuur uuur+ = MA MBuuur uuur− c) uuurMA+2MB MCuuur uuuur+ = MB MCuuur uuuur− d) 3uuurMA+2MBuuur−2MCuuuur= MB MCuuur uuuur−
VD3 Tìm quĩ tích điểm M sao cho :
a) MA kMB kMC Ouuur+ uuur− uuuur ur= b) kMA MB kMCuuur uuur+ = uuuur c) (1−k MA MB kMC O)uuur uuur+ − uuuur ur=
VD4 (Bài toán 4 điểm)
VD5 (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì)
Chủ đề 6 Một số bài toán về khoảng cách VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ?
a) MA MBuuur uuur+ b) uuurMA+2MBuuur c) 3MA MBuuur uuur− d) 3MAuuur+2MBuuur e) 2MAuuur−3MBuuur
VD2 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a) MA MB MCuuur uuur uuuur+ + b) uuurMA+2MB MCuuur uuuur+ c) 3MA MB MCuuur uuur uuuur+ + d) uuurMA−2uuur uuuurMB MC+
VD3 Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất
a) MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + + b) uuurMA+2MB MCuuur uuuur+ +2uuuurMD c) 3MA MB MC MDuuur uuur uuuur uuuur+ + −
d) uuurMA−2uuur uuuur uuuurMB MC MD+ − e) uuur uuur uuuurMA MB MC+ + +2uuurAB
VD4 (Mở rộng ra bài toán cho n điểm)
Chủ đề 7 Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ĐVĐ : Với I là trung điểm AB thì :
+ MB MAuuur uuur+ =2MIuuur
+ Nếu M, I, N thẳng hàng thì khi đó : MN kMA kMBuuuur= uuur+ uuur, hay nói cách khác
Là đường thẳng MN đi qua điểm I cố định
Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm I bằng điểm bất kì
VD1 (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định Hai điểm M, N di động CMR đường thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định nếu :
a) MN MAuuuur uuur= +2MBuuur b) MN MAuuuur uuur= −2MBuuur c) MNuuuur= −MAuuur+2uuurMB d) MNuuuur=3MAuuur+2uuurMB
VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng CMR đường thẳng MN luôn đi
qua một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm N trong mỗi trường hợp)
I M
N
Trang 4GV : Chu Quèc Hïng
a) MB MC MA MNuuur uuuur uuur uuuur+ + = b) 2MA MB MC MNuuur uuur uuuur uuuur+ + = c) MAuuur+2MB MC MNuuur uuuur uuuur+ = d) MA MBuuur uuur+ +2MC MNuuuur uuuur= e) MA MB MC MNuuur uuur uuuur uuuur+ − = f) MAuuur+2MB MC MNuuur uuuur uuuur− =
VD3.(Tổng quát cho bài toán n điểm)