Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) AB CD AD CB+ = + uuur uuur uuur uuur b) AB CD AC DB− = + uuur uuur uuur uuur c) AD BE CF AE BF CD+ + = + + uuur uuur uuur uuur uuur uuur VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) AN BP CM O+ + = uuur uuur uuur ur b) AN AM AP= + uuur uuur uuur c) AM BN CP O+ + = uuur uuur uuur ur VD3. (Hệ thức về trung điểm) Cho hai điểm A, B. a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta có : 2IA IB IM+ = uur uur uuur . b) Với điểm N sao cho 2NA NB= − uuur uuur . CMR với I bất kì : 2 3IA IB IN+ = uur uur uur c) Vơi điểm P sao cho 3PA PB= uuur uuur . CMR với I bất ki : 3 2IA IB IP− = − uur uur uur . d) Tổng quát tính chất trên. VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng AG BG CG O+ + = uuur uuur uuur ur . Với I bất kì ta có : 3IA IB IC IG+ + = uur uur uur uur . b) M thuộc đoạn AG và 1 4 MG GA= . CMR : 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur . Với I bki 2 4IA IB IC IM+ + = uur uur uur uuur . c) Tổng quát tính chất trên. d) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G 1 . Chứng minh rằng : + 1 3AD BE CE GG+ + = uuur uuur uuur uuuur + Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm. VD4. (Hệ thức về hình bình hành) Chohình bình hành ABCD tâm O. a) CMR : AO BO CO DO O+ + + = uuur uuur uuur uuur ur , Với I bất kì 4IA IB IC ID IO+ + + = uur uur uur uur uur b) M là điểm thoả mãn: VD5. (Tứ giác bất kì) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N của AB và CD . CMR : a) 2AD BC MN+ = uuur uuur uuuur b) 2AC BD MN+ = uuur uuur uuuur c) Tìm vị trí điểm I sao cho IA IB IC ID O+ + + = uur uur uur uur ur d) Với M bất kì, CMR : 4MA M B MC MD MI+ + + = uuur uuur uuuur uuuur uuur VD6. (Khái niệm trọng tâm của hệ n điểm và tâm tỉ cự của hệ n điểm) Cho n điểm 1 2 , , , n A A A . a) Gọi G là điểm thoả mãn 1 2 n GA GA GA O+ + + = uuuur uuuur uuuur ur . CMR vơi bki M : 1 2 n MA MA MA nMG+ + + = uuuur uuuur uuuur uuuur . b) Gọi I là điểm thoả mãn 1 1 2 2 n n n IA n GA n GA O+ + + = uuur uuuur uuuur ur . CMR với M bất kì : 1 1 2 2 1 ( ) n n n n MA n MA n MA n n MG+ + + = + + uuuur uuuur uuuur uuuur VD7. a) Cho lục giác đều ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng trọng tâm. b) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF, BC, DE, FA. CMR hai tam giác MNP và QRS cùng trọng tâm. c) Cho hai tam giác ABC và A ’ B ’ C ’ là các điểm thuộc BC, CA, AB sao cho : ' ' ' ' ' ' , ,A B kA C B C kB A C A kC B= = = uuur uuur uuur uuur uuur uuur và 1k ≠ . CMR hai tam giác ABC và A ’ B ’ C ’ cùng trọng tâm. d) Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N , P, Q là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và CMQ cùng trọng tâm. VD8. (Một số đẳng thức về trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp) Cho tam giác ABC, G, H, O, I là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp. a) 3OG OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur b) OH OA OB OC= + + uuur uuur uuur uuur c) 2HO HA HB HC= + + uuur uuur uuur uuur d) aIA bIB cIC O+ + = uur uur uur ur e) A tanTan HA TanBHB CHC O+ + = uuur uuur uuur ur f) Gọi M là điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. CMR : BCM ACM ABM S IA S IB S IC O+ + = uur uur uur ur (M nằm ngoài thì không còn đúng). VD9. (Nhấn mạnh bài toán và mở rộng ra nhiều trường hợp). Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN. a) CMR : 1 1 4 6 AK AB AC= + uuur uuur uuur . b) D là trung điểm BC. CMR : 1 1 4 3 KD AB AC= + uuur uuur uuur Page 1 7/11/2014 Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng Chủ đề 2. Biểu diễn véc tơ ĐVĐề : Dẫn dắt từ trung điểm VD1. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm. B 1 đối xứng với B qua G. M là trung điểm BC. Hãy biểu diễn các véc tơ AM uuur , 1 1 1 , , , ,AG BC CB AB MB uuur uuur uuur uuur uuuur qua hai véc tơ ,AB AC uuur uuur . VD2. Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI và J thuộc BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a) Tính ,AI AJ uur uur theo hai véc tơ ,AB AC uuur uuur . Từ đó biểu diễn ,AB AC uuur uuur theo ,AI AJ uur uur . (Nhấn mạnh cách tìm biểu diễn) b) Gọi G là trọng tâm tam giác. Tính AG uuur theo ,AI AJ uur uur . Chủ đề 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng Phương pháp : A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi AB k AC= uuur uuur . Lưu ý : , AB mx ny AC kmx kny= + = + uuur r r uuur r r thì AB k AC= uuur uuur VD1. (Dễ, sử dụng VD1 để dẫn dắt sang các VD phức tạp hơn). Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. a) Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng. b) Gọi E, F thoả mãn : 1 3 ME MN= uuur uuuur , 1 3 BF BC= uuur uuur . CMR : A, E, F thẳng hàng. VD2. Cho tam giác ABC, E là trung điểm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC. a) Gọi M là trung điểm BC và I là điểm thoả mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I thẳng hàng. b) Lấy N thuộc BC sao cho BN = 2 NC và J thuộc EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N thẳng hàng. c) Lấy điểm K là trung điểm EF. Tìm P thuộc BC sao cho A, K, P thẳng hàng. VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các điểm thoả mãn : 3MB MC O− = uuur uuuur ur , 3AN NC= uuur uuur , PB PA O+ = uuur uuur ur . CMR : M, N, P thẳng hàng. ( 1 1 1 , 2 2 4 MP CB CA MN CB CA= + = + uuur uuur uuur uuuur uuur uuur ). VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn 2 ,LB LC= uuur uuur 1 2 MC MA − = uuuur uuur , NB NA O+ = uuur uuur ur . CM : L, M, N thẳng hàng. VD5. Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. I, J thoả mãn : 2 3IA IC O+ = uur uur ur , 2 5 3JA JB JC O+ + = uur uur uur ur . a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điểm AB và BC. b) CMR J là trung điểm BI. c) Gọi E là điểm thuộc AB và thoả mãn AE k AB= uuur uuur . Xác định k để C, E, J thẳng hàng. VD6. Cho tam giác ABC. I, J thoả mãn : 2 , 3 2 = IA IB JA JC O= + uur uur uur uur ur . CMR : Đường thẳng IJ đi qua G. Chủ đề 4. Xác định vị trí một điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ Đặt Vấn đề : Cho hai điểm A, B, C cố định. a) Nếu PB PA O+ = uuur uuur ur thì P là trung điểm của AB. b) Nếu PB PA PC O+ + = uuur uuur uuur ur thị P là trọng tâm tam giác ABC. c) Nếu P là một điểm thoã mãn một đẳng thức véc tơ khác thì có xác định được vị trí của P hay không ? VD1(Cho hai điểm). Xác định vị trí điểm I thoả mãn : 2IA IB O+ = uur uur ur . NX : Với hai điểm A, B cho trước luôn xác định được điểm I thoả mãn : mIA nIB O+ = uur uur ur . Với điểm O bất kì ta có : m n OI OA OB m n m n = + + + uur uuur uuur . VD2 (Bài toán 3 điểm) Cho 3 điểm A, B, C. Tìm vị trí điểm M sao cho : a) MB MC AB+ = uuur uuuur uuur (Trung điểm AC) b) 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur c) 2M A MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur d) 2MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur e) MA M B M C O+ − = uuur uuur uuuur ur f) 2M A MB MC O+ − = uuur uuur uuuur ur NX : Mở rộng với n điểm bất kì Chủ đề 5. Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ Page 2 7/11/2014 Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng Một số quĩ tích cơ bản : a) MA MB= uuur uuur thì M nẵm trên đường trung trực của AB. b) MC k AB= uuuur uuur , với A, B, C cố định thì M nẵm trên đường tròn tâm C bán kính k.AB. c) AM kBC= uuur uuur với A, B, C cho trước. + k > 0 thì M nẵm trên nửa đường thẳng qua A và song song với BC và theo hướng BC uuur . + k< 0 + k bất kì Dạng 1. (Bài toán hai điểm) VD1. Cho hai điểm A,B cố định. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : a) 2MA M B AB+ = uuur uuur uuur b) MA M B AB+ = uuur uuur uuur c) 2MA M B MA+ = uuur uuur uuur d) MA M B MA+ = uuur uuur uuur e) 2MA MB MA MB+ = − uuur uuur uuur uuur Dạng 2. (Bài toán 3 điểm) VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : a) 3 2 MA M B MC MB MC+ + = + uuur uuur uuuur uuur uuuur b) MA AC MA MB+ = − uuur uuur uuur uuur c) 2M A MB MC MB MC+ + = − uuur uuur uuuur uuur uuuur d) 3 2 2MA MB MC MB M C+ − = − uuur uuur uuuur uuur uuuur VD3. Tìm quĩ tích điểm M sao cho : a) MA kMB kMC O+ − = uuur uuur uuuur ur b) kMA MB kMC+ = uuur uuur uuuur c) (1 )k MA MB kMC O− + − = uuur uuur uuuur ur VD4 (Bài toán 4 điểm) VD5. (Bài toán tổng quát cho n điểm bất kì) Chủ đề 6. Một số bài toán về khoảng cách VD1 Cho hai điểm A, B và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất ? a) MA M B+ uuur uuur b) 2M A MB+ uuur uuur c) 3MA MB− uuur uuur d) 3 2MA MB+ uuur uuur e) 2 3MA MB− uuur uuur VD2. Cho tam giác ABC và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất a) MA M B MC+ + uuur uuur uuuur b) 2M A MB MC+ + uuur uuur uuuur c) 3MA MB MC+ + uuur uuur uuuur d) 2MA MB MC− + uuur uuur uuuur VD3. Cho tứ giác ABCD và đường thẳng d. Tìm vị trí điểm M trên d sao cho độ dài các véc tơ sau nhỏ nhất a) MA M B MC MD+ + + uuur uuur uuuur uuuur b) 2 2MA MB MC MD+ + + uuur uuur uuuur uuuur c) 3MA MB MC MD+ + − uuur uuur uuuur uuuur d) 2MA MB MC MD− + − uuur uuur uuuur uuuur e) 2MA MB MC AB+ + + uuur uuur uuuur uuur VD4. (Mở rộng ra bài toán cho n điểm) Chủ đề 7. Chứng minh đường thẳng đi qua một điểm cố định ĐVĐ : Với I là trung điểm AB thì : + 2MB MA MI+ = uuur uuur uuur + Nếu M, I, N thẳng hàng thì khi đó : MN kMA kMB= + uuuur uuur uuur , hay nói cách khác Là đường thẳng MN đi qua điểm I cố định. Từ đó dẫn dắt vào bài toán bằng cách thay điểm I bằng điểm bất kì VD1. (Bài toán 2 điểm) Cho hai điểm A B cố định. Hai điểm M, N di động. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định nếu : a) 2MN MA MB= + uuuur uuur uuur b) 2MN MA MB= − uuuur uuur uuur c) 2MN MA MB= − + uuuur uuur uuur d) 3 2MN MA MB= + uuuur uuur uuur VD2. (Bài toán 3 điểm). Cho tam giác ABC và điểm M trong mặt phẳng. CMR đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định nếu (Xác định vị trí điểm cố định và điểm N trong mỗi trường hợp) Page 3 7/11/2014 A B I M N Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng a) MB MC MA MN+ + = uuur uuuur uuur uuuur b) 2MA MB MC MN+ + = uuur uuur uuuur uuuur c) 2M A MB MC MN+ + = uuur uuur uuuur uuuur d) 2MA MB MC MN+ + = uuur uuur uuuur uuuur e) MA M B M C MN+ − = uuur uuur uuuur uuuur f) 2M A MB MC M N+ − = uuur uuur uuuur uuuur VD3.(Tổng quát cho bài toán n điểm) Page 4 7/11/2014 . Trêng THPT Huúnh Thóc Kh¸ng GV : Chu Quèc Hïng Chủ để 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : (bằng nhiều cách khác nhau) a) AB CD AD CB+ = + uuur uuur uuur uuur b). N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng : a) AN BP CM O+ + = uuur uuur uuur ur b) AN AM AP= + uuur uuur uuur c) AM BN CP O+ + = uuur uuur uuur ur VD3. (Hệ thức về trung điểm). IP− = − uur uur uur . d) Tổng quát tính chất trên. VD3. (Hệ thức về trọng tâm) Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác. a) Chứng minh rằng AG BG CG O+ + = uuur uuur uuur ur . Với I bất