b Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đờng thẳng d luôn đi qua một điểm cố định và luôn cắt P tại hai điểm phân biệt A và B.. b Gọi H là là hình chiếu của O lên MN, Chứng minh
Trang 1Đề thi vào 10 năm 2000-2001 Ams- Chu văn an.
Bài 1 Cho biểu thức : P 2x 2 x x 1 x x 1
a) Rút gọn P
b) So sánh P với 5
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, Chứng minh rằng biểu thức 8/P chỉ nhận
đúng một giá trị nguyên
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = mx + 1 và parabol (P) :y
= x2
a) Vẽ (P) và (d) khi m = 1
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, đờng thẳng (d) luôn đi qua một
điểm cố định và luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
c)Tìm m để diện tích ∆ OAB bằng 2
Bài 3 Cho đoạn thẳng AB=2a có trung điểm là O Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ
là AB kẻ các tia Ax, By vuông góc với AB Một đờng thẳng (d) thay đổi cắt Ax ở M, cắt By ở N sao cho luôn có AM.BN = a2
a) Chứng minh rằng ∆ AOM đồng dạng với ∆ BNO và ∠ MON = 900
b) Gọi H là là hình chiếu của O lên MN, Chứng minh rằng đờng thẳng (d) luôn tiếp xúc với một nửa đờng tròn cố định tại H
c) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ∆ MON chạy trên một tia cố định d) Tìm vị trí của đờng thẳng (d) sao cho chu vi ∆ AHB đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị
đó
1
Trang 2Bài 1 Cho biểu thức : 3 2 2 1
P
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P < 0
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức 1/P đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 2 Cho phơng trình x2 – mx + m2 – 5 = 0 (m là tham số)
a) Giải phơng trình với m = 1+ 2
b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Với những giá trị của m mà phơng trình có nghiệm, hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong tất cả các nghiệm đó
Bài 3 Cho ∆ ABC có góc A tù, đờng tròn (O) đờng kính AB cắt đờng tròn (O’) đờng kính AC tại giao điểm thứ hai là H Một đờng thẳng (d) quay quanh A cắt đờng tròn (O) và (O’) tại M và N sao cho A nằm giữa M và N
a) Chứng minh rằng H thuộc cạnh BC và tứ giác BCNM là hình thang vuông
b) Chứng minh rằng tỷ số HM
HN không đổi
c) Gọi I là trung điểm của MN, K là trung điểm của BC Chứng minh rằng 4 điểm A,
H, K, I thuộc một đờng tròn và I di chuyển trên một cung tròn cố định
d) Xác định vị trí của đờng thẳng (d) để diện tích AHMN lớn nhất
2
Trang 3Đề thi vào 10 năm 1998-1999 Ams- Chu văn an.
P
a) Rút gọn P
x + y = Tìm giá trị lớn nhất của P.
Bài 2 Cho phơng trình (x + 1)4 – (m – 1)(x + 1)2 – m2 + m – 1 = 0 (*)
a) Giải phơng trình với m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m
c) Tìm các giá trị của m để x1 + x2 = 2
Bài 3 Cho đờng tròn (O;R), đờng kính AB; kẻ tia tiếp tuyến Ax và lấy trên đó một
điểm P (AP > R) Từ P kẻ tia PM tiếp xúc với đờng tròn tại M
a) Tứ giác OBMP là hình gì ?
b) Cho AP = R 3, Chứng minh rằng ∆ PAM có trực tâm H nằm trên đờng tròn (O;R) c) Chứng minh rằng khi P di động trên tia Ax (AP > R) thì trực tâm H của ∆ PAM chạy trên một cung tròn cố định
d) Dựng hình chữ nhật PAON, Chứng minh rằng B, M, N thẳng hàng
3
Trang 4Bài 1 Cho biểu thức : 3 3 3 2
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 15/4
Bài 2 Một máy bơm dùng để bơm đầy một bể nớc có thể tích 60 m3 với thời gian
định trớc Khi đã bơm đợc 1/2 bể thì mất điện trong 48 phút Đến lúc có điện trở lại, ngời ta sử dụng thêm máy bơm thứ hai có công suất 10 m3/h Cả hai máy bơm cùng hoạt động để bơm đầy bể đúng với thời gian dự kiến.Tính công suất của máy bơm thứ nhất và thời gian máy bơm đó hoạt động
Bài 3 Cho ∆ ABC với ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác trong của góc B cắt đờng tròn tại D Tia phân giác trong của góc C cắt đờng tròn tại E Chúng cắt nhau tại F Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của dây DE với các cạnh AB, AC a) Chứng minh rằng các tam giác EBF, DAF cân
b) Chứng minh rằng tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ?
d) Tìm điều kiện của ∆ ABC để tứ giác AEFD là hình thoi, đồng thời có diện tích gấp
3 lần diện tích tứ giác AIFK
Bài 4 Tìm những giá trị của x thỏa mãn hệ thức sau :
4
Trang 5Đề thi vào 10 năm học 1997-1998 Sở giáo dục đào tạo Hà Nội
)
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A = 7
Bài 2 Một công nhân dự tính làm 72 sản phẩm trong một thời gian đã định Nhng trong thực tế xí nghiệp lại giao làm 80 sản phẩm Vì vậy, mặ dù ngời đó đã làm mỗi giờ thêm một sản phẩm, song thời gian hoàn thành công việc vẫn chậm so với thời gian dự định 12 phút Tính năng suất dự kiến, biết rằng mỗi giờ ngời đó làm không quá 20 sản phẩm
Bài 3 Cho đờng tròn (O) bán kính R, một dây AB cố định (AB < 2R) và một điểm M bất kì trên cung lớn AB (M khác A, B) Gọi I là trung điểm của dây AB và (O’) là đ-ờng tròn qua M, tiếp xúc với AB tại A Đđ-ờng thẳng MI cắt (O), (O’) lần lợt tại các giao điểm thứ hai là N, P
a) Chứng minh rằng : IA2 = IP.IM
b) Chứng minh rằng tứ giác ANBP là hình bình hành
c) Chứng minh rằng IB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp của ∆ MBP.(Sai)
d) Chứng minh rằng khi M di chuyển thì trọng tâm G của ∆ PAB chạy trên một cung tròn cố định
Bài 4 Trong hệ tọa độ vuông góc xOy cho Parabol : y = x2 (P) và đờng thẳng y = x +
m (d) Tìm m để (d) cắt hai nhánh của (P) tại A và B sao cho ∆ AOB vuông tại O
5
Trang 6Bài 1 Cho các biểu thức : 2 3 2
2
A
x
=
2
B
x
=
a) Rút gọn A và B
b) Tìm giá trị x để A = B
Bài 2 Cho phơng trình : x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (x là ẩn)
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = -1 và tìm nghiệm còn lại
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi giá trị của m
c) Với giá trị nào của m thì x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và một điểm C trên đờng tròn ( C khác
A và B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa C, kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O) Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ AC; P là giao của AC và BM Tia BC cắt các tia
AM, Ax lần lợt tại N, Q
a) Chứng minh rằng ∆ ABN cân
b) Tứ giác APNQ là hình gì ?
c) Gọi K là điểm chính giữa cung AB không chứa C Hỏi có thể xảy ra ba điểm Q, M,
K thẳng hàng đợc không ? Tại sao ?
d) Xác định vị trí của điểm C để đờng tròn ngoại tiếp ∆ MNQ tiếp xúc với đờng tròn (O)
6
Trang 7Đề thi vào 10 năm 2003-2004 Ams- Chu văn an.
( )
P
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức Q 2 x
P
= nhận giá trị là số nguyên
Bài 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) đi qua
điểm I (0;-1) có hệ số góc k
a) Viết phơng trình của đờng thẳng (d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của k, (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B
b) Gọi hoành độ của A và B là x1 và x2 , Chứng minh rằng x1 −x2 ≥ 2.
c) Chứng minh rằng ∆ OAB vuông
Bài 3 Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB
ta dựng nửa đờng tròn (O) đờng kính AB và nửa đờng tròn (O’) đờng kính OA
Trên(O’) lấy M khác A và O; tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’)
a) Chứng minh rằng ∆ ADM cân
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt OD tại E, xác định vị trí tơng đối của đờng thẳng EA
đối với (O) và (O’)
c) Đờng thẳng AM cắt OD tại H, đờng tròn ngoại tiếp ∆ COH cắt (O) tại điểm thứ hai
là N Chứng minh rằng ba điểm A, M, N thẳng hàng
d) Tại vị trí của M sao cho ME // AB, hãy tính tính độ dài đoạn thẳng OM theo a
7
Trang 8Bài 1 Chứng minh rằng số tự nhiên
1 2 3 2003 2004 1
2 3 4 2003 2004
Bài 2 Cho phơng trình : x + 3(m – 3x2)2 = m
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm
Bài 3 Giải bất phơng trình : 3 2 3
25 2x x( 9) 4x
x
+ ≥ +
Bài 4 Cho ∆ ABC có ba góc nhọn, kẻ hai dờng cao BE, CF
a) Biết góc BAC bằng 600 , tính độ dài EF theo BC = a
b) Trên nửa đờng tròn đờng kính BC không chứa E, F lấy một điểm M bất kì Gọi H,
I, K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CE, EB Tìm giá trị nhỏ nhất của
MH MI MK
Bài 5 Cho một đa giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng có một hình tròn bán kính
r = 1/4 chứa toàn bộ đa giác đó
8
Trang 9Đề thi vào 10 năm 2004-2005 Ams- Chu văn an.
2
P
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 2
x > .
Bài 2 Cho phơng trình: x2 – (m-2)x – m2 + 3m – 4 = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh rằng phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phơng trình có giá trị tuyệt đối bằng 2
Bài 3 Trên mặt phẳng tọa độ cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
2kx + (k – 1)y = 2 (k là tham số)
a) Với giá trị nào của k thì đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng y=x 3 Khi đó hãy tính góc tạo bởi (d) với tia Ox
b) Tìm k để khoảng cách từ gốc tọa độ đến (d) là lớn nhất
Bài 4 Cho góc vuông xOy và hai điểm A, B trên Ox (A nằm giữa O và B), điểm M bất kì trên cạnh Oy Đờng tròn (T) đờng kính AB cắt tia MA, MB lần lợt tại điểm thứ hai là C và E Tia OE cắt đờng tròn (T) tại điểm thứ hai là F
a) Chứng minh rằng 4 điểm O, A, E, M nằm trên cùng một đờng tròn , tìm tâm của đ-ờng tròn đó
b) Tứ giác OCFM là hình gì ? Tại sao ?
c) Chứng minh rằng : OE.OF + BE.BM = OB2
d) Xác định vị trí của M để tứ giác OCFM là hình bình hành, tìm mối liên hệ giữa OA
và AB để tứ giác là hình thoi
9
Trang 10Bài 1 Cho P = (a+b)(b+c)(c+a) – abc với a, b, c là các số nguyên Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4
Bài 2 Cho hệ phơng trình : ( 2)4 2 13 6 2 2
xy x y m
a) Giải hệ với m = -10
b) Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất
Bài 3 Ba số dơng x, y, z thỏa mãn hệ thức : 1 2 3 6
x + y + =z , xét biểu thức P = x + y2 +
z3
a) Chứng minh rằng P ≥ x + 2y + 3z – 3
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 Cho ∆ ABC, lấy ba điểm D, E, F theo thứ tự trên các cạnh BC, CA, AB sao cho AEDF là tứ giác nội tiếp Trên tia AD lấy điểm P ( D nằm giữa A và P) sao cho
DA.DP = DB.DC
a) Chứng minh rằng tứ giác ABPC nội tiếp và hai tam giác DEF, PCB đồng dạng b) Gọi S và S’ lần lợt là diện tích của hai tam giác ABC và DEF, Chứng minh rằng
2
2
'
S ≤ AD
Bài 5 Cho hình vuông ABCD và 2005 đờng thẳng thỏa mãn đồng thừoi hai điều kiện :
• Mỗi đờng thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông
• Mỗi đờng thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ số diện tích bằng 0,5
Chứng minh rằng trong 2005 đờng thẳng trên có ít nhất 502 đờng thẳng đồng quy
10
Trang 11Đề thi vào 10 năm 2005-2006 Ams- Chu văn an.
Bài 1 Cho biểu thức P x x 1 x x 1 x 1
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P = 2/9
Bài 2 Cho bất phơng trình : 3(m – 1)x + 1 > 2m + x (m là tham số )
a) Giải bất phơng trình với m = 1 2 2−
b) Tìm m để bất phơng trình nhận mọi giá trị x > 1 là nghiệm
Bài 3 Trong mặt phẳng tọa độ xOy cho đờng thẳng (d) : 2x – y – a2 = 0 và parabol (P): y = ax2 ( a là tham số dơng)
a) Tìm a để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B Chứng minh rằng khi đó A và B nằm bên phải trục tung
b) Gọi xA và xB là hoành độ của A và B, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T
x x x x
Bài 4 Đờng tròn tâm O có dây cung AB cố định và I là điểm chính giữa cung lớn
AB Lấy điểm M bất kì trên cung lớn AB, dựng tia Ax vuông góc với đờng thẳng MI tại H và cắt tia BM tại C
a) Chứng minh rằng các tam giác AIB , AMC là các tam giác cân
b) Khi M di động, Chứng minh rằng C di chuyển trên một cung tròn cố định
c) Xác định vị trí của M để chu vi ∆ AMC đạt giá trị lớn nhất
Bài 5 Cho ∆ ABC vuông ở A có AB < AC và trung tuyến AM, góc ∠ ACB = α, góc
∠ AMB = β Chứng minh rằng : (sinα+cosα)2 = 1 + sinβ
11