Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học pptx

Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương pháp quy nạp tóan học Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng n N*∀ ∈ . Ta thực hiện hai bước sau: - Bước 1: Chứng minh P(1) đúng - Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng n N*∀ ∈ . 2. Dãy số a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số xác định trên N* - Người ta thường viết dãy số đước các dạng sau: + Dạng khai triển: u 1 , u 2 , u 3 , , u n , với u 1 = u(1), u 2 = u(2), u n = u(n), + Dạng vắn tắt: (u n ). Trong đó: u 1 là số hạng đầu, u n là số hạng tổng quát + Dãy số hữu hạn: u 1 , u 2 , , u m b) Dãy số tăng – Dãy số giảm - Dãy số (u n ) tăng nếu n 1 n u u , n N* + > ∀ ∈ - Dãy số (u n ) giảm nếu n 1 n u u , n N* + < ∀ ∈ Dãy số tăng hạy giảm gọi chung là đơn điệu. c) Dãy số bị chặn Dãy số (u n ) bị chặn n m,M R : n N*,m u M⇔ ∃ ∈ ∀ ∈ ≤ ≤ - Nếu n u M≤ thì (u n ) bị chặn trên - Nếu n u m≥ thì (u n ) bị chặn dưới. B. Ví dụ và bài tập Dạng 1. Chứng minh bằng quy nạp 1. Chứng minh: a) 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 3 n , n N* 6 + + + + + + = ∀ ∈ b) n(n 1)(n 2) 1.2 2.3 3.4 n(n 1) 3 + + + + + + + = , n N*∀ ∈ 2. Chứng minh: n N*∀ ∈ a) 3 2 n 3n 5n 3+ + M b) n 4 15n 1 9+ − M c) 2n n 2 n 6 3 3 11 + + + M 3. Chứng minh: n N*∀ ∈ a) ( ) n 1 x nx sin .sin 2 2 sin x sin 2x sin(nx) x sin 2 + + + + = b) 1.3.5 (2n 1) 1 2.4.6 (2n) 3n 1 − ≤ + 4. Tính tổng: n 1 1 1 S 1.2 2.3 n(n 1) = + + + + , n N*∀ ∈ Dạng 2. Xác định một dãy số - Xác định nhờ khai triển các số hạng - Nhờ công thức của số hạng tổng quát - Nhờ công thức truy hồi 5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số: 3 4 5 6 7 1, , , , , 6 2 2 3 3 5 5 6 6+ + + + Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com 6. Cho dãy số có số hạng tổng quát là: n n 1 n u tan 2 3 π   =  ÷   , n N*∀ ∈ 7. Cho dãy số (u n ) xác định bởi công thức truy hồi sau: 1 n 1 n u 11 u 10u 9n 1 + =   = − +  , n N*∀ ∈ Tính u n theo n. Dạng 3. Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số - Xét hiệu số: u n+1 – u n - Hoặc xét tỉ số: n 1 n u u + (nếu các số hạng đều dương) 8. Khảo sát tính tăng, giảm của các dãy số sau: a) n 2n 1 u n 1 + = + b) n 2n u 2n 1 = − c) n n n 1 u 2 + = d) n n u n 1 = + e) n n n 2 4 u 4 + = f) n 1 n u cos 2 2 π   =  ÷   Dạng 4. Khảo sát tính bị chặn của dãy số 9. Xét tính bị chặn của dãy số: a) n 2n 1 u n 1 + = + b) n 2n u 2n 1 = − c) n 1 n u cos 2 2 π   =  ÷   10. Cho dãy số (u n ) xác định bởi: 3 4 5 2, , , , 2 3 4 a) Xác định (u n ) b) Chứng minh dãy số (u n ) giảm và bị chặn. 11. Cho dãy số 1 n n 1 u 3 u 1 u 2 + =    + =   , n N*∀ ∈ a) Chứng minh: n n 2 1 u 1 2 − = + b) Chứng minh dãy số (u n ) giảm và bị chặn. 12. Chứng minh dãy số: n 1 1 1 u 1.2 2.3 n(n 1) = + + + + tăng và bị chặn trên 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số: n 2 2 2 1 1 1 u 1 2 3 n = + + + + 14. Chứng minh dãy số sau bị chặn: n n dau can u 2 2 2= + + + 1 4 44 2 4 4 43 bị chặn trên 15. Cho dãy số 4 3 8 5 1, , , , , 5 5 17 13 a) Xác định (u n ) b) Chứng minh dãy số (u n ) giảm và bị chặn. 16. Cho dãy số: n 1 1 1 u 1.3 2.4 n(n 2) = + + + + a) Tính un b) Chứng minh dãy (u n ) tăng và bị chặn 17. Khảo sát tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số: n 2 2 1 1 1 u 1 1 1 2 2 n      = − − −  ÷ ÷  ÷      Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm GIẢI TÍCH 11 - Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com Bài 2. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN A. Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa a) Cấp số cộng: (u n ) là cấp số cộng với công sai d n 1 n u u d, n N* + ⇔ = + ∀ ∈ b) Cấp số nhân: (u n ) là cấp số nhân với công bội q n 1 n u u .q, n N* + ⇔ = ∀ ∈ 2. Số hạng tổng quát: a) Cấp số cộng: n 1 u u (n 1)d, n 2= + − ∀ ≥ b) Cấp số nhân: n 1 n 1 u u .q , n 2 − = ∀ ≥ 3. Tính chất của 3 số hạng liên tiếp a) Cấp số cộng: n n 1 n 1 2u u u , n 2 − + = + ∀ ≥ b) Cấp số nhân: 2 n n 1 n 1 u u .u , n 2 − + = ∀ ≥ 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số a) Cấp số cộng: ( ) n 1 n n S u u 2 = + b) Cấp số nhân: ( ) n n 1 1 q S u , q 1 1 q   − = ≠  ÷ −   B. Ví dụ và bài tập 1. Cho 3 số theo thứ tự: 4 2, 6, 3 . a) Chứng minh 3 số trên tạo thành cấp số nhân mà không tạo thành cấp số cộng b) Phải thêm vào số hạng thứ hai một số x bằng bao nhiêu để được cấp số cộng? 2. Cho dãy số xác định như sau: 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 u 1 2 ;u 2 3 ;u 3 4 ;u 4 5= − + = − + = − + = − + . Tính u n . 3. Tìm 3 số hạng tạo thành cấp số cộng biết tổng 3 số đó bằng -3 và tổng bình phương của chúng bằng 35 4. Tìm 3 số tạo thành cấp số nhân biết tích và tổng của chúng lần lượt bằng 1 64 và 7 8 5. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng có tổng bằng 6, biết rằng nếu hoán đổi vị trí số hạng 1 và số hạng 2 thì ta được cấp số nhân. 6. Tính tổng: 2 2 2 2 2 2 2 2 S 1 2 3 4 5 6 99 100= − + − + − + + − 7. Tính tổng { 50so9 S 9 99 999 99 9= + + + + 8. a) Xác định cấp số cộng (u n ) biết: 1 3 5 7 2 4 6 8 u u u u 0 u u u u 20 + + + =   + + + =  b) Xác định cấp số nhân (v n ) biết: 1 3 5 1 7 v v v 65 v v 325 − + = −   + = −  9. a) Xác định cấp số cộng (u n ) biết: S 10 = 170 và S 12 = 252 b) Xác định cấp số nhân (v n ) biết: S 4 = 40 và S 8 = 680 10. a) Xác định cấp số cộng (u n ) biết: u 20 = 1 2 và S 20 = 105 b) Tính tổng S 8 của cấp số nhân (v n ) biết: v 8 = 128 và công bội q = - 2 11. Tìm 3 số tạo thành cấp số cộng biết rằng khi cộng thêm -2 vào số hạng thứ hai ta được cấp số nhân. Sau đó, khi cộng thêm 1 vào số hạng thứ ba ta được cấp số nhân. 12. Cho 3 số 2 1 2 , , b a b b c− − tạo thành cấp số cộng. Chứng minh a, b, c tạo thành cấp số nhân 13. Tính 2 2 n n n 2 2 n n a b a b a b S ,(a 0,b 0,a 1,b 1) ab a b a b + + + = + + + ≠ ≠ ≠ ≠ 14. Cho a 0,a 1≠ ≠ − . Tính tổng: n 2 n 1 1 1 S 1 a 1 (a 1) (a 1) = + + + + + + + . tranhung18102000@yahoo.com Bài 1. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Tóm tắt lý thuyết 1. Phương pháp quy nạp tóan học Giả sử muốn chứng minh P(n) đúng n N*∀ ∈ . Ta thực hiện hai bước sau: - Bước 1: Chứng minh. M≤ thì (u n ) bị chặn trên - Nếu n u m≥ thì (u n ) bị chặn dưới. B. Ví dụ và bài tập Dạng 1. Chứng minh bằng quy nạp 1. Chứng minh: a) 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 3 n , n N* 6 + + + + + + = ∀ ∈ b). đúng - Bước 2: Giả thiết P(k) đúng. Với giả thiết đó, ta chứng minh: P(k+1) đúng Theo nguyên lý quy nạp ta suy ra P(n) đúng n N*∀ ∈ . 2. Dãy số a) Định nghĩa: Dãy số(dãy sồ vô hạn) là một hàm số