Đê TS10-TP Huế từ 2007 đến 2010 (có DA)

Chứng minh rằng: a Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc; b E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH; c Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn.. Bài 6: 1,25 điểm Để làm một cái phểu h

CÁC ĐỀ TUYỂN SINH TP HUẾ

Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH VàO LớP 10

Đề chính thức Môn: TOáN - Khóa ngày 12.7.2006

Số báo danh: Phòng: Thời gian làm bài: 120 phút

Trên mặt phẳng tọa độ (hình vẽ), có điểm A thuộc

đồ thị (P) của hàm số y ax= 2 và điểm B không thuộc

(P)

a) Tìm hệ số a và vẽ (P)

b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A và

B Xác định tọa độ giao điểm thứ hai của (P) và

điểm của DE Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp đợc;

b) E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH;

c) Năm điểm B, C, I, O, H ở trên một đờng tròn

Bài 6: (1,25 điểm)

Để làm một cái phểu hình nón không nắp bằng bìa cứng bán kính đáy r=12cm, chiều cao16

h= cm, ngời ta cắt từ một tấm bìa ra hình khai triển của mặt xung quanh của hình nón, sau

đó cuộn lại Trong hai tấm bìa hình chữ nhật: Tấm bìa A có chiều dài 44cm, chiều rộng 25cm;tấm bìa B có chiều dài 42cm, chiều rộng 28cm, có thể sử dụng tấm bìa nào để làm ra cái phểu

Bài ý Nội dung Điểm

3

x

< < nên x>0 và 3x− <1 0)

0,250,50

3.b + Phơng trình đờng thẳng có dạng y ax b= + , đờng thẳng này đi qua A và B nên

4 1,50

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe lửa thứ nhất đi từ Huế đến Hà Nội Khi đó, x > 0

và vận tốc của xe lửa thứ hai đi từ Hà Nội là: x + 5 (km/h)

Theo giả thiết, ta có phơng trình:

b) Trong tứ giác nội tiếp ABEH, ta có: ãEBH =EAHã (cùng chắn cung ẳEH )

Trong (O) ta có: ãEAH CAD CBD= ã = ã (cùng chắn cung ằCD ).

Suy ra: ãEBH =ãEBC , nên BE là tia phân giác của góc ãHBC

+ Tơng tự, ta có: ãECH =ãBDA BCE=ã , nên CE là tia phân giác của góc ãBCH

+ Vậy: E là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BCH

Suy ra EH là tia phân giác của góc ãBHC

0,250,250,250,250,25

c) Ta có I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông ECD, nên

ã 2ã

BIC= EDC (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ằEC ) Mà

EDC EHC= , suy ra ãBIC BHC= ã .

+ Trong (O), ãBOC=2ãBDC BHC=ã (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung ằBC).

+ Suy ra: H, O, I ở trên cung chứa góc ãBHC dựng trên đoạn BC, hay 5 điểm B,

C, H, O, I cùng nằm trên một đờng tròn

0,250,250,25

r n

Sở Giáo dục-đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt thành phố Huế

Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm B(4 ; 0) và C(−1 ; 4)

c) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm C và song song với đường thẳng

2 3

y= x− Xác định tọa độ giao điểm A của đường thẳng (d) với trục hoành Ox.d) Xác định các hệ số a và b biết đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm B và C Tính góctạo bởi đường thẳng BC và trục hoành Ox (làm tròn đến phút)

e) Tính chu vi của tam giác ABC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là xentimét) (kết quả làmtròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 3: (2 điểm)

a) Tìm hai số u và v biết: u v+ =1,uv= −42 vàu v>

b) Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km Một xuồng máy đi xuôi dòng từ bến

A đến bến B, nghỉ 30 phút tại bến B rồi quay trở lại đi ngược dòng 25 km để đến bến C.Thời gian kể từ lúc đi đến lúc quay trở lại đến bến C hết tất cả là 8 giờ Tính vận tốcxuồng máy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc nước chảy là 1 km/h

Bài 4: (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R Kẻ hai tia tiếp tuyến Ax và By củanửa đường tròn (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M làđiểm tùy ý thuộc nửa đường tròn (khác A và B) Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt Axtại D và cắt By tại E

a) Chứng minh rằng: ∆DOE là tam giác vuông

b) Chứng minh rằng: 2

AD BE = R× c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho diện tích của tứ giácADEB nhỏ nhất

a) Tính chiều cao của cái xô

b) Hỏi phải đổ thêm bao nhiêu lít nước để đầy xô ?

Hết SBD thí sinh: Chữ ký của GT 1:

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 thpt Tp Huế

Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Khóa ngày: 12/7/2007

+ Đường thẳng (d) đi qua điểm C(−1; 4) nên: 4= − + ⇔ = ≠ −2 b b 6 3

Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là: y=2x+6

+ Đường thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm ( ; 0)A x nên 0 2= x+ ⇔ = −6 x 3 Suy

ra: A(−3 ; 0)

0,25

0,250,25

3.b + Gọi x (km/h) là vận tốc của xuồng khi nước yên lặng Điều kiện: x > 1.

+ Thời gian xuồng máy đi từ A đến B: 60 (h)

x =

+ Vì x > 1 nên x = 11 Vậy vận tốc của xuồng khi nước đứng yên là 11km/h

0,25

0,250,25

0,250,25

4.a + Hình vẽ đúng (câu a):

+ Theo giả thiết: DA và DM là hai tiếp tuyếncắt nhau tại D, nên OD là tia phân giác gócAOM Tương tự: OE là tia phân giác gócMOB

+ Mà ·AOM và · MOB là hai góc kề bù, nên

4.c + Tứ giác ADEB là hình thang vuông, nên diện tích của nó là:

A'H O'A' OA 10 (cm)= − =

Suy ra:

OO' AH= = AA' −A'H = 26 −10 =24 (cm)

+ Mặt nước với mặt phẳng cắt có đường thẳng chung là IJ, IJ cắt AH tại K.Theo giả thiết ta có: HK = AH - AK = 24 - 18 = 6 (cm)

+ Bán kính đáy trên của khối nước trong xô là r1=O I O K KI 9 KI1 = 1 + = +

Ghi chú:

− Học sinh làm cách khác đáp án nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

− Điểm toàn bài không làm tròn.

8

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Quốc Học

Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút

8 22

2

x y

y x

Cho hình vuông cố định PQRS Xét một điểm M thay đổi ở trên cạnh PQ (M≠P,

M≠Q) Đường thẳng RM cắt đường chéo QS của hình vuông PQRS tại E Đường

tròn ngoại tiếp tam giác RMQ cắt đường thẳng QS tại F (F≠Q) Đường thẳng RF

cắt cạnh SP của hình vuông PQRS tại N.

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC

Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008

ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM

m B.1

8 2

8 2

2

2

x y

Tam giác RMN có hai đường cao MF và NE Gọi H là giao điểm của MF

và NE, ta có RH là đường cao thứ ba RH vuông góc với MN tại D Do đó :

F

E M

Q P

Bình phưong hai vế của (α) : 2 p− × − =2 q 3 pq−3p−2q+6 0,25 Hay : 2 (p−2)(q− =3) ( p−2) (q−3) 0,25

Tiếp tục bình phương : ( ) ( ) ( ) (2 )2

4 p−2 q− =3 p−2 q−3 0,25 + Nếu p=2 thì (α ) trở thành: 0+ q−3= q−3, đúng với mọi số nguyên

12

§Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi: 150 phót

Cho đường tròn (O), đường kính AB Gọi C là trung điểm của bán kính OB

và (S) là đường tròn đường kính AC Trên đường tròn (O) lấy hai điểm tùy ý phânbiệt M, N khác A và B Gọi P, Q lần lượt là giao điểm thứ hai của AM và AN vớiđường tròn (S)

a) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.

b) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm Chứng minh: ME = MA MP2 ×

c) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm Chứng minh: ME AM

NF = AN

Bài 4: (1,5 điểm)

Tìm số tự nhiên có bốn chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho hai điều kiệnsau đồng thời được thỏa mãn:

(i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước

(ii) Tổng p + q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục vàchữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số của chữ số hàng nghìn và chữ số hàngtrăm

Bài 5: (1 điểm)

Một tấm bìa dạng tam giác vuông có độ dài ba cạnh là các số nguyên Chứngminh rằng có thể cắt tấm bìa thành sáu phần có diện tích bằng nhau và diện tíchmỗi phần là số nguyên

Hết

SBD thí sinh: Chữ ký GT1:

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Quốc Học

' m 2m 1 m 1 0

Vậy để (1) cú bốn nghiệm phõn biệt thỡ (2) luụn cú hai nghiệm dương phõn

biệt t t Tương đương với: 1, 2 ' 0, 2 1 0, 2 0 1, 1

Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương 0 t< <1 t2 và phương

trỡnh (1) cú 4 nghiệm phõn biệt: x1= − t2 < x2 = − t1 < =x3 t1 <x4 = t2

Theo giả thiết: x4− =x1 3(x3−x2)⇔2 t2 =6 t1 ⇔ t2 =3 t1 ⇔ =t2 9t1 (4)

Cả hai giỏ trị đều thỏa món điều kiện bài toỏn

Vậy để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm thỏa món điều kiện bài toỏn thỡ cần và

đủ là:

59

m= và m=5

0,50

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC

d) Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng PQ.

e) Vẽ tiếp tuyến ME của (S) với E là tiếp điểm Chứng minh: ME = MA MP2 ì f) Vẽ tiếp tuyến NF của (S) với F là tiếp điểm Chứng minh: ME AM

NF = AN .

Bài 4: (1,5 điểm)

Tỡm số tự nhiờn cú bốn chữ số (viết trong hệ thập phõn) sao cho hai điều kiện sau đồng thời được thỏa món:

(iii) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.

(iv) Tổng p + q lấy giỏ trị nhỏ nhất, trong đú p là tỉ số của chữ số hàng chục

và chữ số hàng đơn vị cũn q là tỉ số của chữ số hàng nghỡn và chữ số hàng trăm Bài 5: (1 điểm)

Một tấm bỡa dạng tam giỏc vuụng cú độ dài ba cạnh là cỏc số nguyờn Chứng minh rằng cú thể cắt tấm bỡa thành sỏu phần cú diện tớch bằng nhau và diện tớch mỗi

Hết

SBD thí sinh: Chữ ký GT1:

16

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên QuốC HọC

Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2008-2009

Với điều kiện (3), phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm dương 0 t< <1 t2 và phương trỡnh

(1) cú 4 nghiệm phõn biệt: x1= − t2 < x2 = − t1 < =x3 t1 <x4 = t2

Theo giả thiết: x4− =x1 3(x3−x2) ⇔2 t2 =6 t1 ⇔ t2 =3 t1 ⇔ =t2 9t1 (4)

Cả hai giỏ trị đều thỏa món điều kiện bài toỏn

Vậy để phương trỡnh (1) cú 4 nghiệm thỏa món điều kiện bài toỏn thỡ cần và đủ

là:

59

m= và m=5.

0,50

0,25 3.b + Hai tam giác MEP và MAE có : ·EMP=·AME và ·PEM =·EAM

Do đó chúng đồng dạng

+ Suy ra: ME MP ME2 MA MP

0,50 0,50 3.c + Tương tự ta cũng có: 2

NF =NA NQ×

+ Do đó:

2 2

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền

Ta có a2+b2 =c2; a, b, c ∈N , diện tích tam giác ABC là *

+ Chứng minh abM 4

- Nếu a, b chẵn thỡ abM 4

- Nếu trong hai số a, b cú số lẻ, chẳng hạn a lẻ

Lỳc đú c lẻ Vỡ nếu c chẵn thỡ c2M , trong lỳc 4 a2+b2khụng thể chia hết cho 4.

Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối cỏc điểm chia với

C thỡ tam giỏc ABC được chia thành 6 tam giỏc, mỗi tam giỏc này cú diện tớch

− Học sinh làm cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa.

− Điểm toàn bài không làm tròn.

3.c + Tương tự ta cũng có: NF2 =NA NQ×

+ Do đó:

2 2

0,250,25

Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác vuông ABC, c là cạnh huyền

Ta có a2+b2 =c2; a, b, c ∈N , diện tích tam giác ABC là *

+ Chứng minh abM 4

- Nếu a, b chẵn thỡ abM 4

- Nếu trong hai số a, b cú số lẻ, chẳng hạn a lẻ

Lỳc đú c lẻ Vỡ nếu c chẵn thỡ c2M , trong lỳc 4 a2+b2khụng thể chia hết cho

4

Đặt a = 2k + 1, c = 2h + 1, k, h ∈N Ta cú :

( ) (2 )2 2

b = h+ − k+ = 4(h k h k− ) ( + +1)= 4(h k h k− ) ( − + +1) 8k h k( − )M8

Suy ra 4bM

0,25

Nếu ta chia cạnh AB (chẳng hạn) thành 6 phần bằng nhau, nối cỏc điểm chia

với C thỡ tam giỏc ABC được chia thành 6 tam giỏc, mỗi tam giỏc này cú diện

a) Cho hàm số y = ax + b Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã

cho song song với đờng thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol

Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc 1

10 khu đất Nừu máy ủi thứ nhất làm một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ

hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai máy ủi san lấp đợc 25% khu đất

đó Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu đất đã cho

trong bao lâu

Bài 4: (2,75đ) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Vẽ tiếp tuyến d với

đờng tròn (O) tại B Gọi C và D là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho

B nằm giữa C và D Các tia AC và AD cắt (O) lần lợt tại E và F (E, F khác

A)

1 Chứng minh: CB2 = CA.CE

2 Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O’).

3 Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi Tiếp tuyến của (O’) kẻ từ A tiếp xúc với (O’) tại T Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờng thẳng cố định nào?

Bài 5: (1,25đ)

Một cái phễu có hình trên dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R = 15cm, chiều cao h = 30cm Một hình trụ đặc bằng kim loại có bán kính đáy r = 10cm đặt vừa khít trong hình nón có đầy nớc (xem hình bên) Ngời ta nhấc nhẹ hình trụ ra khỏi phễu Hãy tính thể tích và chiều cao của khối n-

ớc còn lại trong phễu.

22