BT hình học cao cap

HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM BÀI TẬP CHƯƠNG 1 PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ Bài 2: Hệ tiên đề K gồm: điểm, đường, thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề: i) Có ít nhất một điểm ii) Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường iii) Mỗi đường có ba điểm phân biệt iv) Mỗi điểm mằn trên ba đường phân biệt a. Chứng minh các định lý: + Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung + Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường b. Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín đỉểm, chín đường GIẢI: a) Chứng minh 1 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM a) Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung: o Thật vậy, niếu hai đường phân biệt a và b có hai điểm chung (phân biệt) P và Q có hai đường phân biệt a và b, trái với tiên đề ii. b) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường: o Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm, ta kí hiệu đó là điểm A. Theo tiên đề iv) điểm A nằm trên ba đường thẳng phân biệt, ta kí hiệu đó là x,y,z. Theo tiên đề iii) trên đường x ngoài điểm A còn có hai điểm khác đó là B và C khác nhau và khác với A , tương tự trên y còn có hai điểm khác nữa là D và E khác nhau và khác A, trên z còn có hai điểm khác nữa là G và F khác nhau và khác A. Mặc khác, hai đường thẳng phân biệt không có quá một điểm chung nên các điểm B, C, D, E, G, F điều là đôi một phân biệt và khác với điểm A. Vậy có ít nhất là 7 điểm. o Ta đã có ba đường phân biệt x, y, z. Theo tiiên đề iv) ta còn có hai đường nữa là u và v khác nhau và khác với x, qua C ta còn có hai đường nữa đó là w và t khác nhau và khác với x. Do tiên đề ii) ta có bảy đường là x, y, z, u, v, w, t đôi một phân biệt. Vậy có tấc cả là bảy đường. b) Xây dựng các mô hình của K: Gồm bảy điểm, bảy đường: 2 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Lấy một tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD, BE, CF,cắt nhau tại G. Ta xem A, B, C, D,E, F, G là điểm, còn các đường là các bộ ba sau đây: {A, B, F}, {B, C, D}, { C, A, E}, {A, D, G}, {B, E, G}, {C, F, G}, {D, E, F}. Gồm chín đỉểm, chín đường Ta lấy chín điểm phân biệt nào đó: A 1, A 2 , A 3, B 1, B 2, B 3, C 1, C 2 , C mỗi bộ ba sau đây xem là một đường: {A 1 , B 1 , C 1 }, {A 1, B 2, C 3 }, {A 1, B 2, C 3 }, {A 1 , B 3 , C 2 }, { A 2 , B 2 , C 2 }, {A 2 , B 2 , C 2 } , {A 2 , B 1 , C 3 }, {A 2 , B 3 , C 1 }, {A 3 , B 3 , C 3 }, {A 3 , B 1 , C 2 } và { A 3 , B 2 , C 1 }. BÀI 4: Hãy dùng hệ tiên đề hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng minh các định lí sau. a. Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng. b. Cho bốn điểm phân biệt và thẳng hàng. Chứng minh niếu C nằm giữa A và B còn D nằm giữa B và C thì D nằm giữa A và B còn C nằm giữa A và D. c. Định lí Pát (tức tiên đề Pát trong hệ tiên đề Hinbe) GIẢI a) Chứng minh: Theo tiên đề 1, ta có ít nhất hai a và b nào đó. Cũng theo tiên đề 1, trên a có ít nhất hai điêm A và B. Đường thẳng b không thể đồng thời đi qua A và B, vì niếu thế nó trùng 3 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM với a, theo tiên đề 2. Vây trên b có ít mhất là một điểm C không nằm trên a. Vậy có ít nhất là ba điểm A, B, C không thẳng hàng. b) Chứng minh: Ta hãy chứng minh C nằ giữa A và D: ta gọi a là đường thẳng chứa bốn điểm A, B, C, D. Theo tiên đề 4, điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp, mà ta gọi là X và Y, vì C nằm giữa A và B nên A và B phải thuộc hai tập hợp khác nhau, giả sử A ∈ X và B ∈ Y. Theo giả thiết D nằm giữa B và C nên theo tiên đề 3 nên C không ở giữa B và D, có nghĩa là D ∈ Y kết hợp với A ∈ X => C ở giữa A và D. Bây giờ ta chứng minh D nằm giữa A và B: điểm D chia các điểm còn lại của a thành 2 tâp hợp mà ta kí hiệu là X ’ và Y ’ , và theo giả thiết D nằm giữa B và C nên B và C phải thuộc 2 tập hợp khác nhau, giả sử C ∈ X ’ và Y ∈ Y ’ . Theo chứng minh trên và theo tiên đề 3,vì C nằm giữa A và D nên D không nằm giữa A và C. Vậy A và C thuộc cùng một tập hợp X ’ , hoặc Y ’ , như vậy A ∈ X ’ vì B ∈ Y ’ nên D nằm giữa A và B. c) Chứng minh: Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành 2 tập hợp X và Y. Theo định nghĩa của đoạn thẳng thì trên a có một điểm ở giữa A và B có nghĩa là A và B thuộc hai tập hợp khác nhau, Ta giả sử A ∈ X và B ∈ Y. Điểm C không nằm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp đó Niếu C ∈ X thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo tiên đề 5 đường thẳng a và đoạn BC có điểm chung, hay là có 4 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM một điểm của a ở giửa B và C, tương tự niếu C ∈ Y thì có một điểm của a ở giửa A và C. BÀI 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng để chứng minh các định lí sau. a. Góc ngoài tam giác lớn hơn mõi góc trong không kề với nó. b. Niêu hai đường thẳng tạo nhau với một các tuyến hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. GIẢI a) Ta có hình vẽ sau: C B' A x B a) Gọi C x là tia đối của tia CB, ta chứng minh rằng: > và > 5 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I .Khi đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c). Bởi vậy > = b) Giả sử hai đường thăng a và b cắc đường thẳng c tại A và B sao cho = . Niếu a và b cắc nhau tại C thì tam giác ABC sẽ có một goc ngoài bằng một góc trong không kề với nó. Trái với định lí a). B A hình 2 BÀI 8: Cho V là không gian Ơ-clit n chiều ( trên trường số thực ). Hãy gọi mõi vectơ u của V là một “điểm”, và với bất kì hai “điểm” u và v của V ta cho tương ứng với vectơ u - v của V. Hãy cchưng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit chiều. GIẢI: Ta gọi mõi vectơ u là một điểm, ta kí hiệu là U. Vậy các vectơ a , b , x , y …. Bây giờ được hiểu là các điểm A, B, X, Y…. 6 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Tiên đề 1. với bất kì 2 điểm A và B ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn được xác định của V, đó là vectơ a - b . Như vậy: AB = b - a Theo tiên dề 2. Với mỗi điểm A cho trước (thực ra là vectơ a ) và mỗi vectơ u cho trước của V có một điểm duy nhất B sao cho AB = u . Thật vậy ta chỉ cần lấy b = u + a . Theo tiên đề 3.Với bất kì ba điểm A, B, C ta điều có AB + BC = AC . Thâtj vậy niếu các điểm A, B, C lần lược là các vectơ a , b , c thì AB = b - a , BC = c - b , AC = c - a . Từ đó suy ra AB + BC = AC . Vậy tấc cả ba tiên đề trên điều là nghiệm . Suy ra V là không gian Ơclit n chiều. BÀI TÂP CHƯƠNG II BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN BÀI 2: Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt. chứng minh rằng niếu f(a) = B, f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I. GIẢI: 7 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Từ giả thuyết ta có ABABf : . Theo tính chất của phép afin là bảo toàn tỉ số đơn và biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng. I là trung điểm AB suy ra f(I) = I’ với I’ thuộc BA và I’ là trung điểm BA Mà BA = AB suy ra I trùng với I’. Vậy: ': IIf  (đpcm). BÀI 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự. GIẢI: Gỉa sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f, ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao chovới mọi vectơ u bất kì ta đều có f ( u ) = k u . Thật vậy, với mọi vectơ u bất kì, ta lấy hai điểm M, N sao cho MN = u . Nếu gọi M’ = f(M) và N’ = f(N) và '' NM = 'u thì theo định nghĩa của f ta có f ( u ) = 'u . Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết, MN // M’N’, bởi vậy f ( u ) = k. u . Tương tự như vậy đối với vectơ v , ta cũng có k( v ) = k’. v . Tuy nhiên ta chứng minh được k = k’. Thật vậy niếu đặt w = u + v , thì ta cũng có: 8 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM f ( v ) = k”. w = k”( u + v ) = (k”. v ) + (k”. u ). Nhưng vì f biến đổi tuyến tính nên: f ( w ) = f ( u + v ) = f ( u ) + f ( v ) = k. u + k’. v = k. u + k” . v Từ đó suy ra niếu v và u không cộng tuyến thì k = k”, k’ = k”, vậy k = k’. Còn niếu v và u cộng tuyến ta lấymột vectơ z không cộng tuyến với u và f ( z ) = k. z vì z cũng không cộng tuyến với v nên f ( v ) = k’. v . Bây giờ niếu k = 1 thì mọi điểm M, N và ảnh của chúng M’, N’ ta có MN = '' NM vậy 'MM = 'NN vậy f là phép tịnh tiến theo vectơ 'MM = v BÀI 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’. Với điều kiện nào đó thì có phép afin f biến các đỉnh A, B, C,D lần lược thành các đỉnh A’, B’, C’, D’ ? GIẢI Vì ba điểm A, B, C cũng như ba điểm A’, B’ C’ kkhông thẳng hàng cho nên có phép afin duy nhất biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A’, B’ C’. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’. Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi (A, C, I) = (A’, B’, C’) và (B, D, I) = (B’, D’, I’). BÀI 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1;0), B(0;2), C(-3;0), lần lược thành các điểm A’(2;3), B’(-1;4), 9 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM C’(-2;-1). GIẢI Biểu thức của phép biến đổi afin có dạng:    ++= ++= qdybxy pcyaxx ' ' Vì nó biến các điểm A, B, C thành các điểm A’, B’, C’ nên: ⇒ a p 2 b q 3 + =   + =  ; 2c p 1 2d q 4 + = −   + =  ; 3a p 2 3b q 1 − + = −   − + = −  Từ đó suy ra a =1, c = -1, d = 1, q =2, p = 1 . vậy biểu thức tọa độ là    ++= +−= 2' 1' yxy yxx Bài 10: Cho 2 phép afin : phép f: = 2x + y – 5 ; = 3x – y + 7 phép g : = x –y + 4 ; = - x + 2y + 5 tìm biểu thức tọa độ của Giải : Giả xử M(x ; y) , = f(M) = ( ; ) thì = 2x + y – 5 ; = 3x – y + 7. 10 [...]... này tiếp xúc với hai cạnh 23 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN A’D’ và B’C’ và đi quua taam của hình vuông Quỹ tích I là ảo ảnh của đường tròn đó nên quỹ tích I là đường êlip với AB là đường kính , đi qua tâm hình bình hành ABCD và tiếp với AD và BC BÀI 2: PHÉP ĐẲNG CỰ Bài 30: Cho hình vuông ACD Hãy chỉ ra nững phép đẳng cự biến hình vuông thành chính nó Giải: Gọi O là tâm hình vuông và d và d’ là hai... vectơ pháp =(a; b) Của đường thẳng Mặt khác , trung điểm I của MM’ nằm trên d, tức là : 25 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM A( ) + B( GV: TRẦN )+c=0 Ta suy ra : (a2 + b2)t = -2(ax + by+ c) t= Vậy : Bài 36: Tìm điểm bất động của phép biến đổi đẳng cự : Giải: Điểm bất độnglà nghiệm hệ Xét = 4 = ( ) 26 +1–2 + HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM 1 Niếu GV: TRẦN 2k thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tức là phép đẳng cự... cự biến tam giác điều ABC thành chính nó Gải : Có ba phép quay tâm O của một tam giác điều với góc quay lần lược là 0˚,120˚,240˚và ba Phép đối xứng qua ba đường thẳng chứa các đường cao của tam giác điều 24 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN CÁC BÀI TÓAN SAU ĐÂY ĐƯỢC XÉT TRONG MẶT PHẲNG VỚI HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN Bài 34 : Viết biểu thức tọa độ cuủa các phép sau ; a) Phép đối xứng qua đương thẳng ox và... A' M' D' ˆ ˆ ⇒ AB 1 C1 = CB1 A1 ⇒ Vậy ba điểm A’,B’, C’ thẳng hàng N' Bài 28: Cho hình bình hành ABCD , hai B' C' điểm M, N lần lược thay đổi trên hai đường thẳng AD và DC sao cho (ADM) = (DCN) Tìm quỹ tích giao điểm BM và AN Giải: Gọi A’B’C’D’ là hình vuông bất kì ,và f biến đổi phép afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông ABCD Khi đó f biến điểm M thành M’ nằm trên AD sao cho (A, D, M) = (A’,... điểm bất động 3 Niếu = 2k ,p, q không đồng thời bằng 0 ta có phép tịnh tiến theo vectơ =(p ;q) nên khôn có điểm bất động Bài 38 :Chứng tỏ các phép biến hình sau là phép đối xứng trược ,hãy tìm trục đối xứng và vectơ trượt a) b) c) Giải: 27 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN Ma trận A là phép đối xứng trược khi và chỉ khi A.A t = I2 và det A = -1 Ta dễ dàng kiểm tra được cả 3 phép toán a, b, c điều là... Như vậy Dt’ là tiếp tuyến chung của (O) và (O1) Suy ra cách dựng: Dựng đường tròn (O1) đối xứng với (O) qua đường 32 O' O d D O1 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN thẳng d Dựng tiếp tuyến chung của (O’) và (O 1) Giao điểm của tiếp tuyến đó với d là điểm D phải tìm Số nghiệm hình là số các tiếp tuyến chung cắt d Vậy bài toán có thể không có nghiệm, hoặc có 1, 2, 3, 4 nghiệm và cũng có thể có vô số nghiệm.(... (d) đi qua điểm O , tức là điểm bất động duy nhất của f BÀI 16 : Các phép afin sau đây có phải là thấu xạ hay không ? Niếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, Niếu không phải là thấu xạ trược a) b) c) d) 16 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN e) a) Trong biểu thức x’ = x, y’ = ky ta phải có k ≠ 0.Niếu k = 1 thì đó là phép đồng nhất Niếu k ≠ 1 thì các điểm bất động đó có tọa độ thỏa : Vậy các điểm của trục y = 0... phương trình vô nghiệm khi p ≠ 0, nên phép afin đã cho không phải là phép thấu xạ Ta lấy M không thuộc d ,M = (0 ; y0) với (k-1)y0 + q ≠ Khi đó M có ảnh M’=(0 ;ky0+q).Ta có MM’ 17 d tại M1(0 ; ) HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM Mặc khác GV: TRẦN ’ = Vậy tỉ số thấu xạ là K c) Điểm bất động x = -y + 1 ; y = -x + 1 Vậy tập hợp các điểm bất động là (d) : x + y -1 =0 Đây là phép thấu xạ cơ sở là đường thẳng (d)... điểm A, B, C thành chính nó Ta xét trường hợp a) Có hai trong ba điểm A, B, C biến thành chính nó ,dĩ nhiên điểm còn lại sẽ biến thành chính nó Khi đó ta có phép đồng nhất ddos là phép thấu xạ 18 HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN b) Có một và chỉ một trong ba điểm A, B, C biến thành chính nó Chẳng hạn A biến thành A, còn B biến thành C, còn C biến thành B Gọi I là trung điểm của BC thì I biến thành... thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm Af(P) GIẢI : Ta thấy niếu T là phép tịnh tiến theo vectó phép tịnh tiến theo vectơ 19 , còn T’ là thì tích T’ 0 T và T 0T’ là phép HÌNH HỌC CAO CẤP LÊ NAM GV: TRẦN tịnh tiến theo vectơ + , ngoài ra phép tịnh tiến là phép afin Từ suy ra tâp hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm con giao hoán của Af(P) Các phép tịnh tiến và phép vị . chung, hay là có 4 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM một điểm của a ở giửa B và C, tương tự niếu C ∈ Y thì có một điểm của a ở giửa A và C. BÀI 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng để chứng. w, t đôi một phân biệt. Vậy có tấc cả là bảy đường. b) Xây dựng các mô hình của K: Gồm bảy điểm, bảy đường: 2 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Lấy một tam giác ABC với ba đường trung tuyến. điểm, có ít nhất là bảy đường b. Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín đỉểm, chín đường GIẢI: a) Chứng minh 1 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM a) Hai đườg thẳng phân biệt