BT hình học cao cap

BÀI TẬP CHƯƠNG 1PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ Bài 2: Hệ tiên đề K gồm: điểm, đường, thuộc + Khái niệm cơ bản + Các tiên đề: i Có ít nhất một điểmii Qua hai điểm phân biệt có không quá một đườngiii

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ

Bài 2: Hệ tiên đề K gồm: điểm, đường, thuộc

+ Khái niệm cơ bản

+ Các tiên đề:

i) Có ít nhất một điểmii) Qua hai điểm phân biệt có không quá một

đườngiii) Mỗi đường có ba điểm phân biệtiv) Mỗi điểm mằn trên ba đường phân biệt

a Chứng minh các định lý:

+ Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung

+ Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường

b Xây dựng các mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chín đỉểm, chín đường

GIẢI:

a) Chứng minh

a) Hai đườg thẳng phân biệt có không quá một điểm chung:

o Thật vậy, niếu hai đường phân biệt a và b có hai điểm

chung (phân biệt) P và Q có hai đường phân biệt a

và b, trái với tiên đề ii

b) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường:

o Theo tiên đề i) có ít nhất là một điểm, ta kí hiệu

đó là điểm A Theo tiên đề iv) điểm A nằm trên ba đường thẳng phân biệt, ta kí hiệu đó là x,y,z Theo tiên đề iii) trên đường x ngoài điểm A còn có hai điểm khác đó là B và C khác nhau và khác với A , tương tự trên y còn có hai điểm khác nữa là D và E khác nhau và khác A, trên z còn có hai điểm khác nữa là G và F khác nhau và khác A Mặc khác, hai đường thẳng phân biệt không có quá một điểm chung nên các điểm B, C, D, E, G, F điều là đôi một phân biệt và khác với điểm A Vậy có ít nhất là 7 điểm

o Ta đã có ba đường phân biệt x, y, z Theo tiiên

đề iv) ta còn có hai đường nữa là u và v khác nhau

và khác với x, qua C ta còn có hai đường nữa đó là

w và t khác nhau và khác với x Do tiên đề ii) ta có bảy đường là x, y, z, u, v, w, t đôi một phân biệt Vậy có tấc cả là bảy đường

b) Xây dựng các mô hình của K:

Lấy một tam giác ABC với ba đường trung tuyến AD,

BE, CF,cắt nhau tại G Ta xem A, B, C, D,E, F, G là điểm, còn các đường là các bộ ba sau đây: {A, B, F}, {B,

với a, theo tiên đề 2 Vây trên b có ít mhất là một điểm C không nằm trên a Vậy có ít nhất là ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

đường thẳng chứa bốn điểm A, B, C, D Theo tiên đề 4, điểm C chia các điểm còn lại của đường thẳng a thành hai tập hợp, mà

ta gọi là X và Y, vì C nằm giữa A và B nên A và B phải thuộc hai tập hợp khác nhau, giả sử A ∈ X và B ∈ Y Theo giả thiết D nằm giữa B và C nên theo tiên đề 3 nên C không ở giữa B và

D, có nghĩa là D ∈ Y kết hợp với A ∈ X => C ở giữa A và D Bây giờ ta chứng minh D nằm giữa A và B: điểm D chia các điểm còn lại của a thành 2 tâp hợp mà ta kí hiệu là X’ và Y’, và theo giả thiết D nằm giữa B và C nên B và C phải thuộc 2 tập hợp khác nhau, giả sử C ∈ X’ và Y ∈ Y’ Theo chứng minh trên

và theo tiên đề 3,vì C nằm giữa A và D nên D không nằm giữa

A và C Vậy A và C thuộc cùng một tập hợp X’, hoặc Y’, như vậy A ∈ X’ vì B∈ Y’ nên D nằm giữa A và B

c) Chứng minh: Theo tiên đề 5, đường thẳng a chia các điểm không thuộc nó thành 2 tập hợp X và Y Theo định nghĩa của đoạn thẳng thì trên a có một điểm ở giữa A và B có nghĩa là A

và B thuộc hai tập hợp khác nhau, Ta giả sử A ∈ X và B ∈ Y Điểm C không nằm trên a nên phải thuộc một trong hai tập hợp

đó Niếu C ∈ X thì B và C thuộc hai tập hợp khác nhau nên theo

tiên đề 5 đường thẳng a và đoạn BC có điểm chung, hay là có

một điểm của a ở giửa B và C, tương tự niếu C ∈ Y thì có một điểm của a ở giửa A và C.

BÀI 6: Hãy dùng 12 tiên đề của hình học phẳng để chứng minh

các định lí sau

a Góc ngoài tam giác lớn hơn mõi góc trong không kề với nó

b Niêu hai đường thẳng tạo nhau với một các tuyến hai góc so

le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song

GIẢI

C

B' A

x B

a) Gọi Cx là tia đối của tia CB, ta chứng minh rằng:

> và >

Gọi I là trung điểm AC và B’ là điểm đối xứng với B qua I Khi

đó hai tam giác AIB và CIB’ bằng nhau (c-g-c) Bởi vậy >

B A

hình 2

BÀI 8 : Cho V là không gian Ơ-clit n chiều ( trên trường số thực )

Hãy gọi mõi vectơ u của V là một “điểm”, và với bất kì hai “điểm”

u và v của V ta cho tương ứng với vectơ u- v của V Hãy cchưng minh rằng khi đó V là không gian Ơ-clit chiều

GIẢI:

Ta gọi mõi vectơ u là một điểm, ta kí hiệu là U Vậy các vectơ

a, b, x, y… Bây giờ được hiểu là các điểm A, B, X, Y…

Tiên đề 1 với bất kì 2 điểm A và B ta cho tương ứng với một vectơ hoàn toàn được xác định của V, đó là vectơ a - b Như vậy: AB = b-a

Theo tiên dề 2 Với mỗi điểm A cho trước (thực ra là vectơ a) và mỗi vectơ u cho trước của V có một điểm duy nhất B sao cho

AB= u Thật vậy ta chỉ cần lấy b= u + a

Theo tiên đề 3.Với bất kì ba điểm A, B, C ta điều có

AB + BC = AC Thâtj vậy niếu các điểm A, B, C lần lược là các vectơ a, b , c thì AB = b-a, BC = c - b, AC = c - a Từ đó suy ra

AB + BC = AC

Vậy tấc cả ba tiên đề trên điều là nghiệm Suy ra V là không gian Ơclit n chiều

BÀI TÂP CHƯƠNG II

BÀI 1: PHÉP BIẾN HÌNH AFIN

BÀI 2: Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt chứng minh

rằng niếu f(a) = B, f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I

GIẢI:

Từ giả thuyết ta có f :AB AB Theo tính chất của phép afin

là bảo toàn tỉ số đơn và biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng

I là trung điểm AB suy ra f(I) = I’ với I’ thuộc BA và I’ là trung điểm BA

Mà BA = AB suy ra I trùng với I’

Vậy: f :I  I'(đpcm)

BÀI 4: Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a

thành đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc là phép vị tự

GIẢI:

Gỉa sử f là phép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin f,

ta chứng minh rằng tồn tại một số k sao chovới mọi vectơ u bất kì

ta đều có f (u) = ku

Thật vậy, với mọi vectơ u bất kì, ta lấy hai điểm M, N sao cho

MN = u Nếu gọi M’ = f(M) và N’ = f(N) và M ' N' = u' thì theo định

nghĩa của f ta có f (u) = u' Nhưng vì f biến đường thẳng MN thành đường thẳng M’N’ nên theo giả thiết, MN // M’N’, bởi vậy f (

u) = k.u Tương tự như vậy đối với vectơ v, ta cũng có k(v) = k’.v Tuy nhiên ta chứng minh được k = k’ Thật vậy niếu đặt w =

u + v, thì ta cũng có:

f(v) = k” w = k”( u + v) = (k” v) + (k”.u) Nhưng vì f biến đổi tuyến tính nên:

f (w) = f (u + v) = f (u) + f(v) = k.u + k’.v = k.u + k” v

Từ đó suy ra niếu v và u không cộng tuyến thì k = k”, k’ = k”, vậy k = k’ Còn niếu v và ucộng tuyến ta lấymột vectơ z không cộng tuyến với u và f (z) = k.z vì z cũng không cộng tuyến với vnên f(v) = k’.v

Bây giờ niếu k = 1 thì mọi điểm M, N và ảnh của chúng M’, N’ ta

có MN = M ' N' vậy MM' = NN' vậy f là phép tịnh tiến theo vectơ

'

MM = v

BÀI 6: Cho hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’ Với điều kiện nào đó thì

có phép afin f biến các đỉnh A, B, C,D lần lược thành các đỉnh A’, B’, C’, D’ ?

GIẢI

Vì ba điểm A, B, C cũng như ba điểm A’, B’ C’ kkhông thẳng hàng cho nên có phép afin duy nhất biến ba điểm A, B, C thành

ba điểm A’, B’ C’ Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và

BD, I’ là giao điểm của hai đường chéo A’C’ và B’D’ Phép afin f biến D thành D’ khi và chỉ khi nó biến I thành I’ Điều đó xảy ra khi

và chỉ khi (A, C, I) = (A’, B’, C’) và (B, D, I) = (B’, D’, I’)

BÀI 8: Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1;0),

B(0;2), C(-3;0), lần lược thành các điểm A’(2;3), B’(-1;4),

+ +

=

q dy bx y

p cy ax x

' '

Vì nó biến các điểm A, B, C thành các điểm A’, B’, C’ nên:

1 '

y x y

y x x

Bài 10: Cho 2 phép afin : phép f: = 2x + y – 5 ; = 3x – y + 7

Gọi = g( ) = g(f(M)) = f(M), và giả xử = ( ; ), thì theo

biểu thức của g ta có

= - + 4 ; = + 2 + 5 Do đó :

= 2x + y – 5 – (3x – y + 7) + 4 = -x + 2y – 8

= (2x + y – 5 ) + 2(3x – y + 7) + 5 = 4x -3y + 24

Vậy biểu thức tọa độ của là :

Làm tương tự ta đươc biểu thức tọa độ của là :

Bài 12 : tìm điểm bất động của phép afin biến 3 điểm A, B, C

Từ đó suy ra điểm bất động có tọa độ là nghiệm của phương trình :

Vậy phép afin có điểm bất động duy nhất G( ; ) Điểm đó chính

là trọng tâm của tam giác

A(ax + cy) + B(bx + dy) + C = 0

(Aa + Bb)x + (Ac + Bd)y + C = 0

Nếu C ≠ 0 thì điều kiện (d) trùng với ( ) là :

P = 7 – 5a và q = - 5b

Như vậy phép afin đã cho có biểu thức tọa độ :

Trên đường thẳng x + y + 1 = 0 ta hãy lấy 1 điểm nào đó khác với Ichẳng hạn M(-1 ; 0) ,

Từ (1) và (2) suy ra: a = , b =

Vậy biểu thức tọa độ của phép afin là :

b) Giả xử biểu thức tọa độ của phép biến đổi afin có dạng :

Cuối cùng vì điểm (6 ; 4) biến thành điểm (2 ; 1) nên :

Nhưng do điều kiện (*) nên từ hệ phương trình suy ra A = B

= 0 , và ta không có đường

rhẳng như vậy điều đó có nghĩa là nếu (d) là đường hẳng bất biến thì trong phương

trình của nó ta phải có C = 0 , tức là (d) đi qua điểm O , tức

là điểm bất động duy nhất của f

BÀI 16 : Các phép afin sau đây có phải là thấu xạ hay

không ? Niếu có, hãy tìm tỉ số thấu xạ, Niếu không phải là thấu xạ trược

a)

b)

c)

d)

b) Trong biểu thức x’ = x + p, y’ = ky + q ta cũng phải có k ≠ 0.Niếu k = 1 thì ta có phép tịnh tiến theo vectơ = ( p :q)

Vậy niếu p = q = 0 thì ta có phép đồng nhất, nó cũng là phép thấu xạ Niếu một trong hai số p và q khác không, a được phép tịnh tiến, đó không phải là phép thấu xạ

trình vô nghiệm khi p ≠ 0, nên phép afin đã cho không phải là phép thấu xạ

Ta lấy M không thuộc d ,M = (0 ; y0) với (k-1)y0 + q ≠ Khi đó

M có ảnh M’=(0 ;ky0+q).Ta có MM’ d tại M1(0 ; )

Mặc khác ’ = Vậy tỉ số thấu xạ là K.

c) Điểm bất động x = -y + 1 ; y = -x + 1 Vậy tập hợp các điểm bất động là (d) : x + y -1 =0 Đây là phép thấu xạ cơ sở là đường thẳng (d) Lấy M trùng với O , M=(0 ;0) thì M có ẩnh

là M’=(1 ;1) Đường thẳng MM’ có phhương trình x – y = 0

cắc (d) tại M1( ; ) Vậy =- Vậy tỉ số thấu xạ là -1.d) Điêm bất động x = x+ y ; y = y.Vậy tập hợp các điểm bất động là đường thẳng y = 0,đây là phép thấu xạ Lấy M(0 ;1)

có ảnh là M’(1 ;1) đường thẳng MM’ // OX ,đây là phép đối xưng trược

e) Điểm bất động x =4x + 2y +1 ; y = 3x + 3y – 1.Hệ phương trình này vô nghiệm , tức là không có điểm bất động, Nên đây không phải là phép thấu xạ

Bài 18 : Chưng minh rằng mọi phép afin biến tam gác ABC đã

cho thành chính nó điều có thể phân tích không quá của hai phép thấu xạ

b) Có một và chỉ một trong ba điểm A, B, C biến thành chính

nó Chẳng hạn A biến thành A, còn B biến thành C, còn C biến thành B Gọi I là trung điểm của BC thì I biến thành chính nó ; Vậy tấc cả những điểm của đương AI đièu là điểm bấ động Vậy có phép thấu xạ là đường thẳng AM, phương thâus xạ là phương của BC, tỉ số thấu xạ là -1.c) Không có điểm nào trongg 3 điểm A, B, C biến thành chính nó vậy A phải biến thành B hoặc C Giả sử A biến thành B, khi đó B biến thành C và do đó C biến thành A

Ta có hep afin f(A) = B,

F(B) = C, f(C) = A

Ta gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A) = A, g(B) = C, g(C) Gọi g là phép thấu xạ sao cho g(A)=A, g(B)=C, g(C)=B (TH2) Nếu đặt g0f =h thì theo TH2 ta có h(A)=C, h(B)=B, h(C)=A, do đó theo TH2, h cũng là một phép thấu xạ

Từ g0f =h ⇒ g0 g0 f = g0 h ( vì g là phép thấu xạ có tỉ số -1 nên g0g=e (e là phép đồng nhất )

Vậy f=g0h, tức là f là tích của 2 phép thấu xạ= B

Bài 20 : Chứng minh rằng tập hợp các phép vị tự và các

phép tịnh tiến làm thành một nhóm, tâp hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa các nhóm đó với nhau và với nhóm Af(P)

GIẢI :

Ta thấy niếu T là phép tịnh tiến theo vectó , còn T’ là

phép tịnh tiến theo vectơ thì tích T’ 0 T và T 0T’ là phép

tịnh tiến theo vectơ + , ngoài ra phép tịnh tiến là

phép afin Từ suy ra tâp hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm con giao hoán của Af(P)

Các phép tịnh tiến và phép vị tự có chung tính chất : « biến mỗi đường thẳng a thành đường thẳng song song hoặc trùng với a và ngược lại mỗi phép có tính chất

đó là phép tịnh tiến hoặc phép vị tự Từ đó suy ra các pépp vị tự và các phép tịnh tiến làm thành một nhóm con của nhóm Af(P) và chứa nhóm các phép tịnh tiến

Bài 22 Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp một đường

Elip (E), hình H ’ gồm một tam giác A ’ B ’ C’ nội tiếp một đường Elip (E ’ ) Hai hình H và H ’ có tương đương afin không? Nếu có thêm giả thiết tâm Elip (E) trùng với trọng tâm tam giác ABC, tâm Elip (E ’ ) trùng với trọng tâm tam giác A ’ B’C’ thì H và H ’ có tương đương afin không?

Giải:

Gọi O và O’ lần lượt là tâm của (E) và (E’) Ta có duy nhất một phép afin f biến A, B, C lần lượt thành A’,B’,C’ tức là biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Nói chung f không biến O thành O’

B'

A'

biến (E) thành (E’) Vậy nói chung H và H’ không tương đương afin.

Nếu phép afin f nói trên biếnO thành O’ thì nó cũng biến (E) thành (E’)

Thật vậy nếu gọi A1,B1,C1 lần lượt là các điểm đối xứng với A,B,C qua O thì A1,B1,C1 đều nằm trên (E), tương tự gọi A’

1 ,B’

1 ,C’

1 lần lượt là các điểm đối xứng với A’,B’,C’ qua O’ thì A’

1 ,B’

1 ,C’

1 đều nằm trên (E’) Vì f biến A,B,C, O lần lượt thành A’

,B’ ,C’ ,O’ nên nó cũng biến A1,B1,C1 lần lượt thành A’

1 ,B’

1 ,C’

1 Từ đó suy ra f biến (E) thành Elip đi qua A’

,B’ ,C’ ,A’

1 ,B’

1 ,C’

1, đó chính là Elip (E’)

Vậy trong hai trường hợp này hai hình (H) và H’ tương đương afin

Bài 24 Chứng tỏ rằng các khái niệm sau đây là khái niệm

afin: Đường bậc hai; Tâm của đương bậc hai; Đường tiệm cận của đường bậc hai; Tiếp tuyến của đường bậc hai

=

+ +

=

q dy bx

y

p cy ax

x

'

'

Vì ad-bc ≠ 0, nên ta có thể biểu thị x,y theo x’,y’

Ta giả sử x = a’x’+c’y’+p’ và y = b’x’+d’y’+q’ ( với a’d’-b’c’≠0)

Nếu điểm M(x,y) ∈(S) và M’=h(M) và có tọa độ M’(x’,y’) thì

A(a’x’+c’y’+p’) +B(b’x’+d’y’+q’) +2C(a’x’+c’y’+p’)( b’x’+d’y’+q’) +2D(a’x’+c’y’+p’) +3E(b’x’+d’y’+q’) +F =0 (1’)

Sau khi biến dổi ta đưa phương trình trên về dạng

0 ' ' 2 ' 2 ' ' 2 ' ' '

C A d

b

c a B C

C A d c

b a B

C

C

A

, ' '

' ' '

'

' ' '

'

' ' '

⇒ Như vậy (1’) cũng là hương trình của một đường bậc hai (S’)

b) Giả sử đường bậc hai (S) có tâm I

Bài 26 Cho tam giác ABC nội tiếp elip và một điểm M trên (E) Gọi

O là tâm elip và A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA,

AB Gọi A1, B1, C1 là các điểm lần lượt nằm trên các đường thẳng BC,CA,AB sao cho MA1// OA’, MB1// OB’, MC1// OC’ Chứng ming rằng ba điểm A’,B’, C’ thẳng hàng

1 1 1

⇒ Vậy ba điểm A’,B’, C’ thẳng hàng

Bài 28: Cho hình bình hành ABCD , hai

điểm M, N lần lược thay đổi trên hai đường

thẳng AD và DC sao cho (ADM) = (DCN) Tìm quỹ tích giao điểm

BM và AN

Giải:

Gọi A’B’C’D’ là hình vuông bất kì ,và f biến đổi phép afin biến hình bình hành ABCD thành hình vuông ABCD Khi đó f biến điểm

M thành M’ nằm trên AD sao cho

(A, D, M) = (A’, D’, M’) và biến N thành N’ nằm trên DC

Sao cho (D, C, N) = (D’, C’, N’) giao điểm I’ của B’M’ và A’N’ là ảnh của điểm I Ta dể dàng chứng minh B’M’ ┴ A’N’ và do đó quỹ tích I’ là đường tròn đường kính A’B’ đường tròn này tiếp xúc với hai cạnh

A'

B'

D' M'

N' C'

A’D’ và B’C’ và đi quua taam của hình vuông Quỹ tích I là ảo ảnh của đường tròn đó nên quỹ tích I là đường êlip với AB là đường kính , đi qua tâm hình bình hành ABCD và tiếp với AD và BC.

1) Phép đối xứng qua d 2) Phép đồng nhất 3) Phép đối xứng qua d’

4) Phép đối xứng qua đường chéo AC5) Phép đối xứng qua đương thẳng BD6) Phép quay tâm O góc quay 90˚

7) Phép quay tâm O góc quay 180˚

8) Phép quay tâm O góc quay 270˚

Bài 32 :Hãy chỉ ra nững phép đẳng cự biến tam giác điều ABC

thành chính nó

Gải :

Có ba phép quay tâm O của một tam giác điều với góc quay lần lược là 0˚,120˚,240˚và ba Phép đối xứng qua ba đường thẳng chứa các đường cao của tam giác điều

CÁC BÀI TÓAN SAU ĐÂY ĐƯỢC XÉT TRONG MẶT PHẲNG VỚI HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN

Bài 34 : Viết biểu thức tọa độ cuủa các phép sau ;

a) Phép đối xứng qua đương thẳng ox và đối xứng qua đuường thẳng oy

b) Phép đối xứng qua điểm I(a ;b)

c) Phép đối xứng qua đường thẳng ax + by+ c = 0

1 Niếu 2k thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất, tức

là phép đẳng cự có điêm bất động duy nhất I và đó là phép

quay tâm I với góc quay toạ độ của điểm bất động là

2 Niếu = 2k và p = q = 0 thì ta có phép đồng nhất , mọi điểm bất động

3 Niếu = 2k ,p, q không đồng thời bằng 0 ta có phép tịnh

tiến theo vectơ =(p ;q) nên khôn có điểm bất động

Bài 38 :Chứng tỏ các phép biến hình sau là phép đối xứng

trược ,hãy tìm trục đối xứng và vectơ trượt

a)

b)

Giải:

Ma trận A là phép đối xứng trược khi và chỉ khi A.A = I2 và det A = -1

Ta dễ dàng kiểm tra được cả 3 phép toán a, b, c điều là phép đối xứng trược Quỹ tích trung điểm các đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng MM’ là một đuwngf thẳng chính

là trrục đối xứg cả phép đói xứng trượt

a) Mọi điểm M(x:y) ó ảnh M’ =(x + x0 ; -y + y0) Niếu I là trung

điểm MM’ thì I có toạ độ : x1 = x + , y1 =

Pt của I có dạng : y = là phương trình ccủa trục đối xứng

Gọi M1 (x1 :y1) đối xứng với M qua trục đối xứng

Ta có : x1 = x ; y1 = -y + y0 ta có vectơ trược là = (x0 ; 0)

b) Niếu = 2k ta trở về trường hợp a) giả sử 2k gọi

M (x ;y) , M’(x’ ; y’) là cặp điểm tương ứng và I = (x1 ; y1) và trung điểm MM’ thì

Ta có

Hay

Giải hệ ta tìm được phương trình cần tìm

(2x – x0)( -1)+ (2y – y0) =0

Lấy N bất kỳ thuộc vào trục đối xứng N’ là ảnh của N qua phép đốii xứng trược thì N nằm trên trục đối xứng , vectơ

Bài 40 : Cho hai đường thẳng AB = A’B’ và không song

song Hai điểm M, M’ thay đổi trênn AB, A’B’ sao cho (A,

B, M) = (A’, B’, M’) , tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng MM’

Giải :

Ta có một phép phản chiếu duy nhất f biến A thành A’ và biến

B thành B’ Khi đó f biến M hành M’ Vì f là phép đối xứng trượt nên ta có quỹ tích trung điểm MM’ là trục đối xứng của f, đó là đường thẳng ddi qua rung điểm của AA’ và BB’

Bài 42 : Cho phép quay Q1 có tâm là O1 , góc quay 1 và

phép quay Q2 có tâm O2 và góc quay 2 Tìm tích Q1˳ Q2 trong các trương hợp sau :

1 O1 và O2 trùng nhau

2 O1 và O2 không trùng nhau và 1 + 2 360˚

3 O1 và O2 không trùng nhau và 1 + 2 = 360˚

Giải :

a) Gọi O là điểm trùng với O1 và O2, gọi d1, d2, d3 là đường

thẳng đi qua O sao cho góc (d1, d2) = và góc (d2, d3) =

gọi Đi là phép đối xứng qua đường thẳng di (i = 1, 2, 3)