Hình học cao cấp

HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG   1.1 Phép biến hình afin  !"#$"%&#'#()*+,("#- #*+,("#-.(/012#3456(7"#8"9:;+</+,( "#-= >(7"#8"*</:8?56+@#'#</+,("#- A##B/ #$"%&#'#C</+,("#-56+D(E*9#</5F#2# G=12#3456CH IJ+>:;+</.:;+K L CMN?56O#</:;+P4/"#$" %&#'#C.Q:F+?56(*O#</K=/0G"#$"%& #'#C%&:;+(#6#:F+K=  HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM #*56+D(#'#6*:G.(7"#8"K L CMNR+O#</(S(O9:;+ </?56O#</#'#=/0G#$"%!#'#C%&#'# (#6##'#K= I2TU"#V(#@#W(/:X%&(9"#$"%&#'#</+,("#- #"#$"(A#(&."#$":YZ[(\+."#$" A(]."#$":YZ[P4/ +D(:^(#-= #$":R#S(56+D("#$"%&#'#:,%3(.G%&+?:;+ (#6##2#T;+=#$":R#S((#^12#F456_=IJ+?:;+ (#4D+,("#-._MN L = /:X%&(.(2##/E*9#56+D(E*9#.F(2##/"#$"%& #'#</+,("#-56+D("#$"%&#'#</+,("#-`V "#$"%&#'#C</56E*9#</.G"#$":O*8C a 0 56+D(E*9#</.(/?CC a  56"#$"%!#'#:O*8</ "#$"%&#'#C 6GC * C a L C a * C L _= /G(7"#8"(S(O9"#$"%&#'#</+,("#- J"#$" (*9(2##/"#$"%&#'#56+(#6#+D(#G+= =b=cEY:</%/:;+(#-#/ A##B/ #*..56%/:;+"#\%3((#-#6()F+,("#-= d#:GEY1:8?56(cEY:</%/:;+..=d2#34MN(#_* :W(#[(]E9(:A# M..N  La IeTU NM.bN.Mb.fN.M.gN=I'..(#-#6FMN1#@Z9:A# :8 bNM.bN.Mb.fN.Mg.hN=/G L b. 7iMNLb= #WjMN L ak56()4:;+</  OEl..(#4D 6*:^(#-M/NG _(*: A_ L1 b HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM ?156:DT6:EY</=d2#34=MN L 1  k L 1= =mPhép biến đổi tuyến tính liên kết với phép afin /12#34 P ur 56(7"#8"(SO9 _(n+()*+,("#-/C .([ P ur 561#@/ _(#/#!4()F()^EY(#]5F1&( J +,("#-/CP #*C → 56+D("#$"/C=/Z\iT]"#$"9#Z f ur  P P→ ur ur #E/4 IJ+> _(%S(1' u P∈ r ur .(/G(#;#?#/:;+.()F+,( "#-PE/4#* MN uuur L u r =? 'M L ( ) f M . 'N L ( )f N  6 u r L ' 'M N uuuuur =#_* (2##S(d)F4()F. _( u r :8Z9:A#T4i#S(%o _( u P∈ r ur . 61#@"#U(#4D 6*#?#/:;+.=I7i.([ 'u u→ r ur 56 +D(9#Z.12#3456 ( ) f u ur r L 'u ur  6Tp(#Si)n f ur 56+D(E*9#= q/4:\i(/#[+#)n f ur 56+D(9#Z(4i&(2#</ P ur )J#&((/#[+# J+?EY(#]1.(/G ( ) f ku ur r L ( ) kf u r = rp(#Si:!4:G:W J1Ls.1L.#/i u r L 0 r t$(()^#8" 0u ≠ r r . 0k ≠ . 1k ≠  OEl AB uuur L u r  6 AC uuur L ku r =d#:G.%/:;+..(#-#6.G O#P4/"#$"/CC5u5856K.K.K0(#-#6 6(cEY: :8%O*(*6 MK.K.KNLM..NL1.([56 ' 'A C uuuur L1 ' 'A B uuuur r*:G.(/G g HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM  ' 'A C uuuur L ( ) f AC ur uuur L ( ) f ku ur uur  6 ' 'A B uuuur L ( ) f AB uuuur ur L ( ) f u ur r I7i ( ) f ku ur r L ( ) k f u ur r = \i^(/#[+# J u r  6 v r (#4D P ur  f ur M u r v v r NL ( ) f u r v ( ) f v r =/5Si%/:;+..E/*#* AB uuur L u r . BC uuur L v r .(#' AC uuur L u r v v r =?K LCMN.KLCMN.KLCMN(/G  ' 'A B uuuur L ( ) f u ur r . ' 'B C uuuur L ( ) f v ur r . ' 'A C uuuur L ( ) f AC uuuuur ur L f ur M u r v v r N= w ' 'A C uuuur L ' 'A B uuuur v ' 'B C uuuur (/E4i)/ f ur M u r v v r NL ( ) f u ur r v ( ) f v ur r = I7i f ur 56+D("#$"%&:V(4i&(2#</ P ur = #$"%&:V(4i&(2# f ur :8?56"#$"%&:V(4i&(2# liênkết J"#$"/Cf 685f:8?56"#$"/Cliên kết J "#"%&:V(4i&(2# f ur = Định nghĩa. #*C P P→ 56+D("#$"/C=?KLCMN.KL CMN. MN uuur L u r . 6 ' 'M N uuuuur L 'u ur =#$"%&:V(4i&(2# f ur  P P→ ur ur E/*#* ( ) f u ur r L 'u ur .:8?56"#$"%&:V(4i&5F1&( J"#$"/CC 6 85C:8?56"#$"5F1&(/C5F1&( J"#$"%&:V (4i&(2#C= I2TU"#$":R#S(_ P P → G"#$"%&:V(4i&(2#5F 1&(56"#$"%&:V(4i&(2#:R#S( e r  P P→ ur ur =#] 7i.KLCMN. KLCMN. MN uuur L u r  6 ' 'M N uuuuur L u r .F ( ) f u ur r L u r .T*:G f ur 56"#$":R#S( e r  P P→ ur ur 1.6 Xác định ánh xạ afin f HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Định lí : #*.K ∈ 2 A . ϕ  2 2 V V→ M 2 V L A ur N.1#:G(R(T4i#S(+D(9#Z/C C()F 2 A E/*#*  CMNLK  ( ) MN ϕ uuur L ( ) ( ) f M f N uur ur . ∀ .. ∈ 2 A /? ϕ 569#Z(4i&(2#5F1&( J9#ZC #[+#Z$(9#ZC P P → %&+>:;+(#6#KE/*#* ( ) f IM ur uuur L ' 'I M uuuuur =/#[+#)nC56"#$"%&/C= #7( 7i. J%/:;+%S(1'..(#-#6 6M..NL1= /G 1 IA k IB IC k − = − uur uur uur d#:G.?KLCMN.KLCMN.KLCMN.G  ( ) f IA ur uur L ' 'I A uuuur ` ( ) f IB ur uur L ' 'I B uuuur ` ( ) f IC ur uur L ' 'I C uuuur =    r*  f ur 56"#$"%&:V(4i&(2#F  ' ' ' ' ' ' 1 I A kI B I C k − = − uuuur uuuur uuuur =!4:G #[(x/)nK.K.K(#-#6 6MK.K.KNL1=   K K K  K  7iC56"#$"/C 6)y)6CMNLK m HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM IJ#/:;+%S(1'.</ 6K.K56O#</#WP4/C(/ G ( ) f MN ur uuur L f ur M IN uur a IM uuur NL ' 'I N uuuur a ' 'I M uuuuur L ' 'M N uuuuur =I7iC56"#$"/C</ 5F1&( J"#$"%&:V(4i&(2#TX#* #$"/C#()F56T4i#S(=([56.OElG"#$"/CCK</ .CKMNLK05F1&( 2"#$"%&:V(4i&(2# f ur :X#*.(#'CK()z JC=#] 7( J:;+%S(1'</.?KLCMN 6KKLCKMN=1# :G. 'C 6CKz5F1&( J"#$"%&:V(4i&(2# f ur F ( ) f I M ur uur L ' 'I M uuuuur ` ( ) f IM ur uuur L ' "I M uuuuur .E4i)/KKLK. 7iCKLC= Định lí : C 2 2 A A→  'M Ma  ' 'I M uuuuur L ( ) IM A ϕ ∈ uuur ur #[+#Tp(#Sif(I) = I’  ( ) ( )f M f N uuuuuuuuuuur L ' ( )I f N uuuuur a ' ( )I f M uuuuur L ( ) ( )f I f N uuuuuuuuur a ( ) ( )f I f M uuuuuuuuuur L ( )IN ϕ uur a ( )IM ϕ uuur L (IN ϕ uur a )IM uuur L ( )MN ϕ uuur . 2 , ,M N A∀ ∈ MdNLd ⇔ PM uuur L K PN uuur h HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM  ( )PM ϕ ⇔ uuur L ( )K PN ϕ uuur  ' 'P M⇔ uuuuur L ' 'k P N uuuuur  ⇒ MM’N’P’) = K OEl ∃ f’ ' 'A A→ (#x/+X:A#52 ∀  ∈ 2 A  ( ) '( )f M f M uuuuuuuuuuuur L ( ) 'f M I uuuuur v ' '( )I f M uuuuuur L ( ) ( )f M f I uuuuuuuuuur v '( ) '( )f I f M uuuuuuuuuuur L ( )MI ϕ uuur v ( )IM ϕ uuur L (MI ϕ uur v )IM uuur L 0 r Hệ quả: D(9#Z/C()F+,("#- 2 A #*6(*6:8Z9:A#&4(/%&( :8%/:;+1#@(#-#6.#{/&4.. 6K.K.K56#/ (/+9()F+,("#- 2 A (#'(R(T4i#S("#$"%&:V/C%& (/+9(#6#(/+9KKK= 1.7 Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin       #*"#$"/CC  P P → .5F1&(  J"#$"%&:V(4i&(2# :f P P→ ur ur ur /#?+U(F4/C ( ) ; ,O i j r r 6*:G</+,("#-=?KL CMN. 69 $( ' ( ), ' ( )i f i j f j= = r ur r ur r .G(?/:D56 KLM"`PN. ' ( ; ), ' ( ; )i a b j c d= = r ur = [56 OO ' ; ' ;pi q j i ai b j j ci d j= + = + = + uuur r r r r r r r r | HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM \i^(/OEl:Y J+U(F4:X#?.+D(:;+%S(1'G (?/:D 6O#</GKLCMNG(?/:DMZK.iKN=/#Xi('+E]5F#3 {/MZ.iN 6MZK.iKN /G y j, ' y j'OM xi OM xi= + = + uuur r r uuur r r q4i)/ ' ' ( ) ( ) ' yj' ( ) ( )O M f OM f xi yi xi x ai b j y ci d j= = + = + = + + + uuuuur ur uuur ur r r r r r r I7i ' ' (ax ) ( )O M cy i bx dy j= + + + uuuuur r r  ( ) ∗ ,(1#9 ' ' ' OO ' ' ' ( )O M OM x i y j pi q j= − = + − + uuuuur uuuur uuur r r r r  ( ) ∗∗ q*E9# ( ) ∗ 6 ( ) ∗∗ (/E4i)/  ' ax+cy+p ' x y bx dy q =   = + +  I7i%;4(#[G()F?56%;4(#[(?/:D</"#$"/CC:Y J+U(F4 ( ) ; ,O i j r r =#Wj)n#/ _( i r 6 j r 1#@D(4i&F +/()7 a c b d    ÷    G:A#(#[1#9s.([56  a c b d  L/Ta% ≠ s=+/()7L a c b d    ÷   ?56+/()7</"#$"/CC:Y J+U(F4:X#? ;4(#[(?/:D</"#$"/CCG(#; &(TJT+/()7  ' ' x y    ÷   L a c b d    ÷   ' ' x y    ÷   v p q    ÷   } HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM /i ' ' x y    ÷   L ' ' x y    ÷   v p q    ÷   I2TU  #$":R#S(</+,("#-/C=?:;+</+,( "#-/CGO#KLCMNL ;4(#[(?/TD56 ' ' x x y y =   =  /()7</"#$":R#S(56 1 0 0 1    ÷   #$"(A#(&</+,("#-/C=#*"#$"(A#(&(#_* _( ( , )u a b r ?KMZK.iKN56O#</MZ.iN.(#' ' ( , )MM u a b= uuuur r =w:YE4i)/G %;4(#[(?/:D</"#$"(A#(&56 ' ' x x a y y b = +   = +  =/()7</"#$"(A# (&56 1 0 0 1    ÷             #$" A(]=#*"#$" A(](\+  0 0 ( , )I x y .(cEY1M1 ≠ sN=? KMZK.iKN56O#</MZ.iN=(#' 'IM kI M= uuur uur .E4i)/"#$" A(]G%;4(#[ (?/:D56=  0 0 0 0 0 0 ' ( ) ' (1 ) ' ( ) ' (1 ) x x k x x x kx k x y y k y y y ky k y − = − = + −   ⇔   − = − = + −   /G+/()7</"#$" A(]M1 ≠ sN 0 0 k k    ÷   =}=#$"(#S4Z#'# ~ HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM =}==;+%S(:D ;+:8?56:;+%S(:D</"#$"/CC→&4CMNL = #_*#3P4O</:A#52 !E]Z9:A#"#$"/C(/E4i)/#$"/C 56"#$":R#S(1# 6#c1#GG%/:;+%S(:D1#@(#- #6= /(#Si)n - &4"#$"/CCG#/:;+%S(:D"#\%3( .(#'+?:;+n+()F:^(#-:!456:;+ %S(:D= =}=b=A##B/ #$"/CC:8?56"#$"(#S4Z/C&4G:^(#-TE/* #*+?:;+</T:!456:;+%S(:D=^(#-T?56()U </"#$"(#S4ZC= #$"(#S4ZC:8Z9:A#&4%&(()UT</G 6%&(#/:;+ ([ 6KLCMN.()*:G1#@n+()FTMT*:GK0 1#@n+()FT 6&4 6K()z#/4."#$"(#S4Z56"#$":R #S(N= =}=g=;4(#[(?/:D</"#$"(#S4Z OEl#*"#$"(#S4ZCG()U56:^(#-T 6#/:;+ ([56 6KLCMN.M1#@(#4DTN=#?()FT#/ :;+"#\%3( 6.:,(L. L.(/:8+U(F4/C=OEl:Y J+U(F4:G _(G(?/ :DLM/.%N.M.sN.Ms.N.KM.sN.KM/.%N d#:GCMNLLMs.sN.  LLLM.sN.LLLM/.%N I7i:Y J+U(F4:G."#$"(#S4Z/CG%;4(#[(?/:D# E/4  s  T [...]... chất afin của các hình sự tương đương của các hình …mà còn nghiên cứu cả các tính chất đẳng cự của các hình ,sự bằng nhau của các hình Ví dụ : Các khái niệm song song , hình thang hình bình hành số đơn của ba điểm thằng hang… là các khái niệm afin Độ dài , số đo góc , hình vuông , hình thoi là khái niệm Ơ-clit ; 34 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Cá tính chất của các phân giác , đường cao ,trung trực... định lí của hình học Ơ-clit Tuy nhiên , định lí Ta-let cũng là định lí của Hình học afin , còn định lí Py-ta-go thì không phải là định lí của Hình học afin 7.4 Áp dụng Trong mặt phẳng Ơ-clit , để chứng minh một bài toán afin hay một định lí của Hình học afin cố nhiên ta có thể chỉ dung các kiến thức của Hình học afin (gọi là phương pháp afin ), nhưng cũng có thể chỉ dùng các kiến thức của Hình học afin... bất biến Ơ-clit Môn học nghiên cứu các bất biến đẳng cự (hay tập hợp các bất biến đẳng cự ) của mặt phẳng gọi là Hình học của nhóm đẳng cự hay gọi là Hình học Ơ-clit Hình học Ơ-clit phong phú hơn hình học afin :Mọi bất biến của nhóm afin đều là bất biến của nhóm đẳng cự , nhưng ngược lại có các bất biến của nhóm đẳng cự nói chung không phải là các bất biến của nhóm afin .Hình học Ơ-clit không chỉ nghiên... giác ;hình vuông ,hình thoi ,hình thang cân,diện tích các hình ,đường tròn 2.3.3 Bất biến afin Định nghĩa : Các tính chất afin và các khái niệm afin được gọi chung là những bất biến afin của mặt phẳng 2.4 Hình học afin trên mặt phẳng Hình học afin của mặt phẳng afin là môn học nghiên cứu các bất biến afin của mặt phẳng afin ,ta còn nói :Tập hợp tất cả các bất biến afin của mặt phẳng P được gọi là Hình. .. , Hình học afin chỉ nghiên cứu những khái niệm afin và những tính chất afin , tức Hình học afin không nghiên cứu các khái niệm và tính chất không phải là khái niệm và tính chất afin Chẳng hạn định lí : “Ba đường trung tuyến trong mọi tam giác đồng quy “ là một định lí của hình học afin , còn định lí “ba đường cao trong mọi tam đồng quy “không phải là định lí của hình học afin vì khái niêm đường cao. .. kí hiệu :H=H’ Vì Đc(P) là nhóm nên dễ dàng suy ra : 33 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM i)Mọi hình H đều bằng chính nó :H=H’ ii)Nếu H=H’ thì H’=H (bởi vậy ta còn nói hình Hvà H’ bằng nhau ) iii)Nếu H=H’ và H’=H’’ thì H=H’’ 7.3 Hình học Ơ-clit Định nghĩa : -Một tính chất nào đó của hình H gọi là tính chất đẳng cự hay tính chất Ơ-clit nếu mọi hình H’ đều H đều có tính chất đó Một số khái niệm được gọi... đẳng cự và hình học Ơ-clit 7.1Nhóm đẳng cự Ta đã biết rằng , tập hợp các phép đẳng cự trong mặt phẳng làm thành một nhóm , gọi là nhóm đẳng cự trong mặt phẳng , kí hiệu là Đc(P) 7.2Hai hình bằng nhau Định nghĩa :Hình H được gọi là tương đương đẳng cự (hay vắn tắt là đẳng cự )với hình H’ nếu có phép đẳng cự biến H thành H’ Hình H tương đương đẳng cự với hình H’ còn được gọi là hình H bằng hình H’ và... phép quay đều là phép dời hình 6.4 Dạng chính tắc của phép dời hình Chú ý rằng phép đồng nhất được xem là một phép tịnh tiến với vectơ tịnh tiến v = 0 hoặc xem là một phép quay với góc quay bằng không Hơn nữa , theo trên mọi phép dời hình đều là phép đồng nhất hoặc là tích của hai phép đối xứng trục, nên ta có định lí sau Định lí: 30 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM Mọi phép dời hình đều là một phép tịnh... thức của Hình học afin và của cả hình học Ơ-clit để chứng minh một bài toán afin Ở bậc phổ thông , ta thường dùng các kiến thức của hình học Ơ-clit trogn chứng minh bài toán afin ,cụ thể là sử dụng các thể hiện Ơ-clit của các khái niệm afin sau đó dùng các định lí của Hình học Ơ-clit để giải Chẳng hạn , ta có tỉ số đơn (ABC)= CA là khaí niệm afin Nếu ta xét CB trong Hình học afin trên mặt phẳng,kí hiệu... Phép dời hình và phép phản dời 4.1 Định nghĩa Cho phép đẳng cự f có ma trận A đối với mục tiêu trực chuẩn (O, i , j ) nào đó Nếu det A=1 thì phép đẳng cự f gọi là phép dời hình Nếu det A=-1 thì phép đẳng cự f gọi là phép phản dời 4.2 Biểu thức tọa độ của phép dời hình và phép phản dời Theo trên,biểu thức tọa độ của f có dạng:  x' = ax + cy + p   y ' = bx + dy + q trong đó 25 HÌNH HỌC CAO CẤP GV: . HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM CHƯƠNG 2: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG   1.1 Phép biến hình afin  !"#$"%&#'#()*+,("#- #*+,("#-.(/012#3456(7"#8"9:;+</+,( "#-= >(7"#8"*</:8?56+@#'#</+,("#- A##B/ #$"%&#'#C</+,("#-56+D(E*9#</5F#2# G=12#3456CH IJ+>:;+</.:;+K L CMN?56O#</:;+P4/"#$" %&#'#C.Q:F+?56(*O#</K=/0G"#$"%& #'#C%&:;+(#6#:F+K=  HÌNH. !"#$"%&#'#()*+,("#- #*+,("#-.(/012#3456(7"#8"9:;+</+,( "#-= >(7"#8"*</:8?56+@#'#</+,("#- A##B/ #$"%&#'#C</+,("#-56+D(E*9#</5F#2# G=12#3456CH IJ+>:;+</.:;+K L CMN?56O#</:;+P4/"#$" %&#'#C.Q:F+?56(*O#</K=/0G"#$"%& #'#C%&:;+(#6#:F+K=  HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM #*56+D(#'#6*:G.(7"#8"K L CMNR+O#</(S(O9:;+ </?56O#</#'#=/0G#$"%!#'#C%&#'# (#6##'#K= I2TU"#V(#@#W(/:X%&(9"#$"%&#'#</+,("#- #"#$"(A#(&."#$":YZ[(+."#$". 7iMNLb= #WjMN L ak56()4:;+</  OEl..(#4D 6*:^(#-M/NG _(*: A_ L1 b HÌNH HỌC CAO CẤP GV: TRẦN LÊ NAM ?156:DT6:EY</=d2#34=MN L 1  k L 1= =mPhép