bài giảng học phần Hình học cao cấp

Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004). Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải. Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập). Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn. Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm. Vì vậy việc phần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ. Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập. Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ. Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn. Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn! TÁC GIẢ: Bùi Thị Thanh Thủy

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Tập đề cương bài giảng học phần Hình học cao cấp (Phần bài tập) được viết dựa trên cuốn giáo trình Hình học cao cấp của tác giả Văn Như Cương (giáo trình CĐSP – NXB Giáo dục 2004) Cuốn giáo trình gồm 5 chương lí thuyết với phần đề bài tập không có hướng dẫn giải Học phần Hình học cao cấp học ở kì V của chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Toán với thời lượng 75 tiết (45 tiết lí thuyết và 30 tiết bài tập) Khối lượng lí thuyết của học phần tương đối nặng và lượng bài tập là khá lớn Hiện tại cũng chưa có một cuốn giáo trình bài tập hình học cao cấp dành cho chương trình đào tạo Cao đẳng Sư phạm Vì vậy việc phần bài tập không có hướng dẫn giải là một khó khăn rất lớn đối với không chỉ sinh viên mà cả giảng viên nhất là các giảng viên trẻ Vì vậy, tôi đã mạnh dạn viết phần bài tập hình học cao cấp với việc bổ sung thêm một số bài tập và phần hướng dẫn, đáp số, gợi ý tùy vào mức độ khó, dễ của bài tập Hy vọng cuốn đề cương bài giảng sẽ là một tài liệu tham khảo giúp cho sinh viên thuận lợi hơn trong việc học tập không chỉ theo chương trình đào tạo Cao đẳng sư phạm Toán theo niên chế mà cả theo học chế tín chỉ Chắc chắn cuốn đề cương bài giảng sẽ còn thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn sinh viên cùng đóng góp ý kiến để cuốn đề cương bài giảng ngày càng hoàn thiện hơn

Xin cảm ơn các thầy cô và các bạn!

TÁC GIẢ

BÀI TẬP CHƯƠNG I

A Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích:

- Giúp sinh viên có cái nhìn về lịch sử phát triển hình học Vai trò củatiên đề V của Ơ-clit đối với sự phát triển của hình học Hiểu được phươngpháp tiên đề để xây dựng hình học, mô hình của một hệ tiên đề, vai trò củatoán học cao cấp trong việc nghiên cứu hình học Sinh viên hiểu được việcxây dựng hình học cũng như một số lí thuyết Toán học đã biết bằng phươngpháp tiên đề

- Sinh viên biết vận dụng lí thuyết để đưa ra một số mô hình đơn giản

- Sinh viên thảo luận để tự đưa ra một số hệ tiên đề đơn giản và tìmcho các hệ tiên đề đó những mô hình cụ thể

B Mô tả nội dung: Bài tập chương I bao gồm 3 vấn đề sau:

Bài 1 Xét hệ tiên đề H sau:

+ Khái niệm cơ bản: “điểm” và “đi trước”

+ Tiên đề: 1) Không điểm nào đi trước chính nó

2) Nếu điểm A đi trước điểm B, điểm B đi trước điểm C thì

A đi trước điểm C

Nêu ra một vài mô hình của H

Bài 2 Nêu ra một vài mô hình của hệ tiên đề H đã nói trong phần lí thuyết.

Tìm một mô hình của hệ tiên đề H sao cho mô hình đó có đúng n vectơ, với

n là số nguyên dương cho trước

Bài 3 Hệ tiên đề K gồm:

+ Khái niệm cơ bản: điểm, đường, quan hệ thuộc

+ Các tiên đề:

1) Có ít nhất một điểm

2) Qua hai điểm phân biệt có không quá một đường

3) Mỗi đường có ba điểm phân biệt

4) Mỗi điểm nằm trên ba đường phân biệt

a Chứng minh các định lí:

1) Hai đường phân biệt có không quá một điểm chung

2) Có ít nhất là bảy điểm, có ít nhất là bảy đường

b Xây dựng mô hình của K gồm bảy điểm, bảy đường hoặc chínđiểm, chín đường

c Chứng minh hệ tiên đề P không đầy đủ.

Bài 5 Tìm một mô hình cụ thể của hình học Lôbasepxki phẳng.

Bài 6 Hãy dùng hệ tiên đề của hình học phẳng ở trường phổ thông để chứng

minh các định lí sau:

a Có ít nhất ba điểm không thẳng hàng

b Cho bốn điểm A, B, C, D phân biệt và thẳng hàng Chứng minhrằng nếu C nằm giữa A và B, còn D nằm giữa B và C thì D nằmgiữa A và B còn C nằm giữa A và D

c Định lí Pasch (tức tiên đề Pasch trong hệ tiên đề của Hilbert)

Bài 7 Hãy dùng hệ tiên đề của hình học không gian ở trường phổ thông để

chứng minh các định lí sau:

a Ngoài mặt phẳng cho trước còn có nhiều điểm khác

b Cho mặt phẳng (P) và ba điểm phân biệt A, B, C không nằm trên(P) Nếu mặt phẳng (P) cắt đoạn thẳng AB thì nó còn cắt đoạnthẳng BC hoặc đoạn thẳng CA

c Định lí về việc mỗi mặt phẳng chia không gian thành hai nửakhông gian (tương tự như mỗi đường thẳng trong mặt phẳng chiamặt phẳng đó thành hai nửa mặt phẳng) Hãy phát biểu định lí vàchứng minh

d Chứng minh các trường hợp bằng nhau của hai tam giác bất kìtrong không gian (chú ý rằng định nghĩa hai tam giác bằng nhauđược mở rộng trong trường hợp hai tam giác nằm trong hai mặtphẳng khác nhau, còn tiên đề 12 chỉ nói về hai tam giác cùng nằmtrong mặt phẳng)

Bài 8 Hãy dùng tiên đề 12 của hình học phẳng (tức là không dùng tiên đề

13 về hai đường song song) để chứng minh định lí sau:

a Góc ngoài tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

b Nếu hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc so le trong bằngnhau thì hai đường thẳng đó song song.

Bài 9 Hãy nhớ lại cách chứng minh định lí “tổng số đo góc trong mọi tam

dựa vào tiên đề về đường song song Sau đây là cách chứng minh kháckhông dùng đến tiên đề đó:

Chứng minh: ta giả thiết tổng số đo góc trong tam giác là S Lấy tam

Gọi D là điểm ở giữa của đoạn thẳng BC, ta có hai tam giác ABD vàACD Từ giả thiết ta có: BAD + ABD + ADB = S

DAC + ACB + ADC = S

Hay BAC + ABC + ACB + 1800 = 2S, tức là S = 1800

Hãy bình luận về cách chứng minh đó

Bài 10 Cho V là không gian Ơ-clit n chiều (trên trường số thực) Hãy gọi

+ Mô hình 1: “Điểm” là những điểm thông thường trên một đường

thẳng nằm ngang và “đi trước” là “ở bên trái”

+ Mô hình 2: “Điểm” là những “số nguyên” và “đi trước” là “lớn

hơn”

Bài 2 Mô hình của hệ tiên đề H:

+ Vectơ: số nguyên bất kì, phép cộng là phép cộng hai số nguyên Ta

dễ dàng kiểm tra thỏa mãn các tiên đề của hệ tiên đề H

ba điểm đó đều là A, thì mỗi đường còn có hai điểm phân biệt khác A Vậy

có ít nhất là bảy điểm

Lập luận tương tự ta cũng chứng minh được có ít nhất là bảy đường

Bài 4.

Mô hình của P:

+ Điểm: đỉnh của tứ diện

Ta dễ dàng kiểm tra mô hình thỏa mãn các tiên đề của hệ P

Bài 5 (Hình 1)

Mô hình của hình học Lôbasepxki phẳng – mô hình nửa phẳngPoincare:

X' X

Hình 1

những điểm nằm trên bờ XX’

thuộc XX’ hoặc là nửa đường thẳng gốc thuộc XX’

Dễ thấy định đề phủ định của định đề 5 được thỏa mãn

Bài 6

Chứng minh a,

Theo tiên đề 1, có nhiều đường thẳng, mà một đường thẳng chứanhiều điểm nên ta suy ra có ít nhất 2 đường thẳng phân biệt, mỗi đườngthẳng có ít nhất hai điểm Nếu hai đường thẳng không có điểm chug thì có 4điểm Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì vì chúng phân biệt nên chỉ có

1 điểm chung (tiên đề 2) Vì vậy trong bốn điểm nói trên chỉ có thể có haiđiểm trùng nhau Vậy có ít nhất ba điểm không thẳng hàng

Định lí Pasch: Trong mặt phẳng (P) cho đường thẳng a và ba điểm A,

B, C không thuộc a Nếu đường thẳng a cắt đoạn thẳng AB thì nó cắt đoạnthẳng AC hoặc cắt đoạn thẳng BC

Bài 7

a, Theo tiên đề 14, có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặtphẳng, giả sử là A, B, C, D Giả sử A, B, C thuộc mặt phẳng (P) nào đó Dkhông thuộc (P) nên đường thẳng AD chỉ có một điểm chung với (P) Màmột đường thẳng có nhiều điểm nên ngoài mặt phẳng (P) có nhiều điểm

b, Chứng minh tương tự định lí Pash trong mặt phẳng

c, Định lí: Mỗi mặt phẳng của không gian chia không gian thành haitập điểm không rỗng, không giao nhau, sao cho:

- Hai điểm A, B phân biệt thuộc cùng một tập hợp khi và chỉ khi đoạnthẳng AB không có điểm chung với mặt phẳng đó

- Hai điểm A, B phân biệt không thuộc cùng một tập hợp khi và chỉkhi đoạn thẳng AB có điểm chung với mặt phẳng đó

Bài 10

Chứng minh: Sử dụng các tiên đề về không gian vectơ Ơ-clit.

BÀI TẬP CHƯƠNG II

A Mục tiêu: Bài tập chương này nhằm mục đích rèn cho sinh viên:

- Có kĩ năng trong việc dùng phương pháp tọa độ để giải các bài tập

về các phép biến hình afin, phép biến hình đẳng cự, phép đồng dạng

- Sinh viên biết cách vận dụng các phép biến hình nói trên để giải cácbài toán hình học trong chương trình THCS

- Tổ chức sưu tầm phân loại các bài tập hình học trong chương trìnhTHCS giải bằng phương pháp biến hình So sánh với phương pháp sơ cấp

B Mô tả nội dung: Bài tập chương II bao gồm các vấn đề sau:

3 Biểu thức tọa độ của phép biến hình afin

4 Định nghĩa và các tính chất của phép thấu xạ afin

5 Định lí về phân tích một phép afin thành tích của các phép thấu xạafin

6 Định nghĩa và các tính chất của phép đẳng cự của mặt phẳng Ơ-clit

7 Định lí về sự xác định của phép đẳng cự, biểu thức tọa độ của phépđẳng cự

8 Phép dời hình và phép phản chiếu Dạng chính tắc của phép dờihình và phép phản chiếu

II Bài tập:

PHÉP BIẾN HÌNH AFIN

Bài 1 Cho song ánh f: P  P có tính chất: f biến ba điểm thẳng hàng thành

ba điểm thẳng hàng Chứng minh:

a f biến ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng

b f biến đường thẳng thành đường thẳng

c f biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song

d f bốn đỉnh của một hình bình hành thành bốn đỉnh của một hìnhbình hành

e f không làm thay đổi tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng

Bài 2 Cho phép afin f và hai điểm A, B phân biệt Chứng minh rằng nếu

f(A) = B và f(B) = A và I là trung điểm của AB thì f(I) = I

Bài 3 Cho tứ giác ABCD Gọi f là phép afin sao cho f(A) = B và f(B) = A,

f(C) = D và f(D) = C Chứng minh:

a Nếu d là đường thẳng đi qua trung điểm AB và CD thì f biến mọiđiểm của d thành chính nó

b Tứ giác ABCD là hình thang

Bài 4 Chứng minh rằng nếu phép afin f biến mỗi đường thẳng a thành

đường thẳng a’ song song hoặc trùng với a thì f là phép tịnh tiến hoặc vị tự

Bài 5 Có bao nhiêu phép afin biến một tam giác đã cho thành chính nó? Bài 6 Cho tứ giác ABCD và A’B’C’D’ Với điều kiện nào thì có phép afin f

biến các đỉnh A, B, C, D lần lượt thành các đỉnh A’, B’, C’, D’

Bài 7 Ngũ giác ABCDE có tính chất: Mỗi đường chéo của ngũ giác song

song với một cạnh của nó Chứng minh rằng có phép afin biến các đỉnh A,

B, C, D, E lần lượt thành các đỉnh B, C, D, E, A

Các bài tập từ 8 đến 18 được xét trong hệ tọa độ afin

Bài 8 Tìm biểu thức tọa độ của phép afin biến các điểm A(1, 0), B(0,2), C(

 3, 0) lần lượt thành các điểm A’(2, 3), B’(  1,4), C’(  2,  1)

Bài 9 Tìm biểu thức tọa độ của phép đảo ngược của phép afin sau:

x ' 2x 3y 7y' 3x 5y 9

của nó cũng nằm trên d; một điểm sao cho tạo ảnh của nó cũng nằm trên d

c Tìm trên đường thẳng đi qua điểm A(1, 1) sao cho ảnh của đườngthẳng đó cũng đi qua A

Bài 12 Tìm điểm bất động và đường thẳng bất động (đường thẳng biến

thành chính nó) của các phép afin sau:

f:

x ' 7x y 1y' 4x 2y 4

Bài 13 Chứng minh rằng nếu phép afin có điểm bất động duy nhất thì mọi

đường thẳng bất động đều đi qua điểm đó

Bài 14 Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau:

a Mọi điểm của trục Ox đều là điểm bất động và điểm (2, 6) biếnthành điểm (  1,  4)

điểm (1, 2) biến thành điểm (2, 2)

Bài 15 Viết biểu thức tọa độ của các phép afin trong các trường hợp sau:

a Các đường thẳng x y 1 0   và x 2y 1 0   biến thành chính

nó, còn điểm (1, 1) biến thành điểm (2, 1)

điểm (2, 1)

Bài 16 Các phép afin sau có phải là phép thấu xạ hay không? Nếu có hãy

chỉ rõ là thấu xạ có tỉ số hay thấu xạ trượt

Bài 17 Với giá trị nào của k, m, các phép biến đổi sau là phép thấu xạ Khi

đó hãy chỉ rõ đó là thấu xạ trượt hay thấu xạ có tỉ số

Bài 18 Chứng minh mọi phép afin biến tam giác ABC đã cho thành chính

nó đều có thể phân tích thành tích của không quá hai phép thấu xạ

Bài 19 Có hay không các phép thấu xạ biến một hình bình hành ABCD đã

cho thành chính nó và thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a Biến A thành B, D thành C.

b Biến A thành B, C thành D

c Biến A thành C, C thành A

Bài 20 Chứng minh tập hợp các phép vị tự và các phép tịnh tiến làm thành

một nhóm, tập hợp các phép tịnh tiến làm thành một nhóm Xét quan hệ giữa

các nhóm đó với nhau và với nhóm các phép afin Af(P).

Bài 21 Trong mặt phẳng Ơ-clit, hình lục giác gọi là gần đều nếu các cạnh

đối diện bằng nhau và song song với đường chéo đi qua hai đỉnh khôngthuộc hai cạnh đối diện đó Chứng minh các lục giác gần đều là tương đươngafin

Bài 22 Hình H gồm một tam giác ABC nội tiếp elip (E), hình H’ gồm một

tam giác A’B’C’ nội tiếp elip (E’) Chứng minh hình H và H’ không tươngđương afin Nếu có thêm giả thiết tâm elip (E) trùng với trọng tâm tam giácABC và tâm elip (E’) trùng với trọng tâm tam giác A’B’C’ thì hình H và H’

có tương đương afin không?

Bài 23 Chứng minh rằng với mỗi đường kính AB của elip (E) luôn có duy

nhất đường kính CD sao cho mỗi dây cung của elip song song với một tronghai đường kính đó đều bị đường kính kia chia thành hai đoạn bằng nhau Haiđường kính như vậy gọi là hai đường kính liên hợp của elip

a Chứng minh khái niệm đường kính liên hợp của elip là khái niệmafin

b Chứng minh tương tự đối với hypebol

Bài 24 Chứng minh các khái niệm sau là các khái niệm afin: đường bậc hai,

tâm của đường bậc hai, đường tiệm cận của đường bậc hai, tiếp tuyến củađường bậc hai

Bài 25 Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) Gọi A’, B’, C’ lần lượt là trung

điểm các cạnh BC, CA, AB và O là tâm của (E) Chứng minh các đườngthẳng lần lượt đi qua A, B, C và lần lượt song song với OA’, OB’, OC’ đồngqui

Bài 26 Cho tam giác ABC nội tiếp elip (E) và một điểm M trên (E) Gọi O

là tâm của (E) và A’, B’ C’ lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.Gọi A”, B”, C” là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao choMA” // OA’, MB” // OB’, MC” // OC’ Chứng minh A”, B”, C” thẳng hàng

Bài 27 Chứng minh rằng nếu một hình bình hành nội tiếp (hoặc ngoại tiếp)

elip thì tâm của hình bình hành trùng với tâm elip

Bài 28 Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M, N lần lượt thay đổi trên hai

đường thẳng AD và DC sao cho (A, D, M) = (D, C, N) Tìm quỹ tích giaođiểm BM và AN

PHÉP ĐẲNG CỰ

Bài 29 Chứng minh các phép sau đây là các phép đẳng cự của mặt phẳng

Ơclit: phép đối xứng trục, đối xứng tâm, tịnh tiến, quay

Bài 30 Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến hình vuông ABCD bất kì thành

chính nó

Bài 31 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R) Hãy chỉ ra những phép đẳng

cự biến đường tròn (O, R) thành (O’, R)

Bài 32 Hãy chỉ ra những phép đẳng cự biến tam giác đều ABC bất kì thành

chính nó

Bài 33 Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB = A’B’ Có những phép đẳng cự

nào biến A thành A’, B thành B’?

Các bài toán sau được xét trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn

Bài 34 Viết biểu thức tọa độ của các phép sau:

a Phép đối xứng qua đường thẳng Ox và đối xứng qua đường thẳngOy

b Phép đối xứng qua điểm I(a, b)

(a, b)

d Phép đối xứng qua đường thẳng Ax + By + C = 0

Bài 35 Viết biểu thức tọa độ của phép đẳng cự biến điểm (1,0) thành điểm

Bài 38 Chứng minh các phép biến hình sau là phép đối xứng trượt Tìm trục

đối xứng và vectơ trượt:

a

0 0

Bài 39 Chứng minh nếu f là một phép phản chiếu thì quỹ tích trung điểm

của đoạn thẳng nối các cặp điểm tương ứng M và M’ = f(M) là một đườngthẳng

Bài 40 Cho hai đoan thẳng AB và A’B’ bằng nhau và không song song Hai

điểm M, M’ thay đổi lần lượt trên hai đường thẳng AB và A’B’ sao cho tỉ sốkép (A, B, M) = (A’, B’, M’) Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng MM’

Bài 41 Cho hai đoạn thẳng bằng nhau AB và A’B’ và không song song.

Hãy xác định tâm quay và góc quay của phép quay biến A thành A’, biến Bthành B’

Bài 42 Cho phép quay Q1 có tâm quay O1, góc quay  và phép quay Q1 2 cótâm quay O2, góc quay  Tìm Q2 2Q1 trong các trường hợp sau:

a O1 và O2 trùng nhau

b O1 và O2 không trùng nhau và  + 1   k.3602 0

c O1 và O2 không trùng nhau và  + 1  = k.3602 0

Bài 43 Chứng minh tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc của phép

quay và phép tịnh tiến đều là phép quay

Bài 44 Cho tam giác ABC Vẽ các tam giác đều ABC’, BCA’, ACB’ sao

Bài 45 Cho tam giác ABC Vẽ các tam giác vuông cân ABC’ và ACB’ có

đỉnh là C’ và B’ đều nằm ngoài tam giác ABC Gọi A’ là trung điểm của

BC Chứng minh tam giác A’B’C’ là tam giác vuông cân

Bài 46 Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C (B ở giữa A và C) Vẽ các tam giác

đều ABC’ và BCA’ có các đỉnh C’ và A’ nằm về một phía đối với đường

thẳng AB Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’ Chứng minh tamgiác BIJ là tam giác đều

Bài 47 Cho hai đường thẳng a, b và điểm C không nằm trên chúng Dựng

tam giác đều ABC có hai đỉnh thuộc a, b

Bài 48 Cho hai đường tròn (O), (O’) và đường thẳng d Hãy dựng điểm D

trên d sao cho d là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng đi qua

D và lần lượt tiếp xúc với (O) và (O’)

Bài 49 Cho hai đường tròn (O, R) và (O’, R’) Dựng hai điểm M và M’ lần

lượt nằm trên hai đường đó sao cho MM’ // OO’ và MM’ có độ dài bằng acho trước

Bài 50 Cho hai đường tròn (O), (O’) và điểm A Dựng tam giác vuông cân

đỉnh A và hai đỉnh còn lại lần lượt nằm trên (O) và (O’)

Bài 51 Cho hình vuông ABCD và một điểm M thuộc một cạnh của hình

vuông Dựng hình vuông MNPQ có các đỉnh N, P, Q cũng thuộc các cạnhcủa hình vuông ABCD

PHÉP ĐỒNG DẠNG

Bài 52 Chứng minh rằng:

a Tích hai phép vị tự là một phép vị tự hoặc phép tịnh tiến

b Tích một phép vị tự và một phép tịnh tiến hoặc tích một phép tịnhtiến và một phép vị tự là phép vị tự

Bài 53 Chứng minh rằng tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó

là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến

Bài 54 Chứng minh phép afin f: P  P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f

biến góc vuông thành góc vuông

Bài 55 Chứng minh phép afin f: P  P là phép đồng dạng khi và chỉ khi f

biến đường tròn nào đó thành đường tròn

Bài 56 Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f:

x ' 3x 4y 6y' 4x 3y 12

Bài 57 Trong hệ tọa độ trực chuẩn, cho phép biến hình f:

x ' 3x y 10y' 4x 3y 10

Bài 58 Cho f là phép đồng dạng nghịch tỉ số k > 0 và k 1 Với cặp điểm

tương ứng M và M’ = f(M), ta lấy điểm I và J sao cho (M’, M, I) =  k và(M’, M, J) = k Tìm quỹ tích của I và J

Bài 59 Cho tam giác nhọn ABC Dựng hình vuông MNPQ có hai đỉnh M, N

nằm trên cạnh BC, hai đỉnh còn lại nằm trên cạnh AB và AC

Bài 60 Cho dây cung AB của đường tròn (O) Dựng hình vuông MNPQ có

hai đỉnh M, N nằm trên dây cung AB, còn P, Q nằm trên cung AB

Bài 61 Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy đã cho và đi

qua điểm A nằm trong góc đó

Bài 62 Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A Dựng qua A một

đường thẳng cắt (O) và (O’) lần lượt tại B và C sao cho AB = kAC, k là sốdương cho trước

Bài 63 Cho hai điểm A, B cố định của đường tròn (O), một điểm M thay đổi

trên đường tròn Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MB Tìmquỹ tích điểm N

Bài 64 Dựng tam giác ABC trong các trường hợp sau:

tam giác, H là trực tâm tam giác)

Bài 65 Cho một điểm A cố định, một đường tròn (O) cố định và một điểm

C thay đổi trên (O) Vẽ hình vuông ABCD Tìm quỹ tích các điểm B và D

Bài 66 Cho tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD không vuông góc

với nhau Gọi A’, C’ là các hình chiếu vuông góc của A, C tương ứng trên

đường thẳng BD Gọi B’, D’ là các hình chiếu vuông góc của B, D tươngứng trên đường thẳng AC Chứng minh hai tứ giác ABCD và A’B’C’D’đồng dạng

III Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương II

Bài 1 Áp dụng các tính chất của phép biến hình afin.

Bài 2 (A, B, I) =  1 suy ra (B, A, f(I)) =  1 nên f(I) là trung điểm đoạn

thẳng BA

Bài 3 a Theo bài 2, suy ra trung điểm I, J của AB và CD biến thành chính

nó Gọi M là một điểm bất kì của đường thẳng IJ thì từ tính chất bảo toán tỉ

số đơn của ba điểm thẳng hàng của f ta suy ra f(M) = M

b Trường hợp 1: nếu AD // BC thì ABCD là hình thang

Trường hợp 2: nếu AD cắt BC tại E thì ta đi chứng minh E, I, Jthẳng hàng

Bài 4 Lí thuyết.

Bài 5 Có 3! = 6 phép.

Bài 6 Luôn có duy nhất một phép afin f biến A, B, C lần lượt thành A’, B’

C’ Để f(D) = D’ ta cần có điều kiện (A, C, I) = (A’, C’, I’) và (B, D, I) =(B’, D’, I’) ở đó I, I’ lần lượt là giao điểm của AC và BD, A’C’ và B’D’

Bài 7 (Hình 3)

J I E

B A

Hình 3

Luôn có duy nhất một phép biến hình afin f biến A, B, C lần lượtthành B, C, D Sử dụng các đường chéo song song với cạnh ta chứng minhđược (A, C, I) = (B, D, J), (D, B, I) = (E, C, J) từ đó suy ra f(D) = E Mà E =

CE  DE Chứng minh f(CE) = DA, f(DE) = EA (bảo toàn quan hệ songsong) Từ đó suy ra f(E) = A.

,  2)

(2B  A)y + A + 4B + C = 0 d bất động khi và chỉ khi:

Bài 18 Dựa vào chứng minh định lý về sự phân tích của một phép afin

thành tích không quá 3 phép thấu xạ và dựa vào phép thấu xạ afin với trục làmột đường trung tuyến của tam giác

E D'

Bài 23 Xét một phép afin biến elip thành một hình tương đương afin đặc

biệt là đường tròn (C) Ta dễ dàng chứng minh được bài toán

Từ đó, ta suy ra cách vẽ đường kính liên hợp với đường kính AB chotrước như sau: kẻ một dây cung MN song song với đường kính AB Nối haitrung điểm của AB và MN ta sẽ được đường kính đi qua hai trung điểm đóchính là đường kính liên hợp của AB Khi đó ta sẽ chứng minh được đườngkính liên hợp là khái niệm afin

Với hypebol làm tương tự

Bài 25 (Hình 5)

Xét một hình tương đương afin đặc biệt của (E) đó là đường tròn (C).

Ba đường thẳng cần chứng minh đồng quy trở thành ba đường cao trong tamgiác Từ đó ta có ngay điều phải chứng minh

Chuyển sang bài toán về đường thẳng Simpson.

Bài 27 (Hình 7) Chuyển sang hình bình hành nội tiếp (C) khi đó hình bình

hành là hình chữ nhật Còn trường hợp ngoại tiếp hình bình hành trở thànhhình thoi Trường hợp hình chữ nhật nội tiếp đường tròn ta có ngay điềuphải chứng minh

4 3

2 1 Q

Hình 7

Trường hợp hình thoi ngoại tiếp đường tròn Gọi O là tâm đường tròn(C), ta đi chứng minh O 1 O , O 2  3 O 4 từ đó suy ra A, O, C thẳng hàng.Chứng minh tương tự ta có B, O, D thẳng hàng

Hình 8

Dùng 1 phép biến hình afin biến hình bình hành ABCD thành mộthình tương đương afin đặc biệt là hình vuông (Hình 1) Khi đó, từ giả thiết ta

tại A và B

Trở lại đối với hình bình hành, quỹ tích I là một elip đi qua tâm hìnhbình hành có một đường kính là AB, đường kính liên hợp của nó có phương

Bài 30 Có 8 phép: phép đồng nhất, 4 phép đối xứng trục, 1 phép đối xứng

tâm, hai phép quay

Bài 31 1 phép tịnh tiến, 1 phép đối xứng trục, 1 phép đối xứng tâm, 1 phép

một đường thẳng; AB và A’B’ nằm trên hai đường thẳng cắt nhau (phépquay).

Bài 37 Tìm điểm bất động của f Chứng minh f luôn có duy nhất một đường

thẳng bất động từ đó suy ra f là phép đối xứng trục với trục là đường thẳng

Bài 39 Dạng chính tắc của phép phản chiếu là phép đối xứng trượt nên ta có

ngay điều phải chứng minh

Bài 40

+ Trường hợp 1: (Hình 9) AA’ // BB’: phép đối xứng trục  sẽ biến

A, A’ tương ứng thành B, B’ Do đó M sẽ biến thành M’ nên quỹ tích trungđiểm của đoạn thẳng MM’ là trục  của phép đối xứng



B'

A' A

B

Hình 9 + Trường hợp 2: (Hình 10) AA’ không song song BB’ Ta sẽ chứng

minh được trung trực của MM’ đi qua O là giao của hai trung trực của AA’

và BB’ Chứng minh tam giác OAA’ đồng dạng với tam giác OMM’

J

I

M' M

a Q2Q1 là phép quay với tâm O1 (trùng O2), góc quay    1 2

b Q2Q1 là phép quay với tâm O, góc quay    1 2

Bài 44 Xét phép quay Q1 tâm O1 biến A thành B, phép quay Q2 tâm O2 biến

2 1

Hình 12

Q2 tâm C’, góc quay  900, biến A thành B Xét tích Q2Q1 là một phépquay với góc quay  + 1  =  1802 0  k.3600 Áp dụng kết quả bài 42, ta cóđiều phải chứng minh

Bài 46 (Hình 13)

60 0 60 600

0

J I

C'

A'

C B

A

Hình 13

thành A và A’

Bài 47 (Hình 14)

a'

b a

B

A

C

Hình 14

của B qua phép quay đó

Bài 51 Hướng dẫn: sử dụng phép quay tâm M, góc quay 900.

D

C B

P

N M

Hình 18

Bài 52 Sử dụng lí thuyết về phép vị tự.

Bài 53, 54, 55 Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đồng dạng.

Bài 56 Biến đổi f:

đi qua tâm vị tự nên là một phép đồng dạng nghịch tỉ số k = 5

Phân tích f thành tích của một phép vị tự có tâm I, tỉ số 5 và phép đốixứng trục có trục đối xứng đi qua I

Bài 57 Phân tích f thành tích của phép vị tự tâm I(1, 3), tỉ số 5 và phép quay

với góc quay tâm I, góc quay  mà cos  =

Hình 19

Cho f là phép đồng dạng nghịch tỉ số k > 0 và k 1 nên f không làmột phép phản chiếu Khi đó dạng chính tắc của f là tích của phép vị tự tâm

O, tỉ số k với một phép đối xứng trục có trục d đi qua O Khi M d, ta

thẳng d

thẳng d’  d và đi qua O

Bài 59 (Hình 20)

N' M'

y

I I'

A'

O

A x

Hình 22