I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững:
P,và I là giao điểm của a, b Xác định thể hiện afin củ aS khi coi cực tuyến d của điểm I là đường thẳng vô tận.
Bài 16. Chứng minh rằng trong mặt phẳng afin, đoạn tiếp tuyến bị chặn giữa hai đường tiệm cận của hypebol có trung điểm là điểm tiếp xúc.
Bài 17. Một cát tuyến bất kì cắt hypebol và hai đường tiệm cận tại các điểm A, B, C, D. Chứng minh AC = BD.
Bài 18. Chứng minh rằng nếu đường elip nội tiếp trong một hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo hình bình hành là tâm của elip.
Bài 19. Cho hai tiếp tuyến a, b tại các điểm A, B với parabol. Chứng minh rằng đường nối giao điểm I của a, b với trung điểm M của AB thì song song với trục của parabol.
Bài 20. Trong mặt phẳng afin, cho hypebol (H) có hai tiệm cận a, b. Gọi A, B, C, D là bốn điểm thuộc (H), a’ là đường thẳng đi qua A và song song với
a; b’ là đường thẳng đi qua B và song song với b. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của AC và b’, BD và a’. Chứng minh PQ // CD.
Bài 21. Cho ba điểm cố định C, D, E và hai đường thẳng cố định d, d’ tương ứng sao cho A, B, C thẳng hàng. Tìm quỹ tích giao điểm M của DA và BE trong mặt phẳng xạ ảnh. Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Bài 22. Cho hai điểm A, B cố định thuộc ôvan (S) và một điểm F không
thuộc (S). Một đường thẳng thay đổi đi qua F cắt (S) tại M, N. Tìm quỹ tích giao điểm của AM và BN, AN và BM. Phát biểu bài toán đối ngẫu.
Bài 23. Trong mặt phẳng afin, cho hypebol (H) có hai đường tiệm cận là a, b. Trên (H) lấy 4 điểm A, B, C, D. Gọi a’ là đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng a; b’ là đường thẳng đi qua B và song song với đường thẳng b. Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của AC và b’; BD và a’. Chứng minh đường thẳng PQ song song với đường thẳng CD.
Bài 24. Trong mặt phẳng afin, từ hai điểm A, B thuộc đường hypebol kẻ đường thẳng song song với các đường tiệm cận và chúng cắt nhau ở C, D. Gọi O là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh O, C, D thẳng hàng.
Bài 25. Trong mặt phẳng afin, cho một đường elip nội tiếp trong một tam giác ABC tại các tiếp điểm M, N, P tương ứng thuộc các cạnh AB, BC, CA.
a.Từ một điểm E tùy ý trên cạnh BC dựng môt tiếp tuyến với elip chỉ bằng thước.
b. Tính
MA NB PC . . MB NC PA
Bài 26. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường bậc hai S1 và S2 có phương trình lần lượt là: 2 2 2 1 2 3 x −x +x =0 và 2 2 2 1 1 2 2 3 x −2x x −x +x =0
a.Tìm các giao điểm của S1 và S2.
b. Tìm đường thẳng d sao cho mỗi đường bậc hai của chùm các đường bậc hai xác định bởi S1 và S2 cắt d tại cặp điểm M’, M” tương ứng với nhau qua một phép đẳng cấu xạ ảnh đối hợp f có hai điểm bất động của hàng điểm d lên chính nó.
Bài 27. Cho ôvan (S) thay đổi luôn đi qua bốn điểm cố định A, B, C, D. Gọi M là giao điểm của hai tiếp tuyến của (S) tại A, B; N là giao điểm của hai tiếp tuyến tại C, D Tìm quỹ tích M, N.
III. Lời giải, đáp số, hướng dẫn bài tập chương IV
Bài 2. 2 3 3 1 x x −x x =0 hoặc 1 2 3 1 x x −x x =0 hoặc 1 2 2 3 x x −x x =0
Bài 4. (S’):
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1x +x +x −3x x +x x +x x =0