xạ ảnh, rèn luyện cho sinh viên những lập luận logic để hiểu về các mô hình đó. Có thói quen nghiên cứu hình học bằng phương pháp tiên đề.
- Có kĩ năng sử dụng phương pháp tọa độ để làm các bài tập về mặt phẳng xạ ảnh, ánh xạ xạ ảnh và biến hình xạ ảnh.
- Sinh viên biết vận dụng phép biến hình xạ ảnh để giải các bài tập hình sơ cấp .
B. Mô tả nội dung: Bài tập chương III bao gồm các vấn đề sau: - Mặt phẳng xạ ảnh - Mặt phẳng xạ ảnh - Mô hình của mặt phẳng xạ ảnh - Mục tiêu xạ ảnh. - Ánh xạ xạ ảnh và biến hình xạ ảnh C. Nội dung cụ thể: I. Các kiến thức cơ bản cần nắm vững:
1. Định nghĩa điểm, đường thẳng xạ ảnh và các tính chất của đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh.
2. Định lí Đơ-dác (Desargues).
3. Các mô hình của mặt phẳng xạ ảnh.
4. Định nghĩa và các tính chất của tỉ số kép của bốn điểm thẳng hàng. Tỉ số kép của bốn đường thẳng đồng quy.
5. Các định lí về hình bốn cạnh toàn phần, hình bốn đỉnh toàn phần. 6. Nguyên tắc đối ngẫu.
7. Phép biến hình xạ ảnh. Phép thấu xạ xạ ảnh. Liên hệ giữa biến hình xạ ảnh và biến hình afin.
8. Ánh xạ xạ ảnh giữa các hàng điểm và giữa các chùm đường thẳng. (Chú ý phép chiếu xuyên tâm, xuyên trục và các tính chất của chúng).
II. Bài tập:
MẶT PHẲNG XẠ ẢNH
Bài 1. Ba điểm trong mặt phẳng xạ ảnh P gọi là độc lập nếu ba vectơ đại diện cho chúng là ba vectơ độc lập tuyến tính. Chứng minh rằng:
a. Ba điểm A, B, C là độc lập khi và chỉ khi chúng không thẳng hàng (tức là chúng không nằm trên một đường thẳng).
b. Nếu ba điểm phân biệt A, B, C không độc lập thì có thể tìm cho nó a , b , c sao cho aur ur ur ur ur ur+ =b c
Bài 2. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng xạ ảnh P trong đó bất kì ba điểm nào cũng độc lập. Chứng minh rằng có thể tìm cho các điểm đó các vectơ đại diện cho chúng lần lượt là a , b , c ,d sao cho aur ur ur ur ur ur ur ur+ + =b c d
.
Bài 3. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng xạ ảnh P trong đó bất kì ba điểm nào cũng độc lập. Các đường thẳng AB và CD cắt nhau tại P, AC và BD cắt nhau tại Q, AD và BC cắt nhau tại R. Chứng minh ba điểm P, Q, R độc lập.
Bài 4. Trong mặt phẳng P cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, AC, PQ đồng quy thì ba đường thẳng MQ, BD, NP cũng đồng quy.
MÔ HÌNH CỦA MẶT PHẲNG XẠ ẢNH
Bài 5. Cho mặt cầu S trong không gian Ơ-clit ba chiều. Kí hiệu {S} là tập hợp các cặp điểm xuyên tâm đối của S. Chứng tỏ rằng có thể xây đựng {S} thành một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Trong mô hình đó đường thẳng xạ ảnh là những tập hợp nào?
Bài 6. Cho đường tròn C trong mặt phẳng Ơ-clit. Gọi [C] là hợp của tập hợp điểm nằm trong và tập cặp điểm xuyên tâm đối của đường tròn C. Hãy làm cho [C] trở thành một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh. Trong mô hình đó đường thẳng là những tập hợp nào?
Bài 7. Trong mô hình số thực của mặt phẳng xạ ảnh, hãy chỉ ra: a. Ba điểm thẳng hàng.
b. Ba điểm không thẳng hàng.
c. Bốn điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
Bài 8. Trong mô hình bó, định lí Đờ-dác được thể hiện như thế nào?
Bài 9. Trong mô hình afin, định lí Đờ-dác được thể hiện thế nào nếu xem điểm đồng quy của các đường thẳng AA’, BB’, CC’ là điểm vô tận?
MỤC TIÊU XẠ ẢNH
Bài 10. Trong mặt phẳng xạ ảnh P với mục tiêu xạ ảnh {Ai; E} cho các điểm:
A(a1: a2: a3), B(b1: b2: b3), C( 1 1 2 2 3 3 3 3 a b a b : :1 2a +2b 2a + 2b ); (a3.b3 ≠ 0) a. Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b. Tìm điều kiện của ai, bi để các đường thẳng AB đi qua điểm Ai
Bài 11. Viết công thức đổi mục tiêu xạ ảnh của P trong các trường hợp sau: a. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang mục tiêu {A3, A1, A2; E}.
b. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang mục tiêu {E, A1, A2; A3}.
c. Từ mục tiêu {A1, A2, A3; E} sang mục tiêu {A1, A2, A3; E’} biết tọa độ của E’ đối với mục tiêu thứ nhất là (a1: a2: a3).
Bài 12. Trong mặt phẳng xạ ảnh P với mục tiêu xạ ảnh cho trước:
a. Tìm x để ba điểm A(a1, a2, x), B(b1, b2, b3), C(c1, c2, c3) thẳng hàng. b. Tìm u2 để ba đường thẳng sau đồng quy:
x1 – x2 + x3 = 0, x1 + x2 – x3 = 0, 2x1 + u2x2 + x3 = 0.
Bài 13. Trong mặt phẳng xạ ảnh P với mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E} cho ba điểm: A(a: 1: 1), B(1: b: 1), C(1: 1: c). Chứng minh rằng ba đường thẳng A3B, A1C, A2A đồng quy khi và chỉ khi ba đường thẳng A3A, A1B, A2C đồng quy.
Bài 14. Trong mặt phẳng xạ ảnh P cho mục tiêu xạ ảnh {A1, A2, A3; E}, gọi E1 = A1E ∩ A2A3; E2 = A2E ∩ A3A1; E3 = A3E ∩ A1A2. Chứng minh các giao điểm E1E2 ∩ A1A2, E2E3 ∩ A2A3, E3E1 ∩ A3A1 nằm trên một đường thẳng.
Bài 15. Chứng minh định lí Pap-puyt trong mặt phẳng xạ ảnh P: Cho 6 điểm phân biệt không thẳng hàng A, B, C, D, E, F trong đó A, C, E thẳng hàng, B, D, F thẳng hàng. Gọi M = AB ∩
DE, N = BC ∩
EF, P = CD ∩
FA. Chứng minh M, N, P thẳng hàng.
Bài 16. Trong mặt phẳng xạ ảnh P với mục tiêu xạ ảnh cho trước, cho ba điểm A(1: –1: 0), B(1: 0: –1), C(0: 1: –1).
a. Chứng minh A, B, C thẳng hàng.
b. Tìm tọa độ điểm D biết (A, B, C, D) = k (k cho trước).
Bài 17. Trên đường thẳng d cho 6 điểm A, B, C, A’, B’, C’. Chứng minh nếu (A, A’, B, C) = (B, B’, C, A) = (C, C’, A, B) = – 1 thì (A’, A, B’, C’) = (B’, B, C’, A’) = (C’, C, A’, B’) = – 1.
Bài 19. Cho bốn điểm phân biệt thẳng hàng A, B, C, D sao cho tỉ số kép ta có (A, B, C, D) > 0. Chứng minh rằng có một cặp điểm P, Q duy nhất sao cho (A, B, P, Q) = (C, D, P, Q) = – 1.
Bài 20. Cho ba điểm không thẳng hàng A, B, C và ba điểm P, Q, R lần lượt thuộc các đường thẳng BC, CA, AB và không trùng với các điểm A, B, C.
a. Gọi E là một điểm không thuộc các đường thẳng BC, CA, AB. Gọi A’ = AE ∩
BC, B’ = BE ∩
CA, C’ = CE ∩
AB. Chứng minh:
(B, C, A’, P). (C, A, B’, Q). (A, B, C’, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy và (B, C, A’, P). (C, A, B’, Q). (A, B, C’, R) = –1 là điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng.
b. Một đường thẳng d không đi qua A, B, C cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại A”, B”, C”. Chứng minh:
(B, C, A”, P). (C, A, B”, Q). (A, B, C”, R) = 1 là điều kiện cần và đủ để ba điểm P, Q, R thẳng hàng (định lí Mê-nê-la-uyt) và và (B, C, A”, P). (C, A, B”, Q). (A, B, C”, R) = –1 là điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng AP, BQ, CR đồng quy (định lí Xê-va).
Bài 21. Cho ba đường thẳng phân biệt đồng quy a, b, c. Chỉ dùng thước (để dựng các đường thẳng) hãy dựng đường thẳng d sao cho (a, b, c, d) = – 1.
Bài 22. Cho bốn đường thẳng có phương trình:
x1 – x2 + 2x3 = 0, 3x2 + 2x3 = 0, x1 + 2x2 + 3x3 = 0, 3x1 + 7x3 = 0
Chứng tỏ rằng chúng thuộc một chùm, tìm tọa độ tâm của chùm và tính tỉ số kép của bốn đường thẳng đó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 23. Cho hai đường thẳng phân biệt d và d’ cắt nhau tại A. Trên d lấy ba điểm phân biệt B, C, D và trên d’ lấy ba điểm phân biệt B’, C’, D’. Chứng minh điều kiện cần và đủ để ba đường thẳng BB’, CC’, DD’ đồng quy là:
(A, B, C, D) = (A, B’, C’, D’).
Bài 24. Cho hai đường thẳng a, b và điểm M không nằm trên chúng. Qua M vẽ một đường thẳng thay đổi cắt a, b lần lượt tại A và B. Tìm quỹ tích những điểm N sao cho (A, B, M, N) = k không đổi.
Bài 25. Cho hai đường thẳng a, b và điểm M không nằm trên chúng. Vẽ qua M hai đường thẳng thay đổi, cắt a ở A và A’, cắt b ở B và B’. Tìm quỹ tích giao điểm của AB’ và A’B.
Bài 26. Phát biểu định lí đối ngẫu của định lí Đờ-dác và Pap-puyt.
Bài 28. Phát biểu bài toán đối ngẫu của các bài toán 22, 23, 24. Nêu kết quả các bài toán đối ngẫu đó.
Bài 29. Chứng minh các định lí sau của mặt phẳng afin bằng cách dùng mô hình xạ ảnh:
a. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
b. Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy.
c. Trong một hình thang, trung điểm hai đáy chia điều hòa cặp giao điểm hai đường chéo và hai cạnh bên.
d. Qua giao điểm S của hai cạnh bên hình thang kẻ một đường thẳng song song với hai cạnh đáy cắt hai đường chéo hình thang tại M, N thì SM = SN.
e. Đường trung bình của hình thang cắt hai đường chéo ở R và S. Chứng minh RP = SQ.
f. Trong một tam giác ba đường trung tuyến đồng quy.
g. Trong tam giác ABC đường thẳng đi qua trung điểm hai cạnh AB, AC thì song song với cạnh BC.
Bài 30. Giải bài toán dựng hình sau của hình học afin bằng cách chỉ dùng thước:
a. Dựng trung điểm của các đoạn thẳng AB cho trước khi đã cho một đường thẳng d song song với AB.
b. Cho C là trung điểm của đoạn thẳng AB và một điểm D không thẳng hàng với A, B, C. Dựng qua D một đường thẳng song song với AB.
Bài 31. Từ các định lí Đờ-dác, Mê-nê-la-uyt, Xê-va trong mặt phẳng xạ ảnh hãy suy ra những kết quả của hình học afin.
CÁC PHÉP BIẾN HÌNH XẠ ẢNH
Bài 32. Cho phép biến hình f: P →
P, biết rằng có ba điểm A, B, C không thẳng hàng là điểm bất động của f, tức là f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C.Có thể thẳng hàng là điểm bất động của f, tức là f(A) = A, f(B) = B, f(C) = C.Có thể kết luận đó là phép đồng nhất được hay không?
Bài 33. Chứng tỏ rằng phép biến hình xạ ảnh f: P →