Bài toán mẫu mực về cực trị Bài toán: Cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: + += 2 2 2 2 11 x y y xP (*) Nhận xét: Ta rút gọn đợc: 2 1 22 22 ++= yx yxP Nếu ta dùng côsi ở đây thì sẽ đợc Min P=4 Nhng đẳng thức không xẩy ra nên ta cần phải tách các phần tử ra cho hợp lí Ta cần tách 22 yx hoặc 22 1 yx ở đề bài ta có: x+y=1 nên những đẳng thức dẫn đến cực trị thờng là: x=y= 2 1 Vậy nếu phân tích: 2)1( 1 22 22 22 ++= yxm yx ymxP áp dụng BĐT Côsi ta có: m yx ymx 2 1 22 22 + Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi: 22 22 1 yx ymx = 44 1 yx m = với giá trị x=y=1/2 ta có: 256 4 1 1 4 = =m Vậy ta cần tách nh sau: 2255 1 256 22 22 22 ++= yx yx yxP Khi đó ta mới giả đợc x=y=1/2 Bài Giải: Ta có: 2255 1 2562 1 22 22 22 22 22 ++=++= yx yx yx yx yxP áp dụng BĐT Côsi ta có: ( ) 16/25525516/14/1 4 322562 1 256 2222 2 22 22 = + =+ yxyx yx xy yx yx Từ đó ta có: 16/2892 16 255 32 =+P Vậy 2 1 1 1 256 16 289 22 22 == =+ = = = yx yx yx yx yx MinP Bài học: Không phải bao giờ giải cực trị cũng tìm cực trị trớc rồi mới tìm các giá trị của ẩn mà ta còn có thể tìm các giá trị đặc biệt của ẩn sau đó suy ra giá trị của cực trị