BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH

NẮM VỮNG VÀ VẬN DỤNG TỐT BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

I ĐẶT VẤN ĐỀ

Để nắm vững và vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tiễn đời sống thì bất cứ môn học nào cũng đòi hỏi học sinh phải có sự nỗ lực cố gắng trong học tập, chịu khó suy nghĩ tìm tòi, có tính kiên trì, nhẫn lại không nản lòng khi gặp khó khăn trong học tập cũng như trong cuộc sống sau này Có như vậy thì các em mới làm chủ được tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có kỹ năng thực hành giỏi và có tác phong công nghiệp, vận dụng được các kiến thức đã học vào thực tế một cách linh hoạt, sáng tạo là người công dân tốt sống có kỷ luật, người lao động có kỹ thuật nhìn nhận được đâu là đúng, đâu là sai có chân lý rõ ràng

Trong trường phổ thông môn toán chiếm một vị trí khá quan trọng vì

nó giúp các em tính toán nhanh, tư duy giỏi, suy luận, lập luận hợp lý lôgic, không những thế nó còn hỗ trợ cho các em học tốt các môn học khác như: vật lý, hóa học, sinh vật, kỹ thuật, địa lý … “Dù các bạn có phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì kiến thức và phương pháp toán học cũng cần cho các bạn …” (Phạm Văn Đồng)

Môn toán là môn học giúp cho học sinh phát triển tư duy do tính trừu tượng, đòi hỏi học sinh phải biết phán đoán, lập luận, suy luận chặt chẽ, là môn học “thể thao của trí tuệ” Để nắm được kiến thức và vận dụng được các kiến thức đã học đòi hỏi các em phải biết phân tích, tìm tòi, phán đoán

… từ đó nó đã rèn luyện cho các em trí thông minh sáng tạo

Đối với chương trình Toán 8 ngoài việc lĩnh hội các kiến thức mới học sinh còn phải có kỹ năng vận dụng các lớp dưới một cách nhuần nhuyễn linh hoạt và sáng tạo thì mới có thể làm tốt các bài tập theo yêu cầu Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số 8 Nó theo suốt quãng đường học tập của các em Nhờ những hằng đẳng thức đáng nhớ mà các em thực hiện giải toán được nhanh hơn và chính xác Và cũng nhờ nó mà các em có thể phân tích đa thức thành nhân tử một cách hợp lý

Để học sinh nắm được bảy hằng đẳng thức đáng nhớ đòi hỏi học sinh phải thấy được cơ sở xây dựng nên bảy hằng đẳng thức Thấy được ứng dụng thực tế của bảy hằng đẳng thức vào giải toán như thế nào? Có như vậy các em mới có động lực trong học tập

Để vận dụng được một cách nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vào giải toán đòi hỏi các em phải biết nhận dạng, biết tư duy, suy luận hợp lôgíc từ đó mà nó có tác dụng bồi dưỡng các em có óc sáng tạo say mê học tập tìm tòi kiến thức

II THỰC TRẠNG

Qua các tiết luyện tập cũng như trong quá trình học và làm bài của các em cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức đáng nhớ của các em còn

mơ hồ, lẫn lộn giữa hằng đẳng thức này với hằng đẳng thức kia

Trong quá trình làm bài tập học sinh chưa biết dự đoán, nhận dạng

mà chủ yếu là giáo viên phải hướng dẫn các em bằng những câu hỏi gợi mở dẫn dắt gần như làm sẵn

Qua bài kiểm tra cho thấy học sinh vận dụng các hằng đẳng thức vào giải toán còn chậm, chưa linh hoạt hoặc có sử dụng thì còn nhầm lẫn giữa các hằng đẳng thức với nhau

Trong bài kiểm tra 15 phút vừa qua cho thấy với một bài tập rút gọn (x–2)(x+2)+(x2–5x+4)–2x2 Khi làm bài nhiều em không biết vận dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để viết (x–2)(x+2)=x2–22 mà các em lại thực hiện theo quy tắc nhân đa thức với đa thức vừa dài dòng và hay sai sót còn đối với đa thức x2–5x+4 thì các em lại phân tích để đưa về dạng hiệu hai bình phương Hay bài tính (x+2)(x2+1) thay vì các em phải thực hiện nhân đa thức với đa thức thì các em lại ngộ nhận x2+1 là hằng đẳng thức Việc không tìm ra kết quả dẫn đến các em hoang mang, chán nản

Thự tế như trên cho ta thấy việc nắm bảy hằng đẳng thức và vận dụng bảy hằng đẳng thức vào giải bài tập đối với các em còn nhiều lúng túng nên kết quả bài làm còn thấp

Với thực trạng như trên để giúp các em nắm vững và vận dụng tốt các hằng đẳng thức vào giải bài tập cần có các giải pháp như sau

III CÁC GIẢI PHÁP

– Việc đầu tiên để các em nắm vững được bảy hằng đẳng thức là giáo viên phải làm cho học sinh thấy được cơ sở để dẫn đến các hằng đẳng thức Các em thấy được sự tiện lợi của các hằng đẳng thức đó trong giải toán

– Đối với hai hằng đẳng thức bình phương một tổng và bình phương một hiệu nó đều có hạng tử giống nhau chỉ khác nhau về dấu của hạng tử thứ hai, nếu là bình phương một tổng thì tất cả các hạng tử đều mạng dấu cộng còn bình phương một hiệu thì hạng tử thứ hai mang dấu trừ các hạng

tử còn lại mang dấu cộng Nên sử dụng các dạng bài tập như điền khuyết, trắc nghiệm đúng sai đề các em có thể củng cố và khắc sâu kiến thức

Ví dụ:

a/ Điền vào chỗ trống để được hằng đẳng thức đúng:

A2+…… +B2= (…+B)2

… – 2AB+B2= (A +B)2

A2… 2AB+B2= (…–…)2

b/ Đánh chữ đúng (Đ) sai (S) vào sau mỗi câu sau

+ Bình phương một tổng bằng tổng hai bìng phương

+ Bình phương một hiệu bằng hiệu hai bình phương

+ Tích (a+b)(a+b) là bình phương một tổng

+ Tích (a+b)(a–b) là bình phương một hiệu.

+ Tích (a–b)(a–b) là bình phương một hiệu

Trong khi giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh nhận dạng khi nào thì có thể sử dụng hai hằng đẳng thức này, đó là các đa thức chỉ chứa ba hạng tử hoặc dùng cách nhóm để trong một nhóm có ba hạng

tử thì có thể sử dụng hằng đẳng thức này Khi đó phải xét xem có hạng tử nào có dạng A2, B2 hay không nếu có phải xác định được A2=?; B2=?, từ đó

hằng đẳng thức hiệu hai bình phương học sinh phải nắm vững dạng của nó, nếu ta có A2 mà có –B2 thì đó là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 4x2–4xy+y2.Giáo viên phải hướng dẫn học sinh tìm A2=4x2=(2x)2; B2=y2 và sau đó các em phải phân tích –4xy= –2.2x.y Từ đó các em mới vận dụng thì kết quả tìm được

là đúng

Chẳng hạn đa thức x2+2x+4 nhiều em sẽ ngộ nhận đó là hằng đẳng thức bình phương một tổng vì A2=x2; B2=4=22 nhưng ta thấy 2x không có dạng 2AB nên khi các em làm bài hay vấp phải sai lầm như trên

– Có khi muốn vận dụng các em phải biết cách nhóm phù hợp

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 4x2–9y2–16+24y nhiều em sẽ nhóm hai hạng tử đầu để có hằng đẳng thức hiệu hai bình phương và hai hạng tử sau để đặt nhân tử chung Nhưng nếu các em làm như vậy thì không có kết quả Đối với bài toán này các em phải biết thay đổi vị trí và nhóm thích hợp như sau:

4x2–9y2–16+24y =4x2–9y2+24y–16

=4x2–(9y2–24y+16)

=(2x)2–(3y–4)2

=(2x–3y+4)(2x+3y–4) Hay khi phân tích đa thức 2xy–x2–y2+16 thành nhân tử Đa số là các

em lúng túng không biết nhóm như thế nào cho phù hợp có em sẽ thực hiện như sau: 2xy–x2–y2+16 =(2xy–x2)–(y2–16)

=x(2y–x)–(y+4)(y–4) Đến bước này thì các em không thể làm tiếp được nữa Đối với bài tập này ngoài việc nhóm các hạng tử, các em phải biết giao hoán các hạng

tử và khi nhóm thì phải đặt dấu trừ đằng trước dấu ngoặc thì mới xuất hiện dạng hằng đẳng thức Do đó, đòi hỏi các em phải biết suy luận biến đổi 2xy–x2–y2+16=16–(x2–2xy+y2) Nếu các em làm được bước này thì coi như các em đã nắm và vận dụng được kiến thức về hằng đẳng thức bình phương một hiệu Tiếp theo bước này thì học sinh phải nhận ra dạng hằng đẳng thức tiếp theo 16–(x–y)2 là hằng đẳng thức hiệu hai bình phương với A2=16

Þ A=4; B2=(x–y)2 Þ B=x–y Từ đó các em có thể phân tích tiếp 16–(x–y)2

=42–(x–y)2

=[4–(x–y)][4+(x–y)]

=(4–x+y)(4+x–y)

Đến đây mới là kết quả phân tích của bài toán

Để làm được điều này đối với học sinh khá giỏi thì cũng là một vấn

đề đơn giản nhưng đối với học sinh trung bình trở xuống thì các em không

dễ gì nhìn ra được, do đó giáo viên phải lấy nhiều bài tập tương tự để các

em luyện tập,từ đó các em gặp phải các dạng tương tự các em sẽ biết phân tích lập luận để tìm ra hướng giải quyết Một điều các em thường vấp phải trong khi làm bài, các em thường nhầm lẫn giữa bình phương một hiệu và hiệu hai bình phương, lập phương một tổng (hiệu) với tổng (hiệu) hai lập phương do đó khi hướng dẫn giáo viên phải cho học sinh nhắc lại

Ví dụ: Tính nhanh 1012

Nhiều em sẽ thực hiện như sau: 1012 =(100+1)2=1002+12

=10000+1

=10001

Khi sửa bài giáo viên cần nhấn mạnh để học sinh thấy rõ là (100+1)2

1002+12

– Với hai hằng đẳng thức lập phương một tổng và lập phương một hiệu giáo viên cũng cần hướng dẫn cho các em trong những trường hợp nào thì sử dụng chẳng hạn phân tích những hằng đẳng thức có bốn hạng tử ta có thể liên tưởng đến một trong hai hằng đẳng thức này Nếu đa thức có tất cả bốn hạng tử mang dấu cộng thì ta nghĩ đến hằng đẳng thức lập phương một tổng còn nếu có cả dấu cộng và dấu trừ thì chỉ có thể rơi vào hằng đẳng thức lập phương một hiệu Giữa hai hằng đẳng thức này giáo viên cũng cần hướng dẫn cho học sinh cách nhớ là các hạng tử giống nhau nhưng đối với lập phương một hiệu thì dấu cộng, trừ xen kẽ nhau

A B 3 A3 3A B 3AB2  2 B3

Do đó khi vận dụng phải xác định đâu là biểu thức A3, đâu là biểu thức B3

sau đó suy ra A và B từ đó mới phân tích xem có hạng tử 3A2B; 3AB2 hay không?

Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử 8x3+36x2+54x+27

Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm

A3=8x3=(2x)3 A=2x;

B3=27=33 B=3

Từ đó phân tích 36x2=3.(2x)2.3=3A2B

54x=3.2x.32=3AB2

Tất cả các hạng tử đều mang dấu cộng như vậy sẽ là hằng đẳng thức lập phương một tổng

Hoặc phân tích đa thức –x3+9x2–27x+27 mặc dù đa thức có bốn hạng

tử và bậc cao nhất của hạng tử là bậc ba nhưng trong trường hợp này ta ta thấy dấu của các hạng tử không trùng hợp với dấu của hằng đẳng thức nào

cả vậy thì câu hỏi đặt ra là ta làm như thế nào để đưa được về hằng đẳng thức lập phương một hiệu, rõ ràng ở đây chỉ có thể đưa về hằng đẳng thức lập phương một hiệu vì có hạng tử mang dấu trừ Lúc này giáo viên hướng

dẫn học sinh cách đưa dấu trừ ra ngoài dấu ngoặc và sau đó tìm A3=? để suy ra A; B3=? để suy ra B và tìm xem có hạng tử –3A2B và 3AB2 hay không? Rồi mới yêu cầu học sinh trình bày lời giải Khi đó lời giải cụ thể là: –x3+9x2–27x+27 = –(x3–9x2+27x–27)

= –(x3–3.x2.3+3.x.32–33)

= –(x–3)3

– Còn đối với hai hằng đẳng thức: Tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương A 3 ± B 3 = (A B)(A ± 2 m AB B ) + 2 thì giáo viên cũng cần phải làm rõ để học sinh nhìn thấy những điểm giống nhau và khác nhau của hai

đa thức này Để từ đó khi gặp các bài tập các em sẽ vận dụng không bị nhầm lẫn

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 3 1

8x 8

định được A3=8x3; B3 1

8

2

dụng được hằng đẳng thức A3+B3

– Phân tích một đa thức thành nhân tử dùng hằng đẳng thức là một phương pháp đòi hỏi các em phải nắm chắc được các hằng đẳng thức

IV KẾT LUẬN

Theo chủ quan của bản thân có thể những giải pháp trên các đồng nghiệp cũng đã sử dụng nhưng tôi xin mạnh dạn viết lại để chúng ta cùng thảo luận và tìm ra những giải pháp có tính khả thi và đạt hiệu quả cao hơn giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt bảy hằng đẳng thức vào phân tích

đa thức thành nhân tử một cách linh hoạt, sáng tạo và không nhầm lẫn Trong qua trình vận dụng rất mong sự góp ý của các đồng nghiệp

Đạ tẻh ngày 25 tháng 10 năm 2006

Người viết

Nguyễn Thị Hiên