Bài 3: CMR số với k là số tự nhiên, không biểu diễn được thành tổng của ba bình phương Vòng 2: Bài 4: Cho tam giác ABC, ở phía ngoài dựng các tam giác cân đồng dạng ABM và ACN với a, CMR
Trang 1Đề thi vào lớp Toán-Tin Ams 1996
CMR A chia hết cho 1998
Câu 2 Giải PT:
Câu 3 Cho các số dương a,b,c có tổng =2, CMR:
Câu 4 Cho tam giác ABC nội tiếp dường tròn tâm O Phân giác góc A cắt đường tròn (O)
ở D Một đường tròn (L) thay đổi luôn đi qua A và D cắt hai đường thẳng AB và AC ở giao điểm thứ 2 là M và N (có thể trùng A)
a CMR MB=CN
b Tìm tập hợp trung điểm K của MN
c Xác định vị trí đường tròn (L) sao cho đoạn thẳng MN min
Bài 5: HCN 3x4 được chia bởi các đường thẳng // với các cạnh thành 12 hình vuông đơn
vị 1 CMR với 7 điểm bất kì nằm trong hcn ta có thể chọn ra 2 điểm khoảng cách ko vượt quá CM kêt luận vẫn đúng khi số điểm là 6 và ko còn đúng khi số điểm là 5
Đề thi tuyển sinh Toán lớp 10 trường THPT Lê Hồng Phong 1989-1990
Bài 1: Cho phương trình ẩn x :
a/ Chứng minh PT có nghịêm với mọi m
b/Tìm m sao cho PT có 2 nghiệm thoả đk tổng bình phương của hai nghịêm lớn hơn hoặc bằng 10
Bài 2:
Cho số
Chứng tỏ x là nghịêm của PT
Tính x
Bài 3 : Cho góc vuông xOy, trên cạnh Ox lấy điểm A, cố định khác O Trên cạnh Oy lấy
B di động Tìm quỹ tích điểm C sao cho ABC là tam giác điều
Bài 4: Cho nửa đừơng tròn tâm O đường kính AB Gọi C là điểm chính giữa cung AB M
là điểm bất kì trên cung BC Tia phân giác của góc COM cắt AM tại I
a/ TÌm quỹ tích của I khi M di động trên cung BC
b/ Khi Am qua trung điểm BC, tính tỉ số AM:BM
Bài1:
a)
Trang 22 Tìm a để (*) có nhiều hơn 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 2: Cho dãy các số tự nhiên được xác định như sau: số hạng thứ k bằng tích
k số nguyên tố đầu tiên (k=1,2 ) Biết rằng tồn tại 2 só hạng của dãy có hiệu là 30000, tìm 2 số hạng đó
Bài 3: Tìm các só nguyên x,y,z thỏa mãn:
Bài 4:Cho nửa đường tròn đừong kính AB+2R Gọi C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn
D là hình chiếu của C trên AB Tia phân giác góc ACD cắt đường tròn đường kính AC tại
E, cắt phân giác góc ABC tại H
Bài 5:CMR trong 2007 số khác nhau tùy ý đựoc lấy ra từ tập hợp A={1;2;
}, có ít nhất hai số x,y thỏa mãn:
Trường Hà Nội-Amsterdam và Chu Văn An
Năm học 1989-1990Vòng 1Bài 1: Rút gọn biểu thức:
Trang 31 Cho biết rằng , AH là đường cao; chứng minh rằng không có tam giác nào mà các cạnh lần lượt bằng các đường cao của tam giác cân ABC.
2 Xét trường hợp rồi rút ra kết luận
Bài 3: CMR số với k là số tự nhiên, không biểu diễn được thành tổng của ba bình phương
Vòng 2:
Bài 4: Cho tam giác ABC, ở phía ngoài dựng các tam giác cân đồng dạng ABM và ACN
với
a, CMR các đỉnh M,N luôn cách đều một điểm cố định dù góc ABM lấy giá trị nào
b, Xét trường hợp tam giác cân ABM ở phía ngoài và tam giác cân ACN ở phía trong đối với tam giác ABc rồi rút ra kết luận
Bài 5: Cho hình vuông kích thước 3x3 chia thành 9 ô nhỏ bằng nhau
a, Hãy tìm cách viết vào mỗi ô vuông một số trong các số từ 1 đến 9 sao cho tổng các số trong 3 ô theo hàng, theo cột, theo đường chéo của hình vuông bằng nhau
b, CMR chỉ có một cách viết duy nhất (Hai cách coi như là như nhau khi đối xứng với nhau qua đường chéo của hình vuông)
Bài 6: Xét các số thập phân kí hiệu là phần nguyên của tức là số nguyên lớn nhất không vượt quá Chứng minh:
Đề thi tuyển sinh ĐHSP Hà Nội
Chuyên toán-tin ĐHSP Hà Nội 1997-1998
Ngày thứ nhất
Câu 1: CMR với mọi n nguyên dương đều có
Câu 2: Cho x,y là hai số dương thay đổi luôn thỏa mãn xy=1
Tìm Max
Câu 3: Giải PT:
Câu 4: Xét một hình vuông và một hình tam giác Nếu hai hình có diện tích bằng nhau thì hình nào có chu vi lớn hơn?
tâm đường tròn ngoại tiếp; B' và C' là chân các đường cao hạ từ B và C xuống AC và AB tương ứng Gọi O' là điểm đối xứng của O qua đường thẳng B'C'
1 CMR A,B',O',C' cùng nằm trên một đường tròn
2, Tính B'C' theo a
Ngày thứ hai:
Câu 6: Với giá trị nào của tham số a, phương trình có nghiệm duy nhất:
Câu 7: Giải hệ phương trình 4 ẩn:
Trang 4Câu 8: Tìm các cặp số nguyên tố p,q thỏa mãn phương trình:
Câu 9: Trong tất cả tứ giác lồi với hai đường chéo có độ dài đã cho và góc giữa hai đường chéo có độ lớn đã cho, xác định tứ giác có chu vi nhỏ nhất
Câu 10: Hãy xét xem khẳng định sau đây đúng hay sai:
Với mọi m,n nguyên dương đều có
Chuyên toán-tin ĐHSP Hà Nội-2000
theo thứ tự song song với AB,BC,CA
a Tìm mối liên hệ giữa độ dài các cạnh của tam giác A'B'C' với các khoảng cách từ P đến các đỉnh của tam giác đều ABC.CMR có một điểm P duy nhất sao cho tam giác A'B'C' là tam giác đều
b, CMR với mọi điểm P nằm trong tam giác ABC ta có:
c, Tìm quỹ tích các điểm P nằm trong tam giác ABC sao cho tam giác A'B'C' vuông ở A, hãy chỉ rõ cách dựng quỹ tích này
ngày thứ hai)
Đề chỉ dành cho chuyên toán:
Câu 6: Giải hệ phương trình:
Câu 7: Tìm tất cả các bộ ba số tự nhiên lớn hơn 1 thỏa mãn điều kiện sau: tích của hai số bất kì trong ba số ấy cộng với 1 chia hết cho số thứ ba
Câu 8:
Tam giác có các đỉnh lần lượt nằm trên các cạnh của tam
Trang 5giác gọi là nội tiếp tam giác
a Gọi Y' và Z' là các hình chiếu vuông góc của Y và Z trên cạnh BC, chứng minh rằng
2 Trong số những tam giác nội tiếp tam giác theo nghĩa trên và đồng dạng với tam giác ABC, tìm tam giác có diện tích nhỏ nhất
Đề thi lớp 10 chuyên toán-Lam Sơn, Thanh Hóa
Năm học 1993-1994
Bài 1: Giải các phương trình:
biết rằng chúng có nghiệm chung
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; số không chia hết cho 169
Bài 3:Cho đường phân giác của tam giác ABC cắt nhau tại M CMR nếu bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác bằng nhau thì tam giác ABC đều
Bài 4: Bảy điểm trong hình tròn được sắp xếp sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong chúng không bé hơn 1 CMR có một điểm thì các điểm đã cho trùng với tâm hình tròn
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Bắc Ninh
1 Giải phương trình với m=1
2 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x=-2
3 Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn:
Bài 3: Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có chỗ ngồi bằng nhau Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy.Bài 4: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B Đường kính AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O') tại điểm thứ hai E Đường kính AD của đường tròn (O') cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F
1 CM tứ giác CDEF nội tiếp
2 CMR C,B,D thẳng hàng và tứ giác OO'EF nội tiếp
3 Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O') thì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O')
Trang 6THPT Chuyên Hà Tĩnh - 2004-2005
Kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 trường chuyên tỉnh
Năm học 2004-2005
Đề môn toán dành cho các lớp tự nhiên
Thời gian làm bài: 150 phút
Đề chính thức
Bài 1:
Cho biểu thức:
với a) Rút gọn biểu thức
B) Tòm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P khi 0<=a<=9
Bài 2: Giả sử phương trình (a,m là tham số) có hai nghiệm là b,c Chứng minh:
a)
B)
Bài 3:
a) Giải hệ phương trình:
B) tìm nghiệm trong của hệ phương trình ba ẩn sau:
Bài 4: Cho đường tròn tâm O bán kính R Từ một điểm A ở ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AB,AC tới đường tròn (B,C là tiếp điểm) D là một điểm trên cung nhỏ BC Tiếp tuyến tại d tại D của đường tròn (O) cắt AB,AC lần lượt tại M,N Cho biết
a) Tính chu vi tam giác AMN theo R
B) Tìm vị trí của D trên cung BC để diện tích tam giác AMN có giá trị lớn nhất
THPT Chuyên Bắc Giang -2002-2003
Câu 1 : Giải hệ pt :
Chứng minh số không phải là số chính phương nhưng có thể phân tích được thành tổng của 3 số chính phương liên tiếp
Trang 7Câu 3 : Trong tất cả các tam giác nhọn ABC nội tiếp trong 1 đường tròn bán kính 1, hãy t“m tam giác làm cho biểu thức :
Câu 5 : Cho các số nguyên x,y thỏa mãn :
T“m max và min của biểu thức :
Câu 6 : Cho các số thực a;b thỏa mãn :
và Chứng minh rằng :
Các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán - ĐHKHTN - ĐHQGHN
b)Chứng minh rằng với mọi m nguyên dương thì không thể thành tích của 4 số
tự nhiên liên tiếp
Bài 4 :
Cho tam giác ABC vuông cân ,góc A=90 độ CM là trung tuyến (M nằm trên AB).Từ A
vẽ đường vuông góc với MC cắt BC ở H.Tính tỉ số
Trang 8Tìm max và min của
Bài 3 :
Cho hình thoi ABCD Gọi R,r là bán kính đường tròn ngoại tiếp các :delta ABD,ABC và
a là độ dài cạnh hình thoi CMR:
Bài 4 :
Tìm tất cả các số nguyên dương a,b,c đôi một khác nhau sao cho
nhận giá trị nguyên dương
Trang 9Xét tam giác ABC ngoại tiếp vòng tròn có bán kính bằng 1 Gọi lần lượt là độ dài các đường cao hạ từ đỉnh A, B, C tới các cạnh đối diện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
Bài 5:
Trên đường tròn cho 16 điểm và màu : xanh, đỏ, vàng để tô các điểm này (mỗi điểm tô một màu) Giữa mỗi cặp điểm được nối bằng một đoạn thẳng được tô bằng màu tím hoặc màu nâu Chứng minh rằng với mọi cách tô màu trên các điểm (chỉ dùng 3 màu : xanh,
đỏ, vàng) và mọi cách tô trên mỗi đoạn thẳng nối giữa hai cặp điểm (chỉ dùng 2 màu : tím, nâu) ta đều tìm được trên hình vẽ một tam giác có đỉnh là các điểm đã cho mà các đỉnh được tô bằng cùng một màu và các cạnh cũng được tô bằng cùng một màu (khác màu tô trên đỉnh)
Cho các số a, b thỏa mãn điều kiện
Tính giá trị của biểu thức
b) Xác định vị trí của điểm M để chu vi của tam giác AMB lớn nhất
Bài 5:
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho mỗi số và đều là lập phương của một số nguyên dương
Trang 10b) Cho các số thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
a) Lần thứ nhất tô màu năm ô :
b) Từ lần thứ hai trở đi, mỗi lần tô năm ô chưa có màu nằm liên tiếp trong cùng một hàng hoặc cùng một cột
Hỏi bằng cách đó ta có thể tô màu hết tất cả các ô vuông con của bảng hay không ? Giải thích tại sao ?
Bài 5:
Cho tam giác đều ABC Trong tam giác ABC, vẽ ba vòng tròn, có bán kính bằng nhau, tiếp xúc ngoài lẫn nhau và mỗi vòng tròn đều tiếp xúc với hai cạnh của tam
Trang 11giác Gọi là vòng tròn tiếp xúc ngoài với cả bà vòng tròn Biết bán kính của vòng tròn là , hãy tính độ dài cạnh của tam giác ABC
Cho đường tròn (O) và điểm I ở trong đường tròn Dựng qua I hai dây cung bất kì MIN
và EIF Gọi M', N', E', F' là các trung điểm của IM, IN, IE, IF
a) Chứng minh rằng tứ giác M'E'N'F' nội tiếp
b) Giải sử I thay đổi, các dây cung MIN và EIF thay đổi Chứng minh rằng vòng tròn ngoại tiếp tứ giác M'E'N'F' có bán kính không đổi
c) Giả sử I cố định, các dây cung MIN, EIF thay đổi nhưng luôn vuông góc với nhau Tìm vị trí của các dây cung MIN và EIF sao cho tứ giác M'E'N'F' có diện tích lớn nhất
Bài 5:
Các số dương thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Trang 12
b) Tìm tập hợp tất cả điểm P sao cho đường thẳng vuông góc với OP tại P cắt đoạn thẳng AB
Trang 13b) Tìm tất cả các giá trị của a ( a R ) để phương trình :
Cho x, y là hai số thực bất kì khác không Chứng minh rằng :
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Trang 141) Hai đường thẳng và cắt nhau tại CM:
2) Kí hiệu là đường tròn đi qua và là đường tròn đi qua
Đường thẳng cắt tại khác và cắt tại khác CM:
Trang 15Câu II: Với những giá trị x thỏa mãn điều kiện
Câu III: Tìm số tự nhiên gồm 4 chữ số thỏa mãn đồng thời 2 tính chất:
(i) Khi chia số đó cho 100 ta được số dư là 6
(ii) Khi chia số đó cho 51 ta được só dư là 17
Câu IV: Cho hình vuong ABCD có cạnh AB=a Trên các cạnh AB, BC,CD,DA láy lần
lượt các điểm M, N, P, Q sao cho: luôn là tổng bình phương của 2
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
2)Ký hiệu [x] là phần nguyên của số x(số nguyên lớn nhất không vượt quá x).Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có:
Câu IV:
Cho :delta ABC nội tiếp đường tròn (O) và I là điểm nằm trong :delta ABC.Các đường thẳng AI,BI,CI cắt (O) lần lượt tại A',B',C'(khác A,B,C).Dây cung B'C' cắt các cạnh AB,AC tương ứng tại các điểm M,N.Dây cung C'A' cắt các cạnh AB,BC tương ứng tại các điểm Q,P.Dây cung A'B' cắt các cạnh BC,CA tương ứng tại các điểm F,E
Trang 161.Giả sử AM=AN,BP=BQ,CE=CF xảy ra đ ìng thời.Chứng minh rằng I là tâm đường �tròn nội tiếp :delta ABC
2.Giả sử AM=AN=BP=BQ=CE=CF.Chứng minh rằng 6 điểm M,N,P,Q,E,F cùng nằm trên một đường tròn
c/m:Đa thức không thể phân tích thành hai đa thức bậc nhất có hệ số là các số nguyên
Bài 3.(2 đ).Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:
Bài 4.(2đ).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường phân giác trong của góc A cắt cạnh
BC tại M và cắt đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC tại N.Gọi P,Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC
Chứng minh diện tích hình ANPQ bằng diện tích tam giác ABC
Bài 5 (2đ).Cho hình bình hành ABCD góc BAD nhọn O là giao điểm của các đường
chéo Kẻ các đường DM,DN,DP lần lượt vuông góc với AB,BC.AC
Chứng minh rằngM,N,P,O ở trên một đường tròn
NĂM HỌC 2005 - 2006
Bài 1.Cho biểu thức:
a/Viết phương trình đường thẳng của parabol(P)
b/Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng x+2y=1 và đi qua điểm B(0;m).với giá trị nào của m thì đường thẳng cắt parabol(P) tại hai điểm có hoành độ
sao cho:
Bài 3.Giải phương trình:
Bài 4 1 VĐv bắn súng bắn 20 phát súng két quả dc ghi lại trong bảng dưới đây( điểm số
Trang 17số trung bình phương sai và độ lệch tiêu chuẩn.
b/Ý nghĩa của độ lệch tiêu chuẩn trong trường hợp này là gì?
Cho số nguyên
a) Chứng minh chia hết cho khi và chỉ khi với là số nguyên
Trang 18b) Chứng minh không chia hết cho
a) Chứng minh rằng tâm của nằm trên đường thẳng AI
b) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A tiếp xúc với các đường thẳng AB, AC
Bài 4:
Chứng minh rằng có thể chia các số thành 3 nhóm gồm N số mà tổng của các số chứa trong nhóm đều bằng nhau
Bài 5:
Trong giải Euro'96, sau vòng đấu loại, ở mộ bảng có kết quả như sau : A nhất, B nhì, C
ba, D tư Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba, C tư Hãy cho biết điểm thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau, đội nào có hiệu số bàn thằng thua lớn hơn sẽ được sếp trên và trên thực tế cả bốn đội đều có số hiệu số bàn thắng thua khác nhau
Vòng 2 Bài 1:
Gọi là hai nghiệm của phương trình , là hai nghiệm của phương
b) Cho tam giác ABC và đường thẳng d//BC nằm khác phía A đối với BC Lấy điểm M
di động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi Đường thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM tại N T“m quỹ tích điểm N
Bài 4:
Chứng minh không tồn tại số tự nhiên sao cho là số hữu tỉ
Bài 5:
Trang 19a) Chứng minh với luôn luôn có số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng được một bảng chữ nhật gồm x số chính phương đôi một khác nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của mỗi cột là một số chính phương
Ðề thi vào lớp 10 chuyên Toán-Tin trường PTNK ÐHQG TP.HCMNăm học
1997-1998 Vòng 1 Bài 1:
Bài 2:
a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt Khi
đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia
Tương Lai xuất phát từ B đi về hướng A Vào lúc 12 giờ trưa, hai tàu gặp nhau lần đầu
tiên tại một điểm cách A có khoảng cách là Khi đến A, tàu Tương Lai nghỉ nữa giờ rồi quay về B, tương tự khi đến B tàu Hy Vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A Hai tàu
gặp nhau lần thứ hai tại một điểm cách B có khoảng cách là Hãy tìm vận tốc của tàu
Hy Vọng và tàu Tương Lai biết rằng nếu ngay từ đầu, , mỗi tàu tăng vận tốc lên 7,5 km/h
thì hai tàu sẽ gặp nhau lần đầu vào lúc 11 giờ trưa