GIẢI TOÁN 12 BẰNG MAPLE

Tìm toạ độ giao điểm nếu có của đồ thị hai hàm số Đây là việc giải hệ phơng trình... Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi qua điểm nào đó kh

Giải toán 12 trên máy vi tính nhờ phần mềm Maple 8

Phần mềm Maple đợc sản xuất đầu tiên ở Canađa cách đây vài thập kỷ Hiện nay đã có phiên

bản Maple 11 Chúng ta sử dụng phiên bản Maple 8 đợc sản xuất năm 2002 vì nó có dung lợng thích hợp với việc giải toán phổ thông Để sử dụng đợc phần mềm này sau khi đã cài đặt nó vào máy tính, cần phải nhớ cách nhập các lệnh và các ký hiệu toán học

I ứng dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số1.1 Cho hàm số, tính giá trị của hàm số tại một số điểm thuộc tập xác định của hàm số đó, vẽ đồ

thị của hàm số trên một hình chữ nhật của mặt phẳng toạ độ

Cấu trúc lệnh cho hàm số nh sau:

f : =x - > hàm số;

Chữ cái ký hiệu của hàm số có thể là chữ cái g, h, ϕ , chứ không nhất thiết là chữ cái f

Đối số cũng không nhất thiết là x mà có thể là chữ cái bất kỳ khác Tại vị trí của “hàm số” ta phải nhập biểu thức của hàm số cần cho Các dấu +, - đợc nhập bình thờng Dấu nhân đợc nhập bằng * Dấu chia đợc nhập bằng / Luỹ thừa đợc nhập bằng ^

Nếu đã cho hàm số f(x) thì cấu trúc lệnh yêu cầu tính giá trị của hàm số tại điểm a thuộc tập xác định của nó là:

Bài toán 1.1.2 Vẽ đồ thị của hai hàm số y = sin 2x và y = x4 - 3x2 + 2 trên cùng một hệ trục toạ độ với x từ - 4 đến 4 và y từ - 2 đến 6.

> plot({sin(2*x),x^4-3*x^2+2},x=-4 4,y=-2 6);

1.2 Tìm tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức

Tập xác định của hàm số cho bằng biểu thức thờng là tập nghiệm của bất phơng trình hoặc hệ bất phơng trình nào đó

Bài toán 1.2.1 Tìm tập xác định của hàm số y = 1 2

diff(hàm số, đối số, đối số);

hoặc diff(hàm số, đối số$2);

Bài toán 1.3.1 Tìm các cực trị của hàm số y = x4 -3x2 + 2x +1

1.4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số

Cấu trúc lệnh tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên đoạn [a; b] nh sau:

> minimize(sqrt(x-1)+sqrt(5-2*x),x=1 5/2);

62

1.5 Tìm các đờng tiệm cận (nếu có) của đồ thị hàm số

Bài toán 1.5.1 Tìm các đờng tiệm cận của đồ thị hàm số y =

Vậy đồ thị hàm số này coá ba đờng tiệm cận x = - 2, x = 1 và y = x – 3

1.6 Tìm toạ độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hai hàm số

Đây là việc giải hệ phơng trình

Bài toán1.6.1 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = x2 + 7x - 5 và y = 2

Vậy toạ độ ba giao điểm của hai đồ thị đã cho là A(1; 3), B(2; 13), C(- 3; - 17)

Bài toán 1.6.2 Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y = cosx và y = 2x.

1.7 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm trên đồ thị đó hoặc đi qua điểm

nào đó khi biết toạ độ của điểm đó

Bài toán 1.7.1 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 – 2x2 + 4x - 1 tại điểm A(2; 7 )

Bài toán 1.7.2 Viết phơng trình các tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =

x3 - 4x2 + x - 2 đi qua điểm A(1; - 4)

> y=g(-4);

=

y −4 x

II Hµm sè luü thõa, hµm sè mò vµ hµm sè l«garit

2.1 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc, rót gän biÓu thøc (sè hoÆc ch÷)

Bµi to¸n 2.1.1 Rót gän biÓu thøc A = 5 2 6 + + 5 2 6 −

,{t 1 = } {t = -2}

ln 3

25( )

> solve({s+t=7,s^2+t^2=25});

,{y 1 = ,x = ln 4( )}

> evalf(%);

, { x 2.665541725 = } { x 0.1875791309 = }

2.3 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

2.3.1 Tính nguyên hàm

Cấu trúc của lệnh tính nguyên hàm của một hàm số là:

int (hàm số, đối số);

Sau khi ghi đầy đủ lệnh trên, trong đó hàm số đợc ghi bằng một biểu thức cụ thể và đối số

đợc ghi bằng một chữ cái thích hợp, và ấn phím Enter thì kết quả sẽ hiện ra nhng không kèm theo hằng số tích phân

Bài toán 2.3.1.1 Tính nguyên hàm của hàm số (x2 - 2x + 3)4

Bµi to¸n 2.3.2.1 TÝnh

2

1(4 x − 2 x + 3 x + 1) dx

6

Bµi to¸n 2.3.2.2 TÝnh 2

1 3 0

1

x x

dx x

− + +

Bài toán 2.3.4.1 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo thành do hình phẳng giới hạn bởi đồ

thị các hàm số y = x2 + 5x - 1 và y = x3 + 4x2 + 5x - 5 quay xung quanh trục Ox

2.4.2 Tìm môđun và acgumen của số phức

Bài toán 2.4.2.1 Tìm môđun và acgumen của số phức z =(1 )(5 6 )2

(2 )

i i i

> abs((1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2);

1225

2.4.3 Chuyển đổi số phức từ dạng đại số sang dạng lợng giác hoặc dạng mũ

Bài toán 2.4.3.1 Chuyển đổi số phức z = 1 + 3i sang dạng lợng giác và dạng mũ

> 1+sqrt(3)*I=convert(1+sqrt(3)*I,polar);

= +

+ sang dạng lợng giác và dạng mũ.

> convert( (1+I)*(5-6*I)/(2+I)^2, polar );

Bµi to¸n 2.4.4.2 Gi¶i ph¬ng tr×nh x3 - x2 - 2x + 8 = 0

Bài toán 2.4.4.4 Giải phơng trình x4 + 5x2- 36 = 0.

2.5 Phơng pháp toạ độ trong không gian

2.5.1 Tính tích vô hớng, tích vectơ, góc giữa hai vectơ khi biết toạ độ của chúng

Bài toán 2.5.1.1 Cho hai vec tơ a r = (3;7; 5) − và b r = (4; 2;9) −

a) Tính tích vô hớng của hai vectơ a r và b r

b) Tìm tích vectơ của hai vectơ a r và b r

c) Tính góc giữa hai vectơ a r và b r

Vậy góc giữa hai vectơ này là ϕ≈120053’10”

2.5.2 Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm khi biết toạ độ của chúng

Bài toán 2.5.2.1 Viết phơng trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; - 3; 2), B(5; 6; 1),

14 x 3 y 29 z 81 0

2.5.3 Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng khi biết phơng trình của chúng

Bài toán 2.5.3.1 Tìm toạ độ giao điểm của ba mặt phẳng có phơng trình

2.5.4 Viết phơng trình đờng thẳng, tính góc giữa hai đờng thẳng khi biết phơng trình của chúng

Bài toán 2.5.4.1 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm A(2; - 5; 6) và B(- 4; 7; 8).

Vậy góc giữa hai đờng thẳng này là ϕ≈ 600 59’31”

2.5.5 Tính khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau khi biết phơng trình của chúng

Bài toán 2.5.5.1 Tính gần đúng khoảng cách giữa hai đờng thẳng

Bài toán 2.5.6.1 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng x 1 y 2 z 3

− và mặt phẳng 5x - 6y + 7z - 9 = 0

2.5.7 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng và mặt cầu khi biết phơng trình của chúng

Bài toán 2.5.7.1 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng x 3 y 4 z 1

− và mặt cầu x2 + y2 + z2 - 26 = 0

> solve({x^2+y^2+z^2-26,(x-3)/2=y-4,y-4=1-z});

, { z 4 = , y 1 = , x -3 = } { z 1 = , x 3 = , y 4 = }

Bài toán 2.5.7.2 Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng x 1 y 2 z 3

− và mặt cầu x2 + y2 + z2 + 5x - 16y + 72z - 19 = 0

y2 −629 +

29

12 276129 :=

z2 479 −

29

9 276129

2.5.8 Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm khi biết toạ độ của chúng

Bài toán 2.5.8.1 Viết phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 1; - 3), B(3; 5; 6),

2.5.9 Tính một số yếu tố của tam giác khi biết toạ độ các đỉnh của nó

Bài toán 2.5.9.1 Cho tam giác có các đỉnh A(1; - 3; 2), B(5; 6; 0), C(- 4; - 7; 5).

a) Tính độ dài các cạnh của tam giác

b) Tính các góc của tam giác

c) Tính diện tích của tam giác

>

a:=sqrt((5+4)^2+(6+7)^2+(0-5)^2);b:=sqrt((1+4)^2+(-3+7)^2+(2-

5)^2);c:=sqrt((1-5)^2+(-3-6)^2+(2-0)^2);A:=arccos((b^2+c^2- c^2)/2/a/b);p:=(a+b+c)/2;S:=sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

:=

a 5 11 :=

b 5 2 :=

c 101 :=

p 5 11 + +

2

5 22

1012

1012

1012

1012

1012

2.5.10 Tính một số yếu tố của hình tứ diện khi biết toạ độ các đỉnh của nó

Bài toán 2.5.10.1 Cho hình tứ diện có các đỉnh A(1; - 2; 3), B(- 2; 4; - 5), C(3; -

4; 7), D(5; 9; - 2)

a) Tính tích vô hớng của hai vectơ uuur AB và uuur AC

b) Tìm tích vectơ của hai vectơ uuur AB và uuur AC

c) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

d) Tính diện tích tam giác BCD

e) Tính đờng cao hạ từ A của hình tứ diện ABCD

> AB.AC;

-50

> with(LinearAlgebra):a:=CrossProduct(AB,AC);