b Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm.. b Tìm m để phương trình 1 có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I.. a Chứng minh tứ
Trang 1ĐỀ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Bài 1: Cho biểu thức:
4 x
−
−
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = –1
Bài 2: Cho hệ phương trình:
mx - y 1
x y
335
2 3
=
− =
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm
Bài 3: Cho parabol (P) : y = – x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc m đi qua
điểm M(– 1 ; – 2)
a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt
b) Xác định m để A, B nằm về hai phía của trục tung
Bài 4:
Cho phương trình : x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3 = 0 (1) ; m là tham số
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này
bằng ba lần nghiệm kia
Bài 5:
Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2
3AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp được trong một đường tròn
b) Chứng minh tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM và
AM2= AE.AC
c) Chứng minh: AE.AC – AI.IB = AI2
d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
Giải:
Bài 1:
a P =
4 x (2 x ) 8x ( x 1) 2( x 2)
: (2 x )(2 x ) x ( x 2)
=
: (2 x )(2 x ) x ( x 2)
Trang 28 x 4x x ( x 2)
(2 x )(2 x ) 3 x
4x
x − 3 Điều kiện x > 0; x ≠ 4 và x ≠ 9
b Với x > 0; x ≠ 4 và x ≠ 9; P = –1 khi và chỉ khi:
4x
1
x 3 = −
hay: 4x + x – 3 = 0
Đặt y = x > 0 ta có: 4y2 + y – 3 = 0 có dạng a – b + c = 0
⇒ y = –1 ; y = 4
3
Vì y > 0 nên chỉ nhận y = 4
3 nên x = 4
3
Vậy: P = –1 ⇔ x = 16
9
Bài 2:
a Khi m = 1 ta có hệ phương trình:
x y 1
x y
335
2 3
− =
− =
3x 2y 2010 3x 2y 2010 y 2007
Vậy với m = 1 hệ phương trình đã cho có nghiệm
x 2008
y 2007
=
=
b
mx y 1 y mx 1
335 y x 1005
Hệ phương trình vô nghiệm ⇔(*) vô nghiệm ⇔m =2
3 (vì đã có –1≠–1005)
Bài 3:
a) Đường thẳng (d) có hệ số góc m có dạng y = mx + b và (d) đi qua điểm M(– 1 ; – 2) nên: – 2= m(– 1) + b ⇔ b = m – 2
Vậy: Phương trình đường thẳng (d) là y = mx + m – 2
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình:
– x2 = mx + m – 2
⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 (*)
Vì phương trình (*) có ∆=m2 −4m+8=(m−2)2 +4>0 với mọi m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
b) A và B nằm về hai phía của trục tung
Trang 3⇔ x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔ x1x2 < 0.
Áp dụng hệ thức Vi-et: x1x2 = m – 2
x1x2 < 0 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2
Vây: Để A, B nằm về hai phía của trục tung thì m < 2
Bài 4: Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ∆’ ≥ 0.
⇔ (m – 1)2 – m2 + 3 ≥ 0⇔ 4 – 2m ≥ 0⇔ m ≤ 2.
b) Với m ≤ 2 thì (1) có 2 nghiệm.
Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a
Áp dụng hệ thức Vi-et ,ta có:
3 2 2
a a m
a a m
⇒ a =
1 2
⇒3(
1 2
)2 = m2 – 3
⇔ m2 + 6m – 15 = 0
∆ '= 9 –1.(–15) = 24 ; ∆ ' = 2 6
m1= −3+2 6; m2 =−3−2 6 ( thỏa mãn điều kiện m ≤ 2).
Vậy: Với m1= −3+2 6; m2 =−3−2 6 thì phương trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia
Bài 5:
a Ta có: EIB = 900 (giả thiết)
ECB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy: tứ giác IECB là nội tiếp đường tròn đường
kính EB
b Ta có:
sđ AM = sđ AN (đường kính MN ⊥ dây
AB)
⇒ AME = ACM (góc nội tiếp)
Lại có A chung, suy ra AME ACM
Trang 4Do đó:
2
AC AM
AM AE.AC
AM = AE ⇔ =
c MI là đường cao của tam giác vuông MAB nên MI2 = AI.IB
Trừ từng vế của hệ thức ở câu b với hệ thức trên
Ta có: AE.AC – AI.IB = AM2 – MI2 = AI2
d. Từ câu b suy ra AM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta thấy khoảng cách NK nhỏ nhất khi và chỉ khi NK ⊥ BM.
Dựng hình chiếu vuông góc của N trên BM ta được K Điểm C là giao của đường tròn tâm O với đường tròn tâm K, bán kính KM