107 −40log 10 u và góc pha sẽ xấp xỉ −180 o . Như vậy, đường tiệm cận logarit của độ lớn khi ω << ω n có độ dốc bằng không và đường tiệm cận logarit của độ lớn khi ω >> ω n có độ dốc bằng −40dB/decade. Hai đường tiệm cận này cắt nhau tại tần số ω = ω n . Sự sai khác giữa đồ thị thực sự và các đường tiệm cận là một hàm của tỷ số cản ζ . Đồ thị Bode của thành phần tương ứng với cặp điểm cực liên hợp phức cho vài giá trị khác nhau của tỷ số cản ζ được biểu diễn trong Hình 8.5. Giá trị lớn nhất của |G(i ω )|, độ lớn của đáp ứng tần số, được ký hiệu là M p ω , cũng là một hàm của ζ . Giá trị lớn nhất này xuất hiện tại tần số ω r , được gọi là tần số cộng hưởng (resonant frequency), được tính bằng cách cho đạo hàm bậc nhất 0 )( = du uqd , ở đó q(u) = 1 + i2 ζ u − u 2 . Chúng ta tính được ω r : 21 khi 21 2 <−= ζζωω nr (8.31) 20log 10 |G| (dB) φ ( ω ) ( o ) ω / ω n Hình 8.5. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(i ω ) = 1/[1 + 2( ζ / ω n )i ω + (i ω / ω n ) 2 ] cho các g iá trị khác nhau của t ỷ số cản ζ 0,1 1 10 ζ = 1 ζ = 1 ζ = 0,0625 ζ = 0,0625 ζ = 0,5 ζ = 0,5 Giá trị lớn nhất của |G(i ω )| được tính như sau: 21 khi 12 1 )( 2 < − == ζ ζζ ω ω rp iGM (8.32) Một quan sát thú vị là, nếu chúng ta đổi dấu phần thực của các điểm không hoặc các điểm cực của hàm chuyển, độ lớn của đáp ứng tần số vẫn sẽ giữ nguyên, chỉ có pha bị dịch. Tuy nhiên, để hệ thống ổn định, tất cả các điểm cực cần nằm bên trái trục ảo, vì vậy chúng ta chỉ quan tâm tới các điểm c ực có phần 108 thực âm. Các điểm không của hàm chuyển có thể nằm ở cả hai bên của trục ảo mà không ảnh hưởng tới tính ổn định của hệ thống, nhưng ảnh hưởng đến độ dịch pha của tín hiệu ra so với tín hiệu vào. Hàm chuyển có tất cả các điểm không đều nằm bên trái trục ảo được gọi là hàm chuyển dịch pha tối thiểu (minimum phase-shift transfer function), bởi độ dịch pha trong trường hợp này là ít nhất. Còn hàm chuyển có điểm không nằm bên phải trục ảo được gọi là hàm chuyển dịch pha không tối thiểu (non-minimum phase-shift transfer function). Điều này được minh họa bởi Hình 8.6. 20log 10 |G| (dB) φ ( ω ) ( o ) ω (rad/s) Hình 8.6. Đồ thị Bode của ba hàm chuyển (1) )4)(3)(2( )2)(1( )( 1 +++ ++ = sss ss sG (2) )4)(3)(2( )2)(1( )( 2 +++ + − = sss ss sG và (3) )4)(3)(2( )2)(1( )( 3 +++ − − = sss ss sG 0,1 1 10 (3) (2) (1) 100 (1)(2)(3) 8.3. Mô tả hiệu suất trong miền tần số Với các hệ thống bậc hai đơn giản, chúng ta đã mô tả hiệu suất của hệ thống bằng các số đo như phần trăm quá mức, thời gian quá độ và các chỉ số hiệu suất như tích phân của sai số bình phương (ISE). Xem xét một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: )2( )( 2 n n ss sG ζω ω + = (8.33) Hàm chuyển vòng kín của hệ thống đó sẽ là: 109 22 2 2 )( nn n ss sT ωζω ω ++ = (8.34) Đáp ứng tần số của hệ thống được biểu diễn trong Hình 8.7. Bởi vì đây là hệ thống bậc hai, chúng ta có thể liên hệ tỷ số cản ζ và phần trăm quá mức của hệ thống với giá trị M p ω . Khi M p ω tăng, phần trăm quá mức của hệ thống với tín hiệu vào nhảy bậc cũng tăng. Đồng thời, tần số cộng hưởng ω r cũng có liên hệ tới tốc độ của đáp ứng nhất thời. Tốc độ của đáp ứng nhất thời còn có thể mô tả được bằng một số đo nữa là tần số dải thông (bandwidth frequency) ω B . Tần số dải thông được định nghĩa là tần số mà ở đó độ suy giảm đạt tới mức một trên căn hai của tín hiệu vào (hay 0,707 lần tín hiệu vào), nếu tính theo dB thì tần số ω B tương ứng với giá trị −3dB trên đồ thị logarit độ lớn của hàm chuyển T(i ω ). Khi tỷ số cản 21= ζ , ω B sẽ có giá trị đúng bằng tần số tự nhiên ω n . 20log 10 |T| (dB) φ ( ω ) ( o ) ω (rad/s) Hình 8.7. Đặc trưng của đáp ứng tần số của hệ thống bậc hai 20log 10 M p ω ω r ω B -3 Sự hữu ích của các số đo dựa trên đáp ứng tần số kể trên và mối quan hệ của chúng với hiệu suất nhất thời thực sự của hệ thống phụ thuộc vào việc hệ thống có thể xấp xỉ được bởi một hệ thống bậc hai có cặp điểm cực phức liên hợp hay không. Khái niệm về cặp nghiệm tr ội đó của phương trình đặc trưng của hệ thống đã được đề cập tới ở Chương V. Sai số ở trạng thái thường trực cũng có thể liên hệ được với đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín. Như chúng ta đã đề cập tới trong mục 5.4, sai số ở trạng thái thường trực với một tín hiệu vào thử xác định có mối quan hệ với số 110 lần tích phân (số điểm cực tại gốc tọa độ) của hệ thống vòng hở. Vì vậy, với hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình được biểu diễn lần bằng phương trình (8.33), sai số ở trạng thái thường trực với tín hiệu vào là hàm dốc r(t) = At được xác định bởi hằng số sai số vận tốc K v : v t K A te = ∞→ )(lim (8.35) Hằng số sai số vận tốc của hệ thống được xác định như sau: ζ ω ζω ω 2)2( lim)(lim 2 00 n n n ss v ss sssGK = + == →→ (8.36) Hàm chuyển G(s) có thể viết lại dưới dạng: )1( 1 2 1 )2( )( + = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = ss K ss sG v n n τ ζω ζ ω (8.37) Chuyển (8.37) sang biểu diễn trong miền tần số: )1( )( + = ωτω ω ii K iG v (8.38) Đó chính là dạng hàm chuyển (8.23), được sử dụng trong việc phân tích để vẽ đồ thị Bode của đáp ứng tần số. Nói một cách tổng quát, nếu hàm chuyển vòng hở của một hệ thống phản hồi có dạng: ∏ ∏ = = + + = M m m N Q l l ii iK iG 1 1 )1()( )1( )( ωτω ωτ ω (8.39) thì hệ thống có số định kiểu bằng N và hằng số sai số bằng K. Tóm lại, các đặc tính của đáp ứng tần số hoàn toàn thích hợp để biểu diễn hiệu suất của hệ thống, vì vậy chúng rất có ích cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển phản hồi. Bài tập Bài 8.1. Một hệ thống vòng hở có hàm chuyển như sau: )40)(10( )100(300 )( ++ + = sss s sG Xác định tần số khi góc pha có giá trị là −180 o . Tính độ lớn của G(i ω ) tại tần số đó. Bài 8.2 . Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: 111 )( )( ass K sG + = Yêu cầu đối với hệ thống là phần trăm quá mức với tín hiệu vào nhảy bậc nhỏ hơn 30%. (a) Xác định yêu cầu tương ứng đối với giá trị M p ω của hàm chuyển vòng kín T(i ω ). (b) Xác định tần số cộng hưởng ω r . (c) Xác định tần số dải thông ω B của hệ thống vòng kín. Bài 8.3 . Vẽ đồ thị cực của đáp ứng tần số cho các hệ thống có hàm chuyển như sau: (a) )21)(5,01( 1 )( ss sG ++ = (b) 2 5,01 )( s s sG + = (c) )164( 3 )( 2 ++ + = ss s sG (d) )4)(2( )8(30 )( ++ + = sss s sG Bài 8.4 . Một hệ thống điều khiển áp suất của một bình nén khí được biểu diễn trong hình dưới, ở đó P d là áp suất mong muốn, P 0 là áp suất thực trong bình, Q ra là áp suất của luồng khí đi ra qua van xả, G c (s) là hàm chuyển của bộ điều khiển, G v (s) là hàm chuyển của van khí vào được điều khiển bởi bộ điều khiển, và H(s) là hàm chuyển của cảm biến dùng để đo áp suất trong bình. Các hàm chuyển này được cho như sau: G c (s) = 10+2s )115/)(11,0( 1 )( ++ = ss sG v 90090 450 )( 2 + + = ss sH Xác định các đặc trưng của đáp ứng tần số của hệ thống, bao gồm tần số cộng hưởng ω r , giá trị lớn nhất M p ω và tần số dải thông ω B . 1/s Q ra − H(s) − 1 P d P 0 G c (s) 1 G v (s) 112 Bài 8.5. Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình như sau: )30/1)(10/1)(1)(2/1( 10 )( ssss sG ++++ = Vẽ đồ thị Bode của hệ thống. 113 Chương IX TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ Tóm tắt nội dung Như chúng ta đã đề cập tới từ các chương trước, việc xác định một hệ thống có ổn định hay không là điều rất quan trọng. Nếu hệ thống ổn định, vấn đề quan trọng tiếp theo sẽ là xác định mức độ ổn định hay tính ổn định tương đối của hệ thống. Đáp ứng tần số của hàm chuyển có thể sử d ụng để cung cấp câu trả lời về tính ổn định tương đối của hệ thống. Nội dung chương này sẽ trình bày cách sử dụng đáp ứng tần số của hàm chuyển T(i ω ) của hệ thống vòng kín cũng như hàm chuyển của vòng phản hồi G(i ω )H(i ω ) để phân tích đáp ứng và hiệu suất của hệ thống với thời gian trễ thuần túy và không suy giảm bên trong vòng phản hồi của hệ thống vòng kín. 9.1. Giới thiệu Việc xác định hệ thống có ổn định hay không luôn cần thiết khi phân tích hệ thống điều khiển. Xa hơn nữa, với một hệ thống ổn định, xem xét tính ổn định tương đối của hệ thống cũng thường được yêu cầu. Trong Chương VI, chúng ta đã thảo luận khái niệm tính ổn định và một số phương pháp xác định tính ổn định tuyệt đối và tương đố i của một hệ thống, trong đó nổi bật là phương pháp Routh- Hurwitz sử dụng phương trình đặc trưng của biến phức s = σ + i ω . Còn trong Chương VII, chúng ta đã nghiên cứu tính ổn định tương đối của hệ thống bằng cách sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm, cũng được biểu diễn dưới dạng của biến phức s. Trong chương này, chúng ta sẽ quan tâm đến việc xác định tính ổn định của hệ thống trong miền tần số thực, có nghĩa là dưới dạng của đáp ứng tần số đã được trình bày ở Chương VIII. Đáp ứng tần số biểu diễn đáp ứng của hệ thống với tín hiệu vào dạng sin ở trạng thái thường trực và cung cấp đầy đủ thông tin cho việc xác định tính ổn định tương đối của hệ thống. Đáp ứng tần số của hệ thống có thể đo được một cách dễ dàng bằng thực nghiệm, vì v ậy có thể dùng được để nghiên cứu tính ổn định tương đối của hệ thống khi mà giá trị của các tham số hệ thống không xác định. Thêm nữa, điều kiện ổn định trong miền tần số rất hữu ích cho việc xác định các phương pháp thích hợp nhằm làm tăng tính ổn định tương đối của hệ thống. Một điều kiện ổn định trong miền tầ n số được phát triển bởi H. Nyquist vào năm 1932 và tới nay vẫn tiếp tục là một phương pháp mang tính nền tảng đối với việc nghiên cứu tính ổn định của các hệ thống điều khiển tuyến tính. Điều kiện ổn định Nyquist (Nyquist stability criterion) dựa trên một định lý về lý thuyết của hàm biến phức của Cauchy. Định lý của Cauchy liên quan đến ánh xạ của các chu tuyến (mapping of contours) trong mặt phẳng s, có thể hiểu được dễ dàng mà không cần tới một chứng minh hình thức. 114 Để xác định tính ổn định tương đối của một hệ thống vòng kín, chúng ta cần phải xem xét phương trình đặc trưng của hệ thống, có thể biểu diễn được dưới dạng: F(s) = 1 + P(s) = 0 (9.1) Để đảm bảo tính ổn định, tất cả các nghiệm của phương trình cần nằm bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Nyquist sử dụng một ánh xạ từ mặt phẳng s vào một mặt phẳng gọi là mặt phẳng F(s). Vì vậy, để hiểu được điều kiện Nyquist, trước hết chúng ta cần tìm hiểu ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng phức. 9.2. Ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng s Chúng ta quan tâm tới ánh xạ của các đường biên trong mặt phẳng s bởi hàm F(s). Ánh xạ của chu tuyến là ánh xạ của một chu tuyến hay một quỹ đạo trong một mặt phẳng vào một mặt phẳng khác bởi một quan hệ F(s). Vì s là một biến phức, hàm F(s) có giá trị phức và có thể biểu diễn được dưới dạng F(s) = u + iv, và có thể biểu diễn trong một mặt phẳng phức F(s) với các tọa độ u và v. Để làm ví dụ, xem xét hàm F(s) = 2s + 1 và một chu tuyến được thể hiện trong Hình 9.1a. Ánh xạ của chu tuyến trong mặt phẳng s vào mặt phẳng F(s) được thực hiện như sau: F(s) = u + iv = 2s + 1 = 2( σ + i ω ) + 1 = (2 σ + 1) + i2 ω (9.2) Vì vậy, chúng ta có được: u = 2 σ + 1 và v = 2 ω (9.3) Ánh xạ của chu tuyến từ mặt phẳng s vào mặt phẳng F(s) được thể hiện trong Hình 9.1b. Ánh xạ này giữ nguyên các góc của chu tuyến trong mặt phẳng s nên được gọi là ánh xạ bảo giác (conformal mapping). Hướng của chu tuyến được chỉ định bằng các mũi tên trong hình vẽ. Vùng nằm bên trong của chu tuyến (phía bên phải theo hướng của chu tuyến) là một vùng đóng kín (enclosed area) bởi chu tuyến. Vì vậy chúng ta sẽ quy ước chiều dương của chu tuyến là chiều thuận theo chiều quay của kim đồng hồ, và vùng đóng kín bởi chu tuyến là vùng bên phải khi đi theo chiều dương của chu tuyến. Chúng ta xem xét một ví dụ khác, trong đó một chu tuyến vuông như trong Hình 9.2a được ánh xạ bởi hàm sau: 2 )( + = s s sF (9.4) Ánh xạ của chu tuyến trong mặt phẳng F(s) được biểu diễn trong Hình 9.2b. Chú ý rằng các góc của chu tuyến tại các điểm A, B, C và D được bảo toàn. 115 − 1 A B C D 0 1 −1 σ i ω +i −i A B C D 0 3 u iv +i2 − i2 (b) (a) Hình 9.1. Ánh xạ của một chu tuyến vuông bởi hàm F(s) = 2s + 1 A B 0 − i − 1 A B C D 0 1 −1 σ i ω +i −i (a) Hình 9.2. Ánh xạ của một chu tuyến vuông bởi hàm F(s) = s/(s + 2) C D u iv +i (b) Định lý của Cauchy liên quan tới ánh xạ của một hàm F(s) có một số hữu hạn điểm cực và điểm không nằm ở bên trong một chu tuyến. Do vậy, hàm F(s) có thể biểu diễn dưới dạng: ∏ ∏ = = − − = N j j M i i ps zsK sF 1 1 )( )( )( (9.5) 116 Xem xét hệ thống với phương trình đặc trưng F(s) = 0. Định lý của Cauchy, thường được gọi là nguyên lý góc cực (principle of the argument), được phát biểu như sau: Nếu một chu tuyến đơn giản Γ s trong mặt phẳng s bao quanh Z điểm không và P điểm cực của hàm F(s) khi đi theo chiều quay của kim đồng hồ dọc theo chu tuyến, ánh xạ của Γ s trong mặt phẳng F(s) là chu tuyến Γ F sẽ bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s) tất cả là Z − P lần theo chiều quay của kim đồng hồ. Chú ý rằng, định lý này chỉ có thể áp dụng nếu không có điểm cực nào của F(s) nằm trên chu tuyến Γ s , vì tại các điểm cực của F(s) ánh xạ là không xác định. Định lý của Cauchy có thể giải thích được bằng cách xem xét góc cực của hàm F(s) khi điểm s đi theo chu tuyến Γ s theo chiều quay của kim đồng hồ. Với F(s) được biểu diễn bằng phương trình (9.5), chúng ta có thể tính được góc cực của F(s): ∑∑ == −∠−−∠=∠ N j j M i i pszssF 11 )()()( (9.6) Dễ dàng nhận thấy, thay đổi tổng cộng của góc cực ∠(s − q) khi điểm s đi đúng một vòng quanh chu tuyến Γ s theo chiều quay của kim đồng hồ sẽ là 0 nếu điểm q nằm ở vùng bên ngoài của chu tuyến và sẽ bằng −2π nếu điểm q nằm ở trong vùng đóng kín bởi chu tuyến. Giả sử Z điểm không và P điểm cực của F(s) nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến, thay đổi tổng cộng của góc cực ∠F(s ) khi điểm s đi đúng một vòng quanh chu tuyến Γ s theo chiều quay của kim đồng hồ sẽ là −2π(Z − P). Góc cực ∠F(s) với s là một điểm nằm trên chu tuyến Γ s chính là góc cực của một điểm nằm trên chu tuyến Γ F trong mặt phẳng F(s). Như vậy, khi một điểm trên chu tuyến Γ F đi hết một vòng chu tuyến theo chiều quay của kim đồng hồ thì sự thay đổi tổng cộng của góc cực trong mặt phẳng F(s) bằng −2π(Z − P), nghĩa là điểm đó đã đi được đúng Z − P vòng quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s), cũng có nghĩa là chu tuyến Γ F bao quanh gốc tọa độ Z − P lần theo chiều quay của kim đồng hồ. Nếu Z − P < 0, chu tuyến Γ F có chiều âm (ngược chiều quay của kim đồng hồ). Các ví dụ minh họa cho định lý của Cauchy được thể hiện trong Hình 9.3 và Hình 9.4. Trong ví dụ ở Hình 9.3, F(s) có ba điểm không và một điểm cực nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến Γ s , vì vậy chu tuyến ánh xạ của Γ s là chu tuyến Γ F có số lần bao quanh gốc tọa độ của mặt phẳng F(s) là 3 − 1 = 2. Còn ở ví dụ trong Hình 9.4, chỉ có một điểm cực của F(s) nằm bên trong vùng đóng kín bởi chu tuyến Γ s , vì vậy chu tuyến Γ F chỉ bao quanh gốc tọa độ trong mặt phẳng F(s) một vòng và chiều của Γ F là chiều âm. . luồng khí đi ra qua van xả, G c (s) là hàm chuyển của bộ điều khiển, G v (s) là hàm chuyển của van khí vào được điều khiển bởi bộ điều khiển, và H(s) là hàm chuyển của cảm biến dùng để đo áp. G(i ω ) tại tần số đó. Bài 8.2 . Một hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là: 111 )( )( ass K sG + = Yêu cầu đối với hệ thống là phần trăm quá mức với tín hiệu vào nhảy. hệ với số 110 lần tích phân (số điểm cực tại gốc tọa độ) của hệ thống vòng hở. Vì vậy, với hệ thống phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình được biểu diễn lần bằng phương trình (8.33),