Giáo trình kỹ thuật điều khiển 18 doc

177 Để làm ví dụ, chúng ta sẽ xác định biến đổi z của hàm nhảy bậc đơn vị u(t) như sau: 1 1 1 )()( 1 00 − = − === − ∞ = − ∞ = − ∑∑ z z z zzkTuzU k k k k (12.7) Hàm chuyển của các hệ thống lấy mẫu được định nghĩa dựa trên phép biến đổi z thay cho phép biến đổi Laplace được dùng để định nghĩa hàm chuyển của các hệ thống theo thời gian liên tục. Một số tính chất của biến đổi z: 1. Tuyến tính Z[ α f 1 (t) + β f 2 (t)] = α F 1 (z) + β F 2 (z) Real s Imag s Real z Imag z 0 0 Hình 12.5. Ánh xạ của một đường thẳng song song với trục ảo trong mặt phẳng s sang mặt phẳng z a e a T 2. Suy giảm Z[e − α t f(t)] = F(ze α T ) 3. Dịch thời gian [] ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −=+ ∑ − = − 1 0 )()()( n k kn zkTxzFznTtfZ (n∈Z + ) [] )()( zFznTtf n− =−Z (n∈Z + ) 4. Nhân chập Z[f 1 (t) ∗ f 2 (t)] = F 1 (z)F 2 (z) 5. Nhân thời gian [] dz zdF Tzttf )( )( −= Z 6. Giá trị khởi đầu )(lim)0( zFf z ∞→ = 7. Giá trị cuối cùng )()1(lim)( 1 1 zFzf z − → −=∞ 178 Bảng 12.1. Biến đổi Laplace và biến đổi z của một số hàm quan trọng f(t) (t ≥ 0) F(s) F(z) Hàm xung đơn vị δ (t) 1 1 ( z > 0) 1 s 1 1− z z (z > 1) t 2 1 s 2 )1( −z Tz (z > 1) t 2 3 2 s 3 2 )1( )1( − + z zzT (z > 1) e − α t α +s 1 T e z z α − − (z > 1) sin( ω t) 22 ω ω +s 1)cos(2 )sin( 2 +− Tzz Tz ω ω (z > 1) cos( ω t) 22 ω +s s 1)cos(2 )]cos([ 2 +− − Tzz Tzz ω ω (z > 1)  Ví dụ 12.1 Sơ đồ của một hệ thống lấy mẫu vòng hở bao gồm bộ lấy và giữ mẫu cùng với quá trình cần điều khiển có hàm chuyển G(s) (Hình 12.6). Mối quan hệ giữa tín hiệu ra c(t) của hệ thống và tín hiệu ra p(t) của bộ giữ mẫu được biểu diễn bằng phương trình của các biến đổi Laplace: C(s) = G(s)P(s) (12.8) Thực hiện biến đổi Laplace cho phương trình (12.2), chúng ta sẽ có được biểu diễn của P(s) như sau: [ ] s e sR* esR* ethsR* sHsR* thtr*sP sT T st T st − − − − = = = = ∗ = ∫ ∫ 1 )( )( )()( )()( )()()( 0 0 L (12.9) Thay (12.9) vào (12.8): 179 s sG esR* s e sR*sGsC sT sT )( )1)(( 1 )()()( − − −= − = (12.10) Chuyển phương trình (12.10) sang dạng của biến đổi z: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −= − s sG zzRzC )( )1)(()( 1 Z (12.11) Vì vậy, hàm chuyển của hệ thống lấy mẫu vòng hở sẽ được tính bằng phương pháp sau đây: ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −== − s sG z zR zC zT )( )1( )( )( )( 1 Z (12.12) p(t) Bộ giữ mẫu r(t) r*(t) Hình 12.6. Hệ thống lấy mẫu vòng hở G(s) c(t) 12.4. Biến đổi z nghịch Biến đổi z nghịch (inverse z-transform) được dùng để xác định chuỗi các giá trị rời rạc f(kT) (k = 0,1,2 ) của hàm f(t) khi đã biết biến đổi z của f(t) là F(z). Theo công thức (12.6) của biến đổi z, các giá trị f(kT) chính là các hệ số khi khai triển F(z) dưới dạng một chuỗi lũy thừa của z −1 . Với các hệ thống tuyến tính bất biến, F(z) biểu diễn được dưới dạng F(z) = N(z)/D(z), ở đó N(z) và D(z) là các đa thức của z. Giả sử p i (i = 1 n) là các điểm cực của F(z), khi đó để xác định biến đổi z nghịch của F(z) người ta thường sử dụng một phương pháp khai triển phân thức đơn giản gần giống với phương pháp dùng cho biến đổi Laplace nghịch chúng ta đã giới thiệu ở Chương II. Tuy nhiên, trong trường hợp này chúng ta sẽ thực hiện khai triển với F(z)/z thay vì khai triển F(z): n n pz k pz k pz k z k z zF − ++ − + − += )( 2 2 1 1 0 (12.13) Vì vậy: n n pz zk pz zk pz zk kzF − ++ − + − += )( 2 2 1 1 0 (12.14) Dựa vào bảng 12.1, biến đổi Laplace nghịch của F(z) khi đó sẽ được tính như sau: ∑∑ == +=+= n i k ii n i kT T p i pkkTkekkTkkTf i 1 0 1 ln 0 )()()( δδ (12.15) Để làm ví dụ, xem xét một hàm F(z) có dạng như sau: 123 32 )( 2 − + − = z z z zF (12.16) 180 Khai triển F(z)/z: 311)31)(1(3 32)( 21 0 − + + += −+ − = z k z k z k zzz z z zF (12.17) ở đó k 0 , k 1 và k 2 được tính như sau: 3 )31(13 3)( 0 0 = −×× − == =z z z zF k (12.18) 4 5 )311()1(3 3)1(2 )1( )( 1 1 −= −−×−× −−× =+= −=z z z zF k (12.19) 4 7 )131()31(3 3)31(2 )31( )( 31 2 −= +×× −× =−= =z z z zF k (12.20) Vì vậy, biến đổi z nghịch của F(z) sẽ có dạng: () k k kTkTf 31 4 7 )1( 4 5 )(3)( −−−= δ (12.21) 12.5. Phân tích tính ổn định của hệ thống trong mặt phẳng z Chúng ta đã biết từ Chương VI điều kiện để một hệ thống tuyến tính ổn định là tất cả các điểm cực của phương trình đặc trưng của hệ thống phải nằm ở bên trái trục ảo trong mặt phẳng s. Viết lại phương trình (12.5) biểu diễn ánh xạ từ mặt phẳng s sang mặt phẳng z dưới dạng như sau: z = e sT = e ( σ +i ω )T (12.22) hay: Tzez T ω σ =∠= và (12.23) Như vậy, khi s nằm bên trái trục ảo, nghĩa là σ < 0, độ lớn của z sẽ nằm trong khoảng (0,1). Điều đó có nghĩa là nửa bên trái trục ảo trong mặt phẳng s tương ứng với phần bên trong đường tròn đơn vị (đường tròn có bán kính bằng một có tâm tại gốc tọa độ) của mặt phẳng z (Hình 12.7). Vì vậy chúng ta có thể phát biểu: điều kiện để một hệ thống lấy mẫu ổn định là tất cả các điểm cực của hàm chuyển của hệ thống đều phải nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z. 181 Real s Imag s Real z Imag z 0 Hình 12.7. Ánh xạ từ nửa bên trái trục ảo trong mặt phẳng s sang mặt phẳng z 0 1  Ví dụ 12.2 Một hệ thống lấy mẫu vòng kín được biểu diễn ở Hình 12.8, ở đó hàm chuyển của quá trình cần điều khiển là: )1( )( + = ss K sG (12.24) Bộ giữ mẫu e(t) e*(t) c(t) Hình 12.8. Hệ thống lấy mẫu vòng kín r(t) G(s) + − Chúng ta có thể tính được hàm chuyển vòng hở của hệ thống nói trên theo công thức (12.12): TT TTT T T o ezez eTezTe K ez z z T K ez z z z z Tz Kz s K s K s K z ss K zzT −− −−− − − − − − ++− −−+−+ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +−−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −= )1( )1()1( 1 1 1 1 )1( )1( 1 )1( )1( )1()( 2 2 1 2 1 2 1 Z Z (12.25) Phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín có dạng 1 + T o (z) = 0, hay: 182 0 )1( )1()1( 1 2 = ++− −−+−+ + −− −−− TT TTT ezez eTezTe K (12.26) Nếu chu kỳ lấy mẫu T = 1s, phương trình (12.26) trở thành: 0 3678,03678,1 2644,03678,0 1 2 = +− + + zz z K (12.27) Áp dụng phương pháp quỹ tích nghiệm như khi phân tích hệ thống trong mặt phẳng s, chúng ta sẽ xác định được điều kiện để tất cả các nghiệm của phương trình (12.27) đều nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z là 4,20 << K . Đó chính là điều kiện để hệ thống lấy mẫu trong ví dụ này ổn định. 12.6. Tính ổn định và hiệu suất của hệ thống lấy mẫu bậc hai Chúng ta sẽ phân tích hiệu suất của một hệ thống lấy mẫu vòng kín như trong Hình 12.8, ở đó G(s) là một hàm chuyển bậc hai: )1( )( + = ss K sG τ (12.28) Hàm chuyển vòng hở của hệ thống được tính theo công thức (12.12): ττ τττ τ τ ττττ τ τ ττ τ ττ τ TT TTT T T o ezez eTezTe K ez z z T K ez z z z z Tz Kz s K s K s K z ss K zzT −− −−− − − − − − ++− −−+−+ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − +− − = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + − − − −= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + +−−= ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + −= )1( )()( )1( 1 1 )1( )1( 1 )1( )1( )1()( 2 2 1 2 2 1 2 1 Z Z (12.29) Phương trình đặc trưng của hệ thống vòng kín sẽ có dạng 1+ T o (z) = 0 hay dưới dạng q(z) = 0, ở đó: τττ ττ ττ ττ TTT TT eeTeK zeTeKzzq −−− −− +−−+ +−−++= )( )]1()([)( 2 (12.30) Để xác định điều kiện ổn định cho hệ thống, chúng ta có thể dùng phương pháp quỹ tích nghiệm. Tuy nhiên, vì q(z) là một đa thức bậc hai có dạng z 2 + az + b, chúng ta có thể xác định điều kiện ổn định bằng cách đơn giản hơn, dựa trên điều kiện cần và đủ để phương trình q(z) = 0 có tất cả các nghiệm đều nằm bên trong đường tròn đơn vị của mặt phẳng z là: | q(0)| < 1, q(1) > 0 và q(−1) > 0 (12.31) 183 Từ biểu thức (12.30) và điều kiện (12.31), chúng ta xác định được điều kiện để hệ thống lấy mẫu bậc hai ổn định: 0)()1()(1 0)()1()(1 1)(1 >+−−+++−+− >+−−++−−++ <+−−<− −−−−− −−−−− − − − τττττ τττττ τ τ τ ττττ ττττ ττ TTTTT TTTTT TTT eeTeKeTeK eeTeKeTeK eeTeK (12.32) hay: )1()(2 )1(2 1 0,0 ττ τ ττ τ ττ ττ TT T TT T eTe e K eTe e K T K −− − −− − ++− + < −− − < >> (12.33) Từ các điều kiện này, chúng ta sẽ tính ra được giá trị lớn nhất được phép của gia lượng K cho một hệ thống bậc hai. Hiệu suất của hệ thống lấy mẫu nói trên phụ thuộc vào tỷ số T/ τ . Tỷ số này càng nhỏ thì các đặc tính của hệ thống lấy mẫu càng gần với hệ thống theo thời gian liên tục. Vì vậy, nếu có được tỷ số T/ τ rất nhỏ, chúng ta có thể dùng các chỉ số hiệu suất của hệ thống theo thời gian liên tục để cho hệ thống lấy mẫu tương ứng. Để làm giảm được tỷ số T/ τ , tốc độ tính toán và/hoặc độ dài từ của máy tính số cần được tăng lên để giảm chu kỳ lấy mẫu T. Bài tập Bài 12.1. Tín hiệu y(t) có biến đổi Laplace như sau: )5)(1( 5 )( ++ = sss sY Xác định biến đổi z của y(t) với chu kỳ lấy mẫu T = 0,2s. Bài 12.2 . Xác định biến đổi z nghịch của Y(z): zzz zz zY 5,05,1 12 )( 23 23 +− ++ = Bài 12.3 . Hệ thống lấy mẫu với hàm chuyển: 2,01,0 )( 2 2 −+ + = zz zz zT có ổn định không? Bài 12.4 . Một hệ thống lấy mẫu phản hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là G(s) = 1/(s+1). (a) Xác định hàm chuyển của hệ thống. (b) Xác định đáp ứng của hệ thống khi tín hiệu vào là hàm bậc thang đơn vị. 184 (c) Tính giá trị khởi đầu và giá trị cuối cùng của đáp ứng trong phần (b). 185 Phụ lục A GIỚI THIỆU MATLAB VÀ BỘ CHƯƠNG TRÌNH CONTROL SYSTEM TOOLBOX CỦA MATLAB A.1. Giới thiệu A.1.1. MATLAB MATLAB là một ngôn ngữ tính toán hiệu năng cao phục vụ cho các lĩnh vực kỹ thuật, tích hợp các chức năng tính toán, hiển thị và lập trình trong một môi trường dễ sử dụng, trong đó các bài toán kỹ thuật và giải pháp cho chúng được thể hiện bằng các phương pháp và ký hiệu toán học quen thuộc. Các ứng dụng của MATLAB bao gồm: 1. Tính toán 2. Phát triển thuật toán 3. Mô hình hóa, mô phỏng và thử nghiệm 4. Phân tích, khai thác và hiển thị dữ liệu 5. Đồ họa phục vụ các ứng dụng khoa học và kỹ thuật 6. Phát triển ứng dụng, bao gồm cả xây dựng giao diện đồ họa cho người sử dụng MATLAB là một hệ thống tương tác, với phần tử dữ liệu cơ sở là mảng (array) không cần định cỡ, cho phép chúng ta giải quyết nhiều bài toán kỹ thuật, đặc biệt là các bài toán sử dụng các phép tính toán ma trận và vector, trong khoảng thời gian rất ngắn so với việc viết các chương trình để giải chúng bằng các ngôn ngữ như C hay Fortran. MATLAB là cách viết tắt của Matrix Laboratory, vốn được phát triển với mục đích cung cấp giao diện cho các phần mềm tính toán ma trận của các thư viện tính toán LINPACK và EISPACK. Ngày nay, MATLAB sử dụng các phần mềm của các thư viện LAPACK và ARPACK, là những đại diện cho các thành tựu tiên tiến nhất trong lĩnh vực phần mềm tính toán ma trận. MATLAB đã được sử dụng làm công cụ giảng dạy cho các môn học thuộc nhi ều lĩnh vực như toán học, các môn khoa học và kỹ thuật trong các trường đại học trên khắp thế giới. MATLAB còn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu và ứng dụng đòi hỏi khối lượng tính toán lớn. Đặc biệt, MATLAB còn cung cấp các giải pháp hướng tới các ứng dụng cụ thể dưới dạng các bộ công cụ (toolboxes). Các bộ công cụ này cho phép người sử dụng h ọc và ứng dụng được những công nghệ cụ thể cho công việc của mình. Các bộ công cụ là những tập hợp các hàm viết bằng ngôn ngữ của MATLAB (các M-files), cho phép sử dụng môi trường MATLAB để giải các lớp bài toán cụ thể. MATLAB có các bộ công cụ cho các lĩnh vực như kỹ thuật điều khiển, xử lý tín hiệu, xử lý ảnh, mạng neural, logic mờ, mô phỏng, và nhiều lĩnh vực khác nữa. 186 A.1.2. Control System Toolbox MATLAB có một tập hợp phong phú các hàm rất có ích cho công việc của các kỹ sư điều khiển cũng như những người nghiên cứu về hệ thống, ví dụ như các hàm tính toán số phức, giá trị đặc trưng (eigenvalue), giải phương trình, tính ma trận nghịch đảo Nhìn một cách tổng quát hơn, MATLAB cung cấp khả năng áp dụng các phương pháp của đại số tuyến tính, tính toán ma trận và giải tích số, là những nề n tảng cần thiết cho kỹ thuật điều khiển cũng như nhiều lĩnh vực khác. Control System Toolbox sử dụng cấu trúc ma trận và các hàm cơ sở của MATLAB để xây dựng một tập hợp các hàm chuyên dụng cho lĩnh vực kỹ thuật điều khiển. Control System Toolbox là một tập hợp các thuật toán, được cài đặt chủ yếu dưới dạng M-files, thể hiện các kỹ thuật thường dùng trong phân tích, thi ết kế và mô hình hóa các hệ thống điều khiển. Control System Toolbox cho phép mô hình hóa các hệ thống điều khiển bằng các kỹ thuật cả cổ điển và hiện đại như hàm chuyển, zero-pole-gain hay các mô hình trong không gian trạng thái. Chúng ta có thể thiết lập mô hình của các hệ thống cả liên tục và rời rạc. Các hàm được cung cấp trong Control System Toolbox bao gồm các phép biến đổi giữa các dạng mô hình, các hàm tính toán và vẽ đồ thị của đáp ứng theo th ời gian, đáp ứng tần số và quỹ tích nghiệm của hệ thống. Ngoài ra còn các hàm sử dụng cho các phương pháp thiết kế hệ thống hiện đại như đặt điểm cực, điều khiển tối ưu, xấp xỉ hệ thống Chúng ta cũng có thể viết các chương trình ở dạng M-files để cài đặt các hàm mới chưa có trong Control System Toolbox. A.2. Sử dụng MATLAB A.2.1. Khởi động và thoát khỏi MATLAB Để khởi động MATLAB trong Windows, nhấn đúp phím trái của chuột tại biểu tượng của MATLAB trên Windows Desktop hay chọn MATLAB trong Start Up menu, MATLAB Desktop sẽ mở ra. Để thoát khỏi MATLAB, chọn File/Exit trong menu của MATLAB Desktop hay gõ lệnh quit tại dấu nhắc trong cửa sổ lệnh của MATLAB Desktop. A.2.2. MATLAB Desktop Khi chúng ta khởi động MATLAB, MATLAB Desktop sẽ xuất hiện, bao gồm các công cụ (giao diện đồ họa) phục vụ việc quản trị files, biến và các chương trình ứng dụng (Hình A.1). Chúng ta có thể đóng, mở, thay đổi kích thước cửa sổ của các công cụ của MATLAB Desktop. Một số công cụ thường dùng của MATLAB Desktop: − Cửa sổ lệnh (Command Window): có thể sử dụng để chạy các hàm, các M-files, nhập dữ liệu vào các biến hay xem giá trị các biến. Các lệnh trong cửa sổ lệnh được gõ vào tại dấu nhắc » của MATLAB. Các lệnh xem, thay đổi và tạo thư mục và đường dẫn trong MATLAB tương tự các lệnh của MS-DOS ( dir, pwd, cd, mkdir). Chúng ta cũng có thể thực hiện các lệnh của MS-DOS trong cửa sổ lệnh bằng cách thêm dấu ! vào trước lệnh MS- DOS. Ví dụ: . cho kỹ thuật điều khiển cũng như nhiều lĩnh vực khác. Control System Toolbox sử dụng cấu trúc ma trận và các hàm cơ sở của MATLAB để xây dựng một tập hợp các hàm chuyên dụng cho lĩnh vực kỹ thuật. phân tích, thi ết kế và mô hình hóa các hệ thống điều khiển. Control System Toolbox cho phép mô hình hóa các hệ thống điều khiển bằng các kỹ thuật cả cổ điển và hiện đại như hàm chuyển, zero-pole-gain. năng cao phục vụ cho các lĩnh vực kỹ thuật, tích hợp các chức năng tính toán, hiển thị và lập trình trong một môi trường dễ sử dụng, trong đó các bài toán kỹ thuật và giải pháp cho chúng được