MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Trang 1I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
2 3
3 3
5 3
4 2 3
9 f(x) =
2 sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
3 ln
3 ln
2
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e3x+ 1 +C
3 1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3 2
3 +
−x
Trang 23 f’(x) = 4 x −x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
−
− x
x x
4 f’(x) = x - 12 + 2
x và f(1) = 2 ĐS f(x) =
2
3 2
1 2
2
− +
2 + +
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x)⇒dt =u' (x)dx
I = ∫ f[u(x)].u' (x)dx=∫ f(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
∫u(x).v' (x)dx=u(x).v(x) −∫v(x).u' (x)dx
Hay
∫udv=uv−∫vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ∫x sin. xdx 2 ∫x cos xdx 3 ∫(x2 + 5 ) sinxdx
4∫(x2 + 2x+ 3 ) cosxdx
5 ∫xsin 2xdx 6 ∫xcos 2xdx 7 ∫x.e x dx 8 ∫lnxdx
9 ∫x ln xdx 10 ∫ln 2 x dx 11 ∫lnxdx x 12 ∫e x dx
Trang 33 6
x dxx
cos sin
tgx dxx
.cos
dx4x +8x
1
2 1 ) 2
Trang 426 ∫
−
− 2
2
) 3
−
− 4
1 1
29 ∫2 −
1 3
2 2
dx x
x x
30 ∫e
e
x dx
x x
∫ −
8
1 4
1
1 +x dx
∫ 13
1 2 1
1 (1 3 ) + x dx
Trang 522 2
1
2 0
e
e
dx cos + x
2
x dx x
e
e
dx cos + x
Trang 6dx x
x 74
∫ −
2
0 5 2 sin cos
π
dx x
x
75 ∫
+ 0
2
2 2
x x
π
∫
Trang 7dx x x
π
dx x x
(
π
dx x
+
+ 2
0 1 3 cos
sin 2 sin
π
dx x
sin
π
dx x
x
0 sin cos ) cos (
π
xdx x
1
ln ln 3
1
2 0
2 0
2 2
1
x
− +
1
0 1 1 3x dx
Trang 8
119 ∫
−
− 2
1
dx x
x
8
2 3
7 3
3 0
1
x dx x
+ +
ax
ax
f x cosax dx e
β α
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
0 1
dx x
= +
∫ bằng phương pháp đổi biến số
Trang 9e
x dx x
ln
e x
dx x
ln x
dx x
( 7) ∫3
1
ln
4x x dx 8) ∫1 +
0
2 ).
3 ln(
x 12) ∫2 +
0
2 2 ) sin (
π
dx x x x
Trang 102 ) 1
π
xdx x
0
) 1 ln(
) 7 2
2
2 ) ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1 ∫5 − −+
3
1 2
dx x x
x
a
dx b x a
x )( ) (
x x
x
x x
∫1 +++
0 2
3
1 1
2 (
1
dx x
(
1
dx x
− 0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
2
2 2
4
) 1
x
10 ∫1 + −
0 2
3 2
) 1
x
n n
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12 ∫2 +
1
4 ) 1 (
1
dx x x
x
x x
2 3
2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
x
20 ∫1 +
0 3
1
1
dx x
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22. ∫1 +−
0 2
4
1
2
dx x x
1
2 0
Trang 113 1
2 2
1
1 2 1 2
2
dx x x
0
1 2
1 3
x
x x
x
x x
∫
− − − +
+ + 0
1
2
1 2 1
1
x
x x
∫ − +
+
− + 1
0
2
1 1
2 2
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
0
2 cos sin
π
xdx x
0
5
4 cos sin
π
dx x
0
4
4 cos ) (sin
2 cos
π
dx x x
π
dx x x
x x
10 cos cos sin ) (sin
π
dx x x x
π
dx x
sin
π
dx x
6
4 cos sin
x x
∫2 +
0 1 cos cos
π
dx x x
∫2 +
0 2 sin sin
π
dx x x
17 ∫2 +
0
3
cos 1
cos
π
dx x
Trang 1219 ∫2 −
3
2
) cos
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
π
π
dx x x
x x
π
dx tgx
cos
π
π
x x
dx
0 4 sin 5 cos 5
6 cos 7 sin
π
dx x x
x x
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
π
dx x x
x x
4
sin 2 sin
π
dx x x
π
π
dx xtgx
x x
0 1 sin cos
π
x x
4 sin
π
x xdx
6 sin(
4 cos(
sin
π
dx
Trang 13− + 0
2
2
) sin 2 (
2 sin
0
1 2
π
53 ∫4 +
6
2 cot
4 sin
x x
0
2 5 sin 6 sin
2 sin
π
x x
π π
dx x x
π
xdx x
0
) 1 ln(
π
dx tgx
0
2
) cos 2
(sin
π
x x
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
π
dx x x
x x
Trang 14V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
∫b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
+
− ) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0
b ax
+
+ ) Đặt t =
n
d cx
b ax
+ +
+) R(x, f(x)) = (ax+b) αx2 + βx+ γ
1
Với (αx2 + βx+ γ )’ = k(ax+b)Khi đó đặt t = αx2 + βx+ γ , hoặc đặt t =
\ ]
; 0
sin
π
dx x x
x
Trang 15dx x
x x
20 ∫3 − 0
2
3 10 x dx x
dx x
4
5
2 8 4
x
x x
1
ln ln 3 1
31 ∫3 ++
3 5
x x
2
1 ln
ln
dx x x x
2 cos
π
dx x
tgx x
π
x xdx
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó: ∫ =∫ + −
−
a a
a
dx x f x f dx x f
0
)] ( ) ( [ )
3 π π ] thỏa mãn f(x) + f(-x) =
x
2 cos 2
Tính: ∫
−
2 3
2 3
) (
π
π
dx x f
+) Tính ∫
− +
+ 1
Trang 16Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó: ∫
−
a
a
dx x
f( ) = 0
Ví dụ: Tính: ∫
−
+ + 1
1
2 ) 1
−
+ + 2
2
2 ) 1 ln(
cos
π
π
dx x x
f( ) = 2∫a f x dx
0
) (
a
x dx f x dx b
x f
0
) ( 1
) (
(1≠b>0, ∀a)
Ví dụ: Tính: ∫
− +
+ 3
3
2
2 1
π
π
dx e
x x x
(sin
π π
dx x f x f
Ví dụ: Tính ∫2 +
0
2009 2009
2009
cos sin
sin
π
dx x x
x
Bài toán 5: Cho f(x) xác định trên [-1; 1], khi đó: ∫π = π ∫π
0 0
) (sin 2
x x
f( ) ( ) ⇒ ∫b f b−x dx=∫b f x dx
0 0
) ( )
sin
dx x
x x
0
) 1 ln(
4 sin
π
dx tgx x
Bài toán 7: Nếu f(x) liên tục trên R và tuần hoàn với chu kì T thì:
a∫+T =∫T
a
dx x f dx x f
0
) ( )
0 0
) ( )
(
Ví dụ: Tính 2008∫π −
0
2 cos
Các bài tập áp dụng:
Trang 171 ∫
− +
− 1
1
2
2 1
− 4
4
4
3 5 7
x x x x
2
2
sin 4 cos
π
π
dx x
x x
5 ∫
− 2
1
2
1
) 1
1 ln(
π
π
dx x
dx x
3.∫1 −
0
dx m x
2
) 2 2
2
3
cos cos
cos
π
π
dx x x
4 2 1
Trang 18a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Vớ dụ 2 : Tớnh diện tớch hỡnh phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2π
Bài 1 : Cho (p) : y = x2+ 1 và đờng thẳng (d): y = mx + 2 Tìm m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đờng trên có diện tích nhỏ nhẩt
Bài 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) Tìm m để hình phẳng giới hạn bởi (c) và 0x có diện tích
ở phía trên 0x và phía dới 0x bằng nhau
Bài 3: Xác định tham số m sao cho y = mx chia hình phẳng giới hạn bởi
3
y
x o
x x y
Có hai phần diện tích bằng nhau
Bài 4: (p): y2=2x chia hình phẳng giới bởi x2+y2 = 8 thành hai phần.Tính diện tích mỗi phần
Bài 5: Cho a > 0 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
=
4 2
4
2 2
1
1
3 2
a
ax a y
a
a ax x
Trang 192 : ) (
: ) (
Ox
x y
d
x y C
2 : ) (
: ) (
x
y d
e y
−
−
=
0 3
4
2
2
y x
x y
=
0
0 2
y
y x
x y
2
2
y y x y
x y
y x y
, 1
0 ,
1
2 2
4 2
5 4
−
=
− +
−
=
15 3
3 4
5 6
2 2
x y
x x y
x x y
x y
/
/ 1 / 2
x y
3 2
y
x x y
2 2
2 2
y
x x y
x x y
2
2
x y
x y
x x
y
; 0 3
cos 2 sin
=
0
2 3
y
x x
6 3
2 2
2 2
x x
x x y
x x y
y
x x y
y
x x y
x
y
x x
2 3 2 / /
x y
x x y
y
x x y
6 2 2
x x
x x
x y
/ sin/
x y
x y
Trang 200
0 1 2 2
2
2
y
y x
x y
a
x a x y
2
x
x y
x
y x
) 1
x
x y
y x
2 1
; 0
4 y x
x y
x x
=
16
6
2 2
2
y x
x y
x y
x y
27 27
2 2
x y
4
) 4 (
2
3 2
x y
2
) 1 ( 8 27
2
x y
x y
43) x2/25+y2/9 = 1 và hai
tiếp tuyến đi qua A(0;15/4)
44) Cho (p): y = x2 và điểm A(2;5) đờng thẳng (d) đi qua A có hệ số góc k Xác định
k để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (p) và (d) nhỏ nhất
−
=
0
3 4
2 2 3
y
x x x
Trang 21= π
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y = x;y 2 x;y 0 = − =
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2) = − 2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a) Trục Oxb) Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y= − 4 x y x2 ; = 2 + 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 21 ; 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2 2
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln( 1 +x3 ) ; y = 0 ; x = 1 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox1)
Trang 22) 0 (
2
y
x y
x x
quay quanh trôc a) 0x;
8) MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4 9
2 2
= + y
x quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
;
1
0
x x
x
y
3 10
2
quay quanh trôc 0x;
13) H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
x x
